2023-2024学年高中数学人教A版2019 必修第一册 第四章 习题课 指数函数及其性质的应用（含解析）

习题课　指数函数及其性质的应用
A级 必备知识基础练
1.函数f(x)=+1在区间[-2,2]上的最小值为(　　)
A. B. C. D.13
2.(多选题)若指数函数y=ax(a>0,且a≠1)在区间[-1,1]上的最大值和最小值的和为,则a的值可能是(　　)
A.2 B. C.3 D.
3.设x>0,且1A.0C.14.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是(　　)
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
5.若函数y=在区间(-∞,1)内单调递增,则a的取值范围是　　　　.
6.已知函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点,其中a>0,且a≠1.
(1)求a的值;
(2)求函数y=f(x)+1(x≥0)的值域.
B级 关键能力提升练
7.(多选题)已知函数f(x)=,下面说法正确的有(　　)
A.f(x)的图象关于原点对称
B.f(x)的图象关于y轴对称
C.f(x)的值域为(-1,1)
D. x1,x2∈R,且x1≠x2,<0
8.(多选题)对于函数f(x)=2-x-2x有下述四个结论,其中正确的结论是(　　)
A.f(0)=0
B.f(x)是奇函数
C.f(x)在(-∞,+∞)上单调递增
D.对任意的实数a,方程f(x)-a=0都有解
9.(2022上海闵行高一期末)若实数x,y满足2 020x-2 020y<2 021-x-2 021-y,则(　　)
A.x-y<0
B.x-y>0
C.<1
D.>1
10.若函数f(x)=的值域为(a,+∞),则a的取值范围为(　　)
A.
B.
C.
D.
11.设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则当x<0时,f(x)=　　　　;当x∈R时,不等式f(x-2)>0的解集为　　　　　.
12.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是　　　　　.
13.设函数f(x)=4x-2a+x-a,a∈R.
(1)当a=2时,解不等式f(x)>30;
(2)当x∈(-1,1)时,f(x)存在最小值-2,求a的值.
C级 学科素养创新练
14.已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)求m,n的值;
(2)当x∈时,f(kx2)+f(2x-1)>0恒成立,求实数k的取值范围
习题课　指数函数及其性质的应用
1.B　令t=,t∈,∴g(t)=t2-t+1,对称轴为t=,∴g(t)min=g.故选B.
2.AB　当a>1时,指数函数y=ax单调递增,所以在区间[-1,1]上的最大值ymax=a,最小值ymin=.
所以a+,解得a=2或a=(舍去);
当0综上,可得a=2或a=.
3.C　∵10,则b>1.
又bx1,
∵x>0,∴>1,即a>b,故14.B　由f(1)=,得a2=,解得a=,故f(x)=|2x-4|.令g(x)=|2x-4|,
因为g(x)=|2x-4|在[2,+∞)上单调递增,
所以f(x)的单调递减区间是[2,+∞).故选B.
5.[2,+∞)　由复合函数的单调性知,函数y=-x2+ax的对称轴x=≥1,解得a≥2.
6.解(1)因为函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点,所以a2-1=a=.
(2)由(1)得f(x)=(x≥0),
当x=0时,函数取最大值2,故f(x)∈(0,2],
所以函数y=f(x)+1=+1(x≥0)∈(1,3],
故函数y=f(x)+1(x≥0)的值域为(1,3].
7.AC　对于选项A,f(x)=,定义域为R,
∵f(-x)==-f(x),
∴f(x)是奇函数,图象关于原点对称,故A正确;
对于选项B,∵f(1)=,
f(-1)==-≠f(1),
∴f(x)的图象不关于y轴对称,故B错误;
对于选项C,f(x)==1-,
令1+2x=t,t∈(1,+∞),y=1-,
易知1-∈(-1,1),故f(x)的值域为(-1,1),故C正确;
对于选项D,f(x)==1-,令1+2x=t,
t∈(1,+∞),y=1-,
函数t=1+2x在R上单调递增,且y=1-在t∈(1,+∞)上单调递增,
∴f(x)=1-在R上单调递增,
故 x1,x2∈R,且x1≠x2,<0不成立,故D错误.故选AC.
8.ABD　f(x)=2-x-2x,f(0)=20-20=0,A正确;
f(-x)=2x-2-x=-f(x),f(x)是奇函数,B正确;
f(x)=-2x在R上是减函数,C错;
由于x趋向于-∞时,f(x)趋向于+∞,x趋向于+∞时,f(x)趋向于-∞,即f(x)的值域是(-∞,+∞),又f(x)在R上是减函数,因此对任意实数a,f(x)=a有唯一解,D正确.
9.A　不等式2 020x-2 020y<2 021-x-2 021-y化为2 020x-2 021-x<2 020y-2 021-y,
令f(a)=2 020a-2 021-a,则f(a)是增函数,故x10.B　当x<1时,,当x≥1时,a∴即a∈,故选B.
11.2-x-4　{x|x<0,或x>4}　设x<0,则-x>0,
∴f(-x)=2-x-4.
又f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x)=2-x-4.
于是f(x-2)>0可化为
解得x>4或x<0.
12.　由题意知函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,又f(x)是偶函数,则不等式f(2|a-1|)>f(-)可化为f(2|a-1|)>f(),则2|a-1|<,|a-1|<,解得13.解设2x=t(t>0),则y=t2-2a·t-a,
(1)当a=2时,f(x)>30 y=t2-4t-32>0,
∴t<-4或t>8.
∵t>0,∴t>8,∴2x>8,∴x>3,
∴不等式的解集为{x|x>3}.
(2)当x∈(-1,1)时,必有函数图象的对称轴t0=2a-1∈,即014.解(1)∵f(x)在定义域R上是奇函数,
∴f(0)=0,∴n=1.
又由f(-1)=-f(1),得m=2.
检验知,当m=2,n=1时,原函数是奇函数.
(2)由(1)知f(x)==-,任取x1,x2∈R,设x1∵函数y=2x在R上是增函数,且x1∴<0.又(+1)(+1)>0,
∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)∴函数f(x)在R上是减函数.
∵f(x)是奇函数,∴不等式f(kx2)+f(2x-1)>0等价于f(kx2)>-f(2x-1)=f(1-2x).
又f(x)在R上是减函数,由上式推得kx2<1-2x,即对一切x∈有k<恒成立.
设g(x)=-2·,令t=,t∈,则有g(t)=t2-2t,t∈,