2023-2024学年高中数学人教A版2019 选择性必修第二册 第四章 数列 培优课——数列的求和（含解析）

培优课——数列的求和
必备知识基础练
1.(2021宁夏石嘴山一中高二月考)数列1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n-1,…的第100项为(　　)
A.299-1 B.2100-1
C.299 D.2100
2.若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则它的前100项之和S100=(　　)
A.150 B.120
C.-120 D.-150
3.已知数列{an}的前n项和为Sn,若an=,则S5等于(　　)
A. B.
C. D.
4.已知数列{an}的通项公式an=,若该数列的前k项之和等于9,则k等于(　　)
A.99 B.98
C.97 D.96
5.设函数f(x)=,则f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(4)+f(5)的值为(　　)
A.9 B.11
C. D.
6.(多选题)设等差数列{an}满足a2=5,a6+a8=30,公差为d,则下列说法正确的是(　　)
A.an=2n+1
B.d=2
C.
D.的前n项和为
7.12-22+32-42+…+992-1002=　　　　　.
8.已知数列an=(2n-1)3n-1的前n项和为Sn,则S20=　　　　.
9.(2021黑龙江哈尔滨三中高三模拟)已知[x]表示不超过x的最大整数,例如:[2.3]=2,[-1.5]=-2.在数列{an}中,an=[lg n],n∈N*.记Tn为数列{an}的前n项和,则T2 021=　　　　　　　.
10.已知等差数列{an}满足a5=9,a2+a6=14.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn=an+qan(q>0),求数列{bn}的前n项和Sn.
11.已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列的前n项和Tn.
关键能力提升练
12.(2021山东枣庄高二期末)数列{an},{bn}满足anbn=1,an=n2+5n+6,n∈N*,则{bn}的前10项之和为(　　)
A. B. C. D.
13.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,当n≥2时,an+2Sn-1=n,则S2 021的值为(　　)
A.1 008 B.1 009 C.1 010 D.1 011
14.(2021江西九江高二期中)数列{an}满足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=(n∈N*),数列{an}的前n项和为Sn,则S10等于(　　)
A.55 B.1-10
C.1-9 D.66
15.(多选题)已知数列{an}为等差数列,a1=1,且a2,a4,a8是一个等比数列中的相邻三项,记bn=an(q≠0,且q≠1),则{bn}的前n项和可以是(　　)
A.n
B.nq
C.
D.
16.(多选题)已知数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,a1=1,b1=2,a2+b2=7,a3+b3=13.记cn=数列{cn}的前n项和为Sn,则(　　)
A.an=2n-1
B.bn=2n
C.S9=1 409
D.S2n=2n2-n+(4n-1)
17.(多选题)(2021江苏南通高三其他模拟)在数列{an}中,若an+an+1=3n,则称{an}为“和等比数列”.设Sn为数列{an}的前n项和,且a1=1,则下列对“和等比数列”的判断中正确的有(　　)
A.a2 020= B.a2 020=
C.S2 021= D.S2 021=
18.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=,an+1+2SnSn+1=0,n∈N*,则S1S2+S2S3+…+S9S10=　　　　　.
19.已知函数f(x)=x-3+1,则当m+n=1时,f(m)+f(n)=　　　　,f+f+…+f+f的值为　　　　　.
20.已知数列{an}的前n项和为Sn=3n2-2n,而bn=,Tn是数列{bn}的前n项和,则使得Tn<对所有n∈N*都成立的最小正整数m等于　　　　.
21.已知递增数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=+n).
(1)求a1及数列{an}的通项公式;
(2)设cn=求数列{cn}的前20项和T20.
学科素养创新练
22.数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前60项和为　　　　.
23.(2021云南曲靖一中高三模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,满足2Sn=n2+n(n∈N*),设bn=(-1)n·,则数列{bn}的前2 021 项和T2 021=　　　　　　　　.
参考答案
培优课——数列的求和
1.B　设数列为{an},an=1+2+22+…+2n-1==2n-1,∴a100=2100-1.
2.A　S100=a1+a2+a3+…+a99+a100=-1+4-7+…+(-295)+298=50×3=150.
3.D　因为an=,
所以S5=a1+a2+a3+a4+a5=.
4.A　因为an=,所以其前n项和Sn=(-1)+()+…+()=-1.令-1=9,解得k=99.
5.B　∵f(x)=,∴f(x)+f(-x)==2,设S=f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(4)+f(5),则S=f(5)+f(4)+…+f(0)+…+f(-4)+f(-5),两式相加得2S=11×2=22,因此S=11.
6.ABD　∵{an}是等差数列,
∴a6+a8=30=2a7,解得a7=15.
又a2=5,a7-a2=5d,∴d=2.
∴an=2n+1.故AB正确;
∴,故C错误;
∴的前n项和为Sn=1-+…+=1-=.故D正确.
7.-5 050　12-22+32-42+…+992-1002=(12-22)+(32-42)+…+(992-1002)=(1-2)×(1+2)+(3-4)×(3+4)+…+(99-100)×(99+100)=-(1+2+3+4+…+99+100)=-5 050.
8.19×320+1　S20=1×1+3×31+5×32+…+39×319,3S20=1×31+3×32+…+39×320,
两式相减得-2S20=1+2×(31+32+…+319)-39×320=1+2×-39×320=-38×320-2,
∴S20=19×320+1.
9.4 956　当1≤n≤9时,an=[lg n]=0;
当10≤n≤99时,an=[lg n]=1,此区间所有项的和为90;
当100≤n≤999时,an=[lg n]=2,此区间所有项的和为900×2=1 800;
当1 000≤n≤2 021时,an=[lg n]=3,此区间所有项的和为1 022×3=3 066;
所以T2 021=90+1 800+3 066=4 956.
10.解(1)设数列{an}的公差为d,则由a5=9,a2+a6=14,得解得
所以{an}的通项公式为an=2n-1.
(2)由(1)可知bn=2n-1+q2n-1.
当q>0且q≠1时,Sn=[1+3+5+…+(2n-1)]+(q1+q3+q5+…+q2n-1)=n2+;
当q=1时,bn=2n,则Sn=n(n+1).
所以Sn=
11.解(1)设{an}的公差为d,则Sn=na1+d.
由已知可得解得
故{an}的通项公式为an=2-n.
(2)由(1)知,
从而数列的前n项和为Tn=+…+=.
12.D　因为anbn=1,an=n2+5n+6,故bn=,故{bn}的前10项之和为+…+.
13.D　由题意,当n≥2时,可得Sn-1=Sn-an,
因为an+2Sn-1=n,所以an+2(Sn-an)=n,即2Sn=an+n,当n≥3时,2Sn-1=an-1+n-1,
式子2Sn=an+n与2Sn-1=an-1+n-1左、右两边分别相减,可得2an=an-an-1+1,即an+an-1=1,
所以a2+a3=1,a4+a5=1,a6+a7=1,…,
所以S2 021=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2 020+a2 021)=1+×1=1 011.
14.B　因为数列{an}满足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=,a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=(n≥2),
两式相减得2n-1an=,则an=(n≥2),
又a1=满足an=,所以an=(n∈N*),
因此S10==1-10.
15.BD　设等差数列{an}的公差为d,又a1=1,且a2,a4,a8是一个等比数列中的相邻三项,
所以=a2a8,即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),
化简得d(d-1)=0,所以d=0或d=1,
故an=1或an=n,所以bn=q或bn=nqn.
设{bn}的前n项和为Sn,
(1)当bn=q时,Sn=nq;
(2)当bn=nqn时,
Sn=1×q+2×q2+3×q3+…+n×qn, ①
qSn=1×q2+2×q3+3×q4+…+n×qn+1, ②
①-②,得(1-q)Sn=q+q2+q3+…+qn-n×qn+1=-n×qn+1,所以Sn=.故选BD.
16.ABD　设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q(q≠0),依题意有故an=2n-1,bn=2n,故A,B正确;则c2n-1=a2n-1=4n-3,c2n=b2n=4n,所以数列{cn}的前2n项和S2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(b2+b4+…+b2n)==2n2-n+(4n-1),S9=S8+a9=368+17=385,故C错误,D正确.
17.AC　a1+a2=3,a2=2,因为an+an+1=3n,所以an+1+an+2=3n+1,两式相减得an+2-an=2×3n,所以a2 020=(a2 020-a2 018)+(a2 018-a2 016)+…+(a4-a2)+a2=2×(32+34+…+32 018)+2=,故A正确,B错误;
S2 021=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2 020+a2 021)=1+(32+34+…+32 020)=,故C正确,D错误.故选AC.
18.　因为an+1+2SnSn+1=0,
所以Sn+1-Sn+2SnSn+1=0,所以Sn-Sn+1=2SnSn+1,
所以=2.
又=3,
所以数列是以3为首项,2为公差的等差数列,
所以=3+(n-1)×2=2n+1,所以Sn=,
所以SnSn+1=,
所以S1S2+S2S3+…+S9S10=+…+==.
19.2　2 020　函数f(x)=x-3+1,由m+n=1,得m-=-n-,所以f(m)+f(n)=m-3+1+n-3+1=2,所以当m+n=1时,f(m)+f(n)=2,
令S=f+f+…+f+f,
所以2S=f+f+…+f+f=2×2 020,
故S=f+f+…+f+f=2 020.
20.10　由Sn=3n2-2n,得an=6n-5.
∵bn=,
∴Tn=+…+=.
∵,∴要使对n∈N*成立,需有,即m≥10,故符合条件的最小正整数为10.
21.解(1)当n=1时,a1=S1=+1),解得a1=1.
当n≥2时,Sn-1=+n-1),
an=Sn-Sn-1=+1),
解得 an-an-1=1或an+an-1=1(n≥2).
因为{an}为递增数列,所以an-an-1=1,
{an}是首项为1,公差为1的等差数列,所以an=n.
(2)由题意,知cn=
所以T20=+3×(21+23+…+219)+10=+…++3×+10=×+…++2×(410-1)+10=+221+8=221+.
22.1 830　当n=2k时,a2k+1+a2k=4k-1;当n=2k-1时,a2k-a2k-1=4k-3.
∴a2k+1+a2k-1=2,∴a2k+3+a2k+1=2,
∴a2k-1=a2k+3,∴a1=a5=…=a61.
∴a1+a2+a3+…+a60=(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a60+a61)=3+7+11+…+(2×60-1)==30×61=1 830.
23.-　因为2Sn=n2+n,所以Sn=,
n≥2时,an=Sn-Sn-1==n,
a1=S1==1也适合上式,所以an=n(n∈N*),
所以bn==(-1)n,所以T2 021=-1++-+…+-=-1-=-.