2023-2024学年高中数学人教A版2019 选择性必修第三册 第八章 成对数据的统计分析 综合训练（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年高中数学人教A版2019 选择性必修第三册 第八章 成对数据的统计分析 综合训练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 441.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-28 15:49:08 | ||
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文档简介
第八章综合训练
一、选择题(本题共8小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在一项中学生近视情况的调查中,某校男生150名中有80名近视,女生140名中有70名近视,在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关联时,最有说服力的方法是( )
A.平均数与方差 B.回归分析
C.独立性检验 D.概率
2.在2×2列联表中,若每个数据变为原来的2倍,则χ2的值变为原来的( )
A.8倍 B.4倍 C.2倍 D.不变
3.从某高中学生中选取10名学生,根据其身高(单位:cm)、体重(单位:kg)数据,得到体重y关于身高x的经验回归方程=0.85x-85,用来刻画回归效果的R2=0.6,则下列说法正确的是( )
A.这些学生的体重和身高具有非线性相关关系
B.这些学生的体重差异有60%是由身高引起的
C.身高为170 cm的学生的体重一定为59.5 kg
D.这些学生的身高每增加0.85 cm,其体重约增加1 kg
4.下列关于回归分析的说法错误的是( )
A.经验回归直线一定过点()
B.在残差图中,残差比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适
C.两个模型的残差平方和越小的模型拟合的效果越好
D.若甲、乙两个模型的R2分别约为0.98和0.80,则模型乙的拟合效果更好
5.(2022甘肃模拟)某地以“绿水青山就是金山银山”理念为引导,推进绿色发展,现要订购一批苗木,苗木长度与售价如表:
苗木长度 x/厘米 38 48 58 68 78 88
售价y/元 16.8 18.8 20.8 22.8 24 25.8
由表可知,苗木长度x(单位:厘米)与售价y(单位:元)之间存在线性相关关系,经验回归方程为=0.2x+,则当苗木长度为150厘米时,售价大约为( )
A.33.3元 B.35.5元 C.38.9元 D.41.5元
6.(2022四川成都期中)某校为了解学生“玩手机游戏”和“学习成绩”是否有关,随机抽取了100名学生,运用2×2列联表进行独立性检验,经计算得到χ2=3.936,所以判定玩手机游戏与学习成绩有关系,那么这种判断犯错误的概率不大于( )
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.0.01 B.0.05 C.0.95 D.0.99
7.(2022贵州贵阳模拟)某公司为了确定下一年投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:万元)对年销售量y(单位:千件)的影响.现收集了近5年的年宣传费x(单位:万元)和年销售量y(单位:千件)的数据,其数据如下表所示,且y关于x的线性回归方程为x-8.2,则下列结论错误的是( )
x 4 6 8 10 12
y 1 5 7 14 18
A.x,y之间呈正相关关系
B.=2.15
C.该回归直线一定经过点(8,7)
D.当该种产品的年宣传费为20万元时,预测该种产品的年销售量为34 800件
8.已知某设备的使用年限x(单位:年)和所支出的维修费用y(单位:万元)有如下的统计资料,
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
由上表可得经验回归方程x+0.08,若规定当维修费用y>12万元时该设备必须报废,则据此模型预测该设备使用年限的最大值为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
二、选择题(本题共4小题,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求)
9.下列选项中,两个变量不属于相关关系的是( )
A.银行存款的利息和利率
B.居民收入与储蓄存款
C.电视机产量与苹果产量
D.某种商品的销售额与销售价格
10.给出以下四个说法,其中正确的说法是( )
A.残差分布的带状区域的宽度越窄,R2越小
B.在刻画经验回归模型的拟合效果时,R2的值越大,说明拟合的效果越好
C.在经验回归方程=0.5x+12中,当解释变量x每增加一个单位时,响应变量增加0.5个单位
D.对分类变量X与Y,若它们的χ2越小,则推断X与Y有关联时犯错误的概率越小
11.某校计划在课外活动中新增攀岩项目,为了解学生喜欢攀岩和性别是否有关联,面向学生开展了一次随机调查,其中参加调查的男、女生人数相同,男生喜欢攀岩的占80%,女生不喜欢攀岩的占70%,则( )
参考公式:χ2=.
α 0.05 0.01
xα 3.841 6.635
A.参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多
B.参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多
C.若参与调查的男、女生人数均为100人,则依据α=0.01的独立性检验认为喜欢攀岩和性别有关联
D.无论参与调查的男、女生人数为多少,都可以依据α=0.01的独立性检验认为喜欢攀岩和性别有关联
12.2010~2019年年底我国贫困人口和贫困发生率统计图如图所示,则下面结论正确的是( )
(年底贫困人口的经验回归方程为=-1 609.9x+15 768(其中x=年份-2009),贫困发生率的经验回归方程为=-1.672 9x+16.348(其中x=年份-2009))
A.2010~2019年十年间脱贫人口逐年减少,贫困发生率逐年下降
B.2012~2019年连续八年每年减贫超过1 000 万,且2019年贫困发生率最低
C.2010~2019年十年间超过1.65亿人脱贫,其中2015年贫困发生率低于6%
D.根据图中趋势线可以预测,到2020年底我国将实现全面脱贫
三、填空题(本题共4小题)
13.某高校“统计初步”课程的教师随机统计了一些学生的情况,具体数据如下表:
性别 不选该课程 选择该课程
男 13 10
女 7 20
根据表中的数据,依据α= 独立性检验认为选择该门课程与性别有关联.
14.若一组观测值(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)之间满足yi=xi++ei(i=1,2,…,n),且ei=0,则R2为 .
15.某厂2021年1~4月份用水量(单位:百吨)的一组数据如下表:
月份x 1 2 3 4
用水量y 2.5 3 4 4.5
根据上表可画出散点图(图略),由散点图可知,用水量y与月份x之间有较明显的线性相关关系,其经验回归方程是x+1.75,则预测2021年6月份该厂的用水量为 百吨.
16.下面是一个2×2列联表:
X Y 合计
y1 y2
x1 a 21 70
x2 5 c 30
合计 b d 100
则b-d= ,χ2≈ .(保留小数点后3位)
四、解答题(本题共6小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.某地区2013年至2019年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如表:
年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019
年份代 号t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯 收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
由散点图知变量y与t具有线性相关关系.
(1)求y关于t的经验回归方程;
(2)利用(1)中的经验回归方程,分析2013年至2019年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2022年农村居民家庭人均纯收入.
附:经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
18.某5G科技公司对某款5G产品在2020年1月至6月的月销售量及月销售单价进行了调查,月销售单价x和月销售量y之间的一组数据如表所示:
月份 1 2 3 4 5 6
月销售单价x/百元 9 8.8 8.6 8.4 8.2 8
月销售量y/万件 68 75 80 83 84 90
(1)由散点图可知变量y与x具有线性相关关系,根据1月至6月的数据,求出y关于x的经验回归方程x+;
(2)预计在今后的销售中,月销售量与月销售单价仍然服从(1)中的关系,若该种产品的成本是350元/件,则该产品的月销售单价应定为多少元才能获得最大月利润 (注:利润=销售收入-成本)
附参考公式和数据:(xi-)(yi-)=-14.
19.为推行“新课堂”教学法,某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式,在甲、乙两个平行班级进行教学实验,为了比较教学效果,期中考试后,分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,结果如下表:记成绩不低于70分者为“成绩优良”.
分数 [50, 59) [60, 69) [70, 79) [80, 89) [90, 100]
甲班频数 5 6 4 4 1
乙班频数 1 3 6 5 5
(1)由以上统计数据填写下面2×2列联表,依据α=0.05的独立性检验,能否认为成绩优良与教学方式有关联
成绩 甲班 乙班 合计
优良
不优良
合计
(2)现从上述40人中,学校按成绩是否优良采用分层随机抽样的方法抽取8人进行考核.在这8人中,记成绩不优良的乙班人数为X,求X的分布列及数学期望.
附:χ2=.
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
20.“碳中和”是指在一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总量通过植树造林、节能减排等方式,以抵消自身产生的二氧化碳排放量,实现二氧化碳“零排放”.某城市计划通过绿色能源(光伏、风电、核能)替代煤电能源、智慧交通、大力发展新能源汽车以及植树造林置换大气中的二氧化碳实现碳中和.该城市某研究机构统计了若干小排量汽车5年内所行驶的里程数(单位:万千米)的频率分布直方图,如图.
(1)求a的值及这些汽车5年内所行驶里程的平均值.
(2)据“碳中和罗盘”显示:一辆小排量汽车每年行驶1万千米的排碳量需要近100棵树用1年时间来吸收.根据频率分布直方图,该城市每一辆小排量汽车平均每年需要多少棵树才能够达到“碳中和”
(3)该城市为了减少碳排量,计划大力推动新能源汽车,关于车主购买汽车时是否考虑对大气污染的因素,对400名车主进行了调查,这些车主中新能源汽车车主占,且这些车主在购车时考虑大气污染因素的占20%,燃油汽车车主在购车时考虑大气污染因素的占15%,根据以上统计情况,补全下面2×2列联表,并回答依据小概率值α=0.01的独立性检验,认为购买新能源汽车与考虑大气污染有关.
车主 是否考虑大气污染 合计
考虑大气污染 没考虑大气污染
新能源汽 车车主
燃油汽 车车主
合计
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
21.疫情期间,各地均响应“停课不停学,停课不停教”的号召,开展了网课学习.为了检查网课学习的效果,某机构对2 000名学生进行了网上调查,发现有些学生上网课时有家长在旁督促,而有些没有.将这2 000 名学生网课学习后通过考试分成“成绩上升”和“成绩没有上升”两类,对应的人数如下表所示:
家长督 促情况 成绩变化情况 合计
成绩上升 成绩没有上升
有家长督 促的学生 500 300 800
没有家长督 促的学生 700 500 1 200
合计 1 200 800 2 000
(1)依据α=0.1的独立性检验,能否认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联
(2)从有家长督促的800名学生中按成绩是否上升,采用分层随机抽样的方法抽出8人,再从这8人中随机抽取3人做进一步调查,记抽到一名成绩上升的学生得1分,抽到一名成绩没有上升的学生得-1分,抽取3名学生的总得分用X表示,求X的分布列和均值.
附:χ2=.
α 0.1 0.05 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
22.近期某公交公司分别推出扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期.由于推广期内优惠力度较大,吸引了越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次,用x表示活动推出的天数,y表示每天使用扫码支付的人次(单位:十人次),统计数据如下表所示:
x 1 2 3 4 5 6 7
y 6 11 21 34 66 101 196
根据以上数据,绘制了散点图.
(1)根据散点图判断,在推广期内,y=a+bx与y=cdx(c,d均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的经验回归模型;(给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中的数据,求y关于x的经验回归方程,并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次.
参考数据:其中vi=lg yi,vi
xiyi xivi 100.54
62.14 1.54 2 535 50.12 3.47
参考公式:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其经验回归方程 u的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
(3)微信是现代生活进行信息交流的重要工具,据统计,某公司200名员工中90%的人使用微信,其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人,其余的员工每天使用微信在一小时以上.若将员工分成青年(年龄小于40岁)和中年(年龄不小于40岁)两个阶段,则使用微信的人中75%是青年人.若规定每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信,则经常使用微信的员工中都是青年人.依据α=0.001的独立性检验,能否认为经常使用微信与年龄有关联
附:
α 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 3.841 6.635 7.879 10.828
χ2=.
第八章综合训练
1.C
2.C 把χ2=中所有的值变为原来的2倍,
得=2χ2,
故χ2也变为原来的2倍.
3.B 因为经验回归方程为=0.85x-85,且刻画回归效果的R2=0.6,所以这些学生的体重和身高具有线性相关关系,故A错误;这些学生的体重差异有60%是由身高引起的,故B正确;当x=170时,=0.85×170-85=59.5,预测身高为170 cm的学生体重为59.5 kg,故C错误;这些学生的身高每增加0.85 cm,其体重约增加0.85×0.85=0.722 5(kg),故D错误.
故选B.
4.D 对于A,经验回归直线一定过点(),正确;
对于B,可用残差图判断模型的拟合效果,残差比较均匀地落在水平的带状区域中,说明这样的模型比较合适,带状区域的宽度越窄,说明模型的拟合精度越高,故正确;
对于C,可用残差平方和判断模型的拟合效果,残差平方和越小,模型的拟合效果越好,故正确;
对于D,因为R2取值越大,说明残差平方和越小,模型的拟合效果越好,又因为甲、乙两个模型的R2分别约为0.98和0.80,且0.98>0.80,所以甲模型的拟合效果好,故D错误.
故选D.
5.C 由题意可知,(38+48+58+68+78+88)=63,
(16.8+18.8+20.8+22.8+24+25.8)=21.5,
因为经验回归方程=0.2x+过点(63,21.5),
则有21.5=0.2×63+,
解得=8.9,
所以经验回归方程为=0.2x+8.9,
把x=150代入方程可得,=0.2×150+8.9=38.9.
所以当苗木长度为150厘米时,售价大约为38.9元.
6.B 零假设H0:玩手机游戏与学习成绩没有关系.根据题意知,χ2=3.936>3.841=x0.05,
根据小概率值α=0.05的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为玩手机游戏与学习成绩有关系,此推断犯错误的概率不大于0.05.
7.C 由表中数据可得,(4+6+8+10+12)=8,(1+5+7+14+18)=9,
故回归直线一定经过点(8,9),
故9=8-8.2,解得=2.15,故AB正确,C错误,
将x=20代入=2.15x-8.2,解得=34.8,
故当该种产品的年宣传费为20万元时,预测该种产品的年销售量为34 800件,故D正确.
故选C.
8.C 由已知表格得(2+3+4+5+6)=4,(2.2+3.8+5.5+6.5+7.0)=5,
又因为经验回归直线恒过(),所以有5=4b+0.08,解得b=1.23,
所以经验回归方程=1.23x+0.08.
由y>12,得1.23x+0.08>12,
解得x>9.69.
因为x∈N*,
所以据此模型预测该设备使用年限的最大值为9.
故选C.
9.ACD 相关关系指的是两个变量有关系,但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度,既不是确定的函数关系,也不是没有关系,这里选项A,D是确定的函数关系;C中两个变量没有关系,故选ACD.
10.BC 在回归分析时,残差图中残差分布的带状区域的宽度越窄,说明拟合精度越高,R2的绝对值越接近1,故A错误.
用R2来刻画回归的效果时,R2值越大,说明模型的拟合效果越好,故B正确.
在经验回归方程=0.5x+12中,当解释变量x每增加一个单位时,响应变量增加0.5个单位,故C正确.
对分类变量X与Y,它们的χ2越小,推断X与Y有关联时犯错误的概率越大;χ2越大,推断X与Y有关联时犯错误的概率越小.故D错误.
故选BC.
11.AC 由题意设参加调查的男、女生人数均为m人,则得到如下2×2列联表:
性别 喜欢攀岩 不喜欢攀岩 合计
男生 0.8m 0.2m m
女生 0.3m 0.7m m
合计 1.1m 0.9m 2m
所以参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多,参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数少,故A正确,B错误.
零假设为H0:喜欢攀岩和性别无关联.由列联表中的数据,计算得到χ2=,
当m=100时,χ2=50.505>6.635=x0.01,
所以当参与调查的男、女生人数均为100人时,依据α=0.01的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为喜欢攀岩和性别有关联,故C正确,D错误.故选AC.
12.BD 每年脱贫的人口如下表所示:
时间 贫困人口(万人) 脱贫人口(万人)
2009年底至2010年年底 16 566
2010年底至2011年年底 12 238 4 328
2011年底至2012年年底 9 899 2 339
2012年底至2013年年底 8 249 1 650
2013年底至2014年年底 7 017 1 232
2014年底至2015年年底 5 575 1 442
2015年底至2016年年底 4 335 1 240
2016年底至2017年年底 3 046 1 289
2017年底至2018年年底 1 660 1 386
2018年底至2019年年底 551 1 109
因为缺少2009年年底数据,所以无法统计十年间脱贫人口的数据,故A错误,C错误;
根据上表可知2012~2019年连续八年每年减贫超过1 000万,且2019年贫困发生率最低,故B正确;
根据上表可知,2012~2019年连续八年每年减贫超过1 000万,2019年年底贫困人口为551万人,故预计到2020年底我国将实现全面脱贫,故D正确.
故选BD.
13.0.05 零假设为H0:选择该门课程与性别无关联.根据表中的数据,得到
χ2=4.84>3.841=x0.05,
依据α=0.05的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为选择该门课程与性别有关联.
14.1 由ei=0,知yi=,
即yi-=0,
故R2=1-=1-0=1.
15.5.95 由题意可知=2.5,
=3.5.
又因为经验回归直线经过(),
所以3.5=2.5+1.75,
解得=0.7.
所以=0.7x+1.75.
当x=6时,=0.7×6+1.75=5.95.
所以预测2021年6月份该厂的用水量为5.95百吨.
16.8 24.047 由2×2列联表得a=49,b=54,c=25,d=46.
∴b-d=54-46=8.
χ2=24.047.
17.解 (1)由所给数据计算得
(1+2+3+4+5+6+7)=4,
(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,
(ti-)2=9+4+1+0+1+4+9=28,
(ti-)(yi-)=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,
=0.5,=4.3-0.5×4=2.3,
故所求经验回归方程为=0.5t+2.3.
(2)由(1)知,=0.5>0,
故2013年至2019年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.
将2022年的年份代号t=10代入(1)中的经验回归方程,
得=0.5×10+2.3=7.3,
故预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入为7.3千元.
18.解(1)(9+8.8+8.6+8.4+8.2+8)=8.5,
(68+75+80+83+84+90)=80.
(xi-)2=(9-8.5)2+(8.8-8.5)2+(8.6-8.5)2+(8.4-8.5)2+(8.2-8.5)2+(8-8.5)2=0.7,
(xi-)(yi-)=-14,
则=-20,=80+20×8.5=250.
∴y关于x的经验回归方程为=-20x+250.
(2)设月利润为z百万元,
则由z=(x-3.5)y,得z=(x-3.5)(250-20x)=-20x2+320x-875=-20(x-8)2+405,
∴当x=8时,zmax=405(百万元).
故该产品的月销售单价定为800元时,获得最大月利润.
19.解(1)
成绩 甲班 乙班 合计
优良 9 16 25
不优良 11 4 15
合计 20 20 40
零假设为H0:成绩优良与教学方式无关联.根据2×2列联表中的数据,可得χ2=5.227>3.841=x0.05,
依据α=0.05的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为成绩优良与教学方式有关联.
(2)由列联表可知在8人中成绩不优良的人数为8=3,则X的可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)=;P(X=1)=;
P(X=2)=;
P(X=3)=
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)=0+1+2+3
20.解 (1)由(0.052+a+0.32+0.22+a+0.052)×1=1,解得a=0.178,
设为这些汽车5年内所行驶里程的平均值,则=3.5×0.052+4.5×0.178+5.5×0.32+6.5×0.22+7.5×0.178+8.5×0.052=5.95(万千米).
(2)由(1)可知,一辆汽车1年内所行驶里程的平均值为=1.19(万千米),
因为一辆汽车每年行驶1万千米的排碳量需要近100棵树用1年时间来吸收,所以每一辆汽车平均需要1.19×100=119(棵)树才能够达到“碳中和”.
(3)对400名车主进行了调查,这些车主中新能源汽车车主有400=80(人),这些车主在购车时考虑大气污染因素的占80×20%=16(人),燃油汽车车主有400=320人,燃油汽车车主在购车时考虑大气污染因素的有320×15%=48人,
补全2×2列联表如下:
车主 是否考虑大气污染 合计
考虑大气污染 没考虑大气污染
新能源汽车车主 16 64 80
燃油汽车车主 48 272 320
合计 64 336 400
零假设为H0:购买新能源汽车与考虑大气污染无关.
因为χ2=1.19<6.635=x0.01,
所以根据小概率值α=0.01的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即认为购买新能源汽车与考虑大气污染无关.
21.解(1)零假设为H0:家长督促学生上网课与学生的成绩上升无关联.由题中数据可知,
χ2=3.472>2.706=x0.1.
依据α=0.1的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联.
(2)由题意可知,从有家长督促的800名学生中按分层随机抽样法抽出8人,其中成绩上升的有5人,成绩没有上升的有3人,再从这8人中随机抽取3人,随机变量X所有可能取的值为-3,-1,1,3,
则P(X=-3)=,
P(X=-1)=,
P(X=1)=,
P(X=3)=
所以X的分布列为
X -3 -1 1 3
P
E(X)=-3-1+1+3
22.解(1)根据散点图判断y=c·dx适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的经验回归模型.
(2)由(1)知y=c·dx,两边同时取对数得lg y=lg c+(lg d)·x,
由题意知vi=lg yi,=1.54,xivi=50.12,=4,
=12+22+32+42+52+62+72=140,
所以lg d==0.25,
所以lg c=-lg d=1.54-0.25×4=0.54.所以v=0.54+0.25x,即lg y=0.54+0.25x,
则y关于x的经验回归方程为=100.54+0.25x=3.47×100.25x,
当x=8时,=3.47×102=347,故预测活动推出第8天使用扫码支付的人次为347.
(3)由已知得该公司员工中使用微信的有200×90%=180(人),
经常使用微信的有180-60=120(人),其中青年人有120=80(人),使用微信的人中青年人有180×75%=135(人).
作出列联表如下:
类型 青年人 中年人 合计
经常使用微信 80 40 120
不经常使用微信 55 5 60
合计 135 45 180
零假设为H0:经常使用微信与年龄无关联.将列联表中的数据代入公式可得χ2=13.333>10.828=x0.001,
一、选择题(本题共8小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在一项中学生近视情况的调查中,某校男生150名中有80名近视,女生140名中有70名近视,在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关联时,最有说服力的方法是( )
A.平均数与方差 B.回归分析
C.独立性检验 D.概率
2.在2×2列联表中,若每个数据变为原来的2倍,则χ2的值变为原来的( )
A.8倍 B.4倍 C.2倍 D.不变
3.从某高中学生中选取10名学生,根据其身高(单位:cm)、体重(单位:kg)数据,得到体重y关于身高x的经验回归方程=0.85x-85,用来刻画回归效果的R2=0.6,则下列说法正确的是( )
A.这些学生的体重和身高具有非线性相关关系
B.这些学生的体重差异有60%是由身高引起的
C.身高为170 cm的学生的体重一定为59.5 kg
D.这些学生的身高每增加0.85 cm,其体重约增加1 kg
4.下列关于回归分析的说法错误的是( )
A.经验回归直线一定过点()
B.在残差图中,残差比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适
C.两个模型的残差平方和越小的模型拟合的效果越好
D.若甲、乙两个模型的R2分别约为0.98和0.80,则模型乙的拟合效果更好
5.(2022甘肃模拟)某地以“绿水青山就是金山银山”理念为引导,推进绿色发展,现要订购一批苗木,苗木长度与售价如表:
苗木长度 x/厘米 38 48 58 68 78 88
售价y/元 16.8 18.8 20.8 22.8 24 25.8
由表可知,苗木长度x(单位:厘米)与售价y(单位:元)之间存在线性相关关系,经验回归方程为=0.2x+,则当苗木长度为150厘米时,售价大约为( )
A.33.3元 B.35.5元 C.38.9元 D.41.5元
6.(2022四川成都期中)某校为了解学生“玩手机游戏”和“学习成绩”是否有关,随机抽取了100名学生,运用2×2列联表进行独立性检验,经计算得到χ2=3.936,所以判定玩手机游戏与学习成绩有关系,那么这种判断犯错误的概率不大于( )
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.0.01 B.0.05 C.0.95 D.0.99
7.(2022贵州贵阳模拟)某公司为了确定下一年投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:万元)对年销售量y(单位:千件)的影响.现收集了近5年的年宣传费x(单位:万元)和年销售量y(单位:千件)的数据,其数据如下表所示,且y关于x的线性回归方程为x-8.2,则下列结论错误的是( )
x 4 6 8 10 12
y 1 5 7 14 18
A.x,y之间呈正相关关系
B.=2.15
C.该回归直线一定经过点(8,7)
D.当该种产品的年宣传费为20万元时,预测该种产品的年销售量为34 800件
8.已知某设备的使用年限x(单位:年)和所支出的维修费用y(单位:万元)有如下的统计资料,
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
由上表可得经验回归方程x+0.08,若规定当维修费用y>12万元时该设备必须报废,则据此模型预测该设备使用年限的最大值为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
二、选择题(本题共4小题,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求)
9.下列选项中,两个变量不属于相关关系的是( )
A.银行存款的利息和利率
B.居民收入与储蓄存款
C.电视机产量与苹果产量
D.某种商品的销售额与销售价格
10.给出以下四个说法,其中正确的说法是( )
A.残差分布的带状区域的宽度越窄,R2越小
B.在刻画经验回归模型的拟合效果时,R2的值越大,说明拟合的效果越好
C.在经验回归方程=0.5x+12中,当解释变量x每增加一个单位时,响应变量增加0.5个单位
D.对分类变量X与Y,若它们的χ2越小,则推断X与Y有关联时犯错误的概率越小
11.某校计划在课外活动中新增攀岩项目,为了解学生喜欢攀岩和性别是否有关联,面向学生开展了一次随机调查,其中参加调查的男、女生人数相同,男生喜欢攀岩的占80%,女生不喜欢攀岩的占70%,则( )
参考公式:χ2=.
α 0.05 0.01
xα 3.841 6.635
A.参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多
B.参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多
C.若参与调查的男、女生人数均为100人,则依据α=0.01的独立性检验认为喜欢攀岩和性别有关联
D.无论参与调查的男、女生人数为多少,都可以依据α=0.01的独立性检验认为喜欢攀岩和性别有关联
12.2010~2019年年底我国贫困人口和贫困发生率统计图如图所示,则下面结论正确的是( )
(年底贫困人口的经验回归方程为=-1 609.9x+15 768(其中x=年份-2009),贫困发生率的经验回归方程为=-1.672 9x+16.348(其中x=年份-2009))
A.2010~2019年十年间脱贫人口逐年减少,贫困发生率逐年下降
B.2012~2019年连续八年每年减贫超过1 000 万,且2019年贫困发生率最低
C.2010~2019年十年间超过1.65亿人脱贫,其中2015年贫困发生率低于6%
D.根据图中趋势线可以预测,到2020年底我国将实现全面脱贫
三、填空题(本题共4小题)
13.某高校“统计初步”课程的教师随机统计了一些学生的情况,具体数据如下表:
性别 不选该课程 选择该课程
男 13 10
女 7 20
根据表中的数据,依据α= 独立性检验认为选择该门课程与性别有关联.
14.若一组观测值(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)之间满足yi=xi++ei(i=1,2,…,n),且ei=0,则R2为 .
15.某厂2021年1~4月份用水量(单位:百吨)的一组数据如下表:
月份x 1 2 3 4
用水量y 2.5 3 4 4.5
根据上表可画出散点图(图略),由散点图可知,用水量y与月份x之间有较明显的线性相关关系,其经验回归方程是x+1.75,则预测2021年6月份该厂的用水量为 百吨.
16.下面是一个2×2列联表:
X Y 合计
y1 y2
x1 a 21 70
x2 5 c 30
合计 b d 100
则b-d= ,χ2≈ .(保留小数点后3位)
四、解答题(本题共6小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.某地区2013年至2019年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如表:
年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019
年份代 号t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯 收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
由散点图知变量y与t具有线性相关关系.
(1)求y关于t的经验回归方程;
(2)利用(1)中的经验回归方程,分析2013年至2019年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2022年农村居民家庭人均纯收入.
附:经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
18.某5G科技公司对某款5G产品在2020年1月至6月的月销售量及月销售单价进行了调查,月销售单价x和月销售量y之间的一组数据如表所示:
月份 1 2 3 4 5 6
月销售单价x/百元 9 8.8 8.6 8.4 8.2 8
月销售量y/万件 68 75 80 83 84 90
(1)由散点图可知变量y与x具有线性相关关系,根据1月至6月的数据,求出y关于x的经验回归方程x+;
(2)预计在今后的销售中,月销售量与月销售单价仍然服从(1)中的关系,若该种产品的成本是350元/件,则该产品的月销售单价应定为多少元才能获得最大月利润 (注:利润=销售收入-成本)
附参考公式和数据:(xi-)(yi-)=-14.
19.为推行“新课堂”教学法,某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式,在甲、乙两个平行班级进行教学实验,为了比较教学效果,期中考试后,分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,结果如下表:记成绩不低于70分者为“成绩优良”.
分数 [50, 59) [60, 69) [70, 79) [80, 89) [90, 100]
甲班频数 5 6 4 4 1
乙班频数 1 3 6 5 5
(1)由以上统计数据填写下面2×2列联表,依据α=0.05的独立性检验,能否认为成绩优良与教学方式有关联
成绩 甲班 乙班 合计
优良
不优良
合计
(2)现从上述40人中,学校按成绩是否优良采用分层随机抽样的方法抽取8人进行考核.在这8人中,记成绩不优良的乙班人数为X,求X的分布列及数学期望.
附:χ2=.
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
20.“碳中和”是指在一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总量通过植树造林、节能减排等方式,以抵消自身产生的二氧化碳排放量,实现二氧化碳“零排放”.某城市计划通过绿色能源(光伏、风电、核能)替代煤电能源、智慧交通、大力发展新能源汽车以及植树造林置换大气中的二氧化碳实现碳中和.该城市某研究机构统计了若干小排量汽车5年内所行驶的里程数(单位:万千米)的频率分布直方图,如图.
(1)求a的值及这些汽车5年内所行驶里程的平均值.
(2)据“碳中和罗盘”显示:一辆小排量汽车每年行驶1万千米的排碳量需要近100棵树用1年时间来吸收.根据频率分布直方图,该城市每一辆小排量汽车平均每年需要多少棵树才能够达到“碳中和”
(3)该城市为了减少碳排量,计划大力推动新能源汽车,关于车主购买汽车时是否考虑对大气污染的因素,对400名车主进行了调查,这些车主中新能源汽车车主占,且这些车主在购车时考虑大气污染因素的占20%,燃油汽车车主在购车时考虑大气污染因素的占15%,根据以上统计情况,补全下面2×2列联表,并回答依据小概率值α=0.01的独立性检验,认为购买新能源汽车与考虑大气污染有关.
车主 是否考虑大气污染 合计
考虑大气污染 没考虑大气污染
新能源汽 车车主
燃油汽 车车主
合计
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
21.疫情期间,各地均响应“停课不停学,停课不停教”的号召,开展了网课学习.为了检查网课学习的效果,某机构对2 000名学生进行了网上调查,发现有些学生上网课时有家长在旁督促,而有些没有.将这2 000 名学生网课学习后通过考试分成“成绩上升”和“成绩没有上升”两类,对应的人数如下表所示:
家长督 促情况 成绩变化情况 合计
成绩上升 成绩没有上升
有家长督 促的学生 500 300 800
没有家长督 促的学生 700 500 1 200
合计 1 200 800 2 000
(1)依据α=0.1的独立性检验,能否认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联
(2)从有家长督促的800名学生中按成绩是否上升,采用分层随机抽样的方法抽出8人,再从这8人中随机抽取3人做进一步调查,记抽到一名成绩上升的学生得1分,抽到一名成绩没有上升的学生得-1分,抽取3名学生的总得分用X表示,求X的分布列和均值.
附:χ2=.
α 0.1 0.05 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
22.近期某公交公司分别推出扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期.由于推广期内优惠力度较大,吸引了越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次,用x表示活动推出的天数,y表示每天使用扫码支付的人次(单位:十人次),统计数据如下表所示:
x 1 2 3 4 5 6 7
y 6 11 21 34 66 101 196
根据以上数据,绘制了散点图.
(1)根据散点图判断,在推广期内,y=a+bx与y=cdx(c,d均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的经验回归模型;(给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中的数据,求y关于x的经验回归方程,并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次.
参考数据:其中vi=lg yi,vi
xiyi xivi 100.54
62.14 1.54 2 535 50.12 3.47
参考公式:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其经验回归方程 u的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
(3)微信是现代生活进行信息交流的重要工具,据统计,某公司200名员工中90%的人使用微信,其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人,其余的员工每天使用微信在一小时以上.若将员工分成青年(年龄小于40岁)和中年(年龄不小于40岁)两个阶段,则使用微信的人中75%是青年人.若规定每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信,则经常使用微信的员工中都是青年人.依据α=0.001的独立性检验,能否认为经常使用微信与年龄有关联
附:
α 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 3.841 6.635 7.879 10.828
χ2=.
第八章综合训练
1.C
2.C 把χ2=中所有的值变为原来的2倍,
得=2χ2,
故χ2也变为原来的2倍.
3.B 因为经验回归方程为=0.85x-85,且刻画回归效果的R2=0.6,所以这些学生的体重和身高具有线性相关关系,故A错误;这些学生的体重差异有60%是由身高引起的,故B正确;当x=170时,=0.85×170-85=59.5,预测身高为170 cm的学生体重为59.5 kg,故C错误;这些学生的身高每增加0.85 cm,其体重约增加0.85×0.85=0.722 5(kg),故D错误.
故选B.
4.D 对于A,经验回归直线一定过点(),正确;
对于B,可用残差图判断模型的拟合效果,残差比较均匀地落在水平的带状区域中,说明这样的模型比较合适,带状区域的宽度越窄,说明模型的拟合精度越高,故正确;
对于C,可用残差平方和判断模型的拟合效果,残差平方和越小,模型的拟合效果越好,故正确;
对于D,因为R2取值越大,说明残差平方和越小,模型的拟合效果越好,又因为甲、乙两个模型的R2分别约为0.98和0.80,且0.98>0.80,所以甲模型的拟合效果好,故D错误.
故选D.
5.C 由题意可知,(38+48+58+68+78+88)=63,
(16.8+18.8+20.8+22.8+24+25.8)=21.5,
因为经验回归方程=0.2x+过点(63,21.5),
则有21.5=0.2×63+,
解得=8.9,
所以经验回归方程为=0.2x+8.9,
把x=150代入方程可得,=0.2×150+8.9=38.9.
所以当苗木长度为150厘米时,售价大约为38.9元.
6.B 零假设H0:玩手机游戏与学习成绩没有关系.根据题意知,χ2=3.936>3.841=x0.05,
根据小概率值α=0.05的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为玩手机游戏与学习成绩有关系,此推断犯错误的概率不大于0.05.
7.C 由表中数据可得,(4+6+8+10+12)=8,(1+5+7+14+18)=9,
故回归直线一定经过点(8,9),
故9=8-8.2,解得=2.15,故AB正确,C错误,
将x=20代入=2.15x-8.2,解得=34.8,
故当该种产品的年宣传费为20万元时,预测该种产品的年销售量为34 800件,故D正确.
故选C.
8.C 由已知表格得(2+3+4+5+6)=4,(2.2+3.8+5.5+6.5+7.0)=5,
又因为经验回归直线恒过(),所以有5=4b+0.08,解得b=1.23,
所以经验回归方程=1.23x+0.08.
由y>12,得1.23x+0.08>12,
解得x>9.69.
因为x∈N*,
所以据此模型预测该设备使用年限的最大值为9.
故选C.
9.ACD 相关关系指的是两个变量有关系,但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度,既不是确定的函数关系,也不是没有关系,这里选项A,D是确定的函数关系;C中两个变量没有关系,故选ACD.
10.BC 在回归分析时,残差图中残差分布的带状区域的宽度越窄,说明拟合精度越高,R2的绝对值越接近1,故A错误.
用R2来刻画回归的效果时,R2值越大,说明模型的拟合效果越好,故B正确.
在经验回归方程=0.5x+12中,当解释变量x每增加一个单位时,响应变量增加0.5个单位,故C正确.
对分类变量X与Y,它们的χ2越小,推断X与Y有关联时犯错误的概率越大;χ2越大,推断X与Y有关联时犯错误的概率越小.故D错误.
故选BC.
11.AC 由题意设参加调查的男、女生人数均为m人,则得到如下2×2列联表:
性别 喜欢攀岩 不喜欢攀岩 合计
男生 0.8m 0.2m m
女生 0.3m 0.7m m
合计 1.1m 0.9m 2m
所以参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多,参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数少,故A正确,B错误.
零假设为H0:喜欢攀岩和性别无关联.由列联表中的数据,计算得到χ2=,
当m=100时,χ2=50.505>6.635=x0.01,
所以当参与调查的男、女生人数均为100人时,依据α=0.01的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为喜欢攀岩和性别有关联,故C正确,D错误.故选AC.
12.BD 每年脱贫的人口如下表所示:
时间 贫困人口(万人) 脱贫人口(万人)
2009年底至2010年年底 16 566
2010年底至2011年年底 12 238 4 328
2011年底至2012年年底 9 899 2 339
2012年底至2013年年底 8 249 1 650
2013年底至2014年年底 7 017 1 232
2014年底至2015年年底 5 575 1 442
2015年底至2016年年底 4 335 1 240
2016年底至2017年年底 3 046 1 289
2017年底至2018年年底 1 660 1 386
2018年底至2019年年底 551 1 109
因为缺少2009年年底数据,所以无法统计十年间脱贫人口的数据,故A错误,C错误;
根据上表可知2012~2019年连续八年每年减贫超过1 000万,且2019年贫困发生率最低,故B正确;
根据上表可知,2012~2019年连续八年每年减贫超过1 000万,2019年年底贫困人口为551万人,故预计到2020年底我国将实现全面脱贫,故D正确.
故选BD.
13.0.05 零假设为H0:选择该门课程与性别无关联.根据表中的数据,得到
χ2=4.84>3.841=x0.05,
依据α=0.05的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为选择该门课程与性别有关联.
14.1 由ei=0,知yi=,
即yi-=0,
故R2=1-=1-0=1.
15.5.95 由题意可知=2.5,
=3.5.
又因为经验回归直线经过(),
所以3.5=2.5+1.75,
解得=0.7.
所以=0.7x+1.75.
当x=6时,=0.7×6+1.75=5.95.
所以预测2021年6月份该厂的用水量为5.95百吨.
16.8 24.047 由2×2列联表得a=49,b=54,c=25,d=46.
∴b-d=54-46=8.
χ2=24.047.
17.解 (1)由所给数据计算得
(1+2+3+4+5+6+7)=4,
(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,
(ti-)2=9+4+1+0+1+4+9=28,
(ti-)(yi-)=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,
=0.5,=4.3-0.5×4=2.3,
故所求经验回归方程为=0.5t+2.3.
(2)由(1)知,=0.5>0,
故2013年至2019年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.
将2022年的年份代号t=10代入(1)中的经验回归方程,
得=0.5×10+2.3=7.3,
故预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入为7.3千元.
18.解(1)(9+8.8+8.6+8.4+8.2+8)=8.5,
(68+75+80+83+84+90)=80.
(xi-)2=(9-8.5)2+(8.8-8.5)2+(8.6-8.5)2+(8.4-8.5)2+(8.2-8.5)2+(8-8.5)2=0.7,
(xi-)(yi-)=-14,
则=-20,=80+20×8.5=250.
∴y关于x的经验回归方程为=-20x+250.
(2)设月利润为z百万元,
则由z=(x-3.5)y,得z=(x-3.5)(250-20x)=-20x2+320x-875=-20(x-8)2+405,
∴当x=8时,zmax=405(百万元).
故该产品的月销售单价定为800元时,获得最大月利润.
19.解(1)
成绩 甲班 乙班 合计
优良 9 16 25
不优良 11 4 15
合计 20 20 40
零假设为H0:成绩优良与教学方式无关联.根据2×2列联表中的数据,可得χ2=5.227>3.841=x0.05,
依据α=0.05的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为成绩优良与教学方式有关联.
(2)由列联表可知在8人中成绩不优良的人数为8=3,则X的可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)=;P(X=1)=;
P(X=2)=;
P(X=3)=
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)=0+1+2+3
20.解 (1)由(0.052+a+0.32+0.22+a+0.052)×1=1,解得a=0.178,
设为这些汽车5年内所行驶里程的平均值,则=3.5×0.052+4.5×0.178+5.5×0.32+6.5×0.22+7.5×0.178+8.5×0.052=5.95(万千米).
(2)由(1)可知,一辆汽车1年内所行驶里程的平均值为=1.19(万千米),
因为一辆汽车每年行驶1万千米的排碳量需要近100棵树用1年时间来吸收,所以每一辆汽车平均需要1.19×100=119(棵)树才能够达到“碳中和”.
(3)对400名车主进行了调查,这些车主中新能源汽车车主有400=80(人),这些车主在购车时考虑大气污染因素的占80×20%=16(人),燃油汽车车主有400=320人,燃油汽车车主在购车时考虑大气污染因素的有320×15%=48人,
补全2×2列联表如下:
车主 是否考虑大气污染 合计
考虑大气污染 没考虑大气污染
新能源汽车车主 16 64 80
燃油汽车车主 48 272 320
合计 64 336 400
零假设为H0:购买新能源汽车与考虑大气污染无关.
因为χ2=1.19<6.635=x0.01,
所以根据小概率值α=0.01的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即认为购买新能源汽车与考虑大气污染无关.
21.解(1)零假设为H0:家长督促学生上网课与学生的成绩上升无关联.由题中数据可知,
χ2=3.472>2.706=x0.1.
依据α=0.1的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联.
(2)由题意可知,从有家长督促的800名学生中按分层随机抽样法抽出8人,其中成绩上升的有5人,成绩没有上升的有3人,再从这8人中随机抽取3人,随机变量X所有可能取的值为-3,-1,1,3,
则P(X=-3)=,
P(X=-1)=,
P(X=1)=,
P(X=3)=
所以X的分布列为
X -3 -1 1 3
P
E(X)=-3-1+1+3
22.解(1)根据散点图判断y=c·dx适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的经验回归模型.
(2)由(1)知y=c·dx,两边同时取对数得lg y=lg c+(lg d)·x,
由题意知vi=lg yi,=1.54,xivi=50.12,=4,
=12+22+32+42+52+62+72=140,
所以lg d==0.25,
所以lg c=-lg d=1.54-0.25×4=0.54.所以v=0.54+0.25x,即lg y=0.54+0.25x,
则y关于x的经验回归方程为=100.54+0.25x=3.47×100.25x,
当x=8时,=3.47×102=347,故预测活动推出第8天使用扫码支付的人次为347.
(3)由已知得该公司员工中使用微信的有200×90%=180(人),
经常使用微信的有180-60=120(人),其中青年人有120=80(人),使用微信的人中青年人有180×75%=135(人).
作出列联表如下:
类型 青年人 中年人 合计
经常使用微信 80 40 120
不经常使用微信 55 5 60
合计 135 45 180
零假设为H0:经常使用微信与年龄无关联.将列联表中的数据代入公式可得χ2=13.333>10.828=x0.001,