2023-2024学年高中数学人教A版2019 选择性必修第三册 第六章 计数原理 章末测评（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年高中数学人教A版2019 选择性必修第三册 第六章 计数原理 章末测评（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 44.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-28 15:49:38 | ||
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文档简介
第六章测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.=( )
A. B. C. D.
2.(2022河南期中)教学楼共有6层楼,每层都有南、北两个楼梯,从一楼到六楼共有( )种走法.
A.25 B.52 C.62 D.26
3.(2022江苏模拟)(1-2x)n的二项展开式中,奇数项的系数和为( )
A.2n B.2n-1
C. D.
4.(2022四川绵阳模拟)二项式x-5的展开式中,x3的系数为( )
A.-10 B.-15 C.10 D.15
5.在埃及金字塔内有一组神秘的数字142 857,因为142 857×2=285 714,142 857×3=428 571,142 857×4=571 428,…,所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下规律:142+857=999,428+571=999,285+714=999,…,若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数x,剩下的三个数字构成另一个三位数y,若x+y=999,则所有可能的有序实数组(x,y)的个数为( )
A.48 B.60 C.96 D.120
6.(2022湖南模拟)某中学派6名教师到A,B,C,D,E五个山区支教,每位教师去一个地方,每个地方至少安排一名教师前去支教.学校考虑到教师甲的家乡在山区A,决定派教师甲到山区A,同时考虑到教师乙与丙为同一学科,决定将教师乙与丙安排到不同山区,则不同安排方法共有( )
A.360种 B.336种 C.216种 D.120种
7.(3-2x)(x+1)5展开式中x3的系数为( )
A.-15 B.-10 C.10 D.15
8.(2022山东模拟)某医院抽调3名医生,5名护士支援某城市三家医院,规定每家医院医生一名,护士至少一名,则不同的安排方案有( )
A.900种 B.1 200种
C.1 460种 D.1 820种
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.(2022重庆高二期中)设(x2+x-1)5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则( )
A.a0=1
B.a0=-1
C.a0+a1+a2+…+a10=1
D.a1+a3+a5+a7+a9=1
10.3个人坐在一排5个座位上,则下列说法正确的是( )
A.共有60种不同的坐法
B.空位不相邻的坐法有72种
C.空位相邻的坐法有24种
D.两端不是空位的坐法有18种
11.(2022重庆渝中检测)122 022+a能被7整除,则整数a的值可以是( )
A.4 B.6 C.11 D.13
12.(2022江苏南通模拟)若(1-x2)2 022=a0+a1x+a2x2+…+a4 044x4 044,则( )
A.a0=1
B.a2i=0
C.(iai2i-1)=4 044×32 021
D.(-1)i()2=-
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.某校的4名体育教师对足球、篮球、羽毛球3个运动兴趣小组进行指导,要求每项运动至少有一名教师指导,每名教师指导一项运动,则分派方法共有 种.
14.(2021山东模拟)已知二项式3n的展开式中,所有项的系数之和为64,则该展开式中的常数项是 .
15.(2022浙江模拟)若(2+x)(1+x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5+a6x6,则a0+a1+…+a6= ,a5= .
16.(2022江苏苏州月考)用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数.则在组成的五位数中,恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数有 个.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)从分别印有数字0,3,5,7,9的5张卡片中,任意抽出3张组成三位数.
(1)求可以组成多少个大于500的三位数;
(2)求可以组成多少个三位数;
(3)若印有9的卡片,既可以当9用,也可以当6用,求可以组成多少个三位数.
18.(12分)在①a1=35;②+…+=32(m∈N*);③展开式中二项式系数最大值为7m这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并回答下列题目.
已知(1+mx)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,且 .
(1)求m的值;
(2)求a1+a3+a5+a7的值(结果可以保留指数形式).
19.(12分)将四个编号为1,2,3,4的相同小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中.(用数字作答)
(1)若每个盒子放一个小球,求有多少种放法;
(2)若每个盒子放一球,求恰有1个盒子的号码与小球的号码相同的放法种数;
(3)求恰有一个空盒子的放法种数.
20.(12分)已知n的展开式中,前三项的系数依次成等差数列.求:
(1)正整数n;
(2)展开式中的有理项;
(3)展开式中系数最大的项.
21.(12分)3名男生、4名女生按照不同的要求排队,求不同的排队方案的方法种数.
(1)选其中5人排成一排;
(2)全体站成一排,男、女各站在一起;
(3)全体站成一排,男生不能站在一起;
(4)全体站成一排,男不站排头也不站排尾.
22.(12分)(2022辽宁本溪期末)某医院选派医生参加援助某地区的医疗活动,该院呼吸内科有3名男医生,2名女医生,其中李亮(男)为科室主任;该院病毒感染科有2名男医生,2名女医生,其中张雅(女)为科室主任,现在院方决定从两科室中共选4名医生参加援助活动(最后结果用数字表达).
(1)若至多有1名主任参加,有多少种派法
(2)若呼吸内科至少有2名医生参加,有多少种派法
(3)若至少有1名主任参加,且有女医生参加,有多少种派法
第六章测评
1.D 故选D.
2.A 根据题意,教学楼共有6层,共5层楼梯,
每层均有两个楼梯,即每层有2种走法,
则一共有2×2×2×2×2=25种走法.
3.C ∵在(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn中,奇数项的系数和为a0+a2+a4+…,偶数项的系数和为a1+a3+a5+…,
令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+…=(-1)n, ①
令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+a4-a5+…=3n, ②
①+②除以2可得,a0+a2+a4+…=,
故选C.
4.A 展开式的通项公式为Tr+1=x5-r-r=(-2)rx5-2r,
令5-2r=3,解得r=1,
则x3的系数为(-2)=-10.
5.A 根据题意,数字142 857中,两个数字之和为9的组合有1+8=9,2+7=9,4+5=9,共3组,若x+y=999,对于x,其百位数字可以为6个数字中任意1个,假设为1,则y的百位数字必须为8,则x,y的百位数字有种选法,x的十位数字可以为剩下4个数字中任意1个,假设为2,则y的十位数字必须为7,则x,y的十位数字有种选法,x的个位数字可以为剩下2个数字中任意1个,y的个位数字为最后1个,则x,y的个位数字有种选法,则所有可能的有序实数组(x,y)的个数为=48,故选A.
6.B 根据题意,分2步:①将6名教师分为5组,要求乙与丙不在同一组,有-1=14种分组方法;②将甲所在的组分到A山区,剩下的4组安排到其他4个山区,有=24种情况,则有14×24=336种安排方法,故选B.
7.C ∵(x+1)5展开式的通项公式为Tk+1=x5-k,分别令5-k=3,5-k=2,可得k=2,3,故(3-2x)(x+1)5展开式中x3的系数为3-2=10,故选C.
8.A 根据题意,分2步进行分析:①将3名医生安排到三家医院,有=6种安排方法;②将5名护士分为3组,安排到三家医院,有=150种安排方法,则有6×150=900种不同的安排方案,故选A.
9.BCD 令x=0,解得a0=-1,故选项A错误,B正确.
令x=1,得a0+a1+a2+…+a10=1,故选项C正确.
令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a10=-1,
故2(a1+a3+a5+…+a9)=2,即a1+a3+a5+a7+a9=1,故选项D正确.
故选BCD.
10.ACD 3个人坐在一排5个座位上,则有=60种不同的坐法,故A正确;
空位不相邻的坐法有=36种,故B错误;
若空位相邻,把相邻2个空位看作一个位置,则有=24种方法,故C正确;
若两端不是空位,先从两端选2人排2人,剩余1人从中间3个位置选一个即可,有=18种,故D正确.
故选ACD.
11.BD 依题意122 022+a=(14-2)2 022+a=142 022-i×(-2)i]+22 022+a,
显然142 022-i×(-2)i]能被7整除,因此,若122 022+a能被7整除,
当且仅当22 022+a能被7整除,而22 022+a=8674+a=(7+1)674+a=7674-k)+1+a,又7674-k)能被7整除,
从而得1+a能被7整除,结合选项,则整数a的值可以是6或13.
12.ABD A选项,x=0时,1=a0,A正确;
B选项,x=1时,0=a0+a1+a2+…+a4 044,①
x=-1时,0=a0-a1+a2-a3+…+a4 044,②
①+②,得0=a0+a2+a4+…+a4 044,B正确;
C选项,(1-x2)2 022=a0+a1x+a2x2+…+a4 044x4 044,
求导得,2 022(-2x)(1-x2)2 021=a1+2a2x+3a3x2+…+4 044a4 044x4 043,
x=2时,2 022×(-4)×(-3)2 021=a1+2a2·2+3a3·22+…+4 044·a4 044·24 043,
8 088×32 021=(iai2i-1),C错误;
D选项,(1-x2)2 022=(1+x)2 022·(1-x)2 022 (a0+a1x+a2x2+…+a4 044x4 044)=(x+x2+…+x2 022)(x+x2-x3+…+x2 022),
比较两边x2 022的系数
a2 022=()2-()2+…-()2+()2
(-1)i()2=-,D正确.
13.36 先把4人分为2,1,1,再分配到3个运动兴趣小组,故分派方法共有=36种.
14.1 215 ∵二项式3n的展开式中,所有项的系数之和为64,∴令x=1,得2n=64,∴n=6.
∴它的通项公式为Tr+1=(-1)r×36-r,
令3-=0,可得r=2,
故二项式3n的展开式的常数项为34=1 215.
15.96 7 ∵(2+x)(1+x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5+a6x6,则令x=1,可得a0+a1+…+a6=96.
a5=2=7.
16.28 符合要求的五位数,分成两类:
1和3两个夹着0时,有2=12个,
1和3两个夹着2或4时,0不能放在首位,共有)=16个,
综上所述,恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数有12+16=28个.
17.解 (1)首位是5,7,9的三位数都大于500,
故大于500的三位数有3=36个.
(2)可以组成三位数的个数是4=48.
(3)分两类:第一类,没抽印有9的卡片,则有个三位数.第二类,抽取印有9的卡片,若没抽印有0的卡片,则有2×3个三位数;若抽取印有0的卡片,则有2×3个三位数,所以,共有+2×3+2×3=78(个).
18.解 (1)若选条件①,
因为ak=mk,k=0,1,2,…,7,
又a1=35,
所以m=35,解得m=5.
若选条件②,
因为+…+=32(m∈N*),
所以2m=32,解得m=5.
若选条件③,
因为展开式中二项式系数最大值为7m,
所以=7m,解得m=5.
(2)由(1)可知(1+5x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,
令x=1,可得67=a0+a1+a2+…+a7,
令x=-1,可得(-4)7=a0-a1+a2-…-a7,
两式相减可得2(a1+a3+a5+a7)=67+47,
所以a1+a3+a5+a7==148 160.
19.解 (1)若每个盒子放一个小球,把四个编号为1,2,3,4的相同小球全排列,故有=24种.
(2)假设1号小球放在1号盒子内,先放2号小球,若2号小球放在3号盒子里,则3号小球只能放在4号盒子里,4号小球只能放在2号盒子里,有1种方法;
若2号小球放在4号盒子里,则3号小球只能放在2号盒子里,4号小球只能放在3号盒子里,有1种方法;
故恰有1个盒子的号码与小球的号码相同的放法有2=8种.
(3)恰有一个空盒,则这4个盒子中只有3个盒子内有小球,且小球数只能是1,1,2.
先从4个小球中任选2个放在一起,有种方法,
然后与其余2个小球看成三组,分别放入4个盒子中的3个盒子中,有种放法.
故由分步乘法计数原理知共有=144种不同的放法.
20.解 (1)∵n的展开式中,前三项的系数依次成等差数列,
则2=,化简可得n2-9n+8=0,解得n=1(舍去),或n=8.
(2)由于展开式的通项公式为Tk+1=k
由于当k=0,4,8时,x的幂指数为整数,
故有理项为T1=x4=x4,T5=4x=x,T9=8x-2=x-2.
(3)第k+1项的系数为k,其中,k=0,1,2,…,8,
检验可得,当k=2或3时,该项的系数k最大为7.
故展开式中系数最大的项为T3=7,T4=7
21.解 (1)选其中5人排成一排,不同的排队方案的方法有=2 520种.
(2)全体站成一排,男、女各站在一起,有=288种方法.
(3)全体站成一排,男生不能站在一起,有=1 440种方法;
(4)全体站成一排,男不站排头也不站排尾,有=1 440种方法.
22.解(1)至多有1名主任参加可以分为两种情况:
①若无主任参加,有=35种选派方法;
②若只有1名主任参加,有=70种选派方法.
故共有105种派法.
(2)呼吸内科至少有2名医生参加,有=105种派法.
(3)张雅既是主任,也是女医生,属于特殊元素,故优先考虑.
①若有张雅,有=56种选派方法;
②若无张雅,则李亮必定去,有=31种选派方法.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.=( )
A. B. C. D.
2.(2022河南期中)教学楼共有6层楼,每层都有南、北两个楼梯,从一楼到六楼共有( )种走法.
A.25 B.52 C.62 D.26
3.(2022江苏模拟)(1-2x)n的二项展开式中,奇数项的系数和为( )
A.2n B.2n-1
C. D.
4.(2022四川绵阳模拟)二项式x-5的展开式中,x3的系数为( )
A.-10 B.-15 C.10 D.15
5.在埃及金字塔内有一组神秘的数字142 857,因为142 857×2=285 714,142 857×3=428 571,142 857×4=571 428,…,所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下规律:142+857=999,428+571=999,285+714=999,…,若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数x,剩下的三个数字构成另一个三位数y,若x+y=999,则所有可能的有序实数组(x,y)的个数为( )
A.48 B.60 C.96 D.120
6.(2022湖南模拟)某中学派6名教师到A,B,C,D,E五个山区支教,每位教师去一个地方,每个地方至少安排一名教师前去支教.学校考虑到教师甲的家乡在山区A,决定派教师甲到山区A,同时考虑到教师乙与丙为同一学科,决定将教师乙与丙安排到不同山区,则不同安排方法共有( )
A.360种 B.336种 C.216种 D.120种
7.(3-2x)(x+1)5展开式中x3的系数为( )
A.-15 B.-10 C.10 D.15
8.(2022山东模拟)某医院抽调3名医生,5名护士支援某城市三家医院,规定每家医院医生一名,护士至少一名,则不同的安排方案有( )
A.900种 B.1 200种
C.1 460种 D.1 820种
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.(2022重庆高二期中)设(x2+x-1)5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则( )
A.a0=1
B.a0=-1
C.a0+a1+a2+…+a10=1
D.a1+a3+a5+a7+a9=1
10.3个人坐在一排5个座位上,则下列说法正确的是( )
A.共有60种不同的坐法
B.空位不相邻的坐法有72种
C.空位相邻的坐法有24种
D.两端不是空位的坐法有18种
11.(2022重庆渝中检测)122 022+a能被7整除,则整数a的值可以是( )
A.4 B.6 C.11 D.13
12.(2022江苏南通模拟)若(1-x2)2 022=a0+a1x+a2x2+…+a4 044x4 044,则( )
A.a0=1
B.a2i=0
C.(iai2i-1)=4 044×32 021
D.(-1)i()2=-
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.某校的4名体育教师对足球、篮球、羽毛球3个运动兴趣小组进行指导,要求每项运动至少有一名教师指导,每名教师指导一项运动,则分派方法共有 种.
14.(2021山东模拟)已知二项式3n的展开式中,所有项的系数之和为64,则该展开式中的常数项是 .
15.(2022浙江模拟)若(2+x)(1+x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5+a6x6,则a0+a1+…+a6= ,a5= .
16.(2022江苏苏州月考)用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数.则在组成的五位数中,恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数有 个.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)从分别印有数字0,3,5,7,9的5张卡片中,任意抽出3张组成三位数.
(1)求可以组成多少个大于500的三位数;
(2)求可以组成多少个三位数;
(3)若印有9的卡片,既可以当9用,也可以当6用,求可以组成多少个三位数.
18.(12分)在①a1=35;②+…+=32(m∈N*);③展开式中二项式系数最大值为7m这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并回答下列题目.
已知(1+mx)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,且 .
(1)求m的值;
(2)求a1+a3+a5+a7的值(结果可以保留指数形式).
19.(12分)将四个编号为1,2,3,4的相同小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中.(用数字作答)
(1)若每个盒子放一个小球,求有多少种放法;
(2)若每个盒子放一球,求恰有1个盒子的号码与小球的号码相同的放法种数;
(3)求恰有一个空盒子的放法种数.
20.(12分)已知n的展开式中,前三项的系数依次成等差数列.求:
(1)正整数n;
(2)展开式中的有理项;
(3)展开式中系数最大的项.
21.(12分)3名男生、4名女生按照不同的要求排队,求不同的排队方案的方法种数.
(1)选其中5人排成一排;
(2)全体站成一排,男、女各站在一起;
(3)全体站成一排,男生不能站在一起;
(4)全体站成一排,男不站排头也不站排尾.
22.(12分)(2022辽宁本溪期末)某医院选派医生参加援助某地区的医疗活动,该院呼吸内科有3名男医生,2名女医生,其中李亮(男)为科室主任;该院病毒感染科有2名男医生,2名女医生,其中张雅(女)为科室主任,现在院方决定从两科室中共选4名医生参加援助活动(最后结果用数字表达).
(1)若至多有1名主任参加,有多少种派法
(2)若呼吸内科至少有2名医生参加,有多少种派法
(3)若至少有1名主任参加,且有女医生参加,有多少种派法
第六章测评
1.D 故选D.
2.A 根据题意,教学楼共有6层,共5层楼梯,
每层均有两个楼梯,即每层有2种走法,
则一共有2×2×2×2×2=25种走法.
3.C ∵在(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn中,奇数项的系数和为a0+a2+a4+…,偶数项的系数和为a1+a3+a5+…,
令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+…=(-1)n, ①
令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+a4-a5+…=3n, ②
①+②除以2可得,a0+a2+a4+…=,
故选C.
4.A 展开式的通项公式为Tr+1=x5-r-r=(-2)rx5-2r,
令5-2r=3,解得r=1,
则x3的系数为(-2)=-10.
5.A 根据题意,数字142 857中,两个数字之和为9的组合有1+8=9,2+7=9,4+5=9,共3组,若x+y=999,对于x,其百位数字可以为6个数字中任意1个,假设为1,则y的百位数字必须为8,则x,y的百位数字有种选法,x的十位数字可以为剩下4个数字中任意1个,假设为2,则y的十位数字必须为7,则x,y的十位数字有种选法,x的个位数字可以为剩下2个数字中任意1个,y的个位数字为最后1个,则x,y的个位数字有种选法,则所有可能的有序实数组(x,y)的个数为=48,故选A.
6.B 根据题意,分2步:①将6名教师分为5组,要求乙与丙不在同一组,有-1=14种分组方法;②将甲所在的组分到A山区,剩下的4组安排到其他4个山区,有=24种情况,则有14×24=336种安排方法,故选B.
7.C ∵(x+1)5展开式的通项公式为Tk+1=x5-k,分别令5-k=3,5-k=2,可得k=2,3,故(3-2x)(x+1)5展开式中x3的系数为3-2=10,故选C.
8.A 根据题意,分2步进行分析:①将3名医生安排到三家医院,有=6种安排方法;②将5名护士分为3组,安排到三家医院,有=150种安排方法,则有6×150=900种不同的安排方案,故选A.
9.BCD 令x=0,解得a0=-1,故选项A错误,B正确.
令x=1,得a0+a1+a2+…+a10=1,故选项C正确.
令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a10=-1,
故2(a1+a3+a5+…+a9)=2,即a1+a3+a5+a7+a9=1,故选项D正确.
故选BCD.
10.ACD 3个人坐在一排5个座位上,则有=60种不同的坐法,故A正确;
空位不相邻的坐法有=36种,故B错误;
若空位相邻,把相邻2个空位看作一个位置,则有=24种方法,故C正确;
若两端不是空位,先从两端选2人排2人,剩余1人从中间3个位置选一个即可,有=18种,故D正确.
故选ACD.
11.BD 依题意122 022+a=(14-2)2 022+a=142 022-i×(-2)i]+22 022+a,
显然142 022-i×(-2)i]能被7整除,因此,若122 022+a能被7整除,
当且仅当22 022+a能被7整除,而22 022+a=8674+a=(7+1)674+a=7674-k)+1+a,又7674-k)能被7整除,
从而得1+a能被7整除,结合选项,则整数a的值可以是6或13.
12.ABD A选项,x=0时,1=a0,A正确;
B选项,x=1时,0=a0+a1+a2+…+a4 044,①
x=-1时,0=a0-a1+a2-a3+…+a4 044,②
①+②,得0=a0+a2+a4+…+a4 044,B正确;
C选项,(1-x2)2 022=a0+a1x+a2x2+…+a4 044x4 044,
求导得,2 022(-2x)(1-x2)2 021=a1+2a2x+3a3x2+…+4 044a4 044x4 043,
x=2时,2 022×(-4)×(-3)2 021=a1+2a2·2+3a3·22+…+4 044·a4 044·24 043,
8 088×32 021=(iai2i-1),C错误;
D选项,(1-x2)2 022=(1+x)2 022·(1-x)2 022 (a0+a1x+a2x2+…+a4 044x4 044)=(x+x2+…+x2 022)(x+x2-x3+…+x2 022),
比较两边x2 022的系数
a2 022=()2-()2+…-()2+()2
(-1)i()2=-,D正确.
13.36 先把4人分为2,1,1,再分配到3个运动兴趣小组,故分派方法共有=36种.
14.1 215 ∵二项式3n的展开式中,所有项的系数之和为64,∴令x=1,得2n=64,∴n=6.
∴它的通项公式为Tr+1=(-1)r×36-r,
令3-=0,可得r=2,
故二项式3n的展开式的常数项为34=1 215.
15.96 7 ∵(2+x)(1+x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5+a6x6,则令x=1,可得a0+a1+…+a6=96.
a5=2=7.
16.28 符合要求的五位数,分成两类:
1和3两个夹着0时,有2=12个,
1和3两个夹着2或4时,0不能放在首位,共有)=16个,
综上所述,恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数有12+16=28个.
17.解 (1)首位是5,7,9的三位数都大于500,
故大于500的三位数有3=36个.
(2)可以组成三位数的个数是4=48.
(3)分两类:第一类,没抽印有9的卡片,则有个三位数.第二类,抽取印有9的卡片,若没抽印有0的卡片,则有2×3个三位数;若抽取印有0的卡片,则有2×3个三位数,所以,共有+2×3+2×3=78(个).
18.解 (1)若选条件①,
因为ak=mk,k=0,1,2,…,7,
又a1=35,
所以m=35,解得m=5.
若选条件②,
因为+…+=32(m∈N*),
所以2m=32,解得m=5.
若选条件③,
因为展开式中二项式系数最大值为7m,
所以=7m,解得m=5.
(2)由(1)可知(1+5x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,
令x=1,可得67=a0+a1+a2+…+a7,
令x=-1,可得(-4)7=a0-a1+a2-…-a7,
两式相减可得2(a1+a3+a5+a7)=67+47,
所以a1+a3+a5+a7==148 160.
19.解 (1)若每个盒子放一个小球,把四个编号为1,2,3,4的相同小球全排列,故有=24种.
(2)假设1号小球放在1号盒子内,先放2号小球,若2号小球放在3号盒子里,则3号小球只能放在4号盒子里,4号小球只能放在2号盒子里,有1种方法;
若2号小球放在4号盒子里,则3号小球只能放在2号盒子里,4号小球只能放在3号盒子里,有1种方法;
故恰有1个盒子的号码与小球的号码相同的放法有2=8种.
(3)恰有一个空盒,则这4个盒子中只有3个盒子内有小球,且小球数只能是1,1,2.
先从4个小球中任选2个放在一起,有种方法,
然后与其余2个小球看成三组,分别放入4个盒子中的3个盒子中,有种放法.
故由分步乘法计数原理知共有=144种不同的放法.
20.解 (1)∵n的展开式中,前三项的系数依次成等差数列,
则2=,化简可得n2-9n+8=0,解得n=1(舍去),或n=8.
(2)由于展开式的通项公式为Tk+1=k
由于当k=0,4,8时,x的幂指数为整数,
故有理项为T1=x4=x4,T5=4x=x,T9=8x-2=x-2.
(3)第k+1项的系数为k,其中,k=0,1,2,…,8,
检验可得,当k=2或3时,该项的系数k最大为7.
故展开式中系数最大的项为T3=7,T4=7
21.解 (1)选其中5人排成一排,不同的排队方案的方法有=2 520种.
(2)全体站成一排,男、女各站在一起,有=288种方法.
(3)全体站成一排,男生不能站在一起,有=1 440种方法;
(4)全体站成一排,男不站排头也不站排尾,有=1 440种方法.
22.解(1)至多有1名主任参加可以分为两种情况:
①若无主任参加,有=35种选派方法;
②若只有1名主任参加,有=70种选派方法.
故共有105种派法.
(2)呼吸内科至少有2名医生参加,有=105种派法.
(3)张雅既是主任,也是女医生,属于特殊元素,故优先考虑.
①若有张雅,有=56种选派方法;
②若无张雅,则李亮必定去,有=31种选派方法.