2023-2024学年高中数学人教A版2019 选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 章末测评（含解析）

第七章测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列说法不正确的是(　　)
A.某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量
B.正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0
C.公式E(X)=np可以用来计算所有离散型随机变量的均值
D.从一副扑克牌中随机抽取5张,其中梅花的张数服从超几何分布
2.若X的分布列为
X 0 1
P a
则E(X)=(　　)
A. B.
C. D.
3.如果随机变量X~N(4,1),则P(X≤2)=(　　)
(注:P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5)
A.0.210 B.0.022 75
C.0.045 6 D.0.021 5
4.下列随机变量X中,不服从超几何分布的是(　　)
A.在含有4件次品的15件产品中,任取3件,其中正品数和次品数的差为X
B.在6个黑球和3个白球中,任取4个球,其中黑球的个数为X
C.在20个乒乓球中,有12个正品和8个次品,从中任取4个,其中次品的个数为X
D.从24名男生和16名女生中,任选10名学生,其中女生的人数为X
5.对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测,不放回地依次摸出2件.在第一次摸到正品的条件下,第二次也摸到正品的概率是(　　)
A. B. C. D.
6.设随机变量X~B(2,p),随机变量Y~B(3,p),若P(X≥1)=,则D(3Y+1)=(　　)
A.2 B.3 C.6 D.7
7.投篮测试中,每人投5次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.8,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学未通过测试的概率为(　　)
A.0.006 72 B.0.000 96
C.0.000 64 D.0.000 32
8.9粒种子分种在3个坑内,每个坑3粒,每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒种子发芽,则这个坑不需要补种;若一个坑内的种子都没发芽,则这个坑需要补种.假定每个坑至多补种一次,每补种1个坑需10元,用随机变量X表示补种费用,则X的均值等于(　　)
A. B. C. D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.(2022辽宁沈阳一模)某市教育局为了解双减政策的落实情况,随机在本市内抽取了A,B两所初级中学,在每一所学校中各随机抽取了200名学生,调查了他们课下做作业的时间,并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图:
由直方图判断,以下说法正确的是(　　)
A.总体看,A校学生做作业平均时长小于B校学生做作业平均时长
B.B校所有学生做作业时长都要大于A校学生做作业时长
C.A校学生做作业时长的中位数大于B校学生做作业的中位数
D.B校学生做作业时长分布更接近正态分布
10.甲罐中有3个红球、2个黑球,乙罐中有2个红球、2个黑球,先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,以A表示事件“由甲罐取出的球是红球”,再从乙罐中随机取出一球,以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”,则(　　)
A.P(A)= B.P(B|A)=
C.P(B)= D.P(A|B)=
11.(2022江苏南京鼓楼校级月考)从装有大小相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一个球,有放回地摸取5次,设摸到白球个数为X,已知E(X)=3,则下列说法正确的是(　　)
A.D(X)= B.D(X)=
C.m=2 D.m=4
12.掷一个不均匀的硬币6次,每次掷出正面的概率均为,恰好出现k次正面的概率记为Pk,则下列说法正确的是(　　)
A.P1=P5
B.P1C.Pk=1
D.P0,P1,P2,…,P6中最大值为P4
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.某市有m名男教师和n名女教师(m>n),从中任取两名教师去西部支教,甲被抽中的概率为,一名男教师和一名女教师被抽中的概率为,则=　　　　　,记去支教的教师中男教师的人数是ξ,则E(ξ)=　　　　　.
14.(2022黑龙江齐齐哈尔一模)橘生淮南则为橘,生于淮北则为枳,出自《屡子使楚》.意思是说,橘树生长在淮河以南的地方就是橘树,生长在淮河以北的地方就是枳树,现在常用来比喻一旦环境改变,事物的性质也可能随之改变.某科研院校培育橘树新品种,使得橘树在淮北种植成功,经过科学统计,单个果品的质量ξ(单位:g)近似服从正态分布N(90,σ2),且P(86<ξ≤90)=0.2,在有1 000个的一批橘果中,估计单个果品质量不低于94 g的橘果个数为　　　　　.
15.甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球,先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐中取出的球是红球、白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件.则P(B)=　　　　　.
16.(2022浙江模拟)某学校组织教师进行“学习强国”知识竞赛,规则为:每位参赛教师都要回答3个问题,且这三个问题回答正确与否相互之间不影响,已知对给出的3个问题,教师甲答对的概率分别为,p.若教师甲恰好答对3个问题的概率是,则p=　　　　,在前述条件下,设随机变量X表示教师甲答对题目的个数,则X的数学期望为　　　　.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.
将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.
(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,均值及方差.
18.(12分)在某次数学考试中,考生的成绩ξ服从一个正态分布,即ξ~N(90,100).
(1)试求考试成绩ξ位于区间[70,110]上的概率;
(2)若这次考试共有2 000名考生,试估计考试成绩在[80,100]的考生大约有多少人
19.(12分)某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人,女生2人)中,任选3人参加某省举办的演讲比赛活动.
(1)设所选3人中女生人数为X,求X的分布列;
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率;
(3)设“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B,求P(B)和P(B|A).
20.(12分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.
(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;
(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与数学期望.
(注:若三个数a,b,c满足a≤b≤c,则称b为这三个数的中位数)
21.(12分)“十一黄金周”期间三亚景区迎来了游客高峰期.游客小李从“大小洞天”景区到“天涯海角”景区有L1,L2两条路线(如图),路线L1上有A1,A2,A3三个风景点,各风景点遇到堵塞的概率均为;L2路线上有B1,B2两个风景点,各风景点遇到堵塞的概率依次为.
(1)若走L1路线,求最多遇到1次堵塞的概率;
(2)按照“平均遇到堵塞次数最少”的要求,请你帮助小李从上述两条路线中选择一条最好的旅游路线,并说明理由.
22.(12分)某车间在两天内,每天生产10件产品,其中第一天、第二天分别生产了1件、2件次品.质检部每天要在生产的10件产品中随意抽取4件进行检查,若发现有次品,则当天的产品不能通过.
(1)求两天全部通过检查的概率;
(2)若厂内对该车间生产的产品质量采用奖惩制度,两天全不通过检查罚300元,通过1天、2天分别奖300元、900元.那么该车间在这两天内得到奖金的均值是多少元
第七章测评
1.C　公式E(X)=np并不适用于所有的离散型随机变量的均值的计算,只适用于某些离散型随机变量,故选C.
2.A　由+a=1,得a=,所以E(X)=0+1
3.B　P(X≤2)=[1-P(2≤X≤6)]=[1-P(4-2≤X≤4+2)]=(1-0.954 5)=0.022 75.
4.A　对于A,总体分为明确的两类,但A中的随机变量X不是抽取样本中一类元素的个数,∴A不服从超几何分布,其余各项服从超几何分布.故选A.
5.D　记“第一次摸到正品”为事件A,“第二次摸到正品”为事件B,则P(A)=,P(AB)=
故P(B|A)=
6.C　由题意得P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=p(1-p)+p2=,所以p=p=舍去,则Y~B3,,
故D(Y)=31-=,
所以D(3Y+1)=9D(Y)=9=6.
7.A　根据题意,记该同学未通过测试为事件A,该同学每次投篮投中的概率为0.8,则投不中的概率为1-0.8=0.2,事件A包含2种情况,该同学5次都没有投中和只投中1次,
则P(A)=(0.2)4×0.8+(0.2)5=0.006 72,故选A.
8.A　根据题意,每个坑需要补种的概率是相等的,都是3=,所以此问题相当于独立重复试验,做了三次,每次发生的概率都是,所以需要补种的坑的均值为3,所以补种费用X的均值为10
9.AD　由直方图可知,A校学生做作业时长大部分在1~2小时,而B校学生做作业时长大部分在2.5~3.5小时,故A正确,C错误;B校有学生做作业时长小于1小时的,而A校有学生做作业时长超过5小时的,故B错误;B校学生做作业时长分布相对A校更对称,所以更接近正态分布,故D正确.
故选AD.
10.ACD　甲罐中有3个红球、2个黑球,乙罐中有2个红球、2个黑球,先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,
以A表示事件“由甲罐取出的球是红球”,再从乙罐中随机取出一球,以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”,
对于A,易知P(A)=,故A正确;
对于B,P(AB)=,
∴P(B|A)=,故B错误;
对于C,P()=,P(B|)=,
∴由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=,故C正确;
对于D,由贝叶斯公式得P(A|B)=,故D正确.
故选ACD.
11.BC　从装有大小相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一个球,有放回地摸取5次,每次取到白球的概率为,∵有放回地摸取5次,摸得白球个数为X,
∴X~B5,,
∵E(X)=3,∴E(X)=5=3,解得m=2,
∴D(X)=5
12.BD　由n次独立重复试验的概率计算公式可知,Pk=k×1-6-k,
∴P1=1×5=,P5=5×1=,显然P1由必然事件的概率可知,Pk=1,而P0=0×6≠0,故选项C错误;
根据二项分布概率公式,可得P0=,P1=,P2=,P3=,P4=,P5=,P6=,∴P0,P1,P2,…,P6中最大的为P4,故选项D正确.
13　由题意可得,,即m+n=9,
,即mn=20,且m>n,故m=5,n=4,
故,由题意可知,ξ服从超几何分布,
所以E(ξ)=2
14.300　∵单个果品的质量ξ(单位:g)近似服从正态分布N(90,σ2),且P(86<ξ≤90)=0.2,
∴P(90≤ξ<94)=0.2,
∴P(ξ≥94)==0.3,
故估计单个果品质量不低于94 g的橘果个数为0.3×1 000=300.
15　由题意A1,A2,A3是两两互斥的事件,且A1∪A2∪A3=Ω,
所以P(B)=P[B∩(A1∪A2∪A3)]=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=
16　对给出的3个问题,教师甲答对的概率分别为,p.
∵教师甲恰好答对3个问题的概率是,
p=,解得p=
设随机变量X表示教师甲答对题目的个数,则X的可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=1-×1-×1-=,
P(X=1)=1-×1-+1-1-+1-×1-,
P(X=2)=1-+1-+1-,
P(X=3)=,
∴E(X)=0+1+2+3
17.解 (1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”,
A2表示事件“日销售量低于50个”,
B表示事件“在未来连续3天里,有连续2天的日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”.因此
P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,
P(A2)=0.003×50=0.15,
P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.
(2)X可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为
P(X=0)=(1-0.6)3=0.064,
P(X=1)=0.6×(1-0.6)2=0.288,
P(X=2)=0.62×(1-0.6)=0.432,
P(X=3)=0.63=0.216.
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
因为X~B(3,0.6),所以E(X)=3×0.6=1.8,D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72.
18.解 因为ξ~N(90,100),所以μ=90,σ==10.
(1)由于正态变量在区间[μ-2σ,μ+2σ]内取值的概率是0.954 5,而该正态分布中,μ-2σ=90-2×10=70,μ+2σ=90+2×10=110,于是考试成绩ξ位于区间[70,110]内的概率为0.954 5.
(2)由μ=90,σ=10,得μ-σ=80,μ+σ=100.
由于正态变量在区间[μ-σ,μ+σ]内取值的概率是0.682 7,所以考试成绩ξ位于区间[80,100]内的概率是0.682 7.一共有2 000名学生,所以考试成绩在[80,100]的考生大约有2 000×0.682 7≈1 365(人).
19.解 (1)X的所有可能取值为0,1,2,
依题意得P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C,
则P(C)=
∴所求概率为P()=1-P(C)=1-
(3)P(B)=;P(B|A)=
20.解 (1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为
P=
(2)X的所有可能值为1,2,3,且
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=
故X的分布列为
X 1 2 3
P
从而E(X)=1+2+3
21.解 (1)设走L1路线最多遇到1次堵塞为A事件,则P(A)=3+2=,
所以走L1路线最多遇到1次堵塞的概率为
(2)根据题意,比较选择L1,L2的期望,设选择L2路线遇到堵塞次数为X,
则X的可能取值为0,1,2,则
P(X=0)=1-×1-=,
P(X=1)=1-+1-,
P(X=2)=
故随机变量X的期望为E(X)=0+1+2=
设选择L1路线遇到堵塞次数为Y,随机变量Y服从二项分布,Y~B3,,
所以E(Y)=3=2,
因为E(X)22.解 (1)随机抽取4件产品进行检查是随机事件.记“第一天通过检查”为事件A,则P(A)=
记“第二天通过检查”为事件B,则P(B)=
因第一天、第二天检查是否通过是相互独立的,所以两天全部通过检查的概率为P(AB)=P(A)P(B)=
(2)记所得奖金为ξ元,则ξ的取值为-300,300,900.
P(ξ=-300)=P()=P()P()=
P(ξ=300)=P(AB)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=
P(ξ=900)=P(AB)=
所以,ξ的分布列为
ξ -300 300 900
P