2023-2024学年高中数学人教A版2019 选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 综合训练（含解析）

第七章综合训练
一、选择题(本题共8小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知随机变量X~B8,,则E(3X-1)=(　　)
A.11 B.12 C.18 D.36
2.已知离散型随机变量ξ的概率分布如下表,则其均值E(ξ)等于(　　)
ξ 1 3 5
P 0.5 m 0.2
A.1 B.0.6 C.2+3m D.2.4
3.现在分别有A,B两个容器,在容器A里有7个红球和3个白球,在容器B里有1个红球和9个白球.现从这两个容器里任意抽出一个球,则在抽到的是红球的情况下,是来自容器A里面的球的概率是(　　)
A.0.5 B.0.7 C.0.875 D.0.35
4.若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形,任何事件都对应样本空间的一个子集,且事件发生的概率对应子集的面积.则如图所示的涂色部分的面积表示(　　)
A.事件A发生的概率
B.事件B发生的概率
C.事件B不发生的条件下事件A发生的概率
D.事件A,B同时发生的概率
5.甲、乙两人进行羽毛球比赛,假设每局比赛甲胜的概率是,各局比赛是相互独立的,采用5局3胜制,则乙以3∶1战胜甲的概率为(　　)
A. B. C. D.
6.某地7个村中有3个村是旅游村,现从中任意选3个村,下列事件中概率等于的是(　　)
A.至少有1个旅游村
B.有1个或2个旅游村
C.有2个或3个旅游村
D.恰有2个旅游村
7.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动5次后位于点(2,3)的概率为(　　)
A. B.
C. D.
8.小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏,规则是:3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势,规定相同手势人数多者每人得1分,其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏,每次游戏互不影响,记小明4次游戏得分之和为X,则X的均值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
二、选择题(本题共4小题,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求)
9.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X≤4)=0.8,则(　　)
A.P(X>4)=0.2 B.P(X≥0)=0.6
C.P(0≤X≤2)=0.3 D.P(0≤X≤4)=0.4
10.某市有A,B,C,D四个景点,一名游客来该市游览,已知该游客游览A的概率为,游览B,C和D的概率都是,且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X表示该游客游览的景点的个数,下列结论正确的是(　　)
A.该游客至多游览一个景点的概率为
B.P(X=2)=
C.P(X=4)=
D.E(X)=
11.下列说法中,正确的是(　　)
A.已知随机变量X~B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则p=
B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差恒不变
C.设随机变量ξ~N(0,1),若P(ξ>1)=p,则P(-1≤ξ≤0)=-p
D.某人在10次射击中,击中目标的次数为X,X~B(10,0.8),则当X=8时概率最大
12.(2022吉林长春期末)某工厂加工一种零件,有两种不同的工艺选择,用这两种工艺加工一个零件所需时间t(单位:h)均近似服从正态分布,用工艺1加工一个零件所用时间X~N(μ1,);用工艺2加工一个零件所用时间Y~N(μ2,),X,Y的分布密度曲线如图,则(　　)
A.μ1<μ2,
B.若加工时间只有a小时,应选择工艺2
C.若加工时间只有c小时,应选择工艺2
D. x0∈(b,c),P(XP(Y三、填空题(本题共4小题)
13.按照国家标准规定,500 g袋装奶粉每袋质量必须服从正态分布X~N(500,σ2),经检测某种品牌的奶粉P(490≤X≤510)=0.95,一超市一个月内共卖出这种品牌的奶粉400袋,则卖出的奶粉质量在510 g以上的袋数大约为　　　　　.
14.若随机变量X~B(4,p),且E(X)=2,则D(2X-3)=　　　　　.
15.(2022辽宁沈阳期末)投壶是我国古代传统游戏.假设甲、乙是两位投壶游戏参与者,且甲、乙每次投壶投中的概率分别为,每人每次投壶相互独立.若约定甲投壶2次,乙投壶3次,投中次数多者胜,则甲最后获胜的概率为　　　　　.
16.一个盒子里有1个红色、1个绿色、2个黄色,共四个球,每次拿一个,不放回,拿出红球即停,设拿出黄球的个数为ξ,则P(ξ=0)=　　　　　;E(ξ)=　　　　　.
四、解答题(本题共6小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.有三个同样的箱子,甲箱中有2个红球、6个白球,乙箱中有6个红球、4个白球,丙箱中有3个红球、5个白球.
(1)随机从甲、乙、丙三个箱子中各取一球,求三球都为红球的概率;
(2)从甲、乙、丙中随机取一箱,再从该箱中任取一球,求该球为红球的概率.
18.一个袋中有10个大小相同的球,其中标号为1的球有3个,标号为2的球有5个,标号为3的球有2个.第一次从袋中任取一个球,放回后第二次再任取一个球(假设取到每个球的可能性都相等).记两次取到球的标号之和为X.
(1)求随机变量X的分布列;
(2)求随机变量X的均值.
19.某学习小组有6名同学,其中4名同学从来没有参加过数学研究性学习活动,2名同学曾经参加过数学研究性学习活动.
(1)现从该小组中任选2名同学参加数学研究性学习活动,求恰好选到1名曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率;
(2)若从该小组中任选2名同学参加数学研究性学习活动,活动结束后,该小组没有参加过数学研究性学习活动的同学人数ξ是一个随机变量,求随机变量ξ的分布列及均值.
20.甲、乙二人进行一次象棋比赛,每局胜者得1分,负者得0分(无平局),约定一方得4分时就获得本次比赛的胜利并且比赛结束.设在每局比赛中,甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立,已知前3局中,甲得1分,乙得2分.
(1)求甲获得这次比赛胜利的概率;
(2)设从第4局开始到比赛结束所进行的局数为X,求X的分布列及均值.
21.(2022广东揭阳模拟)2021年5月12日,2022北京冬奥会和冬残奥会吉祥物冰墩墩、雪容融亮相上海展览中心.为了庆祝吉祥物在上海的亮相,某商场举办了一场赢取吉祥物挂件的“双人对战”游戏,游戏规则如下:参与对战的双方每次从装有3个白球和2个黑球(这5个球的大小、质量均相同,仅颜色不同)的盒子中轮流不放回地摸出1球,摸到最后1个黑球或能判断出哪一方获得最后1个黑球时游戏结束,得到最后1个黑球的一方获胜.设游戏结束时对战双方摸球的总次数为X.
(1)求随机变量X的概率分布;
(2)求先摸球的一方获胜的概率,并判断这场游戏是否公平.
22.一次大型考试后,某年级对某学科进行质量分析,随机抽取了40名学生的成绩,分组为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.
(1)从抽取的成绩在[50,60),[90,100]之间的学生中,随机选择三名学生进行进一步调查分析,记X为这三名学生中成绩在[50,60)之间的人数,求X的分布列及均值E(X).
(2)①求该年级全体学生的平均成绩与标准差s的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(精确到1)
②如果该年级学生该学科的成绩服从正态分布N(μ,σ2),其中μ,σ分别近似为①中的,s,那么从该年级所有学生中随机选三名学生做分析,求这三名学生中恰有两名学生的成绩在区间[62,95]内的概率.(精确到0.01)
附:≈5.385,P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954 5.
第七章综合训练
1.A　∵随机变量X~B,∴E(X)=8=4,
∴E(3X-1)=3E(X)-1=3×4-1=11.
故选A.
2.D　依题意,0.5+m+0.2=1,解得m=0.3,
故E(ξ)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4.
故选D.
3.C　设A=“抽到的是红球”,B=“抽到的是来自容器A里面的球”,则AB=“抽到的是来自容器A里面的红球”.由题意可知,P(AB)=,P(A)=,故P(B|A)==0.875,故选C.
4.A　由图可知,如图所示的涂色部分的面积表示“事件B不发生条件下事件A发生的概率”与“事件B发生条件下事件A发生的概率”的和事件,
即如图所示的涂色部分的面积表示事件A发生的概率.
5.B　由题意知,前3局乙胜2局,第4局乙胜,故所求概率P=
故选B.
6.B　用X表示这3个村庄中旅游村数,则X服从超几何分布,
所以P(X=k)=,
则P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
所以P(X=1)+P(X=2)=,即有1个或2个旅游村的概率为
7.B　依题意,质点在移动过程中向右移动2次,向上移动3次,因此质点P移动5次后位于点(2,3)的概率P=
8.C　进行“手心手背”游戏,小明与另外2名同学选择手势的所有可能情况为
(心,心,心),(心,心,背),(心,背,心),(心,背,背),(背,心,心),(背,心,背),(背,背,心),(背,背,背),
则小明得1分的概率为,得0分的概率为
进行4次游戏,小明得分之和X的可能结果为0,1,2,3,4,
则P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
P(X=4)=,
故E(X)=0+1+2+3+4=3.
故选C.
9.AC　∵P(X≤4)=0.8,
∴P(X>4)=0.2.
∵X~N(2,σ2),∴P(X<0)=P(X>4)=0.2.
∴P(0≤X≤4)=P(X≤4)-P(X<0)=0.6,
P(X≥0)=1-P(X<0)=0.8,
∴P(0≤X≤2)=P(0≤X≤4)=0.3.
10.ABD　随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,
则P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=+1-1-=,
P(X=3)=1-+1-,
P(X=4)=,
故E(X)=0+1+2+3+4
设A=“该游客至多游览一个景点”,则P(A)=P(X=0)+P(X=1)=
故选ABD.
11.BCD　对于选项A,因为X~B(n,p),E(X)=30,D(X)=20,所以np=30,np(1-p)=20,所以p=,故选项A错误;
易知选项B正确;
对于选项C,因为ξ~N(0,1),P(ξ>1)=p,所以P(0≤ξ≤1)=-p,所以P(-1≤ξ≤0)=-p,故选项C正确;
对于选项D,击中目标的次数为X,X~B(10,0.8),
令0.8k·0.210-k0.8k+1·0.29-k,
且0.8k·0.210-k0.8k-1·0.211-k,
解得k,又k∈Z,故k=8,故当X=8时概率最大,故D正确.
12.AC　对于A,根据正态曲线的性质且结合两曲线,则μ1<μ2,,故A正确;
对于B,加工时间为a小时,P(X≤a)=,而P(Y≤a)<,即P(X≤a)>P(Y≤a),故选工艺1,故B错误;
对于C,加工时间为c小时,P(X≤c)=1-P(X>c),而P(Y≤c)=1-P(Y>c),∵P(X>c)>P(Y>c),故P(X≤c)对于D,结合C选项及密度曲线综合分析,易知D错误.
13.10　因为X~N(500,σ2),且P(490≤X≤510)=0.95,所以P(X>510)==0.025,所以卖出的奶粉质量在510 g以上袋数大约为400×0.025=10(袋).
14.4　由随机变量X~B(4,p),且E(X)=2,可得4p=2,解得p=,则D(X)=4=1,
故D(2X-3)=4D(X)=4.
15　甲、乙是两位投壶游戏参与者,且甲、乙每次投壶投中的概率分别为,
每人每次投壶相互独立.约定甲投壶2次,乙投壶3次,投中次数多者胜,
甲最后获胜的情况有3种:
①甲投中1次,乙投中0次,概率为P1=3=,
②甲投中2次,乙投中1次,概率为P2=22=,
③甲投中2次,乙投中0次,概率为P3=23=,
∴甲最后获胜的概率为P=P1+P2+P3=
16　1　依题意,ξ的取值可能为0,1,2,
则P(ξ=0)=,
P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=1-,
故E(ξ)=0+1+2=1.
17.解 (1)根据题意,记事件A1:从甲箱中取一球为红球,事件A2:从乙箱中取一球为红球,事件A3:从丙箱中取一球为红球,
记事件B:取得的三球都为红球,且事件A1,A2,A3相互独立,
所以P(B)=P(A1)·P(A2)·P(A3)=,
所以三球都为红球的概率为
(2)记事件C:该球为红球,事件D1:取甲箱,事件D2:取乙箱,事件D3:取丙箱.
因为P(C|D1)=,P(C|D2)=,P(C|D3)=,
所以P(C)=P(D1)·P(C|D1)+P(D2)·P(C|D2)+P(D3)·P(C|D3)=,
所以该球为红球的概率为
18.解(1)依题意,随机变量X的可能取值为2,3,4,5,6,
则P(X=2)=,
P(X=3)=2=,
P(X=4)=2+,
P(X=5)=2=,
P(X=6)=
故随机变量X的分布列为
X 2 3 4 5 6
P
(2)由(1)可知,
E(X)=2+3+4+5+6
19.解(1)记“恰好选到1名曾经参加过数学研究性学习活动的同学”为事件A,则P(A)=
故恰好选到1名曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率为
(2)依题意,随机变量ξ的取值可能为2,3,4,则P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,P(ξ=4)=
故随机变量ξ的分布列为
ξ 2 3 4
P
E(ξ)=2+3+4
20.解(1)设“甲获得这次比赛胜利”为事件A,
则P(A)=,
故甲获得这次比赛胜利的概率为
(2)依题意,X的取值可能为2,3,4,
则P(X=2)=,
P(X=3)=,
P(X=4)=1=
故X的分布列为
X 2 3 4
P
E(X)=2+3+4
21.解 (1)由题可得X的所有可能取值为2,3,4,
P(X=2)=,P(X=3)=,
P(X=4)=1-P(X=2)-P(X=3)=,
∴X的分布列为
X 2 3 4
P
(2)先摸球的一方获胜,包含以下几种情况:
双方共摸3次球,出现白黑黑,黑白黑,白白白这三种情况,即P(X=3)=,双方共摸4次球,出现的恰好是三白一黑且前三次必定出现一次黑球的情形,概率为P=,
∴先摸球一方获胜的概率为,
,
∴这场游戏不公平.
22.解(1)由频率分布直方图,可知40名学生中成绩在[50,60),[90,100]之间的人数均为4.
X的所有可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=,P(X=1)=,
P(X=2)=,P(X=3)=
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)=0+1+2+3=1.5.
(2)=55×0.1+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.1=73,s=
=211.
②由①,可知成绩在区间[62,95]的概率为0.954 5+0.682 7=0.818 6,
记“三名学生中恰有两名学生的成绩在区间[62,95]内”为事件A,