2023-2024学年高中数学人教A版2019 选择性必修第一册 模块综合测评（含解析）

模块综合测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2021山东青岛模拟)“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.如图,四面体S-ABC中,D为BC中点,点E在AD上,AD=3AE,则=(　　)
A.
B.
C.
D.
3.圆P:(x+3)2+(y-4)2=1关于直线x+y-2=0对称的圆Q的方程是(　　)
A.(x+2)2+(y-1)2=1
B.(x+2)2+(y-5)2=1
C.(x-2)2+(y+5)2=1
D.(x-4)2+(y+3)2=1
4.如图,在一个60°的二面角的棱上有两点A,B,线段AC,BD分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱AB,若AB=AC=BD=4,则线段CD的长为(　　)
A.4 B.16
C.8 D.4
5.坐标原点O(0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P,若点Q(-1,-1),那么|PQ|的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
6. (2021辽宁沈阳期末)正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,若灯口直径是20 cm,灯深10 cm,则光源到反光镜顶点的距离是(　　)
A.2.5 cm B.3.5 cm C.4.5 cm D.5.5 cm
7. 如图,四棱柱S-ABCD中,底面是正方形,各侧棱都相等,记直线SA与直线AD所成角为α,直线SA与平面ABCD所成角为β,二面角S-AB-C的平面角为γ,则(　　)
A.α>β>γ B.γ>α>β
C.α>γ>β D.γ>β>α
8.已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且与x轴垂直的直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A,B两点,|AB|=3,M(4,1),若双曲线上存在一点P使得|PM|+|PF2|≤t,则t的最小值为(　　)
A.5 B. C.5+4 D.5-4
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.在下列四个命题中,错误的有(　　)
A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B.直线的倾斜角的取值范围是[0,π]
C.若一条直线的斜率为tan α,则此直线的倾斜角为α
D.若一条直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tan α
10.若a=(-1,λ,-2),b=(2,-1,1),a与b的夹角为120°,则λ的值为(　　)
A.17 B.-17 C.-1 D.1
11.(2021河北石家庄检测)已知P是椭圆C:+y2=1上的动点,Q是圆D:(x+1)2+y2=上的动点,则(　　)
A.椭圆C的焦距为
B.椭圆C的离心率为
C.圆D在椭圆C的内部
D.|PQ|的最小值为
12.定义空间两个向量的一种运算a b=|a|·|b|·sin,则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有(　　)
A.a b=b a
B.λ(a b)=(λa) b
C.(a+b) c=(a c)+(b c)
D.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a b=|x1y2-x2y1|
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.过点(1,)的直线l将圆x2+y2-4x=0分成两段弧,当劣弧所对圆心角最小时,直线l的斜率k=　　　　　.
14.下列结论中,正确的个数是　　　　　.
①若a,b,c共面,则存在实数x,y,使a=xb+yc
②若a,b,c不共面,则不存在实数x,y,使a=xb+yc
③若a,b,c共面,b,c不共线,则存在实数x,y,使a=xb+yc
④若a=xb+yc,则a,b,c共面
15. 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AA1=AC=BC=1,则异面直线BC1与A1B1所成角为　　　　　;二面角A-BC1-C的余弦值是　　　　　.
16.(2021山东聊城期末)已知抛物线的方程为x2=2py(p>0),过抛物线的焦点,且斜率为1的直线与抛物线交于A,B两点,|AB|=8,则p=　　　　　,M为抛物线弧上的动点,△AMB面积的最大值是　　　　　.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)求分别满足下列条件的直线l的方程.
(1)已知点P(2,1),l过点A(1,3),P到l距离为1;
(2)l过点P(2,1)且在x轴、y轴上截距的绝对值相等.
18.(12分)已知A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),
(1)求平面ABC的一个法向量;
(2)证明:向量a=(3,-4,1)与平面ABC平行.
19.(12分)(2021河南洛阳检测)过点P(0,2)的直线与抛物线C:x2=4y相交于A,B两点.
(1)若=2,且点A在第一象限,求直线AB的方程;
(2)若A,B在直线y=-2上的射影分别为A1,B1,线段A1B1的中点为Q,求证:BQ∥PA1.
20.(12分) 如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.
(1)求证:AM∥平面BDE;
(2)求二面角A-DF-B的大小;
(3)试在线段AC上找一点P,使得PF与CD所成的角是60°.
21.(12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线C上,点A(-2p,0).若当MF⊥x轴时,△MAF的面积为5.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若∠MFA+2∠MAF=π,求点M的坐标.
22.(12分)(2021黑龙江双鸭山期中)在平面直角坐标系xOy中,如图,已知椭圆C:+y2=1的上、下顶点分别为A,B,点P在椭圆C上且异于点A,B,直线AP,PB与直线l:y=-2分别交于点M,N.
(1)设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,判断k1·k2是否为定值 请证明你的结论.
(2)求线段MN长的最小值.
(3)当点P运动时,以MN为直径的圆是否经过y轴上的定点 请证明你的结论.
模块综合测评
1.B　∵两直线平行,∴斜率相等,即可得ab=4,
∵不能重合,当a=1,b=4时,满足ab=4,但是重合,
∴两直线平行时需ab=4,且a≠1,b≠4.
故选B.
2.B　四面体S-ABC中,D为BC中点,点E在AD上,AD=3AE,
∴)=)+)=.
3.B　圆P:(x+3)2+(y-4)2=1,圆心为(-3,4),半径为1,关于直线x+y-2=0对称的圆半径不变,
设对称圆的圆心为(a,b),则
解得
所求圆的标准方程为(x+2)2+(y-5)2=1.
4.D　,∴+2+2+2.
∵,
∴=0,=0,
∵=||||cos 120°,AB=AC=BD=4,
∴=42+42+42-2×16×=32,∴||=4.
5.A　直线mx+ny-2m-2n=0,可化为m(x-2)+n(y-2)=0,
故直线过定点M(2,2),
坐标原点O(0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P,
故∠OPM=90°,所以P在以OM为直径的圆上,
圆的圆心为C(1,1),半径为,根据点与圆的关系,|CQ|==2,
故=2≤|PQ|≤+2=3.
6.A　设对应抛物线的标准方程为y2=2px,由题意知抛物线过点(10,10),
得100=2p×10,得p=5,
则=2.5,即焦点坐标为(2.5,0),
则光源到反光镜顶点的距离是2.5 cm.
7.C　连接AC,BD,交于点O,连接OS,则OA,OB,OS两两垂直,
以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OS为z轴,建立空间直角坐标系,
设AB=2,则S(0,0,),A(,0,0),D(0,-,0),B(0,,0),=(,0,-),=(-,-,0),=(0,,-),
cos α=,
平面ABCD的法向量n=(0,0,1),
cos β=,
设平面SAB的法向量m=(x,y,z),
则
取x=1,得m=(1,1,1),
cos γ=,
∵cos α∴α>γ>β.
8.D　双曲线的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),
渐近线方程为y=±x,
令x=c,解得y=±,
可得|AB|=,|AB|=3,
即=3,由a=2,c2=a2+b2,
解得b=,c=3,
即有双曲线的方程为=1.
由题意可知,若P在左支上,由双曲线的定义可得|PF2|=2a+|PF1|,
|PM|+|PF2|=|PM|+|PF1|+2a≥|MF1|+4=+4=5+4,
当且仅当M,P,F1共线时,取得最小值4+5;
若P在右支上,由双曲线的定义可得|PF2|=|PF1|-2a,
|PM|+|PF2|=|PM|+|PF1|-2a≥|MF1|-4=5-4,
当且仅当M,P,F1共线时,取得最小值5-4.
综上可得,所求最小值为5-4.
9.ABCD　对于A,当直线与x轴垂直时,直线的倾斜角为90°,斜率不存在,∴A错误;
对于B,直线倾斜角的取值范围是[0,π),∴B错误;
对于C,一条直线的斜率为tan α,此直线的倾斜角不一定为α,如y=x的斜率为tan,它的倾斜角为,∴C错误;
对于D,一条直线的倾斜角为α时,它的斜率为tan α或不存在,∴D错误.
10.AC　∵a=(-1,λ,-2),b=(2,-1,1),a与b的夹角为120°,
∴cos 120°=,
解得λ=-1或λ=17.
11.BC　依题意可得c=,则C的焦距为2,e=.
设P(x,y)(-≤x≤),
则|PD|2=(x+1)2+y2=(x+1)2+1-,
所以圆D在C的内部,且|PQ|的最小值为.
12.AD　对于A,a b=|a|·|b|sin,b a=|b|·|a|sin,
故a b=b a恒成立;
对于B,λ(a b)=λ(|a|·|b|sin),(λa) b=|λ||a|·|b|sin<λa,b>,
故λ(a b)=(λa) b不会恒成立;
对于C,取a,b,c为两两垂直的单位向量,易得(a+b) c=,(a c)+(b c)=2,则此时(a+b) c=(a c)+(b c)不成立;
对于D,cos=,sin=,
即有a b=|a|·|b|·=|a|·
==|x1y2-x2y1|.
则a b=|x1y2-x2y1|恒成立.
13.　过点(1,)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,就是弦长最小,就是与圆心(2,0)和点(1,)的连线垂直的直线,连线的斜率是=-,∴直线l的斜率k=.
14.3　对于①,向量b,c共线,且a与b,c不共线时,不存在实数x,y,使a=xb+yc,∴①错误;
对于②,根据空间向量的共面定理,结合逆否命题与原命题的真假性,得:
a,b,c不共面时,不存在实数x,y,使a=xb+yc,
∴②正确;
对于③,若a=0时,与b,c共面,且b,c不共线,则存在实数x=y=0,使a=0·b+0·c=0,∴③正确;
对于④,根据空间向量的共面定理得,当a=xb+yc时,a,b,c共面,∴④正确.
综上,正确的命题是②③④.
15.　建立如图空间直角坐标系,A(0,1,0),B(1,0,0),C1(0,0,1),A1(0,1,1),B1(1,0,1),
=(-1,0,1),=(1,-1,0),=(1,-1,0).
由cos<>==-,
故异面直线BC1与A1B1所成角为.
设平面ABC1的一个法向量为m=(a,b,c),
由
由a=1,得m=(1,1,1),
平面BC1C的一个法向量n=(0,1,0),
cos=.
16.2　4　∵抛物线的方程为x2=2py(p>0),过抛物线的焦点F,且斜率为1的直线与抛物线交于A,B两点,
故直线AB的方程为y-=x-0,即y=x+,且直线AB的倾斜角为45°.
代入抛物线的方程为x2=2py,可得x2-2px-p2=0.
设A,B两点的横坐标分别为m,n,m∵|AB|=|AF|+|BF|==8=m+n+2p=4p=8,∴p=2,
故抛物线的方程为x2=4y,AB的直线方程为y=x+1.
设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y=x+m,
代入抛物线方程,得x2-4x-4m=0.
由Δ=42+16m=0,得m=-1.
与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y=x-1,两直线间的距离为d=,
∴△AMB面积的最大值为·|AB|·d=×8×=4.
17.解(1)当l斜率不存在时,l的方程为x=1,满足条件;
当l斜率存在时,设l:y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0,
由d==1,
得k=-,即l:3x+4y-15=0.
综上l:x=1,或3x+4y-15=0.
(2)当直线过原点时,直线的斜率为,直线的方程为x-2y=0.
当直线截距相等时,设为=1,代入(2,1),
则a=3,即x+y-3=0.
当直线截距互为相反数时,
设为=1,代入(2,1),
则a=1,即x-y-1=0.
综上,直线方程为x-2y=0,或x+y-3=0,或x+y-1=0.
18.(1)解∵A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),
∴=(-2,-1,3),=(1,-3,2).
设n=(x,y,z)为平面ABC的一个法向量,
则有n·=(x,y,z)·(-2,-1,3)=-2x-y+3z=0,
n·=(x,y,z)·(1,-3,2)=x-3y+2z=0.
由
解得x=y=z,
取x=1,则平面ABC的一个法向量为(1,1,1).
(2)证明若存在实数m,n,使a=m+n,
即(3,-4,1)=m(-2,-1,3)+n(1,-3,2),
则
解得
所以a=-,即向量a∥平面ABC.
19.(1)解设直线AB的方程为y=kx+2(k>0),A(x1,y1),B(x2,y2),x1>0,
联立方程得
消去y,得x2-4kx-8=0,Δ=16k2+32>0.
∴ ①
又=(-x1,2-y1),=(x2,y2-2),
由=2,得x1=-2x2,
代入①解得k=,
∴直线AB的方程为y=x+2,即x-2y+4=0.
(2)证明设直线y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),
∴A1(x1,-2),B1(x2,-2),
∴Q.
∴=(x1,-4).
∵·(-4)-x1·(-2-y2)=4·+x1·(y2+2)=2x2-2x1+x1y2+2x1=2x2+x1y2=2x2+x1·=2x2+·x1·x2=2x2+·(-8)=0.
∴BQ∥PA1.
20.(1)证明建立如图所示的空间直角坐标系.
设AC∩BD=N,连接NE,
则点N,E的坐标分别是,(0,0,1),
∴,
又点A,M的坐标分别是(,0),,
∴.
∴且NE与AM不共线,∴NE∥AM.
又∵NE 平面BDE,AM 平面BDE,∴AM∥平面BDE.
(2)解∵AF⊥AB,AB⊥AD,AF∩AD=A,
∴AB⊥平面ADF.B(0,,0),D(,0,0),F(,1).
∴=(-,0,0)为平面DAF的法向量.
∵·(-,0)=0,
∴=0,得,∴为平面BDF的法向量.
∴cos<>=.
∴的夹角是60°,
即所求二面角A-DF-B的大小是60°.
(3)解设P(x,x,0),=(-x,-x,1),=(,0,0),则cos,解得x=或x=(舍去).
所以当点P为线段AC的中点时,直线PF与CD所成的角为60°.
21.解(1)当MF⊥x轴时,点M,F,
则|AF|=+2p=,|MF|=p,
∴S△MAF=|AF|·|MF|=×p=5,
解得p=2,
∴抛物线方程为y2=4x.
(2)设M(x0,y0),由(1)可知A(-4,0),F(1,0),
∴|AF|=5.
∵∠MFA+2∠MAF=π,在△FAM中,有∠MFA+∠MAF+∠AMF=π,
∴∠MAF=∠AMF,∴|FA|=|FM|.
又|MF|=x0+=x0+1,∴x0+1=5,
∴x0=4,
∴y0=±4.
故点M的坐标为(4,4)或(4,-4).
22.解(1)是定值.证明:由题设+y2=1可知,点A(0,1),B(0,-1),
令P(x0,y0),则由题设可知x0≠0,
所以直线AP的斜率k1=,PB的斜率为k2=,
又点P在椭圆上,
所以=1(x0≠0),
从而有k1·k2==-.
(2)由题设可以得到直线AP的方程为y-1=k1(x-0),直线PB的方程为y-(-1)=k2(x-0),
由
解得
由解得
所以直线AP与直线l的交点M,直线PB与直线l的交点N.
于是MN=,
又k1k2=-,所以MN=+4|k1|≥2=4,等号成立的条件是=4|k1|,解得k1=±,
故线段MN长的最小值是4.
(3)设点Q(x,y)是以MN为直径的圆上的任意一点,则=0,故有+(y+2)(y+2)=0.
又k1·k2=-,
所以以MN为直径的圆的方程为x2+(y+2)2-12+x=0.