5.5.2 简单的三角恒等变换（2）（21页ppt）

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第5章 三角函数
5.5.2 简单的三角恒等变换（2）
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.辅助角公式的推导； 1.数学抽象素养.
2.通过三角恒等变换将形容转化为型的函数，求其最值、周期、单调性等问题. 2.逻辑推理素养、数学运算素养.
3.掌握三角变换在实际问题中的应用. 3.数学运算素养.
温故知新
两角和（差）正弦、余弦、正切公式
（S(α+β)）
（S(α-β)）
（C(α+β)）
（C(α-β)）
（T(α-β)）
（T(α+β)）
温故知新
倍角公式
公式变形：
升幂降角公式
升角降幂公式
新知探究
化简下列各式：
⑴; ⑵; ⑶.
解：
⑴.
⑵.
⑶.
将“”化成“”的步骤：
第1步：提常数.
第2步：设辅角.
第3步：逆用公式..
其中.
新知探究
辅助角公式
注意：⑴该函数的最大值为，最小值为.
其中..（）
⑵.
.
新知形成
解：
【例1】求下列函数的周期，最大值和最小值:
⑴ ; ⑵.
⑴
∴.
设.则
∴.
⑵
初试身手
解：
1.求下列函数的周期，最大值和最小值：
⑴; ⑵.
⑴
设，则
.
∴.
⑵
设，则
.
∴.
新知形成
解：
【例2】已知.
⑴求的周期，对称轴和单调递增区间；
⑵求证：当时， .
⑴∵.
.
∴
由,得
∴的对称轴为.
由,得.
∴的单调递增区间为.
新知形成
解：
【例2】已知.
⑴求的周期，对称轴和单调递增区间；
⑵求证：当时， .
⑵令,
∵, ∴
∵在上单调递增，在上单调递减.
∴.
则.
∴
新知形成
三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y＝asin ωx＋bcos ωx＋k的形式，借助辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k(或y＝Acos(ωx＋φ)＋k)的形式，将ωx＋φ看作一个整体研究函数的性质.
初试身手
2.已知函数.
⑴求函数的周期和对称轴； ⑵求使函数取最大值的x的集合.
解：
⑴∵
∴.
.
.
由,得
∴函数的对称轴为.
⑵由,得.
∴使函数取最大值的x的集合为.
新知探求
【例3】如图，在扇形OPQ中，半径OP=1，圆心角，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形.记，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.
解:
.
.
∴，
设矩形ABCD的面积为S，则
分析：可先建立矩形ABCD的面积S与之间的函数关系式,然后求
的最大值.
在Rt OBC中,.
在Rt OAD中,,
新知探求
.
由，得,
.
.
∴当时，即时，
.
因此当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为.
新知探求
应用三角函数解实际问题的方法及注意事项
(1)方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.
(2)注意：在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数量关系.②注意实际问题中变量的范围.③重视三角函数有界性的影响.
初试身手
3.如图，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？最大周长时多少？
解：
设∠AOB＝，△OAB的周长为，则AB＝，OB＝，
∴
.
∵ , ∴.
∴当，即时，取最大值，.
变式：如图，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使矩形面积最大？最大面积是多少？
课堂小结
1.辅助角公式
2.通过三角变换，请你再来说说我们应当如何学习数学公式？
.
其中..（）
知道公式是如何发现的！
记住公式内容，并明确公式成立的条件！
熟悉公式的变形！
注意应用公式过程中的易错点！
熟悉公式的一些典型应用！
作业布置
作业：P229 习题5.5 第15,17题.
补充：
1.⑴若在是减函数，则的最大值是(　　)
A.　　　　 B.　　　　 C.　　　 D．
⑵函数的最小正周期是 .
2.如图，边长为100m的正方形地块ABCD上有一半径为80m的扇形小山AST，现准备在这地块上建一矩形停车场PQCR，但要避开这一扇形小山. (1)设∠PAB=θ，试写出矩形停车场的面积S关于θ的函数; (2)求S的最大值.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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