高中数学新人教A版选择性必修第一册 期末测试03（含解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学新人教A版选择性必修第一册 期末测试03（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1017.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-28 16:39:50 | ||
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文档简介
高中数学新人教A版选择性必修第一册 期末测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选择：共40分．只有一项是符合题目要求的．
1．设抛物线：的焦点为，为坐标原点，是上一点.若，则（ ）
A． B．5 C． D．
2．已知点，，若直线：上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．下图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型如右图所示的六面体，其中四边形和为直角梯形，A、D、C、B为直角顶点，其他四个面均为矩形，，，，下列说法正确的是（ ）
A．该几何体是四棱台
B．该几何体是棱柱，面是底面
C．
D．面与面所成锐二面角为45°
4．已知双曲线的焦点分别为，，，双曲线上一点满足，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
5．已知斜率为的直线过直线与交点，则原点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．已知抛物线的准线方程为，则此抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，平行六面体中，为的中点，，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知，则方程表示的曲线的形状可以是（ ）
A．两条直线 B．圆
C．焦点在轴上的椭圆 D．焦点在轴上的双曲线
10．已知直线：和圆：，则（ ）
A．直线恒过定点
B．若，则直线被圆截得的弦长为
C．存在使得直线与直线：垂直
D．直线与圆相交
11．如图，在直角梯形中，E为的中点，，，M，N分别是，的中点，将沿折起，使点D不在平面内，则下命题中正确的有（ ）
A． B．
B．
C．平面 D．存在某折起位置，使得平面平面．
12．给出下列命题，其中不正确的有（ ）
A．若，则是钝角
B．若，则与一定共线
C．若，则与为同一线段
D．非零向量 满足与，与，与都是共面向量，则 必共面
三、填空题（20分）
13．已知两个向量，若，则m的值为 .
14．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则与的关系是 ．
15．如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知底面ABCD的边长AB＝3，侧棱AA1＝2，E是棱CC1的中点，点F满足＝2.则异面直线FE和DB1所成角的余弦值为 .
16．已知圆：，在圆内随机取一点，并以为中点作弦，则弦长的概率为 ；
四、解答题（70分）
17．已知曲线上的点满足.
(1)化简曲线的方程；
(2)已知点，点，过点的直线（斜率存在）与椭圆交于不同的两点，直线与轴的交点分别为，证明：三点在同一圆上.
18．在四棱柱中，底面ABCD为矩形，化简下列各式．
（1）．
（2）．
19．经过抛物线焦点的直线交该抛物线于两点．
(1)若直线的斜率是，求的值；
(2)若是坐标原点，求的值．
20．已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式：
(1)；
(2)；
(3).
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据，利用抛物线的定义求得点的坐标，然后利用两点间距离公式求解.
【详解】由可得，准线为，
设，因为，
由抛物线的定义得，
解得：，所以，
所以，
故选：A.
2．C
【分析】设点，根据得到动点的轨迹方程，依题意可得直线与圆有交点，即圆心到直线的距离小于等于半径，即可得到不等式，解得即可.
【详解】解：设点，
点，，，
，整理得，
即点在圆 上，
又直线上存在点使得，
圆与直线有交点，
圆心到直线的距离，
解得，即.
故选：C．
3．D
【分析】根据题意可知这个六面体是四棱柱，面和面是底面，即可判断AB；
如图以点为原点建系，利用向量法即可判断是否垂直，及面与面所成锐二面角.
【详解】解：因为四边形和为直角梯形，A、D、C、B为直角顶点，其他四个面均为矩形，所以这个六面体是四棱柱，面和面是底面，故AB错误；
由题意可知两两垂直，如图以点为原点建系，
则，
，
则，所以不垂直，故C错误；
根据题意可知平面，所以即为平面的法向量，
，
设为平面的法向量，
则有，则可取，
则，
所以面与面所成锐二面角为45°，故D正确.
故选：D.
4．C
【分析】由双曲线的定义和焦距即可求出和的值，进而可求离心率.
【详解】因为，所以，
又因为，所以由双曲线的定义可知，解得，
则双曲线的离心率，
故选：.
5．A
【分析】求出两直线的交点，利用点斜式得到直线方程，进而利用点到直线距离公式得到答案.
【详解】联立，，解得，
又直线斜率为，
∴直线的方程为，即，
∴原点到直线的距离为.
故选：A
6．D
【分析】由已知设抛物线方程为，由题意可得，求出，从而可得抛物线的方程
【详解】因为抛物线的准线方程为，
所以设抛物线方程为，
则，得，
所以抛物线方程为，
故选：D，
7．A
【分析】根据正交基地的定义可知，三个向量两两互相垂直，且模长为1.
【详解】因为平面ABC，AB、AC都在面ABC内，
所以，.
因为，，，所以，又SA=1，
所以空间的一个单位正交基底可以为.
故选：A
8．B
【分析】先用向量与表示，然后用向量表示向量与，即可得解．
【详解】解：为的中点，
．
故选：．
【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用，解决本题的关键是熟练运用向量的加法、减法及实数与向量的积的运算，属于基础题．
9．ABD
【分析】分类讨论，，与四种情况，结合直线、圆、椭圆与双曲线方程的特点即可判断.
【详解】对于方程，
当时，，方程为表示圆心在原点，半径为1的圆；
当时，，则，
此时方程，即表示焦点在轴的椭圆；
当时，，此时方程，即，表示两条直线；
当时，，则，
此时方程，即表示焦点在轴的双曲线.
综上可得符合依题意的有ABD.
故选：ABD.
10．CD
【分析】将直线整理为，再结合点斜式方程即可判断A，再根据直线过定点可判断D选项，利用几何法求弦长判断B选项，根据直线垂直的关系求解判断C选项.
【详解】解：对于A选项，直线：整理得，故直线过定点，故A选项错误；
对于B选项，当时，直线：，此时圆：的圆心到直线的距离为，故直线被圆截得的弦长为，故B选项错误；
对于C选项，当直线与直线：垂直，则，故存在满足条件，故C选项正确；
对于D选项，由于点在圆内，故直线与圆相交，故D选项正确.
故选：CD
11．BC
【分析】根据线线平行的转化关系，即可判断AC；根据垂直关系的转化，以及平行线的传递性，即可判断B；首先根据所设长度和角度，写出点的坐标，以及向量坐标，并分别求平面BCD和平面ABD的法向量，根据法向量是否能垂直，即可判断D.
【详解】如图所示：直角梯形中，，
又因为，，所以，故四边形为矩形，
因为N分别是的中点连接，则与相交于点，故点是的中点，
因为是的中点，所以，又，而与相交于点，
故与不平行，故与不平行，A错误，
因为，平面，平面，所以平面，C正确；
B，因为，，平面，
所以平面，因为平面，所以，由A知，
所以，B正确；
D，连接，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，设，，，故，设平面的法向量为，
故，
解得，令，则，故，
设平面的法向量为，
故，
解得，令，则，故，
故，
因为，故，故，
故不存在某折起位置，使得平面平面，D错误.
故选：BC
12．ACD
【分析】A. 由判断； B.利用共线向量定理判断； C.由线段与可能平行或重合判断；D.举例判断.
【详解】A. 当时，，但不是钝角，故错误；
B. 当时，，所以与一定共线，故正确；
C.当时，与共线，线段与可能平行或重合，故错误；
D.如图所示：，
设
满足与，与，与都是共面向量，但 不共面，故错误；
故选：ACD
13．
【分析】根据向量垂直的坐标表示列式计算求解即可.
【详解】因为，所以，解得.
故答案为：.
14．
【分析】可得出，由此可判断出与的位置关系.
【详解】，，，即，因此，.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用直线的方向向量与平面的法向量判断直线与平面的位置关系，考查推理能力，属于基础题.
15．
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标运算公式结合异面直线成角的范围即可求出结果.
【详解】在正四棱柱中，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为是的中点，，所以E(0，3，1)，F(3，2，0)， (3，3，2).
从而 (－3，1，1)， (3，3，2).设异面直线FE和DB1所成的角为α，
因为异面直线成角的范围是，
则＝＝.
因此，异面直线FE和DB1所成角的余弦值为.
故答案为：.？
16．
【解析】根据，可得，再根据几何概型的概率公式可得答案.
【详解】因为为中点作弦，所以，
依题意可知，即，
所以动点在圆内，在以为圆心，为半径的圆外或圆上，
根据几何概型可知，所求概率为：.
故答案为：
【点睛】本题考查了几何概型，利用面积比求概率，考查了圆的性质，属于中档题.
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知曲线方程，进行移项平方，化简的方法，即可得曲线的方程；
（2）设直线的方程，并联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，进而表示点的坐标，从而可得以为直径的圆的方程，并化简，求出该圆与x轴交点坐标，即可证明结论.
【详解】（1）由题意知曲线上的点满足，
则，
故，
即，故，
即，即化简曲线的方程为；
（2）证明：由题意知直线斜率存在，故设，联立，
得，
由于直线l过点，而点在椭圆内，故必有，
设，则，
直线AM的方程为，直线AN的方程为，
令，可得，
故以为直径的圆的方程为，
即，
而
，
即以为直径的圆的方程为，
令，则，
即在以为直径的圆上，故三点在同一圆上.
【点睛】难点点睛：本题考查了曲线方程的化简以及直线和椭圆的位置关系的应用，解答的难点在于证明三点，解答的思路时利用设直线方程并联立椭圆方程，表示相关点坐标，进而求出以为直径的圆的方程，从而求得该圆与x轴的交点，从而证明结论.
18．（1）；（2）.
【分析】（1）利用空间向量运算化简求得正确结果.
（2）利用空间向量运算化简求得正确结果.
【详解】（1）
（2）．
19．(1)
(2)
【分析】（1）联立方程组，然后结合抛物线的定义求解；
（2）将问题分为垂直于轴与不垂直于轴求解；
【详解】（1）
抛物的焦点是，直线方程是，
与，联立得：，
解得，
所以．
（2）当垂直于轴时，．
当不垂直于轴时，设，
代入得，
所以，
从而．
故，
综上．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据，结合向量减法法则求解；
（2）根据向量加法法则求解即可；
（3）根据向量加法法求解即可.
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选择：共40分．只有一项是符合题目要求的．
1．设抛物线：的焦点为，为坐标原点，是上一点.若，则（ ）
A． B．5 C． D．
2．已知点，，若直线：上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．下图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型如右图所示的六面体，其中四边形和为直角梯形，A、D、C、B为直角顶点，其他四个面均为矩形，，，，下列说法正确的是（ ）
A．该几何体是四棱台
B．该几何体是棱柱，面是底面
C．
D．面与面所成锐二面角为45°
4．已知双曲线的焦点分别为，，，双曲线上一点满足，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
5．已知斜率为的直线过直线与交点，则原点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．已知抛物线的准线方程为，则此抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，平行六面体中，为的中点，，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知，则方程表示的曲线的形状可以是（ ）
A．两条直线 B．圆
C．焦点在轴上的椭圆 D．焦点在轴上的双曲线
10．已知直线：和圆：，则（ ）
A．直线恒过定点
B．若，则直线被圆截得的弦长为
C．存在使得直线与直线：垂直
D．直线与圆相交
11．如图，在直角梯形中，E为的中点，，，M，N分别是，的中点，将沿折起，使点D不在平面内，则下命题中正确的有（ ）
A． B．
B．
C．平面 D．存在某折起位置，使得平面平面．
12．给出下列命题，其中不正确的有（ ）
A．若，则是钝角
B．若，则与一定共线
C．若，则与为同一线段
D．非零向量 满足与，与，与都是共面向量，则 必共面
三、填空题（20分）
13．已知两个向量，若，则m的值为 .
14．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则与的关系是 ．
15．如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知底面ABCD的边长AB＝3，侧棱AA1＝2，E是棱CC1的中点，点F满足＝2.则异面直线FE和DB1所成角的余弦值为 .
16．已知圆：，在圆内随机取一点，并以为中点作弦，则弦长的概率为 ；
四、解答题（70分）
17．已知曲线上的点满足.
(1)化简曲线的方程；
(2)已知点，点，过点的直线（斜率存在）与椭圆交于不同的两点，直线与轴的交点分别为，证明：三点在同一圆上.
18．在四棱柱中，底面ABCD为矩形，化简下列各式．
（1）．
（2）．
19．经过抛物线焦点的直线交该抛物线于两点．
(1)若直线的斜率是，求的值；
(2)若是坐标原点，求的值．
20．已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式：
(1)；
(2)；
(3).
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据，利用抛物线的定义求得点的坐标，然后利用两点间距离公式求解.
【详解】由可得，准线为，
设，因为，
由抛物线的定义得，
解得：，所以，
所以，
故选：A.
2．C
【分析】设点，根据得到动点的轨迹方程，依题意可得直线与圆有交点，即圆心到直线的距离小于等于半径，即可得到不等式，解得即可.
【详解】解：设点，
点，，，
，整理得，
即点在圆 上，
又直线上存在点使得，
圆与直线有交点，
圆心到直线的距离，
解得，即.
故选：C．
3．D
【分析】根据题意可知这个六面体是四棱柱，面和面是底面，即可判断AB；
如图以点为原点建系，利用向量法即可判断是否垂直，及面与面所成锐二面角.
【详解】解：因为四边形和为直角梯形，A、D、C、B为直角顶点，其他四个面均为矩形，所以这个六面体是四棱柱，面和面是底面，故AB错误；
由题意可知两两垂直，如图以点为原点建系，
则，
，
则，所以不垂直，故C错误；
根据题意可知平面，所以即为平面的法向量，
，
设为平面的法向量，
则有，则可取，
则，
所以面与面所成锐二面角为45°，故D正确.
故选：D.
4．C
【分析】由双曲线的定义和焦距即可求出和的值，进而可求离心率.
【详解】因为，所以，
又因为，所以由双曲线的定义可知，解得，
则双曲线的离心率，
故选：.
5．A
【分析】求出两直线的交点，利用点斜式得到直线方程，进而利用点到直线距离公式得到答案.
【详解】联立，，解得，
又直线斜率为，
∴直线的方程为，即，
∴原点到直线的距离为.
故选：A
6．D
【分析】由已知设抛物线方程为，由题意可得，求出，从而可得抛物线的方程
【详解】因为抛物线的准线方程为，
所以设抛物线方程为，
则，得，
所以抛物线方程为，
故选：D，
7．A
【分析】根据正交基地的定义可知，三个向量两两互相垂直，且模长为1.
【详解】因为平面ABC，AB、AC都在面ABC内，
所以，.
因为，，，所以，又SA=1，
所以空间的一个单位正交基底可以为.
故选：A
8．B
【分析】先用向量与表示，然后用向量表示向量与，即可得解．
【详解】解：为的中点，
．
故选：．
【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用，解决本题的关键是熟练运用向量的加法、减法及实数与向量的积的运算，属于基础题．
9．ABD
【分析】分类讨论，，与四种情况，结合直线、圆、椭圆与双曲线方程的特点即可判断.
【详解】对于方程，
当时，，方程为表示圆心在原点，半径为1的圆；
当时，，则，
此时方程，即表示焦点在轴的椭圆；
当时，，此时方程，即，表示两条直线；
当时，，则，
此时方程，即表示焦点在轴的双曲线.
综上可得符合依题意的有ABD.
故选：ABD.
10．CD
【分析】将直线整理为，再结合点斜式方程即可判断A，再根据直线过定点可判断D选项，利用几何法求弦长判断B选项，根据直线垂直的关系求解判断C选项.
【详解】解：对于A选项，直线：整理得，故直线过定点，故A选项错误；
对于B选项，当时，直线：，此时圆：的圆心到直线的距离为，故直线被圆截得的弦长为，故B选项错误；
对于C选项，当直线与直线：垂直，则，故存在满足条件，故C选项正确；
对于D选项，由于点在圆内，故直线与圆相交，故D选项正确.
故选：CD
11．BC
【分析】根据线线平行的转化关系，即可判断AC；根据垂直关系的转化，以及平行线的传递性，即可判断B；首先根据所设长度和角度，写出点的坐标，以及向量坐标，并分别求平面BCD和平面ABD的法向量，根据法向量是否能垂直，即可判断D.
【详解】如图所示：直角梯形中，，
又因为，，所以，故四边形为矩形，
因为N分别是的中点连接，则与相交于点，故点是的中点，
因为是的中点，所以，又，而与相交于点，
故与不平行，故与不平行，A错误，
因为，平面，平面，所以平面，C正确；
B，因为，，平面，
所以平面，因为平面，所以，由A知，
所以，B正确；
D，连接，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，设，，，故，设平面的法向量为，
故，
解得，令，则，故，
设平面的法向量为，
故，
解得，令，则，故，
故，
因为，故，故，
故不存在某折起位置，使得平面平面，D错误.
故选：BC
12．ACD
【分析】A. 由判断； B.利用共线向量定理判断； C.由线段与可能平行或重合判断；D.举例判断.
【详解】A. 当时，，但不是钝角，故错误；
B. 当时，，所以与一定共线，故正确；
C.当时，与共线，线段与可能平行或重合，故错误；
D.如图所示：，
设
满足与，与，与都是共面向量，但 不共面，故错误；
故选：ACD
13．
【分析】根据向量垂直的坐标表示列式计算求解即可.
【详解】因为，所以，解得.
故答案为：.
14．
【分析】可得出，由此可判断出与的位置关系.
【详解】，，，即，因此，.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用直线的方向向量与平面的法向量判断直线与平面的位置关系，考查推理能力，属于基础题.
15．
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标运算公式结合异面直线成角的范围即可求出结果.
【详解】在正四棱柱中，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为是的中点，，所以E(0，3，1)，F(3，2，0)， (3，3，2).
从而 (－3，1，1)， (3，3，2).设异面直线FE和DB1所成的角为α，
因为异面直线成角的范围是，
则＝＝.
因此，异面直线FE和DB1所成角的余弦值为.
故答案为：.？
16．
【解析】根据，可得，再根据几何概型的概率公式可得答案.
【详解】因为为中点作弦，所以，
依题意可知，即，
所以动点在圆内，在以为圆心，为半径的圆外或圆上，
根据几何概型可知，所求概率为：.
故答案为：
【点睛】本题考查了几何概型，利用面积比求概率，考查了圆的性质，属于中档题.
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知曲线方程，进行移项平方，化简的方法，即可得曲线的方程；
（2）设直线的方程，并联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，进而表示点的坐标，从而可得以为直径的圆的方程，并化简，求出该圆与x轴交点坐标，即可证明结论.
【详解】（1）由题意知曲线上的点满足，
则，
故，
即，故，
即，即化简曲线的方程为；
（2）证明：由题意知直线斜率存在，故设，联立，
得，
由于直线l过点，而点在椭圆内，故必有，
设，则，
直线AM的方程为，直线AN的方程为，
令，可得，
故以为直径的圆的方程为，
即，
而
，
即以为直径的圆的方程为，
令，则，
即在以为直径的圆上，故三点在同一圆上.
【点睛】难点点睛：本题考查了曲线方程的化简以及直线和椭圆的位置关系的应用，解答的难点在于证明三点，解答的思路时利用设直线方程并联立椭圆方程，表示相关点坐标，进而求出以为直径的圆的方程，从而求得该圆与x轴的交点，从而证明结论.
18．（1）；（2）.
【分析】（1）利用空间向量运算化简求得正确结果.
（2）利用空间向量运算化简求得正确结果.
【详解】（1）
（2）．
19．(1)
(2)
【分析】（1）联立方程组，然后结合抛物线的定义求解；
（2）将问题分为垂直于轴与不垂直于轴求解；
【详解】（1）
抛物的焦点是，直线方程是，
与，联立得：，
解得，
所以．
（2）当垂直于轴时，．
当不垂直于轴时，设，
代入得，
所以，
从而．
故，
综上．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据，结合向量减法法则求解；
（2）根据向量加法法则求解即可；
（3）根据向量加法法求解即可.
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页