高中数学新人教A版选择性必修第一册 期末测试05（含解析）

高中数学新人教A版选择性必修第一册 期末测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选择：共40分．只有一项是符合题目要求的．
1．已知分别是椭圆的左、右焦点，点Р在椭圆上，若，则（ ）
A．6 B．3 C． D．2
2．已知，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A． B． C．或 D．或7
3．直线被圆截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
4．足球教练带领运动员对“带球射门”进行专项训练.如图，教练员指导运动员沿着与边路平行的路线带球并起脚射门，教练员强调要在路线上的相应位置P处起脚射门进球的可能性最佳（即点P对球门所张的角最大），假如每条虚线都表示在规定的区域内为运动员预设的带球路线，而每条路线上都有一个最佳起脚射门点P，为了研究方便，如图建立坐标系，设、，请你判断：每条虚线上的最一佳起脚射门点应在怎样的曲线上（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
5．关于x的方程，有唯一解，则实数的取值范围是（　）
A．或 B．或或
C．或或 D．或
6．下列各组直线中，互相垂直的一组是（ ）
A．2x﹣3y﹣5=0与4x﹣6y﹣5=0 B．2x﹣3y﹣5=0与4x+6y+5=0
C．2x+3y﹣6=0与3x﹣2y+6=0 D．2x+3y﹣6=0与2x﹣3y﹣6=0
7．已知双曲线的离心率，则其渐近线的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．与直线垂直，且在轴上的截距为4的直线的斜截式方程是（ ）
A．
B．或
C．
D．或
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．直线过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线在轴上的截距可能是（ ）
A．3 B．0 C． D．1
10．下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点
B．过，两点的直线方程为
C．直线的倾斜角为
D．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是
11．已知曲线，则下列判断正确的是（ ）
A．若，则是圆，其半径为
B．若，则是双曲线，其渐近线方程为
C．若，则是椭圆，其焦点在轴上
D．若，则是两条直线
12．设同时为椭圆与双曲线的左右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为为坐标原点，若（ ）
A．，则
B．，则
C．，则的取值范围是
D．，则的取值范围是
三、填空题（20分）
13．在四棱柱中，四边形是正方形，，，，则的长为 .
14．已知点和点，在直线上有一个点，满足最小，则的最小值是
15．已知抛物线，为C上一点，轴，垂足为Q，F为C的焦点，O为原点．若，则 ．
16．已知分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线与交于两点（点A在第一象限），延长交于点，若，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题（70分）
17．已知是平行六面体，
(1)化简，并在图中标出其结果；
(2)设是底面的中心，是侧面对角线上靠近的四等分点，设，试求，，的值.
18．根据如图的平行六面体，化简下列各式：
(1)；
(2).
19．如图所示，在平行六面体中，是底面的中心，是侧面对角线上的分点．

(1)化简，并在图中标出其结果．
(2)设，试求，，的值．
20．已知空间四边形中，M，N分别是棱的中点，化简下列各向量表达式：

(1)；
(2)．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】由椭圆定义列式即可求解
【详解】依题意，，则.
故选：B.
2．C
【分析】根据已知条件求出的值，即可得离心率的值.
【详解】，.
当时，圆锥曲线方程为，此时，
其离心率为；
当时，圆锥曲线方程为，此时，
其离心率为.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了由圆锥曲线的方程求基本量的值以及求离心率，属于基础题.
3．C
【分析】由圆的方程可得圆心和半径，利用点到直线距离公式可求得圆心到直线距离，利用垂径定理可求得弦长.
【详解】由圆的方程可知：圆心，半径，
圆心到直线的距离，
直线被圆截得的弦长为.
故选：C.
4．B
【分析】根据椭圆定义即可判断.
【详解】设，,在中，
,
因为随着增大而减小，
所以∠APB最大时，则cos∠APB最小，
由基本不等式可知，当且仅当为定值时，cos∠APB有最小值，
即为定值且，
所以射门点应该在椭圆上.
故选：.
5．B
【分析】转化为半圆与直线有唯一交点的问题，然后作图可解.
【详解】方程有唯一解，等价于与的图象有唯一交点，
表示半圆，
当直线与圆相切时，，解得，
当直线分别过点和时，分别为和，
由图可知，实数的取值范围为或或.
故选：B
6．C
【分析】根据两直线垂直其斜率间的关系逐一判断可得选项.
【详解】对于A，k1k21，因此l1与l2不垂直；
对于B，k1k21，因此l1与l2不垂直；
对于C，k1k21，因此l1⊥l2；
对于D，k1k21，因此l1与l2不垂直．
故选：C．
7．A
【分析】利用双曲线的离心率和性质求解即可.
【详解】因为双曲线的离心率，
所以由得，
所以，即渐近线方程为，
故选：A
8．A
【分析】将直线化为斜截式方程，可得出斜率，从而得与直线垂直的直线斜率，再根据所求直线在轴上的截距为4，即可得出所求直线的斜截式方程.
【详解】解：由于直线，即，可知斜率，
则与直线垂直的直线斜率为，
由于所求直线在轴上的截距为4，
则所求直线的斜截式方程是.
故选：A.
9．ABD
【分析】通过讨论直线截距是否为的情况，即可得出结论
【详解】由题意，直线过点，在两坐标轴上的截距的绝对值相等，
当直线的截距为0时，显然满足题意，为：；
当直线的截距不为0时，设横、纵截距分别为，则直线方程为：，
∴，解得：或，
∴直线的纵截距可取.
故选：ABD.
10．AD
【分析】对于A，根据直线过定点的求法即可判断；
对于B，利用两点式方程判断；
对于C，求出直线的斜率，从而求出直线的倾斜角即可判断；
对于D，求出三角形的面积即可判断．
【详解】对于A，因为直线可以化为：，令x－3＝0，则y－2＝0，解得x＝3，y＝2，所以直线过定点(3，2)，故A正确；
对于B，当时，过，两点的直线方程为，故B不正确；
对于C，直线的斜率，所以倾斜角为，故C不正确；
对于D，直线x－y－4＝0与两坐标轴的交点分别为(0，－4)，(4，0)，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是：，故D正确．
故选：AD．
11．BC
【分析】根据椭圆，双曲线的几何性质，圆的定义逐个进行判断即可
【详解】若时，转化为，半径为，故A错误；
若，当，是焦点在轴上的双曲线，当，是焦点在轴上的双曲线，无论焦点在哪个轴上，令，整理可得均是的渐近线，故B正确；
若，转化为，由于可知，是焦点在轴上的椭圆，故C正确；
若，转化为，是双曲线不是两条直线，故D错误.
故选：BC
12．BD
【分析】先设，焦距为，根据椭圆与双曲线的定义，求出，；当，得，进而可判断B正确，A错；当时，得到，推出，利用换元法，结合函数单调性，即可判断D正确，C错.
【详解】
如图，设，焦距为，由椭圆定义可得，由双曲线定义可得，解得，，
当时，则，所以，
即，由离心率的公式可得，故正确.
当时，可得，即，可得，
由，可得，可得，即，则，
可设，则，
由在上单调递增，可得，则，故正确.
故选：
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于根据椭圆与双曲线的定义，得到与，再由离心率的计算公式，结合题中条件，即可求解.
13．
【分析】由题意先将分解成的线性组合，结合已知条件以及模长公式即可求解.
【详解】如图所示：

由题意知，
所以
，
所以，即的长为.
故答案为：.
14．5
【分析】根据对称性求得关于直线对称点的坐标，由求得的最小值.
【详解】由于在上，所以点关于直线的对称点为，所以的最小值为.
故填：.
【点睛】本小题主要考查点关于直线对称点问题，考查类似将军饮马的最短距离和问题，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
15．/0.6
【分析】由题可设直线，进而可得，即得.
【详解】不妨设在轴上方，由，可设直线，
由，可得，
∴，又，

∴.
故答案为：.
16．
【分析】由双曲线的对称性得，从而得为等边三角形，，然后由离心率定义结合三角形中正切函数定义计算．
【详解】由题意关于原点对称，又也关于原点对称，所以四边形是平行四边形，所以，所以为等边三角形，
则，则，由双曲线的定义，得，
所以，则．
故答案为：．

17．(1)，作图见解析
(2)，，
【分析】（1）取的中点，延长至，使得，即可得；
（2）根据空间几何图形，用、和表示出即可.
【详解】（1）如图，取的中点，延长至，使得，
则
（2），
∴，，
18．(1)；
(2).
【分析】（1）由，，及相反向量的定义即可求解；
（2）由向量减法法则及即可求解.
【详解】（1）在平行六面体中，
因为，，
所以；
（2）在平行六面体中，
因为，
所以.
19．(1)答案见解析，
(2)，，．
【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解，‘
（2）根据基底法表示空间向量，即可由空间向量基本定理求解.
【详解】（1）取的中点，取取一点，使得，连接．
则．

（2）因为
，
所以，，．
20．(1)
(2)
【分析】(1)由条件可得，结合向量的加法法则可得答案.
(2) 取的中点，连结,从而可得，结合向量的加法法则可得答案.
【详解】（1）
为棱的中点,则
所以
所以
（2）取的中点，连结
由M，N分别是棱的中点，则

答案第1页，共2页
答案第1页，共2页