高中数学新人教A版选择性必修第一册 期末测试6（含解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学新人教A版选择性必修第一册 期末测试6（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 924.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-28 16:41:13 | ||
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文档简介
高中数学新人教A版选择性必修第一册 期末测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选择：共40分．只有一项是符合题目要求的．
1．到直线的距离最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别、，当最小时，直线PC的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，若图中直线，，的斜率分别是，，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．若经过两点和的直线的斜率是12，则实数m的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．已知点是抛物线的焦点，若点在抛物线上，且，斜率为的直线经过点，且与抛物线交于，（异于）两点，则直线与直线的斜率之积为（ ）
A．2 B．-2 C． D．
6．如图，D是正方体的一个“直角尖”O-ABC（OA，OB，OC两两垂直且相等）棱OB的中点，P是BC中点，Q是AD上的一个动点，连PQ，则当AC与PQ所成角为最小时，（ ）
A． B． C． D．2
7．已知A，B，C是双曲线上的三个点，经过原点O，经过右焦点F，若且，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
8．圆的圆心坐标和半径分别是（ ）
A．(1，0)，2 B．(－1，0)，2 C．(1，0)，4 D．(－1，0)，4
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．在正三棱柱中，，，与交于点F，点E是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．存在点，使得
C．三棱锥的体积为 D．直线与直线所成角的余弦值为
10．设椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，且，，，过点的直线交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，则下列结论正确的有（ ）
A．椭圆的方程为
B．椭圆的焦距为
C．椭圆上存在2个点Q，使得
D．直线的方程为
11．在长方体中，，E，F分别为棱的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线l与C交于P，Q两点，且点Q在第四象限，若，则（ ）
A．为等腰直角三角形 B．C的离心率等于
C．的面积等于 D．直线l的斜率为
三、填空题（20分）
13．已知直线与垂直，则 .
14．已知直线，则该直线过定点 ．
15．若点关于直线对称，则 ； ．
16．已知椭圆的离心率为，过作倾斜角为的直线与在轴上方交于点，则 ．
四、解答题（70分）
17．如图所示，在正方体中，化简向量表达式：
(1)；
(2)；
(3).
18．化简：．
19．如图，已知空间四边形，连接，，，，分别是，，的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果.
（1）；
（2）.
20．如图，已知空间四边形，连接，，，，分别是，，的中点，请化简：
（1）；
（2），并在图中标出化简结果的向量．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】首先求得直线恒过点，再分析求出点到直线的距离最大值即可.
【详解】由直线可得：
直线恒过点,
所以当时，
点到直线的距离最大，
此时，
故选：A
【点睛】本题主要考查点与直线的位置关系，在处理过程中要理解取得最值的条件，需要数形结合来理解，考查学生分析问题解决问题的能力.
2．B
【分析】根据圆的切线的有关知识，判断出最小时，直线与直线垂直，进而可得直线的方程.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为.
依圆的知识可知，四点P，A，B，C四点共圆，且AB⊥PC，
所以，而，
当直线时，最小，此时最小，
所以此时，即.
故选：B.
3．C
【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系，结合图象，即可求解．
【详解】由图象可得，直线的倾斜角为钝角，所以直线的斜率，
又由的倾斜角都为锐角，且的倾斜角大于直线的倾斜角，所以，
所以
故选：C
4．D
【分析】由两点间连线的斜率公式即可求解．
【详解】解：因为直线经过两点、且直线的斜率是，
所以，解得
故选：D．
5．B
【分析】根据抛物线的焦半径公式，即可求出的值，求出，设直线方程与抛物线方程联立，求出两点的坐标关系，再将直线与直线的斜率之积用坐标表示，化简即可证明结论.
【详解】由抛物线的定义知，则，解得，
又点在抛物线上，代入，得，得，，
所以，抛物线，
因为斜率为的直线过点，所以的方程为，
联立方程得，即，
设，，由根与系数的关系得，
则直线的斜率，直线的斜率，.
故选：B．
【点睛】本题考查抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系，要熟练掌握根与系数关系设而不求的方法求解相交弦的问题，考查计算求解能力，属于中档题.
6．C
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，求得AC与PQ夹角的余弦值关于点坐标的函数关系，求得角度最小时点的坐标，即可代值计算求解结果.
【详解】根据题意，两两垂直，故以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：
设，则，
不妨设点的坐标为，
则，，
则，
又，设直线所成角为，则，
则，
令，令，则，
令，则，此时.
故当时，取得最大值，此时最小，点，
则，故，则.
故选：C.
7．C
【分析】根据题意，连接，构造矩形，根据双曲线定义表示出各个边长，由直角三角形勾股定理求得 的关系，进而求出离心率．
【详解】
设左焦点为，，连接，
则，，，，
因为，且经过原点，
所以四边形 为矩形，
在Rt中， ，代入
，
化简得，
所以在Rt中，，代入
，
化简得，即，
故选：C.
8．B
【分析】根据圆的标准方程直接写出圆心和半径.
【详解】因为圆的方程为，
所以圆心为，半径为，
故选：B
【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，圆心，半径，属于容易题.
9．AC
【分析】A选项，根据空间向量的线性运算计算即可；B选项，建立空间直角坐标系，设，，根据列方程，解方程得到不符合题意，即可得到不存在点使得；C选项，将点到平面的距离转化为点到平面的距离的，然后求体积即可；D选项，利用空间向量的方法求异面直线所成角即可.
【详解】
因为为正三棱柱，所以四边形为矩形，则为中点，
，故A正确；
如图，取中点，中点，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，，，
，，，
设，，则，，
若，则，解得，不成立，故B错；
因为为正三棱柱，所以为等边三角形，平面平面，
因为为中点，所以，
因为平面平面，平面，所以平面，
因为为中点，所以点到平面的距离为点到平面的距离的，
所以，故C正确；
，，，，
所以直线与直线所成角的余弦值为，故D错.
故选：AC.
10．AD
【分析】根据，，，利用勾股定理和椭圆的定义求得a，b，c,得得到焦距和椭圆方程判断选项AB；然后根据，得到点Q在以为直径的圆上，再根据，判断选项C；根据过点的直线交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，得到点为弦AB的中点，利用点差法求解判断选项D.
【详解】因为，，，
所以，
则，
所以椭圆的方程为，椭圆的焦距为，故A正确；B错误；
由知：，所以点Q在以为直径的圆上，
因为，所以圆与椭圆有4个交点，故C错误；
因为过点的直线交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，
所以点为弦AB的中点，
设，
则，两式相减得：，
所以直线l的方程为，即，故D正确，
故选：AD
11．ABC
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；
【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则、、、
、、、、、，
所以、、、，
所以，故A正确；
，故B正确；
，，，，
所以，，故，即C正确；
因为，所以与不垂直，故D错误；
故选：ABC
12．ABC
【分析】由线段比例关系以及椭圆定义可知，且满足，即可得A正确；易知可得C正确；在等腰直角三角形中，可知直线的斜率为，计算可得的离心率等于.
【详解】对于选项A：因为，
不妨设，
又因为，可得；
利用椭圆定义可知，所以；
即，所以点即为椭圆的上顶点或下顶点，如下图所示：
由，可知满足，
所以，故A正确；
对于选项B：在等腰直角三角形中，易知，
即可得离心率，故B正确；
对于选项C：因为为等腰直角三角形，且，
因此的面积为，故C正确；
此时可得直线的斜率，故D错误；
故选：ABC.
13．
【分析】利用直线与直线垂直，得出两直线斜率之积为即可求解.
【详解】解：因为直线与垂直
即
解得：
故答案为：.
14．
【详解】直线，，
∴当，时过定点，∴，，∴过定点．
点睛：本题考查直线过定点问题；解决直线过定点问题，主要有三种方法：
①化成点斜式方程，即恒过点；
②代两个不同的值，转化为求两条直线的交点；
③化成直线系方程，即过直线和直线的交点的直线可设为.
15． 4 2
【分析】根据给定条件，利用轴对称的性质列出方程组，解方程组即可作答.
【详解】依题意，直线的斜率为，线段的中点，
于是，整理得，解得，
所以.
故答案为：4；2
16．
【分析】根据已知求出，设，则，再利用余弦定理求解.
【详解】由的离心率，得，
所以的焦点为，，．
设，则，
由余弦定理得，
解得．
故答案为：
【点睛】方法点睛：圆锥曲线里遇到焦半径，一般要马上想到对应曲线的定义，利用该圆锥曲线的定义进行转化，优化解题.
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）结合图形，根据空间向量的线性运算直接化简可得.
【详解】（1）
（2）由图知，
所以
（3）由图知，
所以由（2）可得
18．
【分析】根据空间向量的线性运算可得答案.
【详解】
19．（1）；作图见解析；（2）；作图见解析.
【分析】（1）利用向量加法以及减法的几何意义即可求解.
（2）利用向量加法以及减法的几何意义即可求解.
【详解】（1），如图中向量.
（2），
如图中向量.
【点睛】本题考查了向量加法以及减法的几何意义，考查了基本知识掌握情况，属于基础题.
20．（1）；（2）.
【分析】（1）直接利用向量的加法法则运算即可；
（2）利用，，结合加法法则即可得到答案.
【详解】（1）由向量的加法法则可得，；
（2）因为，，分别是，，的中点，
所以，，
所以.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选择：共40分．只有一项是符合题目要求的．
1．到直线的距离最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别、，当最小时，直线PC的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，若图中直线，，的斜率分别是，，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．若经过两点和的直线的斜率是12，则实数m的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．已知点是抛物线的焦点，若点在抛物线上，且，斜率为的直线经过点，且与抛物线交于，（异于）两点，则直线与直线的斜率之积为（ ）
A．2 B．-2 C． D．
6．如图，D是正方体的一个“直角尖”O-ABC（OA，OB，OC两两垂直且相等）棱OB的中点，P是BC中点，Q是AD上的一个动点，连PQ，则当AC与PQ所成角为最小时，（ ）
A． B． C． D．2
7．已知A，B，C是双曲线上的三个点，经过原点O，经过右焦点F，若且，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
8．圆的圆心坐标和半径分别是（ ）
A．(1，0)，2 B．(－1，0)，2 C．(1，0)，4 D．(－1，0)，4
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．在正三棱柱中，，，与交于点F，点E是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．存在点，使得
C．三棱锥的体积为 D．直线与直线所成角的余弦值为
10．设椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，且，，，过点的直线交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，则下列结论正确的有（ ）
A．椭圆的方程为
B．椭圆的焦距为
C．椭圆上存在2个点Q，使得
D．直线的方程为
11．在长方体中，，E，F分别为棱的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线l与C交于P，Q两点，且点Q在第四象限，若，则（ ）
A．为等腰直角三角形 B．C的离心率等于
C．的面积等于 D．直线l的斜率为
三、填空题（20分）
13．已知直线与垂直，则 .
14．已知直线，则该直线过定点 ．
15．若点关于直线对称，则 ； ．
16．已知椭圆的离心率为，过作倾斜角为的直线与在轴上方交于点，则 ．
四、解答题（70分）
17．如图所示，在正方体中，化简向量表达式：
(1)；
(2)；
(3).
18．化简：．
19．如图，已知空间四边形，连接，，，，分别是，，的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果.
（1）；
（2）.
20．如图，已知空间四边形，连接，，，，分别是，，的中点，请化简：
（1）；
（2），并在图中标出化简结果的向量．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】首先求得直线恒过点，再分析求出点到直线的距离最大值即可.
【详解】由直线可得：
直线恒过点,
所以当时，
点到直线的距离最大，
此时，
故选：A
【点睛】本题主要考查点与直线的位置关系，在处理过程中要理解取得最值的条件，需要数形结合来理解，考查学生分析问题解决问题的能力.
2．B
【分析】根据圆的切线的有关知识，判断出最小时，直线与直线垂直，进而可得直线的方程.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为.
依圆的知识可知，四点P，A，B，C四点共圆，且AB⊥PC，
所以，而，
当直线时，最小，此时最小，
所以此时，即.
故选：B.
3．C
【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系，结合图象，即可求解．
【详解】由图象可得，直线的倾斜角为钝角，所以直线的斜率，
又由的倾斜角都为锐角，且的倾斜角大于直线的倾斜角，所以，
所以
故选：C
4．D
【分析】由两点间连线的斜率公式即可求解．
【详解】解：因为直线经过两点、且直线的斜率是，
所以，解得
故选：D．
5．B
【分析】根据抛物线的焦半径公式，即可求出的值，求出，设直线方程与抛物线方程联立，求出两点的坐标关系，再将直线与直线的斜率之积用坐标表示，化简即可证明结论.
【详解】由抛物线的定义知，则，解得，
又点在抛物线上，代入，得，得，，
所以，抛物线，
因为斜率为的直线过点，所以的方程为，
联立方程得，即，
设，，由根与系数的关系得，
则直线的斜率，直线的斜率，.
故选：B．
【点睛】本题考查抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系，要熟练掌握根与系数关系设而不求的方法求解相交弦的问题，考查计算求解能力，属于中档题.
6．C
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，求得AC与PQ夹角的余弦值关于点坐标的函数关系，求得角度最小时点的坐标，即可代值计算求解结果.
【详解】根据题意，两两垂直，故以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：
设，则，
不妨设点的坐标为，
则，，
则，
又，设直线所成角为，则，
则，
令，令，则，
令，则，此时.
故当时，取得最大值，此时最小，点，
则，故，则.
故选：C.
7．C
【分析】根据题意，连接，构造矩形，根据双曲线定义表示出各个边长，由直角三角形勾股定理求得 的关系，进而求出离心率．
【详解】
设左焦点为，，连接，
则，，，，
因为，且经过原点，
所以四边形 为矩形，
在Rt中， ，代入
，
化简得，
所以在Rt中，，代入
，
化简得，即，
故选：C.
8．B
【分析】根据圆的标准方程直接写出圆心和半径.
【详解】因为圆的方程为，
所以圆心为，半径为，
故选：B
【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，圆心，半径，属于容易题.
9．AC
【分析】A选项，根据空间向量的线性运算计算即可；B选项，建立空间直角坐标系，设，，根据列方程，解方程得到不符合题意，即可得到不存在点使得；C选项，将点到平面的距离转化为点到平面的距离的，然后求体积即可；D选项，利用空间向量的方法求异面直线所成角即可.
【详解】
因为为正三棱柱，所以四边形为矩形，则为中点，
，故A正确；
如图，取中点，中点，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，，，
，，，
设，，则，，
若，则，解得，不成立，故B错；
因为为正三棱柱，所以为等边三角形，平面平面，
因为为中点，所以，
因为平面平面，平面，所以平面，
因为为中点，所以点到平面的距离为点到平面的距离的，
所以，故C正确；
，，，，
所以直线与直线所成角的余弦值为，故D错.
故选：AC.
10．AD
【分析】根据，，，利用勾股定理和椭圆的定义求得a，b，c,得得到焦距和椭圆方程判断选项AB；然后根据，得到点Q在以为直径的圆上，再根据，判断选项C；根据过点的直线交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，得到点为弦AB的中点，利用点差法求解判断选项D.
【详解】因为，，，
所以，
则，
所以椭圆的方程为，椭圆的焦距为，故A正确；B错误；
由知：，所以点Q在以为直径的圆上，
因为，所以圆与椭圆有4个交点，故C错误；
因为过点的直线交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，
所以点为弦AB的中点，
设，
则，两式相减得：，
所以直线l的方程为，即，故D正确，
故选：AD
11．ABC
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；
【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则、、、
、、、、、，
所以、、、，
所以，故A正确；
，故B正确；
，，，，
所以，，故，即C正确；
因为，所以与不垂直，故D错误；
故选：ABC
12．ABC
【分析】由线段比例关系以及椭圆定义可知，且满足，即可得A正确；易知可得C正确；在等腰直角三角形中，可知直线的斜率为，计算可得的离心率等于.
【详解】对于选项A：因为，
不妨设，
又因为，可得；
利用椭圆定义可知，所以；
即，所以点即为椭圆的上顶点或下顶点，如下图所示：
由，可知满足，
所以，故A正确；
对于选项B：在等腰直角三角形中，易知，
即可得离心率，故B正确；
对于选项C：因为为等腰直角三角形，且，
因此的面积为，故C正确；
此时可得直线的斜率，故D错误；
故选：ABC.
13．
【分析】利用直线与直线垂直，得出两直线斜率之积为即可求解.
【详解】解：因为直线与垂直
即
解得：
故答案为：.
14．
【详解】直线，，
∴当，时过定点，∴，，∴过定点．
点睛：本题考查直线过定点问题；解决直线过定点问题，主要有三种方法：
①化成点斜式方程，即恒过点；
②代两个不同的值，转化为求两条直线的交点；
③化成直线系方程，即过直线和直线的交点的直线可设为.
15． 4 2
【分析】根据给定条件，利用轴对称的性质列出方程组，解方程组即可作答.
【详解】依题意，直线的斜率为，线段的中点，
于是，整理得，解得，
所以.
故答案为：4；2
16．
【分析】根据已知求出，设，则，再利用余弦定理求解.
【详解】由的离心率，得，
所以的焦点为，，．
设，则，
由余弦定理得，
解得．
故答案为：
【点睛】方法点睛：圆锥曲线里遇到焦半径，一般要马上想到对应曲线的定义，利用该圆锥曲线的定义进行转化，优化解题.
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）结合图形，根据空间向量的线性运算直接化简可得.
【详解】（1）
（2）由图知，
所以
（3）由图知，
所以由（2）可得
18．
【分析】根据空间向量的线性运算可得答案.
【详解】
19．（1）；作图见解析；（2）；作图见解析.
【分析】（1）利用向量加法以及减法的几何意义即可求解.
（2）利用向量加法以及减法的几何意义即可求解.
【详解】（1），如图中向量.
（2），
如图中向量.
【点睛】本题考查了向量加法以及减法的几何意义，考查了基本知识掌握情况，属于基础题.
20．（1）；（2）.
【分析】（1）直接利用向量的加法法则运算即可；
（2）利用，，结合加法法则即可得到答案.
【详解】（1）由向量的加法法则可得，；
（2）因为，，分别是，，的中点，
所以，，
所以.
答案第1页，共2页
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