2023-2024学年江苏省盐城市建湖县九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省盐城市建湖县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项
1．（3分）下列方程为一元二次方程的是（　　）
A．x+2＝0 B．x2﹣2x﹣3
C．3（x+1）2＝2（x+1） D．xy+1＝0
2．（3分）在平面直角坐标系xOy中，以点（﹣2，4）为圆心，4为半径的圆（　　）
A．与x轴相切，与y轴相交
B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相交，与y轴相切
D．与x轴相切，与y轴相离
3．（3分）某快递公司快递员六月第三周投放快递物品件数为：有3天是20件，有1天是31件，有3天是35件，则本周的日平均投递物品件数为（　　）
A．31件 B．30件 C．29件 D．28件
4．（3分）在六张卡片上分别写有6，，3.1415，π，0，六个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为D，设⊙O的半径为5，CD＝1，则AB的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则关于y的方程a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的解为（　　）
A．﹣2 B．2
C．﹣2或2 D．以上都不对
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝4，分别以A、B、C为圆心，2为半径画弧，3条弧与AB所围成的阴影部分的周长是（　　）
A．8﹣2π B．4﹣π C． D．
8．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（　　）
A．b＞0 B．ac＞0 C．2a﹣b＝0 D．a﹣b+c＝0
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请将答
9．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0的一个根为0，则m值是 　 　．
10．（3分）将抛物线y＝2x2﹣5的图象向上平移3个单位，再向右平移2个单位的抛物线为 　 　．
11．（3分）线段AB是圆内接正十二边形的一条边，则AB边所对的圆周角是　 　°．
12．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，BC∥OA，连接BO并延长，交⊙O于点D，连接AC、DC．若∠A＝18°，则∠D的大小为 　 　°．
13．（3分）设m、n为关于x的方程x2+4x﹣2023＝0的两个实数根，则m2+5m+n＝　 　．
14．（3分）某天的体育课上，老师测量了班级同学的身高，恰巧小明今日请假没来，经过计算得知，除了小明外，该班其他同学身高的平均数为170cm，方差为acm2．第二天，小明来到学校，老师帮他补测了身高，发现他的身高也是170cm，此时全班同学身高的方差为bcm2，那么a与b的大小关系是a 　 　b．（填“＜”，“＞”或“＝”）
15．（3分）某校“研学”活动小组在一次综合实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是 　 　．
16．（3分）如图，已知⊙O的半径是6，点A，B在⊙O上，且∠AOB＝90°，动点C在⊙O上运动（不与A，B重合），点D为线段BC的中点，连接AD，则线段AD长度的最小值是 　 　．
三.解答题（本大题共有11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时
17．（10分）解下列方程；
（1）t2﹣4t﹣1＝0（用配方法）；
（2）（2x+1）（x﹣3）＝﹣6．
18．（6分）已知：点P是⊙O外一点．
（1）尺规作图：如图，过点P作出⊙O的两条切线PA、PB，切点分别为点A、B．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，若点C在⊙O上（点C不与A、B两点重合），且∠APB＝40°，则∠ACB的度数为 　 　°．
19．（6分）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣2＝0．
20．（8分）有四根细木棒，它们的长度分别为3cm，3cm，4cm，6cm．
（1）从中任取两根，求长度恰好相等的概率；
（2）从中任取三根，恰好能搭成一个三角形的概率为 　 　．
21．（8分）某校兴趣小组在学科实践活动中，从市场上销售的A，B两个品种的花生仁中各随机抽取30粒，测量其长轴长度，然后对测量数据进行了收集、整理和分析．下面是部分信息．
a．两种花生仁的长轴长度统计表：
花生仁长轴长度（mm） 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
A品种花生仁粒数 5 10 6 7 2 0 0 0 0 0
B品种花生仁粒数 0 0 2 3 6 4 5 4 4 2
b．两种花生仁的长轴长度的平均数、中位数、众数、方差如下：
平均数 中位数 众数 方差
A品种花生仁 a 13.5 c 1.4
B品种花生仁 17.5 b 16 3.9
根据以上信息，回答下列问题：
（1）兴趣小组的同学在进行抽样时，以下操作正确的是 　 　（填序号）；
①从数量足够多的两种花生仁中挑取颗粒大的各30粒；
②将数量足够多的两种花生仁分别放在两个不透明的袋子中，摇匀后从中各取出30粒；
（2）写出a，b，c的值；
（3）学校食堂准备从A，B两个品种的花生仁中选购一批做配菜食材，根据菜品质量要求，花生仁大小要均匀，那么兴趣小组应向食堂推荐选购 　 　（填“A”或“B”）品种花生仁，理由是 　 　．
22．（8分）已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x﹣2k＝0，
（1）求证：无论k取何实数时，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边a＝4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，连接DO并延长交⊙O于点F，连接AF交CD于点G，CG＝AG，连接AC．
（1）求证：AC∥DF；
（2）若AB＝12，求AC和GD的长．
24．（10分）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售300个，2、3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到432个，设2、3两个月的销售量月平均增长率不变．
（1）求2、3两个月的销售量月平均增长率；
（2）从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利2880元？
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，CD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，点P在AB延长线上，连接BC、CP，且∠BOD＝2∠BCP．
（1）求证：直线CP是⊙O的切线；
（2）若EC＝2OE，，求点B到PC的距离．
26．（12分）对于抛物线y＝ax2﹣4x+3（a＞0）．
（1）若抛物线过点（4，3）．
①求顶点坐标；
②当0≤x≤6时，直接写出y的取值范围为 　 　；
（2）已知当0≤x≤m时，1≤y≤9，求a和m的值．
27．（14分）如图1，扇形AOB中，∠AOB＝105°，OA＝12，点C在半径OA上，连接BC．把△BOC沿BC翻折，点O的对称点为点D．
（1）当点D刚好落在弧AB上，求弧AD的长；
（2）如图2，点D落在扇形AOB内，DB的延长线与弧AB交于点E，过点D作DF⊥OB，垂足为F，BF＝3，求BE的长；
（3）若点D落在扇形AOB外，DB与弧AB交于点E，过点D作DF⊥OB，垂足为F，试探究BE与BF之间的数量关系．请直接写出你的结论为：　 　．
2023-2024学年江苏省盐城市建湖县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项
1．（3分）下列方程为一元二次方程的是（　　）
A．x+2＝0 B．x2﹣2x﹣3
C．3（x+1）2＝2（x+1） D．xy+1＝0
【分析】根据一元二次方程的概念进行判断即可．
【解答】解：A、x+2＝0是一元一次方程，不是一元二次方程，故不符合题意；
B、x2﹣2x﹣3的代数式，不是方程，故不符合题意；
C、3（x+1）2＝2（x+1）是一元二次方程，符合题意；
D、xy+1＝0是二元二次方程，故不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是一元二次方程的概念及一般形式：含有一个未知数且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程，其一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0），且a、b、c为常数．
2．（3分）在平面直角坐标系xOy中，以点（﹣2，4）为圆心，4为半径的圆（　　）
A．与x轴相切，与y轴相交
B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相交，与y轴相切
D．与x轴相切，与y轴相离
【分析】要判断直线与圆的位置关系，需比较圆心到直线的距离与半径长的大小关系；由圆心的坐标不难确定圆心到两坐标轴的距离，再与圆的半径进行比较即可．
【解答】解：∵点（﹣2，4）是圆心，
∴圆心到x轴的距离是4，到y轴的距离是2．
∵圆的半径为4，
∴圆心到x轴的距离等于圆的半径，圆心到到y轴的距离小于圆的半径，
∴圆与x轴相切，与y轴相交．
故选：A．
【点评】本题主要考查了圆与直线的位置关系，点到坐标轴的距离，熟练掌握圆心距与圆到直线距离的大小关系对应的位置关系是关键．
3．（3分）某快递公司快递员六月第三周投放快递物品件数为：有3天是20件，有1天是31件，有3天是35件，则本周的日平均投递物品件数为（　　）
A．31件 B．30件 C．29件 D．28件
【分析】直接利用加权平均数公式计算即可得出答案．
【解答】解：由题意可得，本周的日平均投递物品件数为：＝28（件）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了加权平均数，正确应用公式是解题关键．
4．（3分）在六张卡片上分别写有6，，3.1415，π，0，六个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：∵六个数中有π，，一共2个无理数，
∴从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷事件A可能出现的结果数．
5．（3分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为D，设⊙O的半径为5，CD＝1，则AB的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】连接OA，由垂径定理得到AB＝2AD，求出OD＝OC﹣CD＝4，由勾股定理求出AD＝＝＝3，即可得到AB＝2×3＝6．
【解答】解：连接OA，
∵OC⊥AB，
∴AB＝2AD，
∵OC＝5，CD＝1，
∴OD＝OC﹣CD＝4，
∴AD＝＝＝3，
∴AB＝2×3＝6．
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由勾股定理求出AD的长，由垂径定理即可求出AB的长．
6．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则关于y的方程a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的解为（　　）
A．﹣2 B．2
C．﹣2或2 D．以上都不对
【分析】由关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，可得出关于（y﹣1）的方程a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的解为y﹣1＝1或y﹣1＝﹣3，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，
∴关于（y﹣1）的方程a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的解为y﹣1＝1或y﹣1＝﹣3，
解得：y＝2或y＝﹣2，
∴关于y的方程a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的解为﹣2或2．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，利用整体思想，找出关于（y﹣1）的方程a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的解为y﹣1＝1或y﹣1＝﹣3是解题的关键．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝4，分别以A、B、C为圆心，2为半径画弧，3条弧与AB所围成的阴影部分的周长是（　　）
A．8﹣2π B．4﹣π C． D．
【分析】计算各扇形的弧长，即可得出阴影部分的周长．
【解答】解：∵∠C＝90°，CA＝CB＝4，
∴∠A＝∠B＝45°，AB＝＝4，
三条弧长为l总＝+×2＝2π，
∴3条弧与AB所围成的阴影部分的周长＝2π+4﹣4．
故选：D．
【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长的计算公式．
8．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（　　）
A．b＞0 B．ac＞0 C．2a﹣b＝0 D．a﹣b+c＝0
【分析】根据抛物线的开口方向可知a＞0，与y轴的交点在负半轴可知c＜0，以此可判断B选项；由抛物线的对称轴是直线x＝1可得﹣＝1，进而可得b＝﹣2a，以此可判断A、C选项；由二次函数图象过点A（3，0），对称轴是直线x＝1可得抛物线与x轴的另外一个交点（﹣1，0），以此可判断D选项．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在负半轴，
∴c＜0，
∴ac＜0，
故B选项错误，不符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
故A选项错误，不符合题意；
∴2a﹣b＝2a﹣（﹣2a）＝4a＞0，
故C选项错误，不符合题意；
∵二次函数图象过点A（3，0），对称轴是直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另外一个交点（﹣1，0），
将点（﹣1，0）代入抛物线解析式得，a﹣b+c＝0，
故D选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请将答
9．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0的一个根为0，则m值是 　﹣2　．
【分析】根据一元二次方程解的定义，将x＝0代入关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0，然后解关于m的一元二次方程即可．
【解答】解：根据题意，得
x＝0满足关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0，
∴m2﹣4＝0，
解得，m＝±2；
又∵二次项系数m﹣2≠0，即m≠2，
∴m＝﹣2；
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．解答该题时，注意一元二次方程的定义中的“一元二次方程的二次项系数不为0”这一条件．
10．（3分）将抛物线y＝2x2﹣5的图象向上平移3个单位，再向右平移2个单位的抛物线为 　y＝2（x﹣2）2﹣2　．
【分析】根据“上加下减，左加右减”的法则求得新的抛物线解析式．
【解答】解：将抛物线y＝2x2﹣5的图象向上平移3个单位，再向右平移2个单位的抛物线为：y＝2（x﹣2）2﹣5+3，即y＝2（x﹣2）2﹣2．
故答案为：y＝2（x﹣2）2﹣2．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
11．（3分）线段AB是圆内接正十二边形的一条边，则AB边所对的圆周角是　15°或165　°．
【分析】求出一条边所对的圆心角的度数，再根据圆周角和圆心角的关系解答．
【解答】解：圆内接正十二边形的边所对的圆心角360°÷12＝30°和360°﹣30°＝330°，
根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半，
AB所对的圆周角的度数是15°或165°，
故答案为15°或165．
【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，属于基础题，要注意分两种情况讨论．
12．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，BC∥OA，连接BO并延长，交⊙O于点D，连接AC、DC．若∠A＝18°，则∠D的大小为 　54　°．
【分析】利用平行线的性质求出∠ACB＝18°，再利用圆周角定理求出∠AOB＝36°，利用平行线的性质可得∠CBO＝36°，再证明∠DCB＝90°可得结论．
【解答】解：∵AO∥BC，
∴∠ACB＝∠A＝18°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝36°，
∵BC∥OA，
∴∠CBO＝∠AOB＝36°，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DCB＝90°，
∴∠D＝90°﹣36°＝54°，
故答案为：54．
【点评】本题考查圆周角定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13．（3分）设m、n为关于x的方程x2+4x﹣2023＝0的两个实数根，则m2+5m+n＝　2019　．
【分析】先根据m是x2+4x﹣2023＝0的一个实数根，得出m2+4m﹣2023＝0，利用一元二次方程根与系数的关系得出m+n＝﹣4，然后对原式进行变形后整体代入即可得出答案．
【解答】解：∵m是一元二次方程x2+4x﹣2023＝0的一个实数根，
∴m2+4m﹣2023＝0，
即m2+4m＝2023，
由一元二次方程根与系数的关系得出m+n＝﹣4，
∴m2+5m+n＝m2+4m+（m+n）＝2023+（﹣4）＝2019．
故答案为：2019．
【点评】本题主要考查一元二次方程的根及根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
14．（3分）某天的体育课上，老师测量了班级同学的身高，恰巧小明今日请假没来，经过计算得知，除了小明外，该班其他同学身高的平均数为170cm，方差为acm2．第二天，小明来到学校，老师帮他补测了身高，发现他的身高也是170cm，此时全班同学身高的方差为bcm2，那么a与b的大小关系是a 　＞　b．（填“＜”，“＞”或“＝”）
【分析】直接利用方差的求法分析得出答案．
【解答】解：∵当多一个人时，由于身高等于平均数，
∴方差公式中分子不变，
∵本班身高方差不是0，此时分母扩大，
∴方差将减小，即a＞b．
故答案为：＞．
【点评】此题主要考查了方差，正确掌握方差公式是解题关键．
15．（3分）某校“研学”活动小组在一次综合实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是 　7　．
【分析】设这种植物每个支干长出x个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是57，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设这种植物每个支干长出x个小分支，
根据题意得：1+x+x2＝57，
整理得：x2+x﹣56＝0，
解得：x1＝﹣8（不符合题意，舍去），x2＝7，
∴这种植物每个支干长出7个小分支．
故答案为：7．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．（3分）如图，已知⊙O的半径是6，点A，B在⊙O上，且∠AOB＝90°，动点C在⊙O上运动（不与A，B重合），点D为线段BC的中点，连接AD，则线段AD长度的最小值是 　　．
【分析】取OB的中点E，根据三角形中位线定理得到，得到点D在以E为圆心，3为半径的圆上，得到AD的最小值就是点A与圆E上的点的距离的最小值，根据勾股定理求得，得到AD的最小值为．
【解答】解：如图，取OB的中点E，连接DE，AE，OC，
∵⊙O的半径是6，
∴，
∵D是BC中点，
∴DE是△OBC的中位线，
∴．
∴点D在以E为圆心，以3为半径的圆上．
∴求AD的最小值就是求点A与⊙E上的点的距离的最小值．
∵∠AOB＝90°，
∴，
∵AD≥AE﹣DE
∴当点D在AE上时，AD取最小值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了点与圆的位置关系，三角形的中位线，勾股定理．解决问题的关键是熟练掌握点D的运动路径是以E为圆心3为半径的圆，三角形的中位线定理，勾股定理解直角三角形．
三.解答题（本大题共有11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时
17．（10分）解下列方程；
（1）t2﹣4t﹣1＝0（用配方法）；
（2）（2x+1）（x﹣3）＝﹣6．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）t2﹣4t﹣1＝0，
t2﹣4t＝1，
t2﹣4t+4＝1+4，即（t﹣2）2＝5，
∴t﹣2＝±，
∴t1＝2+，t2＝2﹣；
（2））（2x+1）（x﹣3）＝﹣6，
2x2﹣5x+3＝0，
（2x﹣3）（x﹣1）＝0，
∴2x﹣3＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝，x2＝1．
【点评】考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18．（6分）已知：点P是⊙O外一点．
（1）尺规作图：如图，过点P作出⊙O的两条切线PA、PB，切点分别为点A、B．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，若点C在⊙O上（点C不与A、B两点重合），且∠APB＝40°，则∠ACB的度数为 　70或110　°．
【分析】（1）连接OP，作线段OP的垂直平分线，交OP于点M，再以点M为圆心，PM的长为半径画圆，分别交⊙O于点A，B，连接PA，PB即可．
（2）连接OA，OB，由切线的性质可得OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP＝∠OBP＝90°，则可得∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠APB＝140°．分点C在优弧AB和劣弧AB两种情况，结合圆周角定理、内接四边形的性质可得答案．
【解答】解：（1）如图，连接OP，作线段OP的垂直平分线，交OP于点M，
再以点M为圆心，PM的长为半径画圆，分别交⊙O于点A，B，连接PA，PB．
由圆周角定理可得，∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴PA，PB为⊙O的切线．
则PA，PB即为所求．
（2）连接OA，OB，
∵PA，PB为⊙O的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠APB＝40°，
∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠APB＝140°．
当点C在优弧AB上时，
∠ACB＝AOB＝70°．
当点C在劣弧AB上时，
∠ACB＝180°﹣AOB＝110°．
综上所述，∠ACB的度数为70°或110°．
故答案为：70或110．
【点评】本题考查作图—复杂作图、圆周角定理、切线的判定与性质，熟练掌握圆周角定理、切线的判定与性质是解答本题的关键．
19．（6分）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣2＝0．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x2＝2x+2代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：
＝
＝
＝，
∵x2﹣2x﹣2＝0，
∴x2＝2x+2，
∴当x2＝2x+2时，原式＝＝＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
20．（8分）有四根细木棒，它们的长度分别为3cm，3cm，4cm，6cm．
（1）从中任取两根，求长度恰好相等的概率；
（2）从中任取三根，恰好能搭成一个三角形的概率为 　　．
【分析】（1）画树状图得出所有等可能的结果数以及长度恰好相等的结果数，再利用概率公式可得出答案．
（2）列举出所有等可能的结果，从中找出符合条件的结果，再利用概率公式可得答案．
【解答】解：（1）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中长度恰好相等的结果有2种，
∴长度恰好相等的概率为＝．
（2）从中任取三根，有（3，3，4），（3，3，6），（3，4，6），（3，4，6），共4种等可能的结果，
其中恰好能搭成一个三角形的结果有（3，3，4），（3，4，6），（3，4，6），共3种，
∴从中任取三根，恰好能搭成一个三角形的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法、三角形三边关系，熟练掌握列表法与树状图法、三角形三边关系以及概率公式是解答本题的关键．
21．（8分）某校兴趣小组在学科实践活动中，从市场上销售的A，B两个品种的花生仁中各随机抽取30粒，测量其长轴长度，然后对测量数据进行了收集、整理和分析．下面是部分信息．
a．两种花生仁的长轴长度统计表：
花生仁长轴长度（mm） 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
A品种花生仁粒数 5 10 6 7 2 0 0 0 0 0
B品种花生仁粒数 0 0 2 3 6 4 5 4 4 2
b．两种花生仁的长轴长度的平均数、中位数、众数、方差如下：
平均数 中位数 众数 方差
A品种花生仁 a 13.5 c 1.4
B品种花生仁 17.5 b 16 3.9
根据以上信息，回答下列问题：
（1）兴趣小组的同学在进行抽样时，以下操作正确的是 　②　（填序号）；
①从数量足够多的两种花生仁中挑取颗粒大的各30粒；
②将数量足够多的两种花生仁分别放在两个不透明的袋子中，摇匀后从中各取出30粒；
（2）写出a，b，c的值；
（3）学校食堂准备从A，B两个品种的花生仁中选购一批做配菜食材，根据菜品质量要求，花生仁大小要均匀，那么兴趣小组应向食堂推荐选购 　A　（填“A”或“B”）品种花生仁，理由是 　A品种花生仁的方差小，花生仁大小均匀　．
【分析】（1）根据收集数据的方法即可求解；
（2）根据平均数、中位数和众数的定义可得a、b、c的值；
（3）从方差的意义即可得答案．
【解答】解：（1）根据抽取的样木最具有代表性可知，以下操作正确的是②；
故答案为：②；
（2）A品种花生仁长度的平均数a＝＝13.7，
B品种花生仁的长度的第15个和第16个数据都是17和18，则中位数为b＝＝17.5，
A品种花生仁长度的众数为c＝13，
答：a，b，c的值分别为13.7，17.5，13；
（3）根据菜品质量要求，花生仁大小要均匀，那么兴趣小组应向食堂推荐选购A品种花生仁，理由：A品种花生仁的方差小，花生仁大小均匀．
故答案为：A，A品种花生仁的方差小，花生仁大小均匀．
【点评】本题考查中位数、众数、平均数以及方差，掌握平均数、中位数、众数和方差的意义和计算方法是正确解答的前提．
22．（8分）已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x﹣2k＝0，
（1）求证：无论k取何实数时，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边a＝4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【分析】（1）表示出方程根的判别式，判断其值大于等于0即可得证；
（2）分两种情况考虑：当b＝c时，求出方程的解，进而得到三角形周长；当a＝c或a＝b时，把x＝3代入方程求出k的值，进而求出周长即可．
【解答】（1）证明：∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x﹣2k＝0，
∴Δ＝（2k﹣1）2+8k
＝4k2﹣4k+1+8k
＝4k2+4k+1
＝（2k+1）2≥0，
则无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2）解：当b＝c时，则Δ＝0．
∴（2k+1）2＝0，
解得：k＝﹣，
此时原方程化为x2﹣2x+1＝0，
∴x1＝x2＝1，即b＝c＝1，
此时△ABC三边为6，1，1不能构成三角形，故舍去；
若a＝4为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b＝a＝4，
代入方程，42+4（2k﹣1）﹣2k＝0，
∴k＝﹣2，
则原方程化为x2﹣5x+4＝0，
（x﹣1）（x﹣4）＝0，
∴x1＝1，x2＝4，
即b＝4，c＝1，
此时△ABC三边为4，4，1能构成三角形，
综上所述：△ABC三边为4，4，1，
∴周长为4+4+1＝9．
【点评】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，三角形三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，连接DO并延长交⊙O于点F，连接AF交CD于点G，CG＝AG，连接AC．
（1）求证：AC∥DF；
（2）若AB＝12，求AC和GD的长．
【分析】（1）由等腰三角形的性质和圆周角定理可得∠ACD＝∠CDF，可得结论；
（2）由垂径定理和圆周角定理可求∠AOD＝∠AOC＝∠COF＝60°，可证△ACO是等边三角形，可得AC＝AO＝6，由勾股定理可求AG的长，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AG＝CG，
∴∠DCA＝∠CAF，
∵＝，
∴∠CAF＝∠CDF，
∴∠ACD＝∠CDF，
∴AC∥DF；
（2）解：如图，连接CO，
∵AB⊥CD，
∴＝，CE＝DE，
∵∠DCA＝∠CAF，
∴＝，
∴＝＝，
∴∠AOD＝∠AOC＝∠COF，
∵DF是直径，
∴∠AOD＝∠AOC＝∠COF＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC＝AO＝6，∠CAO＝60°，
∵CE⊥AO，
∴AE＝EO＝3，∠ACD＝30°，
∴CE＝3＝DE，
∵AG2＝GE2+AE2，
∴AG2＝（3﹣AG）2+9，
∴AG＝2，
∴GE＝，
∴DG＝4．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
24．（10分）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售300个，2、3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到432个，设2、3两个月的销售量月平均增长率不变．
（1）求2、3两个月的销售量月平均增长率；
（2）从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利2880元？
【分析】（1）设2、3两个月的销售量月平均增长率为x，利用3月的销售量＝1月的销售量×（1+2、3两个月的销售量的月平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设这种台灯售价定为y元，则每个台灯的销售利润为（y﹣30）元，月销售量为（912﹣12y）个，利用总利润＝每个的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设2、3两个月的销售量月平均增长率为x，
根据题意得：300（1+x）2＝432，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
答：2、3两个月的销售量月平均增长率为20%；
（2）设这种台灯售价定为y元，则每个台灯的销售利润为（y﹣30）元，月销售量为432+6×＝（912﹣12y）个，
根据题意得：（y﹣30）（912﹣12y）＝2880，
整理得：y2﹣106y+2520＝0，
解得：y1＝36，y2＝70（不符合题意，舍去）．
答：这种台灯售价定为36元时，商场4月销售这种台灯获利2880元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，CD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，点P在AB延长线上，连接BC、CP，且∠BOD＝2∠BCP．
（1）求证：直线CP是⊙O的切线；
（2）若EC＝2OE，，求点B到PC的距离．
【分析】（1）连接AC、OC，因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB＝90°，证明∠ACO＝∠BCP，即可得OC⊥CP，证得直线CP是⊙O的切线；
（2）利用相似，对应边成比例，可得．
【解答】（1）证明：连接OC、AC，
，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CEO＝∠DEO＝90°，
∵OC＝OD，OE＝OE，
∴△COE≌△DOE（HL），
∴∠COE＝∠DOE，
∵∠BOD＝2∠BCP，
∴∠COE＝2∠BCP，
∵∠COE＝2∠CAE，
∴∠CAE＝∠BCP，
∵OA＝OE，
∴∠CAE＝∠BCP＝∠ACO，
∵∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠BCP+∠OCB＝90°，
∴OC⊥CP，
∴直线CP是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△OEC中，OC2＝OE2+CE2，
∵OC＝，EC＝2OE，
∴5＝OE2+（2OE）2，
解得：OE＝1，
EC＝2OE＝2，
∵∠OEC＝∠OCP＝90°，∠EOC＝∠COP，
∴△OEC∽△OCP，
∴＝＝，
∴PC＝2，OP＝5，BP＝OP﹣OB＝5﹣，
过B作BF⊥CP，交CP于F，
，
∵∠PEC＝∠PFB＝90°，∠FPB＝∠EPC，
∴△FPB∽△EPC，
∴＝，
∴BF＝﹣1，
∴点B到PC的距离为﹣1．
【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理、切线的判定，关键是掌握并运用圆周角定理、垂径定理．
26．（12分）对于抛物线y＝ax2﹣4x+3（a＞0）．
（1）若抛物线过点（4，3）．
①求顶点坐标；
②当0≤x≤6时，直接写出y的取值范围为 　﹣1≤y≤15　；
（2）已知当0≤x≤m时，1≤y≤9，求a和m的值．
【分析】（1）①解析式化成顶点式，即可求得抛物线的顶点坐标；
②求得x＝6时的函数值，根据二次函数的性质即可求解；
（2）抛物线开口向上，对称轴为直线x＝，由当0≤x≤m时，1≤y≤9可知抛物线顶点坐标为（，1）且过点（m，9），把顶点坐标代入解析式即可求得a＝2，然后把点（m，9）代入解析式即可求得m的值．
【解答】解：（1）若抛物线过点（4，3），则3＝16a﹣16+3，
解得a＝1，
∴y＝x2﹣4x+3；
①∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点坐标为（2，﹣1）；
②当x＝6时，y＝x2﹣4x+3＝15，
∴当0≤x≤6时，y的取值范围为﹣1≤y≤15，
故答案为：﹣1≤y≤15；
（2）抛物线y＝ax2﹣4x+3（a＞0）对称轴为直线x＝﹣＝，
∵当0≤x≤m时，1≤y≤9，且x＝0时，y＝3，
∴x＝时，y＝1为函数最小值，即抛物线顶点坐标为（，1），
∴1＝﹣+3，
解得a＝2，
∴y＝2x2﹣4x+3，
把x＝m，y＝9代入得9＝2m2﹣4m+3，
解得m1＝3，m2＝﹣1，
∴m＞0，
∴m＝3，
故a的值为2，m的值为3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
27．（14分）如图1，扇形AOB中，∠AOB＝105°，OA＝12，点C在半径OA上，连接BC．把△BOC沿BC翻折，点O的对称点为点D．
（1）当点D刚好落在弧AB上，求弧AD的长；
（2）如图2，点D落在扇形AOB内，DB的延长线与弧AB交于点E，过点D作DF⊥OB，垂足为F，BF＝3，求BE的长；
（3）若点D落在扇形AOB外，DB与弧AB交于点E，过点D作DF⊥OB，垂足为F，试探究BE与BF之间的数量关系．请直接写出你的结论为：　BE＝2BF　．
【分析】（1）连接OD，证明△OBD为等边三角形，由等边三角形的性质得出∠BOD＝60°，求出∠AOD＝45°，由弧长公式可得出答案；
（2）过点O作OG⊥BE于点G，证明△BOG≌△BDF（AAS），由全等三角形的性质得出BF＝BG＝3，则可得出答案；
（3）过点O作OH⊥BE于点H，证明△BOH≌△BDF（AAS），由全等三角形的性质得出BF＝BH，则可得出结论．
【解答】解：（1）连接OD，
∵△BOC沿BC翻折得到△BDC，
∴BO＝BD，
∵OD＝OB，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∵∠AOB＝105°，
∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝105°﹣60°＝45°，
∴的长＝＝3π；
（2）过点O作OG⊥BE于点G，
∵△BOC沿BC翻折得到△BDC，
∴BO＝BD，
在△BOG和△BDF中，
，
∴△BOG≌△BDF（AAS），
∴BF＝BG＝3，
∵OG⊥BE，
∴BE＝2BG＝6．
（3）如图：过点O作OH⊥BE于点H，
∵△BOC沿BC翻折得到△BDC，
∴BO＝BD，
在△BOH和△BDF中，
，
∴△BOH≌△BDF（AAS），
∴BF＝BH，
∵OG⊥BE，
∴BE＝2BH＝2BF．
故答案为：BE＝2BF．
【点评】本题是圆的综合题，考查了折叠的性质，垂径定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，弧长公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．