湖北省咸宁市崇阳县重点中学2024-2024学年高一上学期12月份模拟考试数学试题（含解析）

崇阳重点中学高一年级2023-2024学年度12月份模拟考试
数学试题
考试须知：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、及准考证号并填涂相应数字；
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题卷.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
已知函数的定义域为集合，集合，则( ).
A. B． C． D．
下列函数中，增长速度最快的是( ).
A． B．
C． D．
函数的零点所在区间为( ).
A. B. C. D.
函数的单调递增区间为( ).
A. B. C. D.
对数函数(且)与二次函数在同一坐标系内的图象可能是( ).
A． B． C． D．
“”是“函数的值域为”的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
已知，且，则( ).
A. B. C. D.
已知函数，则不等式的解集为( ).
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
下列函数不存在零点的是( ).
A. B.
C. D.
下列命题正确的有( ).
A. 函数定义域为，则的定义域为
B. 函数是上的奇函数
C. 已知函数存在两个零点，则
D. 函数在上为增函数
设正实数满足，则( ).
A．的最小值2 B．的最大值
C．有最大值 D．
已知函数，若方程()有四个不同的零点，，，，且，则( ).
A.实数的取值范围为 B.函数在单调递增
C.的取值范围为 D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
已知，且，则实数的值等于_________.
已知函数，则关于的不等式的解集为 .
已知与分别是函数与的零点，则的值为________.
已知定义在R上的偶函数满足，且当时，则的零点个数为____________.
四、解答题：本题共6大题，共70分.
(本题满分10分)求下列各式的值：
(1) .
(2)
(本小题满12分)已知函数的定义域为集合，集合.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
(本小题满12分)已知函数满足，当时，.
求的解析式；
若不等式成立，求实数的取值范围.
(本小题满12分)经过长期发展，我国的脱贫攻坚成功走出了一条中国特色的扶贫开发道路．某个农村地区因地制宜，致力于建设“特色生态水果基地”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量(单位:千克)与施肥量(单位:千克)满足函数关系：，且单株水果树的肥料成本投入为元，其他成本投入(如培育管理、施肥等人工费)为元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为(单位：元)．
(1)求的函数关系式；
(2)当单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
(本小题满12分)函数是奇函数，.
求的值；
对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
(本小题满12分)已知函数.
判断函数的奇偶性；
判断函数的单调性并证明；
设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
答案解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
已知函数的定义域为集合，集合，则( ).
A. B． C． D．
【答案】D
【解析】
【详解】依题意可知，集合. 由，解得，，所以.
故选：D
下列函数中，增长速度最快的是( ).
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【详解】根据一次函数、幂函数、对数函数、指数函数的增长差异性，增长最快的是指数函数.
故选：A
函数的零点所在区间为( ).
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】因为在单调递增，且，，所以根据零点存在性定理，函数的零点所在区间为
故选：C
函数的单调递增区间为( ).
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】依题意，的定义域为，令，则在区间单调递增，在区间单调递减，且在定义域上单调递增，根据复合函数“同增异减”，函数的单调增区间为
故选：C
对数函数(且)与二次函数在同一坐标系内的图象可能是( ).
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【详解】依题意，当时，单调递减，二次函数的图象开口向下，且对称轴，对称轴在轴的左侧，所以CD错；当时，单调递增，二次函数的图象开口向上，且对称轴，对称轴在轴的右侧，所以A选项正确.
故选：A
“”是“函数的值域为”的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【详解】依题意，因为函数的值域为，即令的值域包含
当时，值域为，成立
当，解得.
综上所示，实数的取值范围为.
所以B选项正确.
故选：B
已知，且，则( ).
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】依题意，因为，所以，设函数，则函数在上单调递增，故，A错误；又因为，所以，所以，则B错误；因为，取，则，故C错误；因为，所以，所以，则D正确.
故选：D
已知函数，则不等式的解集为( ).
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】依题意，函数的定义域为，且，所以函数为偶函数，且，所以. 又因为函数在单调递减，在单调递增，如图所示，不等式等价于或，解得或，故不等式的解集为.
故选：A
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
下列函数不存在零点的是( ).
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【详解】依题意，选项A，零点为；选项B，零点为；选项C，令，无解，没有零点；选项D，令，当时，解得不成立，当时，解得，不成立.
故选：CD
下列命题正确的有( ).
A. 函数定义域为，则的定义域为
B. 函数是上的奇函数
C. 已知函数存在两个零点，则
D. 函数在上为增函数
【答案】BC
【解析】
【详解】依题意，选项A，函数定义域为，则的定义域为，A错误；选项B，函数定义域为R，且，所以函数为奇函数，B正确；选项C，函数存在两个零点，则，所以，所以，C正确；选项D，函数为对勾函数，在区间单调递减，在单调递增，D错误.
故选：BC
设正实数满足，则( ).
A．的最小值2 B．的最大值
C．有最大值 D．
【答案】AC
【解析】
【详解】依题意，选项A，因为正实数a，b满足，则，当且仅当，即时取等号，A正确；选项B，因为，所以，则，，当且仅当，即时取等号，B错误；选项C，因为，所以，所以，C正确；选项D，，D错误.
故选：AC
已知函数，若方程()有四个不同的零点，，，，且，则( ).
A.实数的取值范围为 B.函数在单调递增
C.的取值范围为 D.
【答案】ACD
【解析】
【详解】依题意，选项A，如图所示，实数的取值范围为，A正确；选项B，如图所示，函数在单调递增，在单调递减，B错误；选项C，当时，令，解得或，所以的取值范围为，的取值范围为，C正确；，且，解得，所以，D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
已知，且，则实数的值等于_________.
【答案】
【解析】
【详解】依题意，，，，，所以，解得.
已知函数，则关于的不等式的解集为 .
【答案】
【解析】
【详解】依题意，函数的定义域为R，令，则，所以函数为奇函数，且在单调递增.所以不等式可化为,
所以，解得，所以.
已知与分别是函数与的零点，则的值为________.
【答案】
【解析】
【详解】依题意，设，，因为与互为反函数，其图象关于对称，如图所示，联立，解得，所以，
已知定义在R上的偶函数满足，且当时，则的零点个数为____________.
【答案】
【解析】
【详解】依题意，因为偶函数满足，所以函数的周期为2，且当时，如图所示,的零点等价于函数与函数的交点个数，所以零点个数为8个.
四、解答题：本题共6大题，共70分.
(本题满分10分)求下列各式的值：
(1) .
(2)
【答案】(1) ; (2)52
【解析】
【详解】(1)原式
(2)原式
(本小题满12分)已知函数的定义域为集合，集合.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1) ; (2)
【解析】
【详解】依题意：(1)函数的定义域为，解得，所以集合. 当时，集合，，所以.
(2)因为，所以，①当时，，解得；②当时，，解得.综上所示，实数的取值范围为.
(本小题满12分)已知函数满足，当时，.
求的解析式；
若不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
【详解】依题意：(1) 因为函数满足，所以函数关于对称，当时，，所以，所以，所以.
(2)由(1)可知，函数在区间单调递减，在区间单调递增，不等式可化为，解得，所以实数的取值范围为
(本小题满12分)经过长期发展，我国的脱贫攻坚成功走出了一条中国特色的扶贫开发道路．某个农村地区因地制宜，致力于建设“特色生态水果基地”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量(单位：千克)与施肥量(单位：千克)满足函数关系：，且单株水果树的肥料成本投入为元，其他成本投入(如培育管理、施肥等人工费)为元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为(单位：元)．
(1)求的函数关系式；
(2)当单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1) ; (2)
【解析】
【详解】依题意：(1) 当时，当时，，所以函数.
(2) 当时，，所以当时，的最大值为(元)；当时，，当且仅当，即取等号，所以的最大值为(元).综上所示，当单株施肥量为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是720元．
(本小题满12分)函数是奇函数，.
求的值；
对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1) ; (2)
【解析】
【详解】依题意：(1) 因为函数是奇函数，所以. 即，所以，即.函数，定义域为.
(2) 因为，所以，即，所以. 令,，当且仅当，即取等号，又因为真数所以实数的取值范围为.
(本小题满12分)已知函数.
判断函数的奇偶性；
判断函数的单调性并证明；
设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1) 为奇函数; (2)在R上单调递增;(3)
【解析】
【详解】依题意：(1)函数的定义域为R，，所以函数为奇函数.
(2)设，且，则，因为，所以，所以，即函数在单调递增，又因为为奇函数，所以函数在R上单调递增.
(3) ，令,，所以. 因为对任意的，总存在，使得恒成立，等价于.由(2)可知在单调递增，所以, 在单调递减，在单调递增，所以，所以，即实数的取值范围为.