陕西省咸阳市高新重点中学2023-2024学年高一上学期第三次质量检测数学试卷（含解析）

陕西省咸阳市高新重点中学2023—2024学年度第一学期第三次质量检测
高一数学
时间：120分钟 总分：150分
一、单项选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( )
A．{x|0≤x≤2} B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4} D．{x|－1≤x≤4}
2、将－300o化为弧度为（ ）
A．－B．－ C．－D．－
3.函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象如图所示，则a，b，c，d的大小顺序是( )
A．1C．c4．函数f(x)＝log3x－8＋2x的零点所在的区间是( )
A．(5,6) B．(3,4) C．(2,3) D．(1,2)
所以其零点所在的区间是(3,4)．
5．“α是锐角”是“α是第一象限角”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6、若tan α＝2，则的值为( )
A．0 B. C．1 D.
7．某企业2022年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.08≈0.033，lg 2≈0.301，lg 3≈0.477 ( )
A．2024年 B．2025年 C．2026年 D．2027年
8．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋A．{m|－13}
C．{m|－44}
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9、(多选)下列函数中，在区间(－∞，0)上单调递增的是( )
A．f(x)＝－ B．f(x)＝x
C．f(x)＝－x2 D．f(x)＝1－x
10．对于给定实数a，关于x的一元二次不等式(ax－1)(x＋1)<0的解集可能是( )
A. B.
C. D．R
11、(多选)下列选项中，符号为负的是( )
A．sin(－100°) B．cos(－220°)
C．tan 10 D．cos π
12．(多选)已知α是第一象限角，则下列结论中正确的是( )
A．sin 2α>0 B．cos 2α>0
C．cos >0 D．tan >0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．命题“对 x∈R，都有x3≥0”的否定为____________________。
若a>0，且a≠1，则函数y＝loga(x－1)＋1的图象恒过定点________．
15.函数f(x)＝的定义域为________________．
16．已知函数f(x)＝若存在实数x1，x2，x3，当x1四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （本题满分10分）指对运算题（每题5分）：
(1)计算：＋(lg 5)0＋；
(2)解方程：log3(6x－9)＝3.
18. （本题满分12分）已知函数f(x)＝
(1)求f(－5)，f(1)，f (f(-2.5))；
(2)若f(a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围．
19、（本题满分12分）设命题p：方程x2＋(2m－4)x＋m＝0有两个不相等的实数根；命题q：对所有的2≤x≤3，不等式x2－4x＋13≥m2恒成立．
(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题p，q一真一假，求实数m的取值范围．
20. （本题满分12分）已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数f(x)的图象，并写出单调区间；
(3)若y＝f(x)与y＝m有3个交点，求实数m的取值范围．
21. （本题满分12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝其中x(单位：台)是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量x的函数f(x)；
(2)当月产量x为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
22. （本题满分12分）已知函数f(x)＝1－.
(1)判断函数f(x)在R上的单调性，并用单调性的定义证明；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并证明．
高一数学参考答案
一、单项选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1．答案:A
解析在数轴上表示出集合A与B，如图所示．
则由交集的定义，知A∩B＝{x|0≤x≤2}．
2.答案:B
3.答案:B
解析令函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx取同样的函数值1，得到的自变量的值恰好分别是a，b，c，d.直线y＝1从左到右依次与上述四个函数的图象交于A(c,1)，B(d,1)，C(a,1)，D(b,1)(图略)，从而得出c1，b>1，d<1，c<1，∴c4答案:B
解析f(3)＝log33－8＋2×3＝－1<0，
f(4)＝log34－8＋2×4＝log34>0.
又因为f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
所以其零点所在的区间是(3,4)．
5．答案:A
解析α是锐角能推出α是第一象限角，但是反之不成立，例如400°角是第一象限角，但不是锐角，
所以“α是锐角”是“α是第一象限角”的充分不必要条件．
6、答案:B
解析＝＝.
7．答案:C
解析设经过n年该企业全年投入的研发资金开始超过200万元，则150×(1＋8%)n>200，则n>≈≈3.8，取n＝4，则经过4年后是2026年．
8．答案:D
解析因为正实数x，y满足＋＝1，
所以x＋＝＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当x＝2，y＝8时，x＋取得最小值4.
由x＋4，
解得m>4或m<－1.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9、答案:ABC
解析由函数的图象知f(x)＝－，f(x)＝x，f(x)＝－x2 在(－∞，0)上单调递增．
10．答案:AB
解析当a>0时，解得－1当a＝0时，解得x>－1；
当－1－1；
当a＝－1时，解得x≠－1；
当a<－1时，解得x<－1或x>.
11、答案:ABD
解析－100°是第三象限角，故sin(－100°)<0；－220°是第二象限角，故cos(－220°)<0；10∈，是第三象限角，故tan 10>0；cos π＝－1<0.
12．答案:AD
解析由α是第一象限角，得2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，所以4kπ<2α<π＋4kπ，k∈Z,2α的终边在x轴上方，则sin 2α>0，cos 2α的正负不确定；又因为kπ<<＋kπ，k∈Z，所以是第一或第三象限角，则tan >0，cos 的正负不确定．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．答案: x∈R，使得x3<0
解析改变量词，否定结论．所以命题“对 x∈R，都有x3≥0”的否定为“ x∈R，使得x3<0”．
14.答案:(2,1)
解析令loga(x－1)＝0，得x＝2，此时y＝1.
∴y＝loga(x－1)＋1的图象恒过定点(2,1)．
15.答案:(－1,0)∪(0,3]
解析由解得－1所以函数f(x)＝的定义域为(－1,0)∪(0,3]．
16．答案:(－8，－4]
解析由解析式可得图象如图所示，
由图象知， x1，x2，x3∈R，当x1∴(x1＋x2)·f(x3)∈(－8，－4]．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （本题满分10分）解(1)原式＝＋(lg 5)0＋ ＝＋1＋＝4.
(2)由方程log3(6x－9)＝3得6x－9＝33＝27，
∴6x＝36＝62，∴x＝2.
经检验，x＝2是原方程的解．
∴原方程的解为x＝2.
18. （本题满分12分）解(1)由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(1)＝3×1＋5＝8，f ＝f
＝f ＝3×＋5＝.
(2)因为a2＋2≥2，
所以f(a2＋2)＝2(a2＋2)－1＝2a2＋3，
所以不等式f(a2＋2)≥a＋4化为2a2－a－1≥0，
解得a≥1或a≤－，
即实数a的取值范围是∪[1，＋∞)．
19、（本题满分12分）解(1)若命题p为真命题，即方程x2＋(2m－4)x＋m＝0有两个不相等的实数根，
则有Δ＝(2m－4)2－4m＝4m2－20m＋16>0，
解得m<1或m>4.
∴实数m的取值范围为{m|m<1或m>4}．
(2)若命题q为真命题，则对所有的2≤x≤3，不等式x2－4x＋13≥m2恒成立．
设y＝x2－4x＋13，只需2≤x≤3时，m2≤ymin即可．
∵y＝x2－4x＋13＝(x－2)2＋9,2≤x≤3.
∴ymin＝9，∴m2≤9，解得－3≤m≤3.
∴当命题q为真命题时，实数m的取值范围为{m|－3≤m≤3}．
∵命题p，q一真一假，
∴若命题p为真命题，命题q为假命题，则有
解得m<－3或m>4；
若命题p为假命题，命题q为真命题，则有
解得1≤m≤3.
综上所述，当命题p，q一真一假时，实数m的取值范围为{m|m<－3或1≤m≤3或m>4}．
20. （本题满分12分）解(1)由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0;
当x<0时，－x>0，因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x).
所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x.
综上，f(x)＝
(2)图象如图所示，
单调递增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)；单调递减区间为(－1,1).
(3)因为方程f(x)＝m有三个不同的解，由图象可知，－121. （本题满分12分）解(1)由题意得，总成本为(20 000＋100x)元，
从而f(x)＝
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000.
∴当x＝300时，f(x)max＝25 000；
当x>400时，f(x)＝60 000－100x单调递减，
f(x)<60 000－100×400<25 000.
∴当x＝300时，f(x)max＝25 000.
即月产量为300台时，利润最大，最大利润为25 000元．
22. （本题满分12分）解(1)函数f(x)是增函数，任取x1，x2∈R，不妨设x1f(x1)－f(x2)＝，
∵x1∴＜0，又＋1＞0,＋1＞0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)是R上的增函数．
(2)函数f(x)为奇函数，证明如下：
由解析式可得f(x)＝，且定义域为R关于原点对称，
f(－x)＝＝＝－f(x)，
∴函数f(x)是奇函数．