3.1.1方程的根与函数的零点(浙江省温州市乐清市)

(共24张PPT)
3.1.1
方程的根和函数的零点
思考：一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？
方程
x2－2x+1=0
x2－2x+3=0
y= x2－2x－3
y= x2－2x+1
函数
函
数
的
图
象
方程的实数根
x1=－1,x2=3
x1=x2=1
无实数根
函数的图象
与x轴的交点
(－1,0)、(3,0)
(1,0)
无交点
x2－2x－3=0
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－2
－3
－4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
5
4
3
.
.
.
.
.
y
x
0
－1
2
1
1
2
y= x2－2x+3
问题:请仔细观察下表,你有什么发现吗
结论:一元二次方程的实数根就是对应的二次函数 图象与x轴交点的横坐标.
方程ax2 +bx+c=0
(a>0)的根
函数y= ax2 +bx
+c(a>0)的图象
判别式△ =
b2－4ac
△＞0
△=0
△＜0
函数的图象与
x轴的交点
有两个相等的
实数根x1 = x2
没有实数根
x
y
x1
x2
0
x
y
0
x1
x
y
0
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点
两个不相等的
实数根x1 、x2
二次函数的图象与ｘ轴交点与相应的一元二次方程根的关系：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x
叫做函数y=f(x)的零点。
函数零点的定义：
注意：
零点指的是一个实数。
零点是一个点吗
问题：零点的本质是什么？
(1)函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根；
(2)函数y=f(x)的零点也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
因此，有如下等价关系：
“数”
“形”
因此，求函数的零点有两种方法．
例1 求下列函数的零点
(1)f(x)=x3-x
(2)f(x)=2x-1
(3)f(x)=
答(1)-1,0,1
答(2)0
答(3)无零点
[思路]方法一:解方程
方法二:作出函数的图象
0
1
2
3
4
5
-1
-2
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
x
y
[探究]
观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象，回答下列问题：
f(x)=x2-2x-3在区间[-2,1]上有零点　　，
f(-2)＝　　，f(1)＝　　，
则乘积f(-2) f(1) 0.
(2) f(x)=x2-2x-3在区间[2,4]上
有零点　，f(2)＝　 ，f(4)＝　 ，
则乘积f(2) f(4) 0.
一般地，如果函数f(x)在区间[a,b]上有唯一零点c，
则f(a)f(b) 0.
-1
5
-4
<
3
-3
5
<
思考１：如果函数f(x)在区间[a,b]上满足f(a)f(b)<0，则函数f(x)在区间[a,b]上一定有零点吗？
前提：函数f(x)的图象在区间[a,b]上必须是连续
不断的.
思考2：如果函数f(x)在区间[a,b]上有零点,　　　　　则f(a)f(b)<0一定成立吗？
前提：函数f(x)的图象在区间[a,b]上必须是单调的.
结论
例2 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数.
解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3--1）和图象（图3.1--3）.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
表3--1
图3.1--3
课堂练习2：
　　课堂小结：
　　
　　课后作业：
　　1、求下列函数的零点：(1)y=-x2+6x+7；
　　　　　　　　　　　　(2)y=x3-4x。
　　2、若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，求　　　loga25+ b2。
１、函数零点的定义；
2、函数的零点与方程的根的关系；
3、确定函数的零点的方法。
X
Y
A
M
B
O
10m
(1,40/3)
(0,10)

方程
x2－2x+1=0
x2－2x+3=0
y= x2－2x－3
y= x2－2x+1
函数
函
数
的
图
象
方程的实根
x1=－1,x2=3
x1=x2=1
无实根
函数的图象
与x轴的交点
(－1,0)、(3,0)
(1,0)
无交点
x2－2x－3=0
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－2
－3
－4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
5
4
3
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.
.
.
.
y
x
0
－1
2
1
1
2
y= x2－2x+3
课堂练习1：
利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：
（1）－x2＋3x＋5＝0；
（2）2x(x－2)＝－3；
（3） x2 ＝4x－4；
（4）5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋5.
1(1)解：令f(x)=－x2＋3x＋5,
作出函数f(x)的图象，如下：
.
.
.
.
.
x
y
0
－1
3
2
1
4
8
6
2
－2
4
它与x轴有两个交点，所以方程－x2＋3x＋5＝0有两个不相等的实数根。
1(1) －x2＋3x＋5＝0
课堂练习
1(2)解：2x(x－2)＝－3可化为
2x2－4x＋3＝0，令f(x)= 2x2－4x
＋3 , 作出函数f(x)的图象,如下：
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
5
4
3
.
.
.
.
.
它与x轴没有交点，所以方程2x(x－2)＝－3无实数根。
1(2) 2x(x－2)＝－3
课堂练习
1(3)解：x2 ＝4x－4可化为x2－4x
＋4＝0，令f(x)= x2－4x＋4，作出
函数f(x)的图象，如下：
.
.
.
.
.
它与x轴只有一个交点，所以方程x2 ＝4x－4有两个相等的实数根。
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
5
4
3
6
4
1(3) x2 ＝4x－4
课堂练习
1(4)解：5x2 +2x＝3x2 +5可化为
2x2 ＋2x－5＝0，令f(x)=2x2＋
2x－5 , 作出函数f(x)的图象，
如下：
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－3
－3
－4
3
－6
－5
4
－4
－2
－2
.
.
.
.
.
它与x轴有两个交点，所以
方程5x2 +2x＝3x2 +5有两个不
相等的实数根。
1(4) 5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋5
课堂练习
y=－x2-x+20； (2)y=2x-1;
拓展：求下列函数的零点。
　评注：求函数的零点就是求相应的方程的根，一般可以借助求根公式或因式分解等办法，求出方程的根，从而得出函数的零点。