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27世纪载自
5
确定圆的条件
学习泪标
1.探索不在同一条直线上的三个点确定一
个圆的结论，
2.会用尺规过不在同一条直线上的三个点作圆.
3.了解三角形的外接圆、外心等概念并掌握外心
@你们有去看日出的经
历吗？当太阳从地平线
的性质。
以下缓缓升起的时候，
温故知新
旭日东升的景色美不胜
1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平
收，这其中蕴含了深刻
分弦所对的弧。
的数学道理.让我们
2.垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂
起来探究这其中的奥
直于弦，并且平分弦所对的弧.
妙吧
3.线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点
到这条线段两个端点的距离相等。
课堂直播间
造就兔所不能的你
确定圆的条件
过一点作圆
过两点作圆
过不在同一条直线上的三点作圆
经过平面内的两个点
经过平面内的一个点
经过不在同一条直线上的三点A,
A,B作圆时，由于圆
A作圆时，只要以点A
B,C作圆，圆心到这三个点的距
心到这两个点的距离
理
以外任意一点为圆心，
离都相等.因此，圆心是线段AB,
论
相等，所以圆心在线段
以这点到点A的距离
BC的垂直平分线的交点O,以点
缘
AB的垂直平分线上，
为半径就能作出一个
O为圆心，以OA(或OB,OC)为半
这样的圆心有无数个，
圆，这样的圆能作出无
径可作出经过A,B,C三点的圆，
这样的圆能作出无
数个
这样的圆只有一个
数个
1741配北师大版数学九年级下
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续表
过一点作圆
过两点作圆
过不在同一条直线上的三点作圆
图
形
结
不在同一条直线上的三个点确定
过一点能作无数个圆
过两点能作无数个圆
论
个圆
识多一点点
(1)作圆，关键是确定圆心和
半径圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，
(2)结论：不在同一条直线上的三个点骑
定一个圆.前提条件：不在同一条直线上.“跪
定”的意思是“有且仅有
(3)过同一条直线上的三点不能作圆
解题有妙招因为学校到三个村庄的距离
例①某乡接收到一笔捐款，决定在
相等，所以首先要知道，到线段两瑞点距离相
等的点在线段的垂直平分线上；其次要明白，
个村庄之间修建一所小学，使三个村
学校的位置就是圆心的位置，
庄的学生到学校的距离相等，三个村
【即学即试】见P178各个击破
庄A,B,C的位置如图所示，试确定
学校的位置.
三角形的外接圆、外心及外心
A
的性质
三角形的三个顶点确
B
定一个圆，这个圆叫做三角
分析由题意可知，到三个村庄A,B,
动画演示
形的外接圆，而这个三角形
C(即三个点)的距离相等的点是由
称为这个圆的内接三角形。
A,B,C三个点确定的一个圆的圆心
三角形外接圆的圆心是三角形
(也就是学校的位置)，
三边垂直平分线的交点，叫做三角形
I解如图，连接AB,BC.作AB,BC
的外心
的垂直平分线交于点M,点M即所
三角形的外心到三角形的三个
求的学校的位置.
顶点的距离相等，等于其外接圆的半
4配北师大版数学九年级下1175
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九年级
数
2m=65-x-1,
5A解析若这个点在圆外，则直径d=9一4
学
m=65-x
5(cmr=号（cm);若这个点在圆内，则
x,m都是非负数，
直径d=9十4=13(cm.=号=号(am.故
.取x=26时，m=13,65-x-m=26.
考答
即当x=26时，W最大值=3198.
此圆的半径为2.5cm或6.5cm
答：安排26人生产乙产品时，可获得的最大
6点P在⊙O内
鲜析因为关于x的一元二次
利润为3198元.
方程x2一2x十m=0有两个不相等的实数根，
第三章
圆
所以有（一2）2一4m>0,解得1<1.又知⊙O
的半径r=1,所以m圆
7懈回如图，过点P作PDE
“极速特训营
⊥AB,垂足为D.由题
意可得，∠APD=30°，
1C解析根据图的定义对各选项进行判断：
∠BPD=45.
A.点O为圆心，半径不确定，故不能确定圆：
设AD=x,在Rt△APD中，PD=√3x
B.2cm长为半径，圆心不确定，故不能确定圆；
C.以点O为圆心，以5cm长为半径可确定圆；
在Rt△PBD中，BD=PD=√3x,
D.经过点A,故圆心和半径都不能确定，故不
∴3.x十x=100,解得x=50(W3-1),
能确定圆，
∴.PD=3.x=50(3-√3)≈63.4>50.
2解E矩形的四个顶点能在同
,森林保护区的中心与直线AB的距离大于
个圆上.如图，设AC,BD
保护区的半径，∴.计划修筑的这条高速公路
的交点为O,则点O是这个
不会穿过保护区
圆的圆心
2圆的对称性
证明如下：四边形ABCD是矩形，
..0A=OC=OB=OD.
极速特训营
∴.点A,B,C,D在以点O为圆心，OA为半径
1D2B3C4125
的圆上
5证明脸AC=C,
3D
∴.∠AOC=∠BOC,
4C解析.在△ABC中，
∴.∠AOE=∠BOE.
∠ACB=90°，AB=5,BC=4,
,OA,OB是⊙O的半径，
.AC=√AB-BC2=3,
..OA=OB.
点C在⊙A内且点B在⊙A外，
又OE=OE,
∴AC.△AOE≌△BOE,
知，只有选项C符合
∴.AE=BE.
2741配北师大版数学九年级下，
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九牛级
6解如图，作点A关于MN的对称点A',连接
∴.AC=OC
A'B,交MN于点P,则点P即为所求.连接
同理BD=OD.
学
OA',OB,PA,AM',则∠A'ON=∠AON=
又OC=OD,.AC=BD,
60°，PA=PA'
∴AC=BD
,点B是N的中点，∴∠BON=30°，
8证明E如图，作OM⊥BD于点M,ON⊥CE于
∴.∠A'OB=∠A'ON+∠BON=90.
点N
参考答案
又，OB=OA'=1,A'B=√2，
∴.PA+PB=PA'+PB=A'B=√2
即PA十PB的最小值为√2.
B
,AO平分∠DAE,.OM=ON,
∴.BD=CE
,OM⊥BD,ON⊥CE,
7证明E方法1：如图，连接OC,OD,则OC
MB=DB.NC-CE..MB=NC.
=OD.
∠AMO=∠ANO.
在△AMO和△ANO中，∠MAO=∠NAO.
OA=OA,
B
∴.△AM≌△ANO,.AM=AN,
∴.AB=AC
3
垂径定理
0A=0B,且0M=0A.0N=0B,
·极速特训营
∴.OM=ON.又，CM⊥AB,DN⊥AB,
.Rt△COM≌R1△DON,
1B
解析，AB是⊙O的直径，AB⊥CD,
.∠COM=∠DON,
CE=2CD-12∠0BC=90,
∴.Ac-D.
方法2：如图，连接AC,BD,OC,OD.
2AB=13,
cos∠0E-票=最故选B
22√3
3解如图所示，过点O作OP⊥AB,垂足为P,
连接AO,
M是AO的中点，且CMLAB,
OP过圆心，OP⊥AB,
<配北师大版数学九年级下1275
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