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27世纪载自
9
弧长及扇形的面积
学习泪标
1.理解孤长、扇形的概念
2.经历弧长公式和扇形面积公式的推导过程，掌
握弧长公式和扇形面积公式：
回上图是一个圆拱形
3.会用孤长公式和扇形面积公式解决有关问题，
桥，怎样求出桥拱的长
温故知新
度呢？这节课我们将要
1.圆的周长公式：C=2πR=πd.
学习弧长的计算，相信
2.圆的面积公式：S=πR2.
同学们在学会了弧长的
3.圆柱的侧面展开图为矩形，圆锥的侧面展开图
计算公式之后，这个问
为扇形
题就不难解决了！
课堂直播问
追能免所不能的你
1
孤长公式
识多一点点
(1)在孤长公式中，n表示1”的
(1)推导过程，
圆心角的倍数，1和180都不帝单位“度
(2)题目中若没有标明精确度，则弧长可
因为360°的圆心角所对的弧长
用含π的代数式表示，如孤长是10π，2.5π等，
就是圆周长，圆周长C=2πR,据此，
(3)AB的长可用1表示.
可得1°的圆心角所对的弧长是
(4)孤长公式根据已知量的不同还可以变
360·2R;2°的圆心角所对的弧长
形为R=189L
1800
7元
元R
例①(2022·辽宁
是
0·2R…m的圆心角所对的
盘锦中考)如图，在
孤长为360·2R,即
△ABC中，AB=
1801
AC,∠A=50°，以
(2)计算公式，
AB为直径的⊙O分别交边BC,AC
在半径为R的圆中，n°的圆心角
于D,E两点，AC=2,则DE的长是
所对的弧长1=”π尽
180
2081配北师大版数学九年级下
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解析连接OE,OD,如图，
因为扇形的弧长1=xR,nR
180’360
还可以写成号×”π迟
180
·R,所以又得
到扇形面积为2R.
.AB=AC,∠A=50°，OB=OD,
(3)计算公式.
OA-OE,
在半径为R的圆中，n°的圆心角
∴.∠B=∠ODB=65°，∠A
∠OEA=50°，
所对的扇形面积S筛形=”R
360
,如果
∴.∠BOD=50°，∠AOE=80°，
这个扇形的弧长为，那么这个扇形
∴.∠D0E=50°，
∴.DE的长是50XπX1=5
的面积还可以表示为S蹦形=2R。
180
π.
学霸笔配。
18π
(1)公式中的”与孤长公式中的刀
360
)解题有妙招上面例题是利用孤长公式进
一样，不带单位，n理解为1的國心角的倍数.
行的计算，热练掌握弧长公式，理解公式中每
(2)扇形面积公式S=专R与三角形
个量的意义是解题的关键
面积公式类似，为了便于记忆，可与三角形面
【即学即试】见P213各个击破
积公式类比理解，把孤长1看成底，R看成底
2
扇形面积公式
边上的高，
(1)扇形的面积：圆弧
■
(3)当已知半径R和圆心角的度数，求扇
及两条半径所围成部分的
动画演示
形面积时，应选用公式；当巴知半径R和
面积.
(2)推导过程.
孤长求扇形面积时，应选用公式2R
因为圆心角是360°的扇形面积
(4)根据扇形面积公式和孤长公式，已知
等于圆的面积πR2,所以圆心角为1°
S扇形，1,1，R四个量中的任意两个量，都可以
的扇形面积是，由此，可得圆心
求出另外两个量。
(5)扇形的周长-2R十1.其中1为弧长，R
角为n的扇形面积为G0R2,
为半径
《配北师大版数学九年级下1209
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九年级
数
2m=65-x-1,
5A解析若这个点在圆外，则直径d=9一4
学
m=65-x
5(cmr=号（cm);若这个点在圆内，则
x,m都是非负数，
直径d=9十4=13(cm.=号=号(am.故
.取x=26时，m=13,65-x-m=26.
考答
即当x=26时，W最大值=3198.
此圆的半径为2.5cm或6.5cm
答：安排26人生产乙产品时，可获得的最大
6点P在⊙O内
鲜析因为关于x的一元二次
利润为3198元.
方程x2一2x十m=0有两个不相等的实数根，
第三章
圆
所以有（一2）2一4m>0,解得1<1.又知⊙O
的半径r=1,所以m圆
7懈回如图，过点P作PDE
“极速特训营
⊥AB,垂足为D.由题
意可得，∠APD=30°，
1C解析根据图的定义对各选项进行判断：
∠BPD=45.
A.点O为圆心，半径不确定，故不能确定圆：
设AD=x,在Rt△APD中，PD=√3x
B.2cm长为半径，圆心不确定，故不能确定圆；
C.以点O为圆心，以5cm长为半径可确定圆；
在Rt△PBD中，BD=PD=√3x,
D.经过点A,故圆心和半径都不能确定，故不
∴3.x十x=100,解得x=50(W3-1),
能确定圆，
∴.PD=3.x=50(3-√3)≈63.4>50.
2解E矩形的四个顶点能在同
,森林保护区的中心与直线AB的距离大于
个圆上.如图，设AC,BD
保护区的半径，∴.计划修筑的这条高速公路
的交点为O,则点O是这个
不会穿过保护区
圆的圆心
2圆的对称性
证明如下：四边形ABCD是矩形，
..0A=OC=OB=OD.
极速特训营
∴.点A,B,C,D在以点O为圆心，OA为半径
1D2B3C4125
的圆上
5证明脸AC=C,
3D
∴.∠AOC=∠BOC,
4C解析.在△ABC中，
∴.∠AOE=∠BOE.
∠ACB=90°，AB=5,BC=4,
,OA,OB是⊙O的半径，
.AC=√AB-BC2=3,
..OA=OB.
点C在⊙A内且点B在⊙A外，
又OE=OE,
∴AC.△AOE≌△BOE,
知，只有选项C符合
∴.AE=BE.
2741配北师大版数学九年级下，
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九牛级
6解如图，作点A关于MN的对称点A',连接
∴.AC=OC
A'B,交MN于点P,则点P即为所求.连接
同理BD=OD.
学
OA',OB,PA,AM',则∠A'ON=∠AON=
又OC=OD,.AC=BD,
60°，PA=PA'
∴AC=BD
,点B是N的中点，∴∠BON=30°，
8证明E如图，作OM⊥BD于点M,ON⊥CE于
∴.∠A'OB=∠A'ON+∠BON=90.
点N
参考答案
又，OB=OA'=1,A'B=√2，
∴.PA+PB=PA'+PB=A'B=√2
即PA十PB的最小值为√2.
B
,AO平分∠DAE,.OM=ON,
∴.BD=CE
,OM⊥BD,ON⊥CE,
7证明E方法1：如图，连接OC,OD,则OC
MB=DB.NC-CE..MB=NC.
=OD.
∠AMO=∠ANO.
在△AMO和△ANO中，∠MAO=∠NAO.
OA=OA,
B
∴.△AM≌△ANO,.AM=AN,
∴.AB=AC
3
垂径定理
0A=0B,且0M=0A.0N=0B,
·极速特训营
∴.OM=ON.又，CM⊥AB,DN⊥AB,
.Rt△COM≌R1△DON,
1B
解析，AB是⊙O的直径，AB⊥CD,
.∠COM=∠DON,
CE=2CD-12∠0BC=90,
∴.Ac-D.
方法2：如图，连接AC,BD,OC,OD.
2AB=13,
cos∠0E-票=最故选B
22√3
3解如图所示，过点O作OP⊥AB,垂足为P,
连接AO,
M是AO的中点，且CMLAB,
OP过圆心，OP⊥AB,
<配北师大版数学九年级下1275
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