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27世纪戴自
8圆内接正多边形
孕习月标
1.了解圆内接正多边形的定义及有关概念.
2.理解正多边形与其外接圆的关系！
3.会求圆内接正多边形的中心角、边长、边心距、
回某教育园区要在一块
半径、周长和面积
圆形绿化场地上建造一
4.会用尺规作图的办法作一个圆的某些内接正多
个正五边形的花坛，要
边形。
求正五边形花坛的顶点
都在圆上，你能帮忙画
温故知新
出设计草图吗？学习了
1.n边形的内角和为(n一2)·180°(n≥3)，外角和
本节知识，你就能独立
为360°
完成设计了！
2.三角形外接圆圆心是三条边的垂直平分线的交
点，内切圆圆心是三条内角平分线的交点
3.各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形
课堂直播间
造就免阶不兔的你
1圆内接正多边形的有关概念
续表
(1)顶点都在同一圆上的正多边
定义
形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做
正多边形每条边所对的圆心
中心角
该正多边形的外接圆.
角叫做正多边形的中心角
正多边形的中心到正多边形
(2)圆内接正多边形的相关
边心距
的一条边的距离叫做正多边
概念
形的边心距
定义
识多一点点
(1)任意一个正多边形一定有
正多边形的外接圆的圆心叫
一个外接圆和一个内切圆.
中心
做正多边形的中心
(2)正多边形的中心既是其外接圆的圆
正多边形的外接圆的半径叫
心，也是其内切圆的圆心
半径
做正多边形的半径
(3)正多边形的半径是其外接圆的半径
正多边形的边心距是其内切圆的半径
×配北师大版数学九年级下199
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逸保堂直
刚①如图，△ABC是⊙O的内接等腰
2
圆内接正多边形的有关计算
三角形，顶角∠BAC=36°，弦BD,
名称
公式
CE分别平分∠ABC,∠ACB.
正边形的每个内角为
求证：五边形AEBCD是正五边形.
内角
(m-2)·180°=180°-360
正n边形的每个中心角
视频讲解
中心角
为360
证明3.：在△ABC中，AB=AC,
外角
正n边形的每个外角为360
∠BAC=36°，
∴.∠ABC=∠ACB=72.
正n边形的周长为ia(a为
周长
.'BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB,
正n边形的边长)
'.∠ABD=∠DBC=∠ACE=
正n边形的面积为
nar (a
∠BCE=36°，
面积
为正n边形的边长，r为正多
∴.∠BAC=∠DBC=∠ABD=
边形的边心距)
∠ACE=∠BCE,∴.BC=CD=DA
识多一点点
特殊國内接正多边形的边长、
-AE-BE,
半径、边心距之比：
∴.五边形AEBCD是正五边形
边长、半径、
章
正多边形
图形
解题有妙招征明一个多边形是正多边形
边心距之比
的方法：(1)需证明该多边形各角相等，各边也
相等
正三角形
2W3:2:1
(2)需证明多边形的外接圆的圆周被多边
形的顶点(n为多边形的边数，n≥3)等分.因
为相邻等分点间的孤相等，所以所对的弦（多
正四边形
2:√2：1
边形的边)相等，相邻两弦所夹的角（多边形的
内角)相等，这样的多边形是正多边形，当题中
给出多边形的外接圆时，这是证明正多边形
正六边形
2:2:3
的常用方法
【即学即试】见P206各个击破一
2001配北师大版数学九年级下
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九年级
数
2m=65-x-1,
5A解析若这个点在圆外，则直径d=9一4
学
m=65-x
5(cmr=号（cm);若这个点在圆内，则
x,m都是非负数，
直径d=9十4=13(cm.=号=号(am.故
.取x=26时，m=13,65-x-m=26.
考答
即当x=26时，W最大值=3198.
此圆的半径为2.5cm或6.5cm
答：安排26人生产乙产品时，可获得的最大
6点P在⊙O内
鲜析因为关于x的一元二次
利润为3198元.
方程x2一2x十m=0有两个不相等的实数根，
第三章
圆
所以有（一2）2一4m>0,解得1<1.又知⊙O
的半径r=1,所以m圆
7懈回如图，过点P作PDE
“极速特训营
⊥AB,垂足为D.由题
意可得，∠APD=30°，
1C解析根据图的定义对各选项进行判断：
∠BPD=45.
A.点O为圆心，半径不确定，故不能确定圆：
设AD=x,在Rt△APD中，PD=√3x
B.2cm长为半径，圆心不确定，故不能确定圆；
C.以点O为圆心，以5cm长为半径可确定圆；
在Rt△PBD中，BD=PD=√3x,
D.经过点A,故圆心和半径都不能确定，故不
∴3.x十x=100,解得x=50(W3-1),
能确定圆，
∴.PD=3.x=50(3-√3)≈63.4>50.
2解E矩形的四个顶点能在同
,森林保护区的中心与直线AB的距离大于
个圆上.如图，设AC,BD
保护区的半径，∴.计划修筑的这条高速公路
的交点为O,则点O是这个
不会穿过保护区
圆的圆心
2圆的对称性
证明如下：四边形ABCD是矩形，
..0A=OC=OB=OD.
极速特训营
∴.点A,B,C,D在以点O为圆心，OA为半径
1D2B3C4125
的圆上
5证明脸AC=C,
3D
∴.∠AOC=∠BOC,
4C解析.在△ABC中，
∴.∠AOE=∠BOE.
∠ACB=90°，AB=5,BC=4,
,OA,OB是⊙O的半径，
.AC=√AB-BC2=3,
..OA=OB.
点C在⊙A内且点B在⊙A外，
又OE=OE,
∴AC.△AOE≌△BOE,
知，只有选项C符合
∴.AE=BE.
2741配北师大版数学九年级下，
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九牛级
6解如图，作点A关于MN的对称点A',连接
∴.AC=OC
A'B,交MN于点P,则点P即为所求.连接
同理BD=OD.
学
OA',OB,PA,AM',则∠A'ON=∠AON=
又OC=OD,.AC=BD,
60°，PA=PA'
∴AC=BD
,点B是N的中点，∴∠BON=30°，
8证明E如图，作OM⊥BD于点M,ON⊥CE于
∴.∠A'OB=∠A'ON+∠BON=90.
点N
参考答案
又，OB=OA'=1,A'B=√2，
∴.PA+PB=PA'+PB=A'B=√2
即PA十PB的最小值为√2.
B
,AO平分∠DAE,.OM=ON,
∴.BD=CE
,OM⊥BD,ON⊥CE,
7证明E方法1：如图，连接OC,OD,则OC
MB=DB.NC-CE..MB=NC.
=OD.
∠AMO=∠ANO.
在△AMO和△ANO中，∠MAO=∠NAO.
OA=OA,
B
∴.△AM≌△ANO,.AM=AN,
∴.AB=AC
3
垂径定理
0A=0B,且0M=0A.0N=0B,
·极速特训营
∴.OM=ON.又，CM⊥AB,DN⊥AB,
.Rt△COM≌R1△DON,
1B
解析，AB是⊙O的直径，AB⊥CD,
.∠COM=∠DON,
CE=2CD-12∠0BC=90,
∴.Ac-D.
方法2：如图，连接AC,BD,OC,OD.
2AB=13,
cos∠0E-票=最故选B
22√3
3解如图所示，过点O作OP⊥AB,垂足为P,
连接AO,
M是AO的中点，且CMLAB,
OP过圆心，OP⊥AB,
<配北师大版数学九年级下1275
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