4.6.3余角和补角跟踪训练（含详细解析）

第四章图形的初步认识4.6.3余角和补角
一．选择题（共8小题）
1．如图，OA⊥OB，若∠1=55°，则∠2的度数是（　　）
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A． 35° B．40° C．45° D． 60°
2如果α与β互为余角，则（　　）
A． α+β=180° B．α﹣β=180° C．α﹣β=90° D． α+β=90°
3．如图，点O在直线AB上，若∠1=40°，则∠2的度数是（　　）
A． 50° B．60° C．140° D． 150°
4．30°角的余角是（　　）
A． 30° B．60° C．120° D． 150°
5．如图，AO⊥OB于点O，∠AOC=50°，则∠BOC等于（　　）
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A． 30° B．40° C．50° D． 60°
6．直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起，在图中所标记的角中，与∠1互余的角有几个（　　）
A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 6个
7．如图，直线AB和DE相交于一点O，AB⊥CO，则∠COE与∠AOD一定（　　）
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A． 互补 B．互余 C 相等 D． 是对顶角
8．一个角的余角是这个角补角的三分之一，则这个角是（　　）
A． 30° B．60° C．45° D． 90°
二．填空题（共6小题）
9．若∠α的补角为76°28′，则∠α=　_________　．
10．已知∠α=13°，则∠α的余角大小是　_________　．
11．如图，将一幅三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，绕点O任意转动其中一个三角尺，则与∠AOD始终相等的角是　_________　．
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12．如图，点C在直线MN上，AC⊥BC于点C，∠1=65°，则∠2=　_________　°．
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13．已知∠A=35°，则∠A的补角是　_________　度．
14．如图，三角板的直角顶点在直线l上，若∠1=40°，则∠2的度数是　_________　．
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三．解答题（共8小题）
15．将直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起．在图中标记的角中，写出所有与∠1互余的角．
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16．如图所示，两副直角顶点重合的直角三角板摆放在桌面上，求证：∠AOD与∠BOC互补．
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17．已知∠β是∠α的3倍，且∠β的补角比∠α的余角小10°，求∠α的度数．
18．已知∠1与∠2互为补角，且∠2度数的一半比∠1大18°，求∠1的余角．
19．如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
（1）判断∠ACE与∠BCD的大小关系，并说明理由；
（2）若∠DCE=30°，求∠ACB的度数；
（3）猜想：∠ACB与∠DCE有怎样的数量关系，并说明理由．
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20．如图所示，已知DO⊥CO，∠1=36°，∠3=36°．
（1）求∠2的度数；
（2）AO与BO垂直吗？说明理由．
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21．如图，∠AOB和∠COD都是直角，OE是OD的反向延长线．
（1）试说明∠AOC=∠BOD；
（2）若∠BOD=50°，求∠AOE．
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22．如图所示，从点O出发的四条射线OA、OB、OC、OD，已知∠AOC=90°，∠BOD=90°．
（1）若∠BOC=30°，求∠AOB与∠COD的大小；
（2）若∠BOC=34°，求∠AOB与∠COD的大小；
（3）你能发现什么？
（4）你能说明你的发现吗？
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第四章图形的初步认识4.6.3余角和补角
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，OA⊥OB，若∠1=55°，则∠2的度数是（　　）
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A． 35° B．40° C．45° D． 60°
考点： 余角和补角．
分析： 根据两个角的和为90°，可得两角互余，可得答案．
解答： 解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
即∠2+∠1=90°，
∴∠2=35°，
故选：A．
点评： 本题考查了余角和补角，两个角的和为90°，这两个角互余．
2．如果α与β互为余角，则（　　）
A． α+β=180° B．α﹣β=180° C．α﹣β=90° D． α+β=90°
考点： 余角和补角．
专题： 常规题型．
分析： 根据互为余角的定义，可以得到答案．
解答： 解：如果α与β互为余角，则α+β=900．
故选：D．
点评： 此题主要考查了互为余角的性质，正确记忆互为余角的定义是解决问题的关键．
3．如图，点O在直线AB上，若∠1=40°，则∠2的度数是（　　）
A． 50° B．60° C．140° D． 150°
考点： 余角和补角．
专题： 常规题型．
分析： 根据互补两角之和为180°，求解即可．
解答： 解：∵∠1=40°，
∴∠2=180°﹣∠1=140°．
故选：C．
点评： 本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是掌握互补两角之和为180°．
4．30°角的余角是（　　）
A． 30° B．60° C．120° D． 150°
考点： 余角和补角．
分析： 和为90度的两个角互为余角，依此即可求解．
解答： 解：根据定义30°角的余角=90°﹣30°=60°．
故选B．
点评： 本题考查互余的概念，此题属于基础题，较简单，主要记住互为余角的两个角的和为90度．
5．如图，AO⊥OB于点O，∠AOC=50°，则∠BOC等于（　　）
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A． 30° B．40° C．50° D． 60°
考点： 余角和补角．
分析： 根据垂直的定义求得∠AOB的度数；然后结合余角的定义来求∠BOC的度数．
解答： 解：∵如图，AO⊥OB，
∴∠AOB=90°．
又∵∠AOC=50°，
∴∠BOC=90°﹣∠AOC=40°．
故选B．
点评： 考查了垂线，余角和补角．要注意领会由垂直得直角这一要点．
6．直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起，在图中所标记的角中，与∠1互余的角有几个（　　）
A． 2个 B．3个 C．4个 D． 6个
考点： 余角和补角．
专题： 计算题．
分析： 本题要注意到∠1与∠2互余，并且直尺的两边互相平行，可以考虑平行线的性质．
解答： 解：与∠1互余的角有∠2，∠3，∠4；一共3个．
故选B．
点评： 正确观察图形，由图形联想到学过的定理是数学学习的一个基本要求．
7．如图，直线AB和DE相交于一点O，AB⊥CO，则∠COE与∠AOD一定（　　）
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A． 互补 B．互余 C．相等 D． 是对顶角
考点： 余角和补角．
分析： 根据AB⊥CO，可知∠COE+∠ ( http: / / www.21cnjy.com )BOE=90°，然后根据对顶角相等可知∠AOD=∠BOE，继而可得∠AOD+∠COE=90°，可判断∠AOD和∠COE互余．
解答： 解：∵AB⊥CO，
∴∠COE+∠BOE=90°，
∵∠AOD和∠BOE是对顶角，
∴∠AOD=∠BOE，
则∠AOD+∠COE=90°，
即∠AOD和∠COE互余．
故选B．
点评： 本题考查了余角的知识，解答本题的关键是熟练掌握互余两角之和为90°，属于基础题．
8．一个角的余角是这个角补角的三分之一，则这个角是（　　）
A． 30° B．60° C．45° D． 90°
考点： 余角和补角．
分析： 设这个角为x，分别表示出它的余角和补角，然后可得出方程，解出即可．
解答： 解：设这个角为x，则余角为（90°﹣x），补角为（180°﹣x），
由题意得，（90°﹣x）=（180°﹣x），
解得：x=45，
即这个角为45°．
故选C．
点评： 本题考查了余角和补角的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握互余的两角之和为180°，互补的两角之和为180°．
二．填空题（共6小题）
9．若∠α的补角为76°28′，则∠α=　103°32′　．
考点： 余角和补角；度分秒的换算．
专题： 计算题．
分析： 根据互为补角的概念可得出∠α=180°﹣76°28′．
解答： 解：∵∠α的补角为76°28′，
∴∠α=180°﹣76°28′=103°32′，
故答案为：103°32′．
点评： 本题考查了余角和补角以及度分秒的换算，是基础题，要熟练掌握．
10．已知∠α=13°，则∠α的余角大小是　77°　．
考点： 余角和补角．
分析： 根据互为余角的两个角的和等于90°列式计算即可得解．
解答： 解：∵∠α=13°，
∴∠α的余角=90°﹣13°=77°．
故答案为：77°．
点评： 本题考查了余角的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
11．如图，将一幅三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，绕点O任意转动其中一个三角尺，则与∠AOD始终相等的角是　∠BOC　．
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考点： 余角和补角．
分析： 因为是一幅三角尺，所以∠AOB=∠ ( http: / / www.21cnjy.com )COD=90°，再利用∠AOD=∠AOB﹣∠BOD=90°﹣∠BOD，∠BOC=∠COD﹣∠BOD=90°﹣∠BOD，同角的余角相等，可知与∠AOD始终相等的角是∠BOC．
解答： 解：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOD=∠AOB﹣∠BOD=90°﹣∠BOD，∠BOC=∠COD﹣∠BOD=90°﹣∠BOD，
∴∠AOD=∠BOC．
故答案为：∠BOC．
点评： 本题主要考查了余角和补角．用到同角的余角相等．
12．如图，点C在直线MN上，AC⊥BC于点C，∠1=65°，则∠2=　25　°．
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考点： 余角和补角．
分析： 直接利用互余的两个角的和为90度，即可解答．
解答： 解：∵AC⊥BC，∠1=65°
∴∠2=90°﹣∠1
=90°﹣65°
=25°．
故答案为：25°．
点评： 此题考查余角的意义，掌握互余的两个角的和为90°，结合图形解决问题．
13．已知∠A=35°，则∠A的补角是　145　度．
考点： 余角和补角．
分析： 根据互补两角之和为180°即可求解．
解答： 解：∵∠A=35°，
∴∠A的补角=180°﹣35°=145°．
故答案为：145．
点评： 本题考查了补角的知识，掌握互补两角之和等于180°是解题的关键．
14．如图，三角板的直角顶点在直线l上，若∠1=40°，则∠2的度数是　50°　．
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考点： 余角和补角．
分析： 由三角板的直角顶点在直线l上，根据平角的定义可知∠1与∠2互余，又∠1=40°，即可求得∠2的度数．
解答： 解：如图，三角板的直角顶点在直线l上，
则∠1+∠2=180°﹣90°=90°，
∵∠1=40°，
∴∠2=50°．
故答案为50°．
点评： 本题考查了余角及平角的定义，正确观察图形，得出∠1与∠2互余是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
15．将直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起．在图中标记的角中，写出所有与∠1互余的角．
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考点： 余角和补角；对顶角、邻补角；平行线的性质．
分析： 考查余角的基本概念，与∠1互余的角是∠2，又因为∠2与∠4是同位角，∠4与∠3是对顶角，故可求解．
解答： 解：∵直尺的两边平行，
∴∠2=∠3；
∵∠3=∠4，∠1+∠2=90°，
∴∠1的余角有：∠2，∠3，∠4．
点评： 注意图中条件，找出相等的角．互余的两角和为90°，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角，叫做对顶角．
16．如图所示，两副直角顶点重合的直角三角板摆放在桌面上，求证：∠AOD与∠BOC互补．
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考点： 余角和补角．
专题： 证明题．
分析： 根据直角三角板可得∠AOB=90°，∠COD=90°，然后再根据∠AOD=∠AOB+∠BOD可得∠AOD+∠COB=∠AOB+∠BOD+∠COB=∠AOB+∠COD，进而得到互补．
解答： 证明：∵∠AOB=90°，∠COD=90°，
∴∠AOD+∠COB=∠AOB+∠BOD+∠COB=∠AOB+∠COD=180°．
∴∠AOD与∠BOC互补．
点评： 此题主要考查了补角，关键是掌握如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
17．已知∠β是∠α的3倍，且∠β的补角比∠α的余角小10°，求∠α的度数．
考点： 余角和补角．
分析： 根据∠β的补角比∠α的余角小10°列出方程（90°﹣∠α）﹣（180°﹣3∠α）=10°求得∠α的度数即可．
解答： 解：∵∠β是∠α的3倍，
∴∠β=3∠α，
∵∠β的补角比∠α的余角小10°，
∴（90°﹣∠α）﹣（180°﹣3∠α）=10°，
解得：∠α=50°，
∴∠α的度数为50°．
点评： 本题考查了余角和补角的知识，解题的关键是会表示出一个角的补角和余角．
18．已知∠1与∠2互为补角，且∠2度数的一半比∠1大18°，求∠1的余角．
考点： 余角和补角．
分析： 根据补角的性质，可用∠1表示∠2，根据∠1与∠2的关系，可得关于∠1的方程，根据解方程，可得答案．
解答： 解：由∠1与∠2互为补角，得
∠2=180°﹣∠1．
由∠2度数的一半比∠1大18°，得
∠1+18°=（180°﹣∠1）．
解得∠1=48°，
∠1的余角=90°﹣∠1
=90°﹣48°
=42°．
点评： 本题考查了余角和补角，利用了余角的性质，补角的性质．
19．如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
（1）判断∠ACE与∠BCD的大小关系，并说明理由；
（2）若∠DCE=30°，求∠ACB的度数；
（3）猜想：∠ACB与∠DCE有怎样的数量关系，并说明理由．
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考点： 余角和补角．
分析： （1）根据余角的性质，可得答案；
（2）根据余角的定义，可得∠ACE，根据角的和差，可得答案；
（3）根据补角的定义，可得答案．
解答： 解：（1）∠ACE=∠BCD，理由如下：
∵∠ACE+∠DCE=90°，∠BCD+∠DCE=90°，
∴∠ACE=∠BCD；
（2）由余角的定义，得∠ACE=90°﹣∠DCE=90°﹣30°=60°，
由角的和差，得∠ACB=∠ACE+∠BCE=60°+90°=150°；
（3）∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：
由角的和差，得∠ACB=∠BCE+∠ACE，
∠ACB+∠DCE=∠BCE+（∠ACE+DCE）=∠BCE+∠ACE=180°．
点评： 本题考查了余角和补角，利用了余角的性质，补角的性质，角的和差．
20．如图所示，已知DO⊥CO，∠1=36°，∠3=36°．
（1）求∠2的度数；
（2）AO与BO垂直吗？说明理由．
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考点： 余角和补角．
分析： （1）根据DO⊥CO，则∠COD=90°，即∠1和∠2互余，据此即可求解；
（2）利用等量代换即可证得∠AOB=90°，据此即可证得．
解答： 解：（1）∵DO⊥CO，
∴∠COD=90°，即∠1+∠2=90°，
∴∠2=90°﹣∠1=90°﹣36°=54°；
（2）AO⊥BO．
理由是：∵∠1+∠2=90°，
又∵∠3=∠1，
∴∠2+∠3=90°，即∠AOB=90°，
∴AO⊥BO．
点评： 本题考查了互余的定义以及等量代换，正确进行角度的计算是关键．
21．如图，∠AOB和∠COD都是直角，OE是OD的反向延长线．
（1）试说明∠AOC=∠BOD；
（2）若∠BOD=50°，求∠AOE．
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考点： 余角和补角．
分析： （1）根据余角的计算即可解题；
（2）根据余角的和为90°即可求得∠AOE的值．
解答： 解：（1）∵∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，∠COD=∠BOD+∠BOC=90°，
∴∠AOC=∠BOD；
（2）∵∠BOD=50°，
∴∠AOC=50°，
∴∠AOE=90°﹣50°=40°．
点评： 本题考查了余角和为90°的性质，考查了补角和为180°的性质．
22．如图所示，从点O出发的四条射线OA、OB、OC、OD，已知∠AOC=90°，∠BOD=90°．
（1）若∠BOC=30°，求∠AOB与∠COD的大小；
（2）若∠BOC=34°，求∠AOB与∠COD的大小；
（3）你能发现什么？
（4）你能说明你的发现吗？
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考点： 余角和补角．
分析： （1）根据OA⊥OC得到∠AOC=90°，所以∠AOB=90°﹣∠BOC，同理可得∠COD的度数；
（2）与（1）的求解方法完全相同；
（3）∠AOB=∠COD相等．
（4）由∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC=90°，可得到∠AOB=∠COD．
解答： 解：解：（1）∵∠AOC=90°，
∴∠AOB+∠BOC=90°，
∵∠BOC=30°，
∴∠AOB+30°=90°，
∴∠AOB=60°，
同理可得：∠COD=60°．
（2）∵∠AOC=90°，
∴∠AOB+∠BOC=90°，
∵∠BOC=34°，
∴∠AOB+34°=90°，
∴∠AOB=56°，
同理可得：∠COD=56°；
（3）从（1）、（2）的运算知道：
∠AOB=∠COD．
（4）∵∠AOC=90°，∠BOD=90°，
∴∠AOB+∠BOC=90°，
∠COD+∠BOC=90°，
∴∠AOB=90°﹣∠BOC，
∠COD=90°﹣∠BOC，
∴∠AOB=∠COD．
点评： 本题主要考查角的运算，看懂图形，准确找出角的和差关系便不难进行求