2023-2024学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册课后习题 第一章 1-1-1 空间向量及其线性运算（含解析）

第一章　空间向量与立体几何
1.1　空间向量及其运算
1.1.1　空间向量及其线性运算
A级 必备知识基础练
1.给出下列命题:
①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点,则它们的终点构成一个圆;②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;③若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p;④空间中任意两个单位向量必相等;⑤零向量没有方向.其中假命题的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(多选题)下列说法错误的是(　　)
A.在平面内共线的向量在空间不一定共线
B.在空间共线的向量在平面内不一定共线
C.在平面内共线的向量在空间一定不共线
D.在空间共线的向量在平面内一定共线
3.如图,在长方体ABCD -A1B1C1D1中,=(　　)
A. B. C. D.
4.已知是空间两个不共线的向量,=3-2,那么必有(　　)
A.共线
B.共线
C.共面
D.不共面
5.在空间四边形ABCD中,若E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA边上的中点,则下列各式中成立的是(　　)
A.=0
B.=0
C.=0
D.=0
6.如图,在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,设=a,=b,=c,则=(　　)
A.-a-b+c B.a-b+c
C.a-b-c D.a+b-c
7.在正方体ABCD -A1B1C1D1中,点E,F分别是底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D的中心,若+λ=0(λ∈R),则λ=　　　　　.
8.设e1,e2是空间两个不共线的向量,已知=e1+ke2,=5e1+4e2,=-e1-2e2,且A,B,D三点共线,则实数k的值是　　　　　.
9.如图,在长方体ABCD -A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中:
(1)单位向量共有多少个
(2)试写出模为的所有向量.
(3)试写出与相等的所有向量.
(4)试写出的相反向量.
B级 关键能力提升练
10.设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且,则四边形ABCD是(　　)
A.空间四边形 B.平行四边形
C.等腰梯形 D.矩形
11.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E为PD的中点.若=a,=b,=c,则=(　　)
A.a-b+c
B.a-b-c
C.a-b+c
D.a-b+c
12.已知正方体ABCD -A1B1C1D1,P,M为空间任意两点,如果有+7+6-4,那么M必(　　)
A.在平面BAD1内 B.在平面BA1D内
C.在平面BA1D1内 D.在平面AB1C1内
13.(多选题)在正方体ABCD -A1B1C1D1中,AC1的中点为O,则下列命题中错误的是 (　　)
A.是一对相等向量
B.是一对相反向量
C.是一对相等向量
D.是一对相反向量
14.(多选题)已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',则下列选项中正确的有(　　)
A.
B.
C.
D.
15.已知A,B,C三点不共线,O是平面ABC外任一点,若由+λ确定的一点P与A,B,C三点共面,则λ=　　　　　.
16.已知正方体ABCD -A1B1C1D1,,若=x+y(),则x=　　　　,y=　　　　.
17. 在长方体ABCD -A1B1C1D1中,M为DD1的中点,点N在AC上,且AN∶NC=2∶1,求证: 共面.
C级 学科素养创新练
18.已知A,B,C三点共线,则对空间任一点O,存在三个不同为0的实数λ,m,n,使λ+m+n=0,那么λ+m+n的值为　　　　　.
1.1.1　空间向量及其线性运算
1.D　①假命题.若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点,则它们的终点将构成一个球面,而不是一个圆.②假命题.根据向量相等的定义,要保证两向量相等,不仅模要相等,而且方向还要相同,但②中向量a与b的方向不一定相同.③真命题.向量的相等具有传递性.④假命题.空间中任意两个单位向量的模长均为1,但方向不一定相同,所以不一定相等.⑤假命题.零向量的方向是任意的.
2.ABC
3.D　在长方体ABCD-A1B1C1D1中,=()+.
4.C　由共面向量定理知,共面.
5.B　,易证四边形EFGH为平行四边形,故=0,故选B.
6.A　根据向量减法的三角形法则得到-()=c+b-a-b=-a-b+c.故选A.
7.-　在△C1A1D中,EF是其中位线,所以,且,因此当+λ=0时,λ=-.
8.1　因为=5e1+4e2,=-e1-2e2,所以=(5e1+4e2)+(e1+2e2)=6e1+6e2.
又因为A,B,D三点共线,所以=λ,
所以e1+ke2=λ(6e1+6e2).
因为e1,e2是不共线向量,所以故k=1.
9.解(1)模为1的向量有,共8个单位向量.
(2)由于这个长方体的左右两侧面的对角线长均为,因此模为的向量为.
(3)与向量相等的向量(除它自身之外)为.
(4)向量的相反向量为.
10.B　由已知得,即是相等向量,因此的模相等,方向相同,即四边形ABCD是平行四边形.
11.C　)=-)=-=-)+)=-a-b+c.
故选C.
12.C　由于+7+6-4+6-4+6-4+6()-4()=11-6-4,因此M,B,A1,D1四点共面,即M必在平面BA1D1内.
13.ABC　选项A中是一对相反向量,B中是一对相等向量,C中是一对相反向量,D中也是一对相反向量.
14.ABC　作出平行六面体ABCD-A'B'C'D'的图象如图,可得,故A正确;,故B正确;C显然正确;,故D不正确.综上,正确的有ABC.
15.　因为点P与A,B,C三点共面,
所以+λ=1,解得λ=.
16.1　),∴x=1,y=.
17.证明∵,
,
),
∴)-)+=,
∴共面.
18.0　∵A,B,C三点共线,
∴存在实数k,使得=k.
∵,
∴=k(),
化简整理得-(k+1)+k=0,
∵λ+m+n=0,
∴①当k=-1时,比较系数得m=0且λ=-n,
∴λ+m+n=0.
②当k≠-1时,可得,
得m=(-k-1)λ,n=kλ;