2023-2024学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册课后习题 第一章 1-1-2 空间向量的数量积运算（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册课后习题 第一章 1-1-2 空间向量的数量积运算（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 158.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-28 17:10:17 | ||
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文档简介
1.1.2 空间向量的数量积运算
A级 必备知识基础练
1.(多选题)下列各选项中,一定正确的有( )
A.=|a|
B.m(λa)·b=(mλ)a·b(m,λ∈R)
C.a·(b+c)=(b+c)·a
D.a2b=b2a
2.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为( )
A.-6 B.6 C.3 D.-3
3.已知a=3p-2q,b=p+q,p和q是相互垂直的单位向量,则a·b=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知|a|=1,|b|=,且a-b与a垂直,则a与b的夹角为( )
A.30° B.45° C.135° D.60°
5.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(-2)·()=0,则△ABC是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
6.(多选题)如图,已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积为零的是( )
A.
B.
C.
D.
7.已知空间向量a,b,c中每两个的夹角都是,且|a|=4,|b|=6,|c|=2,则|a+b+c|= .
8.在平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,PA=6,求PC的长.
B级 关键能力提升练
9.若空间向量a与b不共线,a·b≠0,且c=a-b≠0,则向量a与c的夹角为( )
A.0 B. C. D.
10. (多选题)如图所示,已知空间四边形每条边和对角线长都为a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是( )
A.2 B.2
C.2 D.2
11.(多选题)设a,b,c是任意的非零空间向量,且两两不共线,则下列结论正确的有( )
A.(a·b)c-(c·a)b=0
B.|a|-|b|<|a-b|
C.(b·a)c-(c·a)b不与c垂直
D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2
12.已知向量a,b,c两两夹角都是60°,且|a|=|b|=|c|=1,则|a-2b+c|= .
13.如图,在正四面体ABCD中,棱长为a,M,N分别是棱AB,CD上的点,且MB=2AM,CN=ND,求MN的长.
C级 学科素养创新练
14.如图所示,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,…,8)是上底面上其余的八个点,则(i=1,2,…,8)的不同值的个数为( )
A.8 B.4 C.2 D.1
1.1.2 空间向量的数量积运算
1.ABC ∵a·a=|a|2,故=|a|,A正确;m(λa)·b=(mλa)·b=mλa·b=(mλ)a·b,故B正确;a·(b+c)=a·b+a·c=b·a+c·a=(b+c)·a,故C正确;a2b=|a|2b,b2a=|b|2a,|a|2b与|b|2a不一定是相等向量,故D不正确.
2.B 由题意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,
∴(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,∴2k-12=0,∴k=6.
3.A 由条件知p·q=0,p2=q2=1,
所以a·b=(3p-2q)·(p+q)=3p2-2q2+p·q=1.
4.B ∵a-b与a垂直,∴(a-b)·a=0,
∴a·a-a·b=|a|2-|a||b|cos=1-1××cos=0,∴cos=.
∵0°≤≤180°,∴=45°.
5.B 因为-2=()+()=,
所以(-2)·()=()·()==0,
所以||=||,因此△ABC是等腰三角形.
6.BCD 因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,故=0;因为AD⊥AB,AD⊥PA,且PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB,故AD⊥PB,则=0;同理可得=0;而PC与AD所成角为∠PCB,显然不垂直.
7.10 ∵|a|=4,|b|=6,|c|=2,且===,
∴|a+b+c|2=(a+b+c)·(a+b+c)=|a|2+|b|2+|c|2+2a·b+2a·c+2b·c
=|a|2+|b|2+|c|2+2|a||b|cos+2|a||c|cos+2|b||c|cos=42+62+22+4×6+4×2+6×2=100,∴|a+b+c|=10.
8.解因为,
所以||2=()2=||2+||2+||2+2+2+2=62+42+32+2||||cos 120°=61-12=49,
所以||=7,即PC=7.
9.D ∵a·c=a·a-b=a·a-a·b=0,∴a⊥c.故选D.
10.BC 2=2a2cos 120°=-a2,
2=2=2a2cos 60°=a2,
2=a2,
2=-=-a2.
11.BD 根据空间向量数量积的定义及性质,可知a·b和c·a是实数,而c与b不共线,故(a·b)c与(c·a)b一定不相等,故A错误;因为[(b·a)c-(c·a)b]·c=(b·a)c2-(c·a)(b·c),所以当a⊥b,且a⊥c或b⊥c时,[(b·a)c-(c·a)b]·c=0,即(b·a)c-(c·a)b与c垂直,故C错误;易知BD正确.
故选BD.
12. 因为|a-2b+c|2=a2+4b2+c2-4a·b-4b·c+2a·c=1+4+1-4×cos 60°-4×cos 60°+2×cos 60°=3,所以|a-2b+c|=.
13.解∵+()+)=-,
∴||2=|2+|2+|2-a2-a2cos 60°-a2cos 60°+a2cos 60°=a2,
故||=a,即MN=a.
14.D ·()=,
∵AB⊥平面BP2P8P6,
∴,
∴=0,
A级 必备知识基础练
1.(多选题)下列各选项中,一定正确的有( )
A.=|a|
B.m(λa)·b=(mλ)a·b(m,λ∈R)
C.a·(b+c)=(b+c)·a
D.a2b=b2a
2.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为( )
A.-6 B.6 C.3 D.-3
3.已知a=3p-2q,b=p+q,p和q是相互垂直的单位向量,则a·b=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知|a|=1,|b|=,且a-b与a垂直,则a与b的夹角为( )
A.30° B.45° C.135° D.60°
5.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(-2)·()=0,则△ABC是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
6.(多选题)如图,已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积为零的是( )
A.
B.
C.
D.
7.已知空间向量a,b,c中每两个的夹角都是,且|a|=4,|b|=6,|c|=2,则|a+b+c|= .
8.在平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,PA=6,求PC的长.
B级 关键能力提升练
9.若空间向量a与b不共线,a·b≠0,且c=a-b≠0,则向量a与c的夹角为( )
A.0 B. C. D.
10. (多选题)如图所示,已知空间四边形每条边和对角线长都为a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是( )
A.2 B.2
C.2 D.2
11.(多选题)设a,b,c是任意的非零空间向量,且两两不共线,则下列结论正确的有( )
A.(a·b)c-(c·a)b=0
B.|a|-|b|<|a-b|
C.(b·a)c-(c·a)b不与c垂直
D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2
12.已知向量a,b,c两两夹角都是60°,且|a|=|b|=|c|=1,则|a-2b+c|= .
13.如图,在正四面体ABCD中,棱长为a,M,N分别是棱AB,CD上的点,且MB=2AM,CN=ND,求MN的长.
C级 学科素养创新练
14.如图所示,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,…,8)是上底面上其余的八个点,则(i=1,2,…,8)的不同值的个数为( )
A.8 B.4 C.2 D.1
1.1.2 空间向量的数量积运算
1.ABC ∵a·a=|a|2,故=|a|,A正确;m(λa)·b=(mλa)·b=mλa·b=(mλ)a·b,故B正确;a·(b+c)=a·b+a·c=b·a+c·a=(b+c)·a,故C正确;a2b=|a|2b,b2a=|b|2a,|a|2b与|b|2a不一定是相等向量,故D不正确.
2.B 由题意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,
∴(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,∴2k-12=0,∴k=6.
3.A 由条件知p·q=0,p2=q2=1,
所以a·b=(3p-2q)·(p+q)=3p2-2q2+p·q=1.
4.B ∵a-b与a垂直,∴(a-b)·a=0,
∴a·a-a·b=|a|2-|a||b|cos
∵0°≤
5.B 因为-2=()+()=,
所以(-2)·()=()·()==0,
所以||=||,因此△ABC是等腰三角形.
6.BCD 因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,故=0;因为AD⊥AB,AD⊥PA,且PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB,故AD⊥PB,则=0;同理可得=0;而PC与AD所成角为∠PCB,显然不垂直.
7.10 ∵|a|=4,|b|=6,|c|=2,且
∴|a+b+c|2=(a+b+c)·(a+b+c)=|a|2+|b|2+|c|2+2a·b+2a·c+2b·c
=|a|2+|b|2+|c|2+2|a||b|cos
8.解因为,
所以||2=()2=||2+||2+||2+2+2+2=62+42+32+2||||cos 120°=61-12=49,
所以||=7,即PC=7.
9.D ∵a·c=a·a-b=a·a-a·b=0,∴a⊥c.故选D.
10.BC 2=2a2cos 120°=-a2,
2=2=2a2cos 60°=a2,
2=a2,
2=-=-a2.
11.BD 根据空间向量数量积的定义及性质,可知a·b和c·a是实数,而c与b不共线,故(a·b)c与(c·a)b一定不相等,故A错误;因为[(b·a)c-(c·a)b]·c=(b·a)c2-(c·a)(b·c),所以当a⊥b,且a⊥c或b⊥c时,[(b·a)c-(c·a)b]·c=0,即(b·a)c-(c·a)b与c垂直,故C错误;易知BD正确.
故选BD.
12. 因为|a-2b+c|2=a2+4b2+c2-4a·b-4b·c+2a·c=1+4+1-4×cos 60°-4×cos 60°+2×cos 60°=3,所以|a-2b+c|=.
13.解∵+()+)=-,
∴||2=|2+|2+|2-a2-a2cos 60°-a2cos 60°+a2cos 60°=a2,
故||=a,即MN=a.
14.D ·()=,
∵AB⊥平面BP2P8P6,
∴,
∴=0,