2023-2024学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册课后习题 第一章 1-4-1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示及空间中直线、平面的平行（含解析）

1.4　空间向量的应用
1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示及空间中直线、平面的平行
A级 必备知识基础练
1.若A(-1,0,2),B(1,4,10)在直线l上,则直线l的一个方向向量为(　　)
A.(1,2,4) B.(1,4,2)
C.(2,1,4) D.(4,2,1)
2.(多选题)若直线l的方向向量为m,平面α的法向量为n,则不可能使l∥α的是(　　)
A.m=(1,0,0),n=(-2,0,0)
B.m=(1,3,5),n=(1,0,1)
C.m=(0,2,1),n=(-1,0,-1)
D.m=(1,-1,3),n=(0,3,1)
3.设a=(3,-2,-1)是直线l的方向向量,n=(1,2,-1)是平面α的法向量,则(　　)
A.l⊥α B.l∥α
C.l∥α或l α D.l⊥α或l α
4.已知直线l∥平面ABC,且l的一个方向向量为a=(2,m,1),A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),则实数m的值是　　　　　.
5.在棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1中,求平面ACD1的一个法向量n.
B级 关键能力提升练
6. (多选题)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,平行六面体的各棱长均相等.下列结论中正确的是(　　)
A.A1M∥D1P
B.A1M∥B1Q
C.A1M∥平面DCC1D1
D.A1M∥平面D1PQB1
7.(多选题)下列命题是假命题的为(　　)
A.若向量p=xa+yb,则p与a,b共面
B.若p与a,b共面,则p=xa+yb
C.若=x+y,则P,M,A,B四点共面
D.若P,M,A,B四点共面,则=x+y
8.平面α的法向量u=(x,1,-2),平面β的法向量v=,已知α∥β,则x+y=　　　　　.
9.若A0,2,,B1,-1,,C-2,1,是平面α内的三点,设平面α的法向量a=(x,y,z),则x∶y∶z=　　　　　　　　　　　.
10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=DD1=1,AB=,E,F,G分别是棱AB,BC,CC1的中点,P是底面ABCD(不含边界)内的动点,若直线D1P与平面EFG平行,求△BB1P的面积的最小值.
C级 学科素养创新练
11.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,P,Q是正方体表面上相异两点,满足BP⊥A1E,BQ⊥A1E.
(1)若P,Q均在平面A1B1C1D1内,则PQ与BD的位置关系是　　　　　;
(2)在(1)的条件下,||的最小值为　　　　　.
第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示及空间中直线、平面的平行
1.A　由已知得=(1,4,10)-(-1,0,2)=(2,4,8)=2×(1,2,4),故选项A中的向量与共线,故选A.
2.ABC　若l∥α,则需m⊥n,即m·n=0,
根据选项验证可知:A中,m·n=-2;B中,m·n=6;C中,m·n=-1;D中,m·n=0,故选ABC.
3.C　∵a·n=0,
∴a⊥n,可知l∥α或l α.
4.-3　∵直线l∥平面ABC,∴存在实数x,y,使a=x+y=(1,0,-1),=(0,1,-1),
∴(2,m,1)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)=(x,y,-x-y),
∴
∴m=-3.
5. 解如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1).
设平面ACD1的法向量n=(x,y,z).
∵=(-1,1,0),
=(-1,0,1),
∴
∴
化简,得令x=1,得y=z=1.
∴平面ACD1的一个法向量n=(1,1,1).
6.ACD　因为,
,
所以,从而A1M∥D1P,易得ACD正确.
又B1Q与D1P不平行,故B不正确.
7.BD　易知A,C为真命题;B中需满足a,b不共线;D中需满足M,A,B三点不共线.
8.　因为α∥β,所以u∥v.则,
即故x+y=.
9.2∶3∶(-4)　因为=1,-3,-,
=-2,-1,-,
又因为a·=0,a·=0,
所以解得
所以x∶y∶z=y∶y∶-y=2∶3∶(-4).
10. 解 如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,,0),C(0,,0),D1(0,0,1),C1(0,,1),
∴E1,,0,F,0,G0,,
∴=-,0,=-,0,.
设n=(x,y,z)是平面EFG的法向量,则
即令x=,则y=1,z=,
∴平面EFG的一个法向量n=(,1,).
设P(m,s,0)(0=(m-1,s-,0).
∵D1P∥平面EFG,∴n⊥,∴n·m+s-=0,∴s=m,易知BB1=1,∴BB1×BP=×1×,
当m=时,取得最小值.
11.(1)平行　(2)　(1)以D为原点,以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则A1(1,0,1),E,B(1,1,0),若P,Q均在平面A1B1C1D1内,所以设P(a,b,1),Q(m,n,1),=(a-1,b-1,1),=(m-1,n-1,1).
因为BP⊥A1E,BQ⊥A1E,
所以
解得
=(m-a,n-b,0)=(n-b,n-b,0),=(-1,-1,0),所以PQ与BD的位置关系是平行.