2023-2024学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册课后习题 第一章 1-4-1 第2课时 空间中直线、平面的垂直（含解析）

第2课时　空间中直线、平面的垂直
A级 必备知识基础练
1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,N是BC的中点,=λ=3.若PN⊥BM,则λ=(　　)
A. B. C. D.
2.(多选题)在菱形ABCD中,若是平面ABCD的法向量,则以下等式中一定成立的是(　　)
A.=0 B.=0
C.=0 D.=0
3. (多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,M,N分别是棱DD1,D1C1的中点,则直线OM(　　)
A.和AC垂直
B.和AA1垂直
C.和MN垂直
D.与AC,MN都不垂直
4.已知平面α的一个法向量a=(x,1,-2),平面β的一个法向量b=-1,y,.若α⊥β,则x-y=　　　　.
5.已知空间四点A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,则P的坐标为　　　　　.
6.在棱长为a的正方体OABC -O1A1B1C1中,E,F分别是AB,BC上的动点,且AE=BF,求证:A1F⊥C1E.
7.如图,在四棱锥P -ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.求证:CD⊥平面PAE.
8.如图所示,△ABC是一个正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD.求证:平面DEA⊥平面ECA.
B级 关键能力提升练
9.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为(　　)
A.,-,4 B.,-,4
C.,-2,4 D.4,,-15
10. 如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,P是AA1的中点,点M在侧面AA1B1B(含边界)内,若D1M⊥CP,则△BCM面积的最小值为 (　　)
A.8 B.4 C.8 D.
11.(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,若=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1),则下列结论正确的有(　　)
A.AP⊥AB
B.AP⊥AD
C.是平面ABCD的一个法向量
D.
12.如图所示,已知矩形ABCD,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等于　　　　　.
13.在正方体ABCD -A1B1C1D1中,E是棱BC的中点,试在棱CC1上求一点P,使得平面A1B1P⊥平面C1DE.
14.如图所示,在四棱锥P -ABCD中,底面ABCD为直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°,侧面PAD⊥底面ABCD.若PA=AB=BC=AD.
(1)求证:CD⊥平面PAC.
(2)侧棱PA上是否存在点E,使得BE∥平面PCD 若存在,求出点E的位置并证明;若不存在,请说明理由.
C级 学科素养创新练
15.如图,在三棱柱 ABC -A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1的中点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.若点Q在B1P上,则下列结论正确的是(　　)
A.当Q为线段B1P的中点时,DQ⊥平面A1BD
B.当Q为线段B1P的三等分点时,DQ⊥平面A1BD
C.在线段B1P的延长线上,存在一点Q,使得DQ⊥平面A1BD
D.不存在点Q,使得DQ⊥平面A1BD
第2课时　空间中直线、平面的垂直
1.C　如图,以AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Axyz,则P(λ,0,1),N,0,B(1,0,0),M0,1,,=-λ,,-1,=-1,1,,所以=λ-=0,即λ=.故选C.
2.ABD　∵PA⊥平面ABCD,∴BD⊥PA.
又AC⊥BD,AC∩PA=A,
∴BD⊥平面PAC,∵PC 平面PAC,∴PC⊥BD.
故A,B,D都成立.
3.AC　以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略).设正方体的棱长为2a,则D(0,0,0),D1(0,0,2a),M(0,0,a),A(2a,0,0),C(0,2a,0),O(a,a,0),N(0,a,2a).
∴=(-a,-a,a),=(0,a,a),=(-2a,2a,0).
∴=0,=0,
∴OM⊥AC,OM⊥MN.OM和AA1显然不垂直.
4.-1　因为α⊥β,所以a⊥b,所以-x+y-1=0,得x-y=-1.
5.(-1,0,2)　由题意得=(-x,1,-z),=(-1,-1,-1),=(2,0,1),由,得=x-1+z=0,由,得=-2x-z=0,
解得故点P的坐标为(-1,0,2).
6.证明以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(a,0,a),C1(0,a,a).设AE=BF=x,
则E(a,x,0),F(a-x,a,0).
所以=(-x,a,-a),
=(a,x-a,-a).
因为=(-x,a,-a)·(a,x-a,-a)=-ax+ax-a2+a2=0,
所以,即A1F⊥C1E.
7.证明如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
设PA=h,
则A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).
易知=(-4,2,0),=(2,4,0),=(0,0,h).
∵=-8+8+0=0,
=0,
∴CD⊥AE,CD⊥AP.
∵AP∩AE=A,∴CD⊥平面PAE.
8.证明建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,不妨设CA=2,则CE=2,BD=1,C(0,0,0),A(,1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1).
所以=(,1,-2),=(0,0,2),=(0,2,-1).
分别设平面ECA与平面DEA的法向量是n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),则
即
解得
即
解得不妨取n1=(1,-,0),n2=(,1,2),因为n1·n2=0,所以n1⊥n2.
所以平面DEA⊥平面ECA.
9.B　∵,∴=0,
即3+5-2z=0,得z=4,
又BP⊥平面ABC,∴,
则解得
10.D　以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如图.
则P(4,0,2),C(0,4,0),D1(0,0,4),B(4,4,0).
设M(4,a,b)(0≤a≤4,0≤b≤4),
则=(4,a,b-4),=(4,-4,2).∵D1M⊥CP,
∴=16-4a+2b-8=0,得b=2a-4,
∴M(4,a,2a-4),
∴|BM|=
=,
当a=时,|BM|取最小值,
易知|BC|=4,
∴S△BCM的最小值为×4×.故选D.
11.ABC　∵=-2-2+4=0,∴,
∴AP⊥AB,故A正确;
∵=-4+4+0=0,∴,∴AP⊥AD,故B正确;
∵AP⊥AB,AP⊥AD,AB∩AD=A,
∴AP⊥平面ABCD,
∴是平面ABCD的一个法向量,故C正确;
=(2,3,4),设=λ,即方程组无解,故D错误.
故选ABC.
12.2　以A为原点,建立如图所示空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,a,0),C(1,a,0),
设Q(1,x,0),P(0,0,z),=(1,x,-z),=(-1,a-x,0).
由=0,
得-1+x(a-x)=0,
即x2-ax+1=0.
当Δ=a2-4=0,
即当a=2时,点Q只有一个.
13.解如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1,则P(0,1,a),A1(1,0,1),B1(1,1,1),
E,C1(0,1,1),=(0,1,0),=(-1,1,a-1),=(0,1,1).
设平面A1B1P的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),
则
令z1=1,得x1=a-1,∴n1=(a-1,0,1).
设平面C1DE的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),
则
令y2=1,得x2=-2,z2=-1,∴n2=(-2,1,-1).
∵平面A1B1P⊥平面C1DE,
∴n1⊥n2,即n1·n2=0.
∴-2(a-1)+0+(-1)=0,∴a=.
故P.
14.解因为∠PAD=90°,所以PA⊥AD.
又因为侧面PAD⊥底面ABCD,且侧面PAD∩底面ABCD=AD,所以PA⊥底面ABCD.
∠BAD=90°,
所以AB,AD,AP两两垂直.分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设AD=2,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1).
(1)证明:=(0,0,1),=(1,1,0),=(-1,1,0),可得=0,=0,所以AP⊥CD,AC⊥CD.
又因为AP∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.
(2)当E为PA的中点时,BE∥平面PCD.证明如下:
设E是侧棱PA的中点,
则E0,0,,=-1,0,.
设平面PCD的法向量是n=(x,y,z),则
因为=(-1,1,0),=(0,2,-1),
所以
取x=1,则y=1,z=2,所以平面PCD的一个法向量为n=(1,1,2).
所以n·=(1,1,2)·-1,0,=0,所以n⊥.
因为BE 平面PCD,所以BE∥平面PCD.
综上所述,当E为PA的中点时,BE∥平面PCD.
15.D　以点A1为坐标原点,A1B1,A1C1,A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则由已知得A1(0,0,0),B1(1,0,0),C1(0,1,0),B(1,0,1),D,P(0,2,0),
则=(1,0,1),=(-1,2,0),.
设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),
则取z=-2,则x=2,y=1,
所以平面A1BD的一个法向量为n=(2,1,-2).
假设DQ⊥平面A1BD,
且=λ=λ(-1,2,0)=(-λ,2λ,0),
则.
因为也是平面A1BD的一个法向量,
所以n=(2,1,-2)与=1-λ,-1+2λ,-共线,
则成立,