2023-2024学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册课后习题 第一章 1-4-2 第1课时 距离问题（含解析）

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时　距离问题
A级 必备知识基础练
1.若O为坐标原点,=(1,1,-2),=(3,2,8),=(0,1,0),则线段AB的中点P到点C的距离为(　　)
A. B.2 C. D.
2.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,则点C1到直线CE的距离为 (　　)
A. B. C. D.
3.在棱长为a的正方体ABCD -A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离是(　　)
A. B. C. D.
4.如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD.若已知AB=3,AD=4,PA=1,则点P到直线BD的距离为　　　　　.
第4题图　　　第5题图
5.如图,直三棱柱ABC -A1B1C1的侧棱AA1=,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,则点B1到平面A1BC的距离为　　　　　.
6.已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.
(1)求点D到平面PEF的距离;
(2)求直线AC到平面PEF的距离.
B级 关键能力提升练
7.在空间直角坐标系中,定义:平面α的一般方程为Ax+By+Cz+D=0(A,B,C,D∈R,且A,B,C不同时为零),点P(x0,y0,z0)到平面α的距离d=,则在底面边长与高都为2的正四棱锥P-ABCD中,底面中心O到侧面PAB的距离d等于(　　)
A. B.
C.2 D.5
8.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E,F为CD上两个动点,且EF的长为定值,则点Q到平面PEF的距离(　　)
A.等于a
B.和EF的长度有关
C.等于a
D.和点Q的位置有关
9.(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E是A1B1的中点,P在正方体内部且满足,则下列说法正确的是(　　)
A.点A到直线BE的距离是
B.点A到直线BE的距离是
C.平面A1BD与平面B1CD1间的距离为
D.点P到直线AB的距离为
10.棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,C1C的中点,G为线段DD1上的点,且DG=DD1,过E,F,G的平面交AA1于点H,则A1D1到平面EFGH的距离为　　　　　.
11.正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为4,M,N,E,F分别为A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中点,则平面AMN与平面EFBD的距离为　　　　　.
12. 如图,已知四边形ABCD为矩形,四边形ABEF为直角梯形,FA⊥AB,AD=AF=FE=1,AB=2,AD⊥BE.
(1)求证:BE⊥DE;
(2)求点F到平面CBE的距离.
13.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=,AB=BC=AD=a,PA⊥平面ABCD,且PA=a,点F在AD上,且CF⊥PC.
(1)求点A到平面PCF的距离;
(2)求AD到平面PBC的距离.
C级 学科素养创新练
14.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,CA=2,侧棱AA1=2,D是CC1的中点,则在线段A1B上是否存在一点E(异于A1,B两点),使得点A1到平面AED的距离为 若存在,请确定点E的位置;若不存在,请说明理由.
第1课时　距离问题
1.D　∵)=(4,3,6)=,
=(0,1,0),∴,
∴||=.
2.C　
建立空间直角坐标系,如图,则C(1,1,0),C1(1,1,1),E0,,1,所以=1,,-1,=(0,0,1),
所以点C1到直线EC的距离d=.故选C.
3.A　
建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),
M,B(a,a,0),A1(a,0,a),
∴=(a,a,0),=(a,0,a).
设平面MBD的法向量为n=(x,y,z),
则
令x=1,则y=-1,z=-2,可得n=(1,-1,-2).
∴点A1到平面MBD的距离d=a.
4.　如图,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),
∴=(3,0,-1),
=(-3,4,0),
∴点P到直线BD的距离
d=.
5.　如图所示,建立空间直角坐标系,
则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),A1(1,0,),B1(0,1,),C1(0,0,),
∴=(-1,1,-),=(-1,0,-),=(-1,1,0).
设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z),
则
令z=1得x=-,y=0,∴n=(-,0,1).
∴点B1到平面A1BC的距离d=.
6.解(1)建立以D为坐标原点,分别为x轴、y轴、z轴正方向的空间直角坐标系,如图所示.
则P(0,0,1),A(1,0,0),
C(0,1,0),E,
F,
所以,
,
设平面PEF的法向量n=(x,y,z),
则
令x=2,则y=2,z=3,所以n=(2,2,3),
所以点D到平面PEF的距离d=,因此点D到平面PEF的距离为.
(2)因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC.
又因为AC 平面PEF,EF 平面PEF,
所以AC∥平面PEF.
因为,
所以点A到平面PEF的距离d=.
所以直线AC到平面PEF的距离为.
7.B　以底面中心O为坐标原点,建立空间直角坐标系Oxyz,如图,
则O(0,0,0),A(1,1,0),B(-1,1,0),P(0,0,2).
设平面PAB的方程为Ax+By+Cz+D=0,将A,B,P三点的坐标代入计算得A=0,B=-D,C=-D,所以方程可化为-Dy-Dz+D=0,即2y+z-2=0,所以d=.
8.A　取B1C1的中点G,连接PG,CG,DP,则PG∥CD,∴点Q到平面PEF的距离即点Q到平面PGCD的距离,与EF的长度无关,故B错误.又A1B1∥平面PGCD,∴点A1到平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离,即点Q到平面PEF的距离,与点Q的位置无关,故D错误.
如图,以点D为坐标原点,建立空间直角坐标系,则C(0,a,0),D(0,0,0),A1(a,0,a),P,0,a,
∴=(0,a,0),=(a,0,a),=,0,a.
设n=(x,y,z)是平面PGCD的法向量,
则由
令z=1,则x=-2,y=0,所以n=(-2,0,1)是平面PGCD的一个法向量.
设点Q到平面PEF的距离为d,则d=,故A正确,C错误.故选A.
9. BC　如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E,0,1,
所以=(-1,0,0),=-,0,1.
设∠ABE=θ,
则cos θ=,
sin θ=.
故点A到直线BE的距离d1=||sin θ=1×,故A错误,B正确.
=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(0,1,0).
设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),
则所以
令z=1,得y=1,x=1,
所以n=(1,1,1).
所以点D1到平面A1BD的距离d2=.
因为易证得平面A1BD∥平面B1CD1,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离,
所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为,故C正确.
因为,所以=,又=(1,0,0),则,所以点P到AB的距离d3=,
故D错误.
10.　以点D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.则E,F0,1,,
G,D1(0,0,1),A1(1,0,1),
∴=(-1,0,0),=(1,0,0),
∴.
又∵EF 平面EFGH,D1A1 平面EFGH,
∴D1A1∥平面EFGH.∴A1D1到平面EFGH的距离,即为D1到平面EFGH的距离.
设平面EFGH的一个法向量为n=(x,y,z),
则
令z=6,则y=-1,∴n=(0,-1,6),
又∵,
∴点D1到平面EFGH的距离d=,∴A1D1到平面EFGH的距离为.
11.　如图所示,建立空间直角坐标系Dxyz,
则A(4,0,0),M(2,0,4),D(0,0,0),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4).∴=(2,2,0),=(2,2,0),=(-2,0,4),=(-2,0,4),
∴,
∴EF∥MN,BF∥AM,EF∩BF=F,MN∩AM=M.
∴平面AMN∥平面EFBD.
设n=(x,y,z)是平面AMN的法向量,
则
解得
取z=1,则x=2,y=-2,得n=(2,-2,1).
平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面AMN的距离.
∵=(0,4,0),∴平面AMN与平面EFBD间的距离d=.
12.解 ∵四边形ABCD为矩形,
∴AD⊥AB.
又AD⊥BE,AB∩BE=B,
∴AD⊥平面ABEF,
又AD 平面ABCD,
∴平面ABCD⊥平面ABEF.
∵FA⊥AB,平面ABCD∩平面ABEF=AB,
∴FA⊥平面ABCD.
∴FA⊥AD.
(1)证明:如图,建立空间直角坐标系,
则B(0,2,0),C(1,2,0),D(1,0,0),E(0,1,1),F(0,0,1),
∴=(0,-1,1),=(-1,1,1),
∴=0×(-1)+(-1)×1+1×1=0,
∴,
∴BE⊥DE.
(2)由(1)得=(1,0,0),=(0,-1,1),=(0,1,0).
设n=(x,y,z)是平面CBE的法向量,则由
令y=1,得z=1,∴n=(0,1,1)是平面CBE的一个法向量.
设点F到平面CBE的距离为d,
则d=.
∴点F到平面CBE的距离为.
13.解(1)由题意知AP,AB,AD两两垂直,建立空间直角坐标系,如图.
则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,3a,0),P(0,0,a).设F(0,m,0),
则=(-a,m-a,0),=(-a,-a,a).
∵PC⊥CF,∴,
∴=(-a)·(-a)+(m-a)·(-a)+0=a2-a(m-a)=0,∴m=2a,即F(0,2a,0).
设平面PCF的法向量为n=(x,y,z),
则解得
取x=1,得n=(1,1,2).
设点A到平面PCF的距离为d,由=(a,a,0),
得d=a.
(2)由于=(-a,0,a),=(0,a,0),=(0,0,a).
设平面PBC的法向量为n1=(x0,y0,z0),
由
取x0=1,得n1=(1,0,1).
设点A到平面PBC的距离为h,
∵AD∥BC,AD 平面PBC,∴AD∥平面PBC,
则h为AD到平面PBC的距离,
∴h=a.
14.解假设存在点E满足题意.以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(2,0,0),A1(2,0,2),D(0,0,1),B(0,2,0),=(0,0,2),=(2,-2,2).
设=λ,λ∈(0,1),
则E(2λ,2(1-λ),2λ),
=(-2,0,1),=(2(λ-1),2(1-λ),2λ).
设n=(x,y,z)为平面AED的一个法向量,
则
取x=1,则y=,z=2,
即n=为平面AED的一个法向量.
由于点A1到平面AED的距离d=,