【核心素养目标】苏科版八年级数学上册3.2 勾股定理的逆定理 课件 (共22张PPT)

(共22张PPT)
第3章　勾股定理
3.2　勾股定理的逆定理
1.会阐述并证明勾股定理的逆定理.
2.会应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形.
3.知道什么叫勾股数，记住一些常见的勾股数.
◎重点:能灵活应用勾股定理的逆定理解决具体的问题.
◎难点:理解勾股定理的逆定理的证明方法.
聪明的古埃及人很早就学会了用结绳法得到直角三角形，具体做法:用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第9个结，拉紧绳子就得到一个直角三角形，其直角在第1个结处.那我们能否用自己的方法验证所得的三角形是直角三角形呢？下面就让我们走进本节课的学习.
勾股定理的逆定理
阅读课本本课时勾股定理的逆定理及前面的内容，解决下列问题:
1.勾股定理中，已知: 　三角形是直角三角形　 ，结论: 　两直角边的平方和等于斜边的平方　 .
三角形是直角三角形
两
直角边的平方和等于斜边的平方
2.勾股定理的逆定理中，已知: 　两条边的平方和等于第三边的平方，结论: 　这个三角形是直角三角形　 .
归纳总结　计算最长边的平方及其余两边的平方和，如果最长边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形就是直角三角形，且 　最长　 边所对的角为直角.
两条边的平方和等于第三边
的平方
这个三角形是直角三角形
最长
下列各组线段中的三个长度:①9、12、15；②5、12、13；③32、42、52；④3a、4a、5a(a＞0)；其中可以构成直角三角形的有(　B　)
A.4组 B.3组
C.2组 D.1组
B
勾股数
阅读课本本课时剩下的内容，解决下列问题:
1.判断一组数是否为勾股数需要满足两个条件:(1)是否符合 　最大数的平方＝较小的两个数的平方和　 ；(2)它们是否是 　正整数　 .
2.常见的勾股数:3，4， 　5　 ；6，8， 　10　 ；5， 　12　 ，13；8，15， 　17　 等.
最大数的平方＝较小的两个数的平方和
正整数
5
10
12
17
若3，4，a和5，b，13是两组勾股数，则a＋b的值是 　17　 .
17
利用勾股定理的逆定理判定直角三角形
1.若△ABC的三边a、b、c满足|a－15|＋b2－16b＋64＋(c－17)2＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由.
解:△ABC是直角三角形.理由如下:
∵|a－15|＋b2－16b＋64＋(c－17)2＝0，
∴|a－15|＋(b－8)2＋(c－17)2＝0，
∴a－15＝0，b－8＝0，c－17＝0.
解得a＝15，b＝8，c＝17.
∵a2＋b2＝225＋64＝289，c2＝289.
∴a2＋b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形.
变式演练　△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判断△ABC是不是直角三角形？若是，请说明哪个角是直角.
解:∵(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2，
∴a2＋b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，∠C是直角.
(1)用角判定:如果已知条件与角有关，只要说明三角形的一个内角为90°或两内角互余即可.
(2)用边判定:如果已知条件与边有关，可通过勾股定理的逆定理进行判定.
方法归纳交流　判定直角三角形的方法
勾股定理及其逆定理的综合应用
2.如图，已知等腰△ABC的底边BC＝10 cm，D是腰AC上一点，且CD＝6 cm，BD＝8 cm.
(1)判断△BCD的形状，并说明理由.
解:(1)∵BC＝10 cm，CD＝6 cm，BD＝8 cm，∴BC2＝BD2＋CD2.∴△BDC为直角三角形.
(2)求△ABC的周长.
解:(2)设AB＝x cm.∵等腰△ABC，∴AB＝AC＝x.∵AC2＝AD2＋BD2，即x2＝(x－6)2＋82，∴x＝，∴△ABC的周长＝2AB＋BC＝(cm).
变式演练　如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，DA＝3.求∠BCD的度数.
解:如图，连接AC.
∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，
∴∠ACB＝45°，AC2＝AB2＋BC2＝8.
在△ACD中，∵AC2＋CD2＝8＋1＝9＝DA2，AD2＝32＝9，
∴AD2＝AC2＋CD2，
∴∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝135°.
与勾股数有关的规律探究问题
3.法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x2＋y2＝z2的方程，显然，这个方程有无数组解.我们把满足该方程的正整数的解(x，y，z)叫做勾股数，如(3，4，5)就是一组勾股数.
(1)在研究勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出:如果n表示大于1的整数，x＝2n，y＝n2－1，z＝n2＋1，那么，以x，y，z为三边的三角形为直角三角形(即x，y，z为勾股数)，请你加以证明.
解:(1)证明:x2＋y2＝(2n)2＋(n2－1)2＝4n2＋n4－2n2＋1＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2＝z2，即x，y，z为勾股数.
(2)探索规律:观察下列各组数(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，(9，40，41)…，直接写出第6个数组.
解:(2)∵①3＝2×1＋1，4＝2×12＋2×1，5＝2×12＋2×1＋1；②5＝2×2＋1，12＝2×22＋2×2，13＝2×22＋2×2＋1；③7＝2×3＋1，24＝2×32＋2×3，25＝2×32＋2×3＋1；④9＝2×4＋1，40＝2×42＋2×4，41＝2×42＋2×4＋1；⑤11＝2×5＋1，60＝2×52＋2×5，61＝2×52＋2×5＋1，则⑥2×6＋1＝13，2×62＋2×6＝84，2×62＋2×6＋1＝85，∴第6组勾股数是(13，84，85).
变式演练　法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x2＋y2＝z2的关系式，显然，满足这个关系式的x，y，z有无数组.当x，y，z都为正整数时，我们把这样的三个数x，y，z叫做勾股数.如3，4，5就是一组勾股数.
(1)请你再写出两组勾股数: 　6，8，10　 ， 9，12，15　 .
6，8，10
9，12，15
(2)古希腊的哲学家柏拉图曾指出:如果n表示大于1的整数，x＝2n，y＝n2－1，z＝n2＋1，那么，x，y，z为勾股数，请你加以证明.
(2)证明:x2＋y2＝(2n)2＋(n2－1)2
＝4n2＋n4－2n2＋1
＝n4＋2n2＋1
＝(n2＋1)2，
∴x，y，z为勾股数.