5.1.2垂线跟踪训练（含详细解析）

第五章相交线与平行线5.1.2垂线
一．选择题（共8小题）
1．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON的度数为（　　）
A． 35° B．45° C．55° D． 65°
2．已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，∠BOE=54°，则∠AOC等于（　　）
A． 54° B．46° C．36° D． 26°
4．如图，AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD=28°，则∠AOG的度数为（　　）
A． 56° B．59° C．60° D． 62°
5．如图，直线a，b及木条c在同一平面内，将木条c绕点O旋转到与直线a垂直时，其最小旋转角为（　　）
A． 60° B．50° C．40° D． 30°
6．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是（　　）
A． 2.5 B．3 C．4 D． 5
7．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（　　）
A． 平行线间的距离相等 B． 两点之间，线段最短
C． 垂线段最短 D． 两点确定一条直线
8．下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
9．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠BOD=20°，则∠COE等于　_________　度．
10．如图，AB⊥CD，垂足为点B，EF平分∠ABD，则∠CBF的度数为　_________　°．
11．如图，直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于E，若∠CEF=59°，则∠AED的度数为　_________　．
12．如图，直线l1与l2相交于点O，OM⊥l1，若α=52°，则β的度数是　_________　度．
13．如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是　_________　．
14．如图，AC⊥BC，且BC=5，AC=12，AB=13，则点A到BC的距离是　_________　，点B到点A的距离是　_________　．
三．解答题（共8小题）
15．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，且AB⊥CD，若∠1=∠3，∠1+∠2=90°，∠4=40°，求∠1的度数．
16．如图，已知直线AE、CD相交于点O，且∠AOB=90°，∠BOC=28°，求∠DOE、∠AOD的度数．
17．如图，直线EF，CD相交于点O，∠AOB=90°，且OD平分∠AOF，∠BOE=2∠AOE，求∠EOD的度数．
18．如图，OD平分∠AOB，OE⊥OD，OE是∠BOC的平分线，为什么？
19．如图，O是直线AB上一点，OD是∠AOC的平分线，OE⊥OD．OE是∠BOC的平分线吗？为什么？
20．如图所示，修一条路将A，B两村庄与公路MN连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由．
21．∠BOC=60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，若AO⊥BO，则∠EOF是多少度？
22．如图，已知OA⊥OB，OC⊥OD，O为垂足，若∠AOD=138°，求∠BOC的度数．
第五章相交线与平行线5.1.2垂线
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON的度数为（　　）
A． 35° B．45° C．55° D． 65°
考点： 垂线；对顶角、邻补角．
分析： 由射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，得出∠MOC=35°，由ON⊥OM，得出∠CON=∠MON﹣∠MOC得出答案．
解答： 解：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，
∴∠MOC=35°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON=90°，
∴∠CON=∠MON﹣∠MOC=90°﹣35°=55°．
故选：C．
点评： 本题主要考查了垂线和角平分线，解决本题的关键是找准角的关系．
2．已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是（　　）
A． B． C． D．
考点： 垂线．
分析： 根据题意画出图形即可．
解答： 解：根据题意可得图形，
故选：C．
点评： 此题主要考查了垂线，关键是掌握垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，∠BOE=54°，则∠AOC等于（　　）
A． 54° B．46° C．36° D． 26°
考点： 垂线；对顶角、邻补角．
分析： 根据余角的定义、对顶角相等推知∠AOC=∠BOD=90°﹣∠BOE．
解答： 解：如图，∵OE⊥CD，
∴∠DOE=90°．
又∵∠BOE=54°，
∴∠BOD=90°﹣∠BOE=36°，
∴∠AOC=∠BOD=36°．
故选C．
点评： 本题考查了垂线，对顶角、邻补角．解题时，注意挖掘出隐含在题中的已知条件：由垂直得直角．
4．如图，AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD=28°，则∠AOG的度数为（　　）
A． 56° B．59° C．60° D． 62°
考点： 垂线；对顶角、邻补角．
分析： 首先根据垂线定义可得∠AOD=90°，再根据∠AOF的度数，进而算出∠AOE的度数，再利用角平分线性质可得答案．
解答： 解：∵AB⊥CD，
∴∠AOD=90°，
∵∠FOD=28°，
∴∠AOF=90°﹣28°=62°，
∴∠AOE=180°﹣62°=118°，
∵OG平分∠AOE，
∴∠AOG=118°÷2=59°，
故选：B．
点评： 此题主要考查了垂线，以及角平分线性质，余角、补角，关键是理清角之间的关系．
5．如图，直线a，b及木条c在同一平面内，将木条c绕点O旋转到与直线a垂直时，其最小旋转角为（　　）
A． 60° B．50° C．40° D． 30°
考点： 垂线．
分析： 当木条c绕点O旋转到与直线a垂直时，算出∠1的度数，再根据平角定义计算出∠2的度数即可．
解答： 解：如图所示：
当木条c绕点O旋转到与直线a垂直时，
∠1=180°﹣60°﹣90°=30°，
则∠2=180°﹣30°﹣100°=50°，
故选：B．
点评： 此题主要考查了垂线，关键是掌握两直线垂直时，夹角为90°．
6．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是（　　）
A． 2.5 B．3 C．4 D． 5
考点： 垂线段最短．
分析： 利用垂线段最短分析．
解答： 解：已知，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，
根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3，当P和C重合时，AP=3，
故选：A．
点评： 本题主要考查了垂线段最短的性质．
7．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（　　）
A． 平行线间的距离相等 B． 两点之间，线段最短
C． 垂线段最短 D． 两点确定一条直线
考点： 垂线段最短．
专题： 应用题．
分析： 此题为数学知识的应用，由实际出发，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．
解答： 解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．
故选：C．
点评： 此题考查知识点垂线段最短．
8．下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离是（　　）
A． B． C． D．
考点： 点到直线的距离．
分析： 利用点到直线的距离的定义分析可知．
解答： 解：利用点到直线的距离的定义可知：线段PQ的长表示点P到直线MN的距离的是A图．
故选：A．
点评： 本题考查了点到到直线的距离的定义．
二．填空题（共6小题）
9．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠BOD=20°，则∠COE等于　70　度．
考点： 垂线；对顶角、邻补角．
分析： 根据对顶角相等求出∠AOC，根据垂直求出∠AOE，相减即可求出答案．
解答： 解：∵∠BOD=20°，
∴∠AOC=∠BOD=20°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°，
∴∠COE=90°﹣20°=70°，
故答案为：70．
点评： 本题考查了垂直定义，对顶角的应用，关键是求出∠AOE和∠AOC的大小．
10．如图，AB⊥CD，垂足为点B，EF平分∠ABD，则∠CBF的度数为　45　°．
考点： 垂线；角平分线的定义．
分析： 根据垂线的定义可知，∠ABD的度数是90°，根据角平分线的定义，可求∠DBE的度数，再根据对顶角相等可求∠CBF的度数．
解答： 解：∵AB⊥CD，
∴∠ABD=90°，
∵EF平分∠ABD，
∴∠DBE=45°，
∴∠CBF=45°．
故答案为：45．
点评： 考查了垂线的定义，角平分线的定义，对顶角相等的性质．
11．如图，直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于E，若∠CEF=59°，则∠AED的度数为　149°　．
考点： 垂线．
专题： 计算题．
分析： 先根据垂直的定义求出∠ACE的度数，再根据平角等于180°列式计算即可得解．
解答： 解：∵EF⊥AB于E，∠CEF=59°，
∴∠ACE=90°﹣∠CEF=90°﹣59°=31°，
∴∠AED=180°﹣∠ACE=180°﹣31°=149°．
故答案为：149°．
点评： 本题考查了垂线的定义，求出∠ACE的度数是解题的关键．
12．如图，直线l1与l2相交于点O，OM⊥l1，若α=52°，则β的度数是　38　度．
考点： 垂线；对顶角、邻补角．
专题： 计算题．
分析： 先根据垂线的定义得出∠MON=90°，再根据α=52°得出∠NOF的度数，最后根据对顶角的定义即可求出β的度数．
解答： 解：∵OM⊥l1，
∴∠MON=90°，
∵∠α=52°，
∴∠NOF=∠MON﹣∠α=90°﹣52°=38°，
∵∠NOF与∠β是对顶角，
∴∠NOF=∠β=38°．
点评： 本题考查的是垂线的定义及对顶角的性质，比较简单．
13．如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是　连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短　．
考点： 垂线段最短．
专题： 应用题．
分析： 过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．
解答： 解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∴沿AB开渠，能使所开的渠道最短．
故答案为：连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短．
点评： 本题是垂线段最短在实际生活中的应用，体现了数学的实际运用价值．
14．如图，AC⊥BC，且BC=5，AC=12，AB=13，则点A到BC的距离是　12　，点B到点A的距离是　13　．
考点： 点到直线的距离；两点间的距离．
专题： 计算题．
分析： 点到直线的距离是指垂线段的长度，两点间的距离是连接两点的线段的长度．
解答： 解：点A到直线BC的垂线段是AC，所以线段AC的长是点A到直线BC的距离，即点A到BC的距离是12；
点B到点A的距离是线段AB的长，即点B到点A的距离是13．
故填12，13．
点评： 本题考查了点到直线的距离的定义以及两点间的距离的定义，注意点到直线的距离是垂线段的长度，不是垂线段．
三．解答题（共8小题）
15．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，且AB⊥CD，若∠1=∠3，∠1+∠2=90°，∠4=40°，求∠1的度数．
考点： 垂线；对顶角、邻补角．
分析： 根据垂直的性质以及对顶角性质得出∠3+∠2=90°，进而求出∠1的度数．
解答： 解：∵∠4=40°，∴∠4=∠5=40°，
∵AB⊥CD，
∴∠BOC=90°，
∴∠2+∠5=90°，
∵∠1=∠3，∠1+∠2=90°，
∴∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠5=∠3=40°．
点评： 此题主要考查了垂线以及对顶角性质，得出∠1=∠5=∠3是解题关键．
16．如图，已知直线AE、CD相交于点O，且∠AOB=90°，∠BOC=28°，求∠DOE、∠AOD的度数．
考点： 垂线；对顶角、邻补角．
分析： 先求出∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=62°，再根据对顶角相等得出∠DOE=∠AOC=62°，然后根据邻补角定义求出∠AOD．
解答： 解：∵∠AOB=90°，∠BOC=28°，
∴∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=62°，
∴∠DOE=∠AOC=62°，
∴∠AOD=180°﹣∠DOE=118°．
点评： 本题考查了对顶角的性质，邻补角的定义，准确识图是解题的关键．
17．如图，直线EF，CD相交于点O，∠AOB=90°，且OD平分∠AOF，∠BOE=2∠AOE，求∠EOD的度数．
考点： 垂线；对顶角、邻补角．
分析： 利用垂线的定义，以及∠BOE=2∠AOE，得出∠AOE=30°，再利用角平分线的性质得出答案．
解答： 解：∵∠AOB=90°，∠BOE=2∠AOE，
∴∠AOE=30°，
∴∠AOF=150°，
∵OD平分∠AOF，
∴∠AOD=75°，
∴∠EOD=105°．
点评： 此题主要考查了垂线的定义以及邻补角定义，得出∠AOE的度数是解题关键．
18．如图，OD平分∠AOB，OE⊥OD，OE是∠BOC的平分线，为什么？
考点： 垂线；角平分线的定义．
分析： 首先根据角平分线的性质可得∠BOD=∠AOD，再根据平角的定义可得∠EOC+∠AOD=90°，进而可得∠COE=∠EOB，进而可得OE是∠BOC的平分线．
解答： 解：∵OD平分∠AOB，
∴∠BOD=∠AOD=∠AOB，
∵OE⊥OD，
∴∠DOE=90°，
∴∠EOB+∠BOD=90°，
∵∠AOC=180°，
∴∠EOC+∠AOD=90°，
∴∠COE=∠EOB，
∴OE是∠BOC的平分线．
点评： 此题主要考查了角平分线的定义，关键是掌握从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
19．如图，O是直线AB上一点，OD是∠AOC的平分线，OE⊥OD．OE是∠BOC的平分线吗？为什么？
考点： 垂线；角平分线的定义．
分析： OE是∠BOC的平分线．由于∠AOB是平角，OD是∠AOC的平分线，∠DOE=90°，易求∠COE+∠AOC=∠BOE+∠AOD，即∠COE=∠BOE．
解答： 解：OE是∠BOC的平分线，理由如下：
∵OD是∠AOC的平分线，OE⊥OD，
∴∠AOD=∠COD，∠DOE=90°，
∴∠AOD+∠BOE=90°，
∴∠COE+∠AOC=∠BOE+∠AOD，即∠COE=∠BOE．
∴OE是∠BOC的平分线．
点评： 本题考查了角的计算．解题的关键是理解角平分线的定义．
20．如图所示，修一条路将A，B两村庄与公路MN连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由．
考点： 垂线段最短．
专题： 应用题；作图题．
分析： 利用两点之间线段最短和垂线段最短即可解决问题．
解答： 解：连接AB，作BC⊥MN，C是垂足，线段AB和BC就是符合题意的线路图．
因为从A到B，线段AB最短，从B到MN，垂线段BC最短，所以AB+BC最短．
点评： 本题考查数学原理在生活中的应用，利用线段及垂线段的性质即可解决问题．
21．∠BOC=60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，若AO⊥BO，则∠EOF是多少度？
考点： 垂线；角平分线的定义．
分析： 根据垂线的定义，可得∠AOB的度数，根据角的和差，可得∠AOC的度数，根据角平分线的性质，可得∠COE、∠COF的度数，根据角的和差，可得答案．
解答： 解：由AO⊥BO，得∠AOB=90°，
由角的和差，得∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°．
由OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，得∠COE=∠AOC=×150°=75°，∠COF=∠BOC=×60°=30°．
由角的和差，得∠EOF=∠COE﹣∠COF=75°﹣30°=45°．
点评： 本题考查了垂线，利用了垂线的定义，角平分线的定义，角的和差．
22．如图，已知OA⊥OB，OC⊥OD，O为垂足，若∠AOD=138°，求∠BOC的度数．
考点： 垂线．
分析： 根据垂线的定义，可得∠AOC、∠BOD的度数，根据角的和差，可得∠COD的度数，根据角的和差，可得答案．
解答： 解：由OA⊥OB，OC⊥OD，O为垂足，得
∠AOC=∠BOD=90°．
由角的和差，得
∠COD=∠AOD﹣∠AOC=138°﹣90°=48°，
∠BOC=∠BOD﹣∠COD=90°﹣48°=42°．
点评： 本题考查了垂线，利用了垂线的定义，角的和差．