江苏省徐州市睢宁县刘圩学校2022-2023学年九年级下学期开学数学试卷
一、选择题（共10题，每题3分，共30分）
1．（2023九下·睢宁开学考）关于x的方程ax2-3x+3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a≠0 C．a＝1 D．a≥0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由一元二次方程的特点可知a≠0.
故答案为：B.
【分析】一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a、b、c为常数且a≠0），据此解答.
2．（2023九下·睢宁开学考）若2x＝5y，则下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A、两边都除以2y，得 ，故A错误；
B、两边都除以5x，得 ，由合比性质，得 ，故B错误；
C、两边都除以2y，得 ，故C正确；
D、两边都除以2y，得 ，由分比性质，得 ，故D错误；
故答案为：C.
【分析】等式的性质：等式两边同时加上或减去相等的数或式子，两边依然相等；
等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子，两边依然相等；
等式两边同时乘方（或开方），两边依然相等.
3．一个扇形的圆心角是120°，面积为3πcm2，那么这个扇形的半径是（ ）
A．cm B．3cm C．6cm D．9cm
【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【分析】一个扇形的圆心角是120°，面积为3πcm2，扇形的面积公式是，即，解得r2=9，所以r=3.因此，选B
【点评】本题考查扇形，解答本题的关键是考生要记住扇形的面积公式，运用其面积公式来计算本题
4．（2023九下·睢宁开学考）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（3，-8）和（5，-8），抛物线的对称轴是（ ）
A．x＝4 B．x＝3 C．x＝-5 D．x＝-1
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵（3，-8）和（5，-8）关于对称轴对称，
∴对称轴x＝ ＝4.
故答案为：A.
【分析】由题意可得（3，-8）和（5，-8）关于对称轴对称，求出中点坐标即可得到对称轴.
5．（2019·晋宁模拟）一组数据：1，3，3，5，若添加一个数据3，则下列统计量中发生变化的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】原数据的1、3、3、5的平均数为 =3，中位数为 =3，众数为3，
方差为 ×[（1﹣3）2+（3﹣3）2×2+（5﹣3）2]=2；
新数据1、3、3、3、5的平均数为 =3，中位数为3，众数为3，
方差为 ×[（1﹣3）2+（3﹣3）2×3+（5﹣3）2]=1.6；
∴添加一个数据3，方差发生变化，
故答案为：D.
【分析】依据定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可
6．（2023九下·睢宁开学考）如图所示，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③；④AC2＝AD AB.其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：有三个.
①∠B＝∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
②∠ADC＝∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确
④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；
故答案为：B.
【分析】直接根据相似三角形的判定定理进行判断.
7．（2023九下·睢宁开学考）下列命题中，正确的个数是（ ）
（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）相等的圆心角所对的弧相等；（4）正五边形是轴对称图形.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】（1）A
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；确定圆的条件；轴对称图形
【解析】【解答】解：（1）不在同一直线上的三点确定一个圆，错误；
（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，错误；
（3）相等的圆心角所对的弧相等，错误；
（4）正五边形是轴对称图形，正确.
故答案为：A.
【分析】根据确定圆的条件可判断（1）；根据垂径定理可判断（2）；根据弧与圆心角的关系可判断（3）；根据轴对称图形的概念以及正五边形的性质可判断（4）.
8．（2023九下·睢宁开学考）如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，∠ABC与∠BAC的平分线交于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，则DE＝（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长ED交BC于点G，作DF⊥AB于点F，作DH⊥AC于点H，
∵DE∥AC，∠C＝90°，
∴∠BGE＝∠C＝90°，
∴EG⊥BC，
∴∠DGC＝∠DHC＝∠C＝90°，
∴四边形DGCH为矩形，
∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，DF⊥AB，DH⊥AC，DG⊥BC，
∴DF＝DH，DG＝DF，
∴DH＝DG，
∴四边形DGCH为正方形，
在Rt△BDG和Rt△BDF中，
，
∴Rt△BDG≌Rt△BDF（HL），
∴BF＝BG，
同理可得：Rt△AHD≌Rt△AFD，
由勾股定理可得：AB2＝AC2+BC2＝100，
∴AB＝10，
设CH＝CG＝x，则AH＝6-x，BG＝8-x，
∴AF＝6-x，BF＝8-x，
∴AB＝10＝AF+BF＝6-x+8-x＝14-2x，
即14-2x＝10，
解得：x＝2，
∴CH＝CG＝2，BG＝6，
∵DE∥AC，
∴△BEG∽△BAC，
∴ ，
即 ，
∴EG＝4.5，
∴DE＝EG-DG＝4.5-2＝2.5.
故答案为：A.
【分析】延长ED交BC于点G，作DF⊥AB于点F，作DH⊥AC于点H，由平行线的性质可得∠BGE＝∠C＝90°，则四边形DGCH为矩形，根据角平分线的性质可得DF＝DH，DG＝DF，则DH＝DG，推出四边形DGCH为正方形，利用HL证明Rt△BDG≌Rt△BDF，得到BF＝BG，同理可得：Rt△AHD≌Rt△AFD，利用勾股定理可得AB的值，设CH＝CG＝x，则AH＝AF=6-x，BG＝BF=8-x，AB＝10＝AF+BF＝14-2x，求出x的值，证明△BEG∽△BAC，根据相似三角形的性质可得EG，然后由DE＝EG-DG进行计算.
9．（2023九下·睢宁开学考）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，6为半径的⊙O与直线y＝-x+b（b＞0）交于A，B两点，连接OA，OB，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，若点C恰好在⊙O上，则b的值为（ ）
A．3 B．2 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；勾股定理；菱形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：如图，连接OC交AB于T，设直线AB交x轴于M，交Y轴于N.
∵直线AB的解析式为y＝-x+b，
∴N（0，b），M（b，0），
∴OM＝ON，
∴∠OMN＝45°，
∵四边形OACB是平行四边形，OA＝OB，
∴四边形OACB是菱形，
∴OC⊥AB，
∴∠COM＝45°，
∵OC＝6，
∴C（3 ，3 ），
∵OT＝TC，
∴T（ ， ），
把T点坐标代入y＝-x+b，可得b＝3 .
故答案为：C.
【分析】连接OC交AB于T，设直线AB交x轴于M，交Y轴于N，分别令直线解析式中的x=0、y=0，求出y、x，得到点M、N的坐标以及∠OMN的度数，易得四边形OACB是菱形，则∠COM＝45°，根据勾股定理可得OM、CM的值，表示出点C的坐标，由OT=TC结合中点坐标公式可得点T的坐标，然后代入y=-x+b中进行计算可得b的值.
10．（2023九下·睢宁开学考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3.线段PE的两个端点都在AB上，且PE＝1，P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动，在整个运动过程中，空白部分面积S四边形DPEC的大小变化的情况是（ ）
A．一直减小 B．一直增大
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定与性质；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
AB＝ ＝5，
如图，过点C作CH⊥AB于H，
∵S△ABC＝ AC BC＝ AB CH，
∴CH＝
由图知，∠ADP＝∠ACB＝90°，
∴DP∥CB，
∴△ADP∽△ACB，
设AP＝x，则AD＝ x，DP＝ x，BE＝4-x，
∴S四边形DPEC＝S△ABC-S△ADP-S△CEB
＝ （4-x），
＝-
＝- ，
由题意知，0≤x≤4，
又- ＜0，
∴根据二次函数的图象及性质可知，S四边形DPEC的值先增大，后减小.
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理可得AB的值，过点C作CH⊥AB于H，根据等面积法可得CH的值，易证△ADP∽△ACB，设AP＝x，则AD＝x，DP＝x，BE＝4-x，然后根据S四边形DPEC＝S△ABC-S△ADP-S△CEB表示出S四边形DPEC，接下来利用二次函数的性质进行解答即可.
二、填空题（共8题，每题4分，共32分）
11．（2023九下·睢宁开学考）关于x的一元二次方程x2+mx-3＝0的一个根是1，则另一根为 .
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意可得x1x2＝ ＝-3，
∵x1＝1，
∴x2＝-3.
故答案为：-3.
【分析】根据根与系数的关系可得x1x2＝＝-3，结合x1的值就可求出x2的值.
12．（2022九上·青岛期中）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么方程是 ．
【答案】50+50(1+x)+50 (1+x)2=196
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：因为设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，七月份生产零件50万个，所以八月份生产零件50（1+x）万个，九月份生产零件50（1+x）2万个，所以根据第三季度生产零件196万个可列方程为：
50+50（1+x）+50（1+x）2=196．
【分析】设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，七月份生产零件50万个，所以八月份生产零件50（1+x）万个，九月份生产零件50（1+x）2万个，根据“三季度生产零件196万个”列出方程即可.
13．（2023九下·睢宁开学考）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，DE∥BC，AD：DB＝1：2，S△ADE＝1，则S四边形BCED的值为 .
【答案】8
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ， 而
∴ ，S△ABC＝9S△ADE＝9，
∴S四边形BCED的值＝9-1＝8.
故答案为8.
【分析】易证△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得S△ABC＝9S△ADE＝9，然后由S四边形BCED＝S△ABC-S△ADE进行计算.
14．（2023九下·睢宁开学考）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为 .
【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；点与圆的位置关系；等腰直角三角形；圆的周长
【解析】【解答】解：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连接OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，
∵在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝4，
∴AB＝ BC＝4 ，
∴OC＝ AB＝2 ，OP＝ AB＝2 ，
∵M为PC的中点，
∴OM⊥PC，
∴∠CMO＝90°，
∴点M在以OC为直径的圆上，
点P点与A点重合时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF＝OC＝2 ，
∴M点的路径为以EF为直径的半圆，
∴点M运动的路径长＝ 2π ＝ π.
故答案为：π.
【分析】取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连接OC、OP、OM、OE、OF、EF，由等腰直角三角形的性质可得AB＝BC＝4，OC＝AB＝2 ，OP＝AB＝2，易得点P点与A点重合时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，四边形CEOF为正方形，EF＝OC＝2，则M点的路径为以EF为直径的半圆，然后根据圆的周长公式进行计算.
15．（2023九下·睢宁开学考）中华人民共和国国旗上的五角星的五个角的和是 度.
【答案】180
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠2＝∠A+∠B，∠1＝∠D+∠E，
∠1+∠2+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，
故答案为：180.
【分析】画出示意图，由外角的性质可得∠2＝∠A+∠B，∠1＝∠D+∠E，根据内角和定理可得∠1+∠2+∠C＝180°，据此求解.
16．（2023九下·睢宁开学考）把一个正多边形绕它的中心旋转36°后能与原来的位置重合，则这个多边形的边数至少是 .
【答案】10
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解：∵正多边形绕它的中心旋转36°后，能和原来的图形重合，
∴多边形的边数是：360°÷36°＝10.
故答案为：10.
【分析】利用外角和360°除以旋转的度数即可求出多边形的边数.
17．（2023九下·睢宁开学考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，
∴AC＝ ＝4，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO＝2，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，
∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，
∴△CAB∽△CP′O，
∴ ，
∴ ，
∴OP′＝ ，
∴则PQ的最小值为2OP′＝ .
故答案为：.
【分析】由勾股定理可得AC的值，根据平行四边形的性质可得PO＝QO，CO＝AO＝2，过O作BC的垂线OP′，易证△CAB∽△CP′O，然后根据相似三角形的性质进行计算.
18．（2023九下·睢宁开学考）已知二次函数y＝x2-（2m-3）x-m，当-1＜m＜2时，该函数图象顶点纵坐标y的取值范围是 .
【答案】 ＜y≤-
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：抛物线的顶点纵坐标为y＝ ＝-（m-1）2- ，
∵-1＜m＜2，
∴m＝1时，顶点y的最大值为- ，
m＝-1时，得到y的最小值为- ，
∴- ＜y≤- ，
故答案为- ＜y≤- .
【分析】根据顶点坐标公式可得顶点的纵坐标为y=-(m-1)2-，然后根据二次函数的性质可得y的范围.
三、解答题（共题，共78分）
19．（2023九下·睢宁开学考）解方程：3x（x-1）＝2x-2.
【答案】解：∵3x（x-1）＝2x-2，
∴3x（x-1）-2（x-1）＝0，
则（x-1）（3x-2）＝0，
∴x-1＝0或3x-2＝0，
解得x1＝1，x2＝ .
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】首先对右边的式子进行分解，然后移至左边，提取公因式(x-1)可得(x-1)(3x-2)=0，据此求解.
20．（2023九下·睢宁开学考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（-2，1），B（-1，4），C（-3，2）.
（1）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A1B1C1；
（2）直接写出C1点坐标 ；若线段AB上点D的坐标为（a，b），则对应的点D1的坐标为 ；
（3）求出∠C1A1B1的正切值为 .
【答案】（1）解：如图所示：
（2）（-6，4）；（2a，2b）
（3）2
【知识点】作图﹣位似变换；锐角三角函数的定义；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：（2）由图可得：C1点坐标（-6，4）；若线段AB上点D的坐标为（a，b），则对应的点D1的坐标为（2a，2b）；
（3）∠C1A1B1的正切值为2，
故答案为：（-6，4）；（2a，2b）；2
【分析】（1）分别连接OA、OB、OC并延长，使OA1=2OA，OB1=2OB，OC1=2OC，然后顺次连接即可；
（2）根据点C1的位置可得相应的坐标，给点D的横纵坐标分别乘以2可得点D1的坐标；
（3）根据三角函数的概念进行计算即可.
21．（2019·曲靖模拟）一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为 .
（1）求口袋中黄球的个数；
（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；
【答案】（1）解：设口袋中黄球的个数为 个，
根据题意得：
解得： =1
经检验： =1是原分式方程的解
∴口袋中黄球的个数为1个
（2）解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次摸出都是红球的有2种情况
∴两次摸出都是红球的概率为：
【知识点】列表法与树状图法；概率的简单应用
【解析】【分析】（1） 设口袋中黄球的个数为 个， 根据袋中红色小球的个数比上袋中小球的总数量等于从中任意摸出一个球是红球的概率 ，列出方程，求解并检验即可；
（2）根据题意画出树状图，由图可知： 共有12种等可能的结果，而两次摸出都是红球的有2种情况 ，根据概率公式即可算出 两次摸出都是红球的概率 。
22．（2023九下·睢宁开学考）如图，△ABC内接于⊙O，D为AB延长线上一点，过点D作⊙O的切线，切点为E，连接BE，CE，AE.
（1）若BC∥DE，求证：△ACE∽△EBD；
（2）在（1）的条件下，若AC＝9，BD＝4，sin∠BAE＝，求⊙O的半径.
【答案】（1）证明：连接AE，
∵四边形ABEC是⊙O的内接四边形，
∴∠ACE+∠ABE＝180°，
∵∠ABE+∠EBD＝180°，
∴∠EBD＝∠ACE，
∵BC∥DE，
∴∠CBE＝∠DEB，
∵∠CAE＝∠CBE，
∴∠CAE＝∠BED，
∴△ACE∽△EBD.
（2）解：如图，连接OE交BC于点H，连接CO，
∵DE是⊙O的切线，
∴OE⊥DE，
∵CB∥DE，
∴OE⊥BC，
∴CE＝BE，
∵△ACE∽△EBD，
∴
即，
∴CE＝6，
∵∠BAE＝∠BCE，sin∠BAE＝ ，
∴sin∠BCE＝
∴EH＝ ，
∴CH＝ ，
设⊙O的半径为r，则OH＝r- ，
在Rt△OHC中，OH2+CH2＝OC2，
∴（r- ）2+（ ）2＝r2，
∴r＝5，
∴⊙O的半径为5.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接AE，根据圆内接四边形的性质可得∠ACE+∠ABE＝180°，由邻补角的性质可得∠ABE+∠EBD＝180°，则∠EBD＝∠ACE，根据平行线的性质可得∠CBE＝∠DEB，根据圆周角定理可得∠CAE＝∠CBE，则∠CAE＝∠BED，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）连接OE交BC于点H，连接CO，根据切线的性质可得OE⊥DE，则OE⊥BC，CE＝BE，根据相似三角形的性质可得CE的值，根据圆周角定理可得∠BAE＝∠BCE，利用三角函数的概念可得EH的值，由勾股定理可得CH，设⊙O的半径为r，则OH＝r-，然后在Rt△OHC中，由勾股定理计算即可.
23．（2023九下·睢宁开学考）某公司电商平台.在2021年国庆期间举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数.已知，当x＝50时，y＝200；当x＝80时，y＝140.
（1）求y与x的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品进价为30（元/件）.
①当售价x为多少元时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；
②因原料涨价，该商品进价提高了a（元/件）（a＞0），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过75（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量y与售价x仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是6000元，求a的值.
【答案】（1）解：设y＝kx+b，由题意有：
，
解得 ，
所以y关于x的函数解析式为y＝-2x+300；
（2）解：①由（1）W＝（-2x+300）（x-30）＝-2x2+360x-9000＝-2（x-90）2+7200，
所以售价x＝90时，周销售利润W最大，最大利润为7200；
②由题意W＝-2（x-150）（x-30-a）（x≤75），
其对称轴x＝90+ ＞90，
∴0＜x≤75时，W的值随x增大而增大，
∴只有x＝75时周销售利润最大，
∴6000＝-2（75-150）（75-30-a），
∴a＝5.
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设y＝kx+b，将x＝50，y＝200；x＝80，y＝140代入求出k、b的值，据此可得y与x的函数表达式；
（2）①由题意可得每件的利润为(x-30)元，根据每件的利润×销售量=总利润可得W与x的关系式，然后根据二次函数的性质进行解答；
②由题意可得每件的利润为(x-30-a)元，根据每件的利润×销售量=总利润可得W与x的关系式，然后根据二次函数的性质进行解答.
24．（2023九下·睢宁开学考）已知：△ABC内接于⊙O，∠BAC的角平分线AD交⊙O于点D.
（1）如图①，以点D为圆心，DB长为半径作弧，交AD于点I.求证：点I是△ABC的内心；
（2）如图②，在（1）的条件下，若AD与BC交于点E.求证：；
（3）探究：如图③，△ABC内接于⊙O，若BC＝8，∠BAC＝120°，求△ABC内切圆半径的最大值.
【答案】（1）证明：如图①中，连接BI.
∵DB＝DI，
∴∠DBI＝∠DIB，
∵∠DIB＝∠IAB+∠IBA，∠DBI＝∠IBC+∠DBC，
又∵∠DBC＝∠DAC＝∠DAB，
∴∠DBC＝∠IAB，
∴∠IBA＝∠IBC，即BI平分∠ABC，
∴点I是△ABC的内心.
（2）证明：如图②中，
∵∠BDA＝∠BCA，∠DBC＝∠DAC，
∴△BDE∽△ACE，
∴
∵DB＝DI，
∴
（3）解：如图③中，作∠BAC的角平分线AD交⊙O于D，连接BD，DC，以D为圆心，DB为半径作弧，交AD于点I，
由（1）点I是△ABC的内心.
∵IH⊥AC，
∴IH是△ABC的内切圆的半径，
在△AIH中，∠IAH＝ ∠BAC＝60°，
∴IH＝ AI，故欲求IH的最大值只要求出AI的最大值，
∵∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠DAB＝60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴DB＝CB＝8，即DI＝8，
作直径DF，
在Rt△BDF中，∠DFB＝60°，DB＝8，
∴DF＝ ，即直径为 ，
∴AI的最大值为 -8，
∴△ABC的内切圆的半径的最大值为8-4 .
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接BI，由等腰三角形的性质可得∠DBI＝∠DIB，由外角的性质得∠DIB=∠IAB+∠IBA，根据角的和差关系可得∠DBI＝∠IBC+∠DBC，由角平分线的概念以及圆周角定理可得∠DBC＝∠DAC＝∠DAB，则∠IBA＝∠IBC，即BI平分∠ABC，据此证明；
（2）由圆周角定理可得∠BDA＝∠BCA，∠DBC＝∠DAC，证明△BDE∽△ACE，然后根据相似三角形的性质以及DB＝DI可得结论；
（3）作∠BAC的角平分线AD交⊙O于D，连接BD，DC，以D为圆心，DB为半径作弧，交AD于点I，由（1）点I是△ABC的内心，根据三角函数的概念可得IH＝AI，易得△BDC是等边三角形，则DB=CB＝8，即DI＝8，作直径DF，易得DF的值，据此解答.
25．（2023九下·睢宁开学考）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC.
（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；
（2）点D为抛物线对称轴上一点，连接CD、BD，若∠DCB＝∠CBD，求点D的坐标；
（3）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.
（4）若点P为坐标系中的一点，OP＝4，则2PC+PB的最小值为 .
【答案】（1）解：将A（-1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝- x2+ x+2，
∵x＝- ＝1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1；
（2）解：∵∠DCB＝∠CBD，
∴CD＝BD，
令x＝0，则y＝2，
∴C（0，2），
设D（1，t），
∴1+（t-2）2＝4+t2，
解得t＝ ，
∴D（1， ）；
（3）解：存在，M点坐标为（2，2）或（-2，- ）或（4，2）
（4）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：（3）存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设M（m，- m2+ m+2），
当BC为平行四边形的对角线时，3＝m+1，
∴m＝2，
∴M（2，2）；
当BM为平行四边形的对角线时，3+m＝1，
解得m＝-2，
∴M（-2，- ）；
当BN为平行四边形的对角线时，3+1＝m，
解得m＝4，
∴M（4，2）；
综上所述：M点坐标为（2，2）或（-2，- ）或（4，2）；
（4）在y轴上取点H（0，8），连接OP、HP，
∵OC＝2，OP＝4，OH＝8，
∴
∴△HOP∽△POC，
∴HP＝2CP，
∴2PC+PB＝HP+BP≥HB，
当B、H、P三点共线时，2PC+PB的值最小，
∵HB＝ ，
∴2PC+PB的最小值为 ，
故答案为： .
【分析】（1）将A（-1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2中求出a、b的值，据此可得抛物线的解析式，进而可得对称轴；
（2）由∠DCB＝∠CBD可得CD＝BD，易得C（0，2），设D（1，t），结合两点间的距离公式可得t的值，据此可得点D的坐标；
（3）设M（m，-m2+m+2），分BC为平行四边形的对角线、BM为平行四边形的对角线、BN为平行四边形的对角线，结合平行四边形的对角线互相平分可得m的值，据此可得点M的坐标；
（4）在y轴上取点H（0，8），连接OP、HP，则 ，证明△HOP∽△POC，根据相似三角形的性质可得HP＝2CP，则2PC+PB＝HP+BP≥HB，故当B、H、P三点共线时，2PC+PB的值最小，据此求解.
1 / 1江苏省徐州市睢宁县刘圩学校2022-2023学年九年级下学期开学数学试卷
一、选择题（共10题，每题3分，共30分）
1．（2023九下·睢宁开学考）关于x的方程ax2-3x+3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a≠0 C．a＝1 D．a≥0
2．（2023九下·睢宁开学考）若2x＝5y，则下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．一个扇形的圆心角是120°，面积为3πcm2，那么这个扇形的半径是（ ）
A．cm B．3cm C．6cm D．9cm
4．（2023九下·睢宁开学考）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（3，-8）和（5，-8），抛物线的对称轴是（ ）
A．x＝4 B．x＝3 C．x＝-5 D．x＝-1
5．（2019·晋宁模拟）一组数据：1，3，3，5，若添加一个数据3，则下列统计量中发生变化的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
6．（2023九下·睢宁开学考）如图所示，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③；④AC2＝AD AB.其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．（2023九下·睢宁开学考）下列命题中，正确的个数是（ ）
（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）相等的圆心角所对的弧相等；（4）正五边形是轴对称图形.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023九下·睢宁开学考）如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，∠ABC与∠BAC的平分线交于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，则DE＝（ ）
A． B．2 C． D．3
9．（2023九下·睢宁开学考）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，6为半径的⊙O与直线y＝-x+b（b＞0）交于A，B两点，连接OA，OB，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，若点C恰好在⊙O上，则b的值为（ ）
A．3 B．2 C．3 D．2
10．（2023九下·睢宁开学考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3.线段PE的两个端点都在AB上，且PE＝1，P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动，在整个运动过程中，空白部分面积S四边形DPEC的大小变化的情况是（ ）
A．一直减小 B．一直增大
C．先增大后减小 D．先减小后增大
二、填空题（共8题，每题4分，共32分）
11．（2023九下·睢宁开学考）关于x的一元二次方程x2+mx-3＝0的一个根是1，则另一根为 .
12．（2022九上·青岛期中）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么方程是 ．
13．（2023九下·睢宁开学考）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，DE∥BC，AD：DB＝1：2，S△ADE＝1，则S四边形BCED的值为 .
14．（2023九下·睢宁开学考）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为 .
15．（2023九下·睢宁开学考）中华人民共和国国旗上的五角星的五个角的和是 度.
16．（2023九下·睢宁开学考）把一个正多边形绕它的中心旋转36°后能与原来的位置重合，则这个多边形的边数至少是 .
17．（2023九下·睢宁开学考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为 .
18．（2023九下·睢宁开学考）已知二次函数y＝x2-（2m-3）x-m，当-1＜m＜2时，该函数图象顶点纵坐标y的取值范围是 .
三、解答题（共题，共78分）
19．（2023九下·睢宁开学考）解方程：3x（x-1）＝2x-2.
20．（2023九下·睢宁开学考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（-2，1），B（-1，4），C（-3，2）.
（1）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A1B1C1；
（2）直接写出C1点坐标 ；若线段AB上点D的坐标为（a，b），则对应的点D1的坐标为 ；
（3）求出∠C1A1B1的正切值为 .
21．（2019·曲靖模拟）一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为 .
（1）求口袋中黄球的个数；
（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；
22．（2023九下·睢宁开学考）如图，△ABC内接于⊙O，D为AB延长线上一点，过点D作⊙O的切线，切点为E，连接BE，CE，AE.
（1）若BC∥DE，求证：△ACE∽△EBD；
（2）在（1）的条件下，若AC＝9，BD＝4，sin∠BAE＝，求⊙O的半径.
23．（2023九下·睢宁开学考）某公司电商平台.在2021年国庆期间举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数.已知，当x＝50时，y＝200；当x＝80时，y＝140.
（1）求y与x的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品进价为30（元/件）.
①当售价x为多少元时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；
②因原料涨价，该商品进价提高了a（元/件）（a＞0），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过75（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量y与售价x仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是6000元，求a的值.
24．（2023九下·睢宁开学考）已知：△ABC内接于⊙O，∠BAC的角平分线AD交⊙O于点D.
（1）如图①，以点D为圆心，DB长为半径作弧，交AD于点I.求证：点I是△ABC的内心；
（2）如图②，在（1）的条件下，若AD与BC交于点E.求证：；
（3）探究：如图③，△ABC内接于⊙O，若BC＝8，∠BAC＝120°，求△ABC内切圆半径的最大值.
25．（2023九下·睢宁开学考）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC.
（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；
（2）点D为抛物线对称轴上一点，连接CD、BD，若∠DCB＝∠CBD，求点D的坐标；
（3）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.
（4）若点P为坐标系中的一点，OP＝4，则2PC+PB的最小值为 .
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由一元二次方程的特点可知a≠0.
故答案为：B.
【分析】一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a、b、c为常数且a≠0），据此解答.
2．【答案】C
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A、两边都除以2y，得 ，故A错误；
B、两边都除以5x，得 ，由合比性质，得 ，故B错误；
C、两边都除以2y，得 ，故C正确；
D、两边都除以2y，得 ，由分比性质，得 ，故D错误；
故答案为：C.
【分析】等式的性质：等式两边同时加上或减去相等的数或式子，两边依然相等；
等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子，两边依然相等；
等式两边同时乘方（或开方），两边依然相等.
3．【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【分析】一个扇形的圆心角是120°，面积为3πcm2，扇形的面积公式是，即，解得r2=9，所以r=3.因此，选B
【点评】本题考查扇形，解答本题的关键是考生要记住扇形的面积公式，运用其面积公式来计算本题
4．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵（3，-8）和（5，-8）关于对称轴对称，
∴对称轴x＝ ＝4.
故答案为：A.
【分析】由题意可得（3，-8）和（5，-8）关于对称轴对称，求出中点坐标即可得到对称轴.
5．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】原数据的1、3、3、5的平均数为 =3，中位数为 =3，众数为3，
方差为 ×[（1﹣3）2+（3﹣3）2×2+（5﹣3）2]=2；
新数据1、3、3、3、5的平均数为 =3，中位数为3，众数为3，
方差为 ×[（1﹣3）2+（3﹣3）2×3+（5﹣3）2]=1.6；
∴添加一个数据3，方差发生变化，
故答案为：D.
【分析】依据定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：有三个.
①∠B＝∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
②∠ADC＝∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确
④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；
故答案为：B.
【分析】直接根据相似三角形的判定定理进行判断.
7．【答案】（1）A
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；确定圆的条件；轴对称图形
【解析】【解答】解：（1）不在同一直线上的三点确定一个圆，错误；
（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，错误；
（3）相等的圆心角所对的弧相等，错误；
（4）正五边形是轴对称图形，正确.
故答案为：A.
【分析】根据确定圆的条件可判断（1）；根据垂径定理可判断（2）；根据弧与圆心角的关系可判断（3）；根据轴对称图形的概念以及正五边形的性质可判断（4）.
8．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长ED交BC于点G，作DF⊥AB于点F，作DH⊥AC于点H，
∵DE∥AC，∠C＝90°，
∴∠BGE＝∠C＝90°，
∴EG⊥BC，
∴∠DGC＝∠DHC＝∠C＝90°，
∴四边形DGCH为矩形，
∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，DF⊥AB，DH⊥AC，DG⊥BC，
∴DF＝DH，DG＝DF，
∴DH＝DG，
∴四边形DGCH为正方形，
在Rt△BDG和Rt△BDF中，
，
∴Rt△BDG≌Rt△BDF（HL），
∴BF＝BG，
同理可得：Rt△AHD≌Rt△AFD，
由勾股定理可得：AB2＝AC2+BC2＝100，
∴AB＝10，
设CH＝CG＝x，则AH＝6-x，BG＝8-x，
∴AF＝6-x，BF＝8-x，
∴AB＝10＝AF+BF＝6-x+8-x＝14-2x，
即14-2x＝10，
解得：x＝2，
∴CH＝CG＝2，BG＝6，
∵DE∥AC，
∴△BEG∽△BAC，
∴ ，
即 ，
∴EG＝4.5，
∴DE＝EG-DG＝4.5-2＝2.5.
故答案为：A.
【分析】延长ED交BC于点G，作DF⊥AB于点F，作DH⊥AC于点H，由平行线的性质可得∠BGE＝∠C＝90°，则四边形DGCH为矩形，根据角平分线的性质可得DF＝DH，DG＝DF，则DH＝DG，推出四边形DGCH为正方形，利用HL证明Rt△BDG≌Rt△BDF，得到BF＝BG，同理可得：Rt△AHD≌Rt△AFD，利用勾股定理可得AB的值，设CH＝CG＝x，则AH＝AF=6-x，BG＝BF=8-x，AB＝10＝AF+BF＝14-2x，求出x的值，证明△BEG∽△BAC，根据相似三角形的性质可得EG，然后由DE＝EG-DG进行计算.
9．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；勾股定理；菱形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：如图，连接OC交AB于T，设直线AB交x轴于M，交Y轴于N.
∵直线AB的解析式为y＝-x+b，
∴N（0，b），M（b，0），
∴OM＝ON，
∴∠OMN＝45°，
∵四边形OACB是平行四边形，OA＝OB，
∴四边形OACB是菱形，
∴OC⊥AB，
∴∠COM＝45°，
∵OC＝6，
∴C（3 ，3 ），
∵OT＝TC，
∴T（ ， ），
把T点坐标代入y＝-x+b，可得b＝3 .
故答案为：C.
【分析】连接OC交AB于T，设直线AB交x轴于M，交Y轴于N，分别令直线解析式中的x=0、y=0，求出y、x，得到点M、N的坐标以及∠OMN的度数，易得四边形OACB是菱形，则∠COM＝45°，根据勾股定理可得OM、CM的值，表示出点C的坐标，由OT=TC结合中点坐标公式可得点T的坐标，然后代入y=-x+b中进行计算可得b的值.
10．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定与性质；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
AB＝ ＝5，
如图，过点C作CH⊥AB于H，
∵S△ABC＝ AC BC＝ AB CH，
∴CH＝
由图知，∠ADP＝∠ACB＝90°，
∴DP∥CB，
∴△ADP∽△ACB，
设AP＝x，则AD＝ x，DP＝ x，BE＝4-x，
∴S四边形DPEC＝S△ABC-S△ADP-S△CEB
＝ （4-x），
＝-
＝- ，
由题意知，0≤x≤4，
又- ＜0，
∴根据二次函数的图象及性质可知，S四边形DPEC的值先增大，后减小.
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理可得AB的值，过点C作CH⊥AB于H，根据等面积法可得CH的值，易证△ADP∽△ACB，设AP＝x，则AD＝x，DP＝x，BE＝4-x，然后根据S四边形DPEC＝S△ABC-S△ADP-S△CEB表示出S四边形DPEC，接下来利用二次函数的性质进行解答即可.
11．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意可得x1x2＝ ＝-3，
∵x1＝1，
∴x2＝-3.
故答案为：-3.
【分析】根据根与系数的关系可得x1x2＝＝-3，结合x1的值就可求出x2的值.
12．【答案】50+50(1+x)+50 (1+x)2=196
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：因为设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，七月份生产零件50万个，所以八月份生产零件50（1+x）万个，九月份生产零件50（1+x）2万个，所以根据第三季度生产零件196万个可列方程为：
50+50（1+x）+50（1+x）2=196．
【分析】设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，七月份生产零件50万个，所以八月份生产零件50（1+x）万个，九月份生产零件50（1+x）2万个，根据“三季度生产零件196万个”列出方程即可.
13．【答案】8
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ， 而
∴ ，S△ABC＝9S△ADE＝9，
∴S四边形BCED的值＝9-1＝8.
故答案为8.
【分析】易证△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得S△ABC＝9S△ADE＝9，然后由S四边形BCED＝S△ABC-S△ADE进行计算.
14．【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；点与圆的位置关系；等腰直角三角形；圆的周长
【解析】【解答】解：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连接OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，
∵在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝4，
∴AB＝ BC＝4 ，
∴OC＝ AB＝2 ，OP＝ AB＝2 ，
∵M为PC的中点，
∴OM⊥PC，
∴∠CMO＝90°，
∴点M在以OC为直径的圆上，
点P点与A点重合时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF＝OC＝2 ，
∴M点的路径为以EF为直径的半圆，
∴点M运动的路径长＝ 2π ＝ π.
故答案为：π.
【分析】取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连接OC、OP、OM、OE、OF、EF，由等腰直角三角形的性质可得AB＝BC＝4，OC＝AB＝2 ，OP＝AB＝2，易得点P点与A点重合时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，四边形CEOF为正方形，EF＝OC＝2，则M点的路径为以EF为直径的半圆，然后根据圆的周长公式进行计算.
15．【答案】180
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠2＝∠A+∠B，∠1＝∠D+∠E，
∠1+∠2+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，
故答案为：180.
【分析】画出示意图，由外角的性质可得∠2＝∠A+∠B，∠1＝∠D+∠E，根据内角和定理可得∠1+∠2+∠C＝180°，据此求解.
16．【答案】10
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解：∵正多边形绕它的中心旋转36°后，能和原来的图形重合，
∴多边形的边数是：360°÷36°＝10.
故答案为：10.
【分析】利用外角和360°除以旋转的度数即可求出多边形的边数.
17．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，
∴AC＝ ＝4，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO＝2，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，
∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，
∴△CAB∽△CP′O，
∴ ，
∴ ，
∴OP′＝ ，
∴则PQ的最小值为2OP′＝ .
故答案为：.
【分析】由勾股定理可得AC的值，根据平行四边形的性质可得PO＝QO，CO＝AO＝2，过O作BC的垂线OP′，易证△CAB∽△CP′O，然后根据相似三角形的性质进行计算.
18．【答案】 ＜y≤-
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：抛物线的顶点纵坐标为y＝ ＝-（m-1）2- ，
∵-1＜m＜2，
∴m＝1时，顶点y的最大值为- ，
m＝-1时，得到y的最小值为- ，
∴- ＜y≤- ，
故答案为- ＜y≤- .
【分析】根据顶点坐标公式可得顶点的纵坐标为y=-(m-1)2-，然后根据二次函数的性质可得y的范围.
19．【答案】解：∵3x（x-1）＝2x-2，
∴3x（x-1）-2（x-1）＝0，
则（x-1）（3x-2）＝0，
∴x-1＝0或3x-2＝0，
解得x1＝1，x2＝ .
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】首先对右边的式子进行分解，然后移至左边，提取公因式(x-1)可得(x-1)(3x-2)=0，据此求解.
20．【答案】（1）解：如图所示：
（2）（-6，4）；（2a，2b）
（3）2
【知识点】作图﹣位似变换；锐角三角函数的定义；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：（2）由图可得：C1点坐标（-6，4）；若线段AB上点D的坐标为（a，b），则对应的点D1的坐标为（2a，2b）；
（3）∠C1A1B1的正切值为2，
故答案为：（-6，4）；（2a，2b）；2
【分析】（1）分别连接OA、OB、OC并延长，使OA1=2OA，OB1=2OB，OC1=2OC，然后顺次连接即可；
（2）根据点C1的位置可得相应的坐标，给点D的横纵坐标分别乘以2可得点D1的坐标；
（3）根据三角函数的概念进行计算即可.
21．【答案】（1）解：设口袋中黄球的个数为 个，
根据题意得：
解得： =1
经检验： =1是原分式方程的解
∴口袋中黄球的个数为1个
（2）解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次摸出都是红球的有2种情况
∴两次摸出都是红球的概率为：
【知识点】列表法与树状图法；概率的简单应用
【解析】【分析】（1） 设口袋中黄球的个数为 个， 根据袋中红色小球的个数比上袋中小球的总数量等于从中任意摸出一个球是红球的概率 ，列出方程，求解并检验即可；
（2）根据题意画出树状图，由图可知： 共有12种等可能的结果，而两次摸出都是红球的有2种情况 ，根据概率公式即可算出 两次摸出都是红球的概率 。
22．【答案】（1）证明：连接AE，
∵四边形ABEC是⊙O的内接四边形，
∴∠ACE+∠ABE＝180°，
∵∠ABE+∠EBD＝180°，
∴∠EBD＝∠ACE，
∵BC∥DE，
∴∠CBE＝∠DEB，
∵∠CAE＝∠CBE，
∴∠CAE＝∠BED，
∴△ACE∽△EBD.
（2）解：如图，连接OE交BC于点H，连接CO，
∵DE是⊙O的切线，
∴OE⊥DE，
∵CB∥DE，
∴OE⊥BC，
∴CE＝BE，
∵△ACE∽△EBD，
∴
即，
∴CE＝6，
∵∠BAE＝∠BCE，sin∠BAE＝ ，
∴sin∠BCE＝
∴EH＝ ，
∴CH＝ ，
设⊙O的半径为r，则OH＝r- ，
在Rt△OHC中，OH2+CH2＝OC2，
∴（r- ）2+（ ）2＝r2，
∴r＝5，
∴⊙O的半径为5.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接AE，根据圆内接四边形的性质可得∠ACE+∠ABE＝180°，由邻补角的性质可得∠ABE+∠EBD＝180°，则∠EBD＝∠ACE，根据平行线的性质可得∠CBE＝∠DEB，根据圆周角定理可得∠CAE＝∠CBE，则∠CAE＝∠BED，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）连接OE交BC于点H，连接CO，根据切线的性质可得OE⊥DE，则OE⊥BC，CE＝BE，根据相似三角形的性质可得CE的值，根据圆周角定理可得∠BAE＝∠BCE，利用三角函数的概念可得EH的值，由勾股定理可得CH，设⊙O的半径为r，则OH＝r-，然后在Rt△OHC中，由勾股定理计算即可.
23．【答案】（1）解：设y＝kx+b，由题意有：
，
解得 ，
所以y关于x的函数解析式为y＝-2x+300；
（2）解：①由（1）W＝（-2x+300）（x-30）＝-2x2+360x-9000＝-2（x-90）2+7200，
所以售价x＝90时，周销售利润W最大，最大利润为7200；
②由题意W＝-2（x-150）（x-30-a）（x≤75），
其对称轴x＝90+ ＞90，
∴0＜x≤75时，W的值随x增大而增大，
∴只有x＝75时周销售利润最大，
∴6000＝-2（75-150）（75-30-a），
∴a＝5.
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设y＝kx+b，将x＝50，y＝200；x＝80，y＝140代入求出k、b的值，据此可得y与x的函数表达式；
（2）①由题意可得每件的利润为(x-30)元，根据每件的利润×销售量=总利润可得W与x的关系式，然后根据二次函数的性质进行解答；
②由题意可得每件的利润为(x-30-a)元，根据每件的利润×销售量=总利润可得W与x的关系式，然后根据二次函数的性质进行解答.
24．【答案】（1）证明：如图①中，连接BI.
∵DB＝DI，
∴∠DBI＝∠DIB，
∵∠DIB＝∠IAB+∠IBA，∠DBI＝∠IBC+∠DBC，
又∵∠DBC＝∠DAC＝∠DAB，
∴∠DBC＝∠IAB，
∴∠IBA＝∠IBC，即BI平分∠ABC，
∴点I是△ABC的内心.
（2）证明：如图②中，
∵∠BDA＝∠BCA，∠DBC＝∠DAC，
∴△BDE∽△ACE，
∴
∵DB＝DI，
∴
（3）解：如图③中，作∠BAC的角平分线AD交⊙O于D，连接BD，DC，以D为圆心，DB为半径作弧，交AD于点I，
由（1）点I是△ABC的内心.
∵IH⊥AC，
∴IH是△ABC的内切圆的半径，
在△AIH中，∠IAH＝ ∠BAC＝60°，
∴IH＝ AI，故欲求IH的最大值只要求出AI的最大值，
∵∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠DAB＝60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴DB＝CB＝8，即DI＝8，
作直径DF，
在Rt△BDF中，∠DFB＝60°，DB＝8，
∴DF＝ ，即直径为 ，
∴AI的最大值为 -8，
∴△ABC的内切圆的半径的最大值为8-4 .
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接BI，由等腰三角形的性质可得∠DBI＝∠DIB，由外角的性质得∠DIB=∠IAB+∠IBA，根据角的和差关系可得∠DBI＝∠IBC+∠DBC，由角平分线的概念以及圆周角定理可得∠DBC＝∠DAC＝∠DAB，则∠IBA＝∠IBC，即BI平分∠ABC，据此证明；
（2）由圆周角定理可得∠BDA＝∠BCA，∠DBC＝∠DAC，证明△BDE∽△ACE，然后根据相似三角形的性质以及DB＝DI可得结论；
（3）作∠BAC的角平分线AD交⊙O于D，连接BD，DC，以D为圆心，DB为半径作弧，交AD于点I，由（1）点I是△ABC的内心，根据三角函数的概念可得IH＝AI，易得△BDC是等边三角形，则DB=CB＝8，即DI＝8，作直径DF，易得DF的值，据此解答.
25．【答案】（1）解：将A（-1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝- x2+ x+2，
∵x＝- ＝1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1；
（2）解：∵∠DCB＝∠CBD，
∴CD＝BD，
令x＝0，则y＝2，
∴C（0，2），
设D（1，t），
∴1+（t-2）2＝4+t2，
解得t＝ ，
∴D（1， ）；
（3）解：存在，M点坐标为（2，2）或（-2，- ）或（4，2）
（4）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：（3）存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设M（m，- m2+ m+2），
当BC为平行四边形的对角线时，3＝m+1，
∴m＝2，
∴M（2，2）；
当BM为平行四边形的对角线时，3+m＝1，
解得m＝-2，
∴M（-2，- ）；
当BN为平行四边形的对角线时，3+1＝m，
解得m＝4，
∴M（4，2）；
综上所述：M点坐标为（2，2）或（-2，- ）或（4，2）；
（4）在y轴上取点H（0，8），连接OP、HP，
∵OC＝2，OP＝4，OH＝8，
∴
∴△HOP∽△POC，
∴HP＝2CP，
∴2PC+PB＝HP+BP≥HB，
当B、H、P三点共线时，2PC+PB的值最小，
∵HB＝ ，
∴2PC+PB的最小值为 ，
故答案为： .
【分析】（1）将A（-1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2中求出a、b的值，据此可得抛物线的解析式，进而可得对称轴；
（2）由∠DCB＝∠CBD可得CD＝BD，易得C（0，2），设D（1，t），结合两点间的距离公式可得t的值，据此可得点D的坐标；
（3）设M（m，-m2+m+2），分BC为平行四边形的对角线、BM为平行四边形的对角线、BN为平行四边形的对角线，结合平行四边形的对角线互相平分可得m的值，据此可得点M的坐标；
（4）在y轴上取点H（0，8），连接OP、HP，则 ，证明△HOP∽△POC，根据相似三角形的性质可得HP＝2CP，则2PC+PB＝HP+BP≥HB，故当B、H、P三点共线时，2PC+PB的值最小，据此求解.
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