湖南省长沙市雨花区2022-2023学年九年级下学期数学假期开学考试测试卷
一、选择题（共36分）
1．（2023九下·雨花开学考）在下列各数中，有理数是（ ）
A．-5 B． C． D．π
2．（2023九下·雨花开学考）下列计算正确的是（ ）
A．5a2-3a2＝2 B．（-2a2）3＝-6a6
C．a3÷a＝a2 D．（a+b）2＝a2+b2
3．（2019·常熟模拟）下列四个图案中，不是中心对称图案的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023九下·雨花开学考）中新社北京1月27日电中国国家卫生健康委员会副主任曾益新27日在北京称，截至1月26日，中国已完成2276.7万剂次新冠疫苗接种．这里数据2276.7万可以用科学记数法表示为（ ）
A．0.22767×107 B．2.2767×105
C．2.2767×107 D．2.2767×106
5．（2023九下·雨花开学考）《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些算法要比欧洲同类算法早1500多年，对中国及世界数学发展产生过重要影响．在《九章算术》中有很多名题，下面就是其中的一道．原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E．CE＝1寸，AB＝10寸，则可得直径CD的长为（ ）
A．13寸 B．26寸 C．18寸 D．24寸
6．（2023九下·雨花开学考）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若AB＝BD，AB＝6，∠C＝30°，则△ACD的面积为（ ）
A． B． C． D．9
7．（2023九下·雨花开学考）下列几何体中，主视图与俯视图不相同的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2019八下·吉安期末）一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
9．（2023九下·雨花开学考）不等式组的解集在数轴上用阴影表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023九下·雨花开学考）中国总理李克强2020年6月1日考察山东时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．市场、企业、个体工商户活起来，生存下去，再发展起来，国家才能更好！为了响应党中央、国务院的号召，各地有序开放了“地摊经济”、“马路经济”，长沙某地摊摊主将进价为10元的小商品提价100%后再6折销售，该小商品的利润率（ ）
A．40% B．20% C．60% D．30%
11．（2019八上·洛川期中）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
12．（2023九下·雨花开学考）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的两点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N．下列结论：①BE+DF＝EF；②AF平分∠DFE；③AM AE＝AN AF；④AB2＝BN DM．其中正确的结论是（ ）
A．②③④ B．①④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题（共12分）
13．（2023九下·雨花开学考）分解因式：4a2b-b＝ ．
14．（2023九下·雨花开学考）若圆锥的底面直径为6cm，母线长为10cm，则圆锥的侧面积为 cm2．
15．（2023九下·雨花开学考）一元二次方程x2-2x-k＝0有两个相等的实数根，则k＝ ．
16．（2023九下·雨花开学考）如图，已知，在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数y＝（k＞0）的图象与AC边交于点E，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为 ．
三、解答题（共72分）
17．（2020九下·长沙开学考）计算：（ ）﹣1﹣2cos30°+ +（3﹣π）0
18．（2023九下·雨花开学考）先化简，再求值：，其中a＝．
19．（2023九下·雨花开学考）某校组织代表队参加市“与经典同行”吟诵大赛，初赛后对选手成绩进行了整理，分成5个小组（x表示成绩，单位：分）．A组：75≤x＜80；B组：80≤x＜85；C组：85≤x＜90；D组：90≤x＜95；E组：95≤x＜100，并绘制如下两幅不完整的统计图：请根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加初赛的选手共有 名，请补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中，C组对应的圆心角是多少度？E组人数占参赛选手的百分比是多少？
（3）学校准备组成8人的代表队参加市级决赛，E组6名选手直接进入代表队，现要从D组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中两名女生的概率．
20．（2023九下·雨花开学考）如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，CE，并延长CE交AD于点F．
（1）求证：△ABE≌△CBE；
（2）若∠AEC＝140°，求∠DFE的度数．
21．（2023九下·雨花开学考）为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度i＝1：1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行．
（1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；
（2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB（结果精确到0.1米，≈1.41，≈1.73）．
22．（2023九下·雨花开学考）某体育用品店准备购进甲，乙品牌乒乓球两种，若购进甲种乒乓球10个，乙种乒乓球5个，需要100元，若购进甲种乒乓球5个，乙种乒乓球3个，需要55元．
（1）求购进甲，乙两种乒乓球每个各需多少元？
（2）若该体育用品店刚好用了1000元购进这两种乒乓球，考虑顾客需求，要求购进甲种乒乓球的数量不少于乙种乒乓球数量的6倍，且乙种乒乓球数量不少于23个，那么该文具店共有哪几种进货方案？
（3）若该体育用品店销售每只甲种乒乓球可获利润3元，销售每只乙种乒乓球可获利润4元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
23．（2023九下·雨花开学考）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．
（1）求证：DO∥AC；
（2）求证：DE DA＝DC2；
（3）若tan∠CAD＝，求sin∠CDA的值．
24．（2023九下·雨花开学考）定义：在平面直角坐标系中，点P（x，y）的横、纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记[P]＝|x|+|y|．
（1）已知M（p，2p）在反比例函数y＝的图象上，且[M]＝3，求反比例函数的解析式；
（2）已知点A是直线y＝x+2上的点，且[A]＝4，求点A的坐标；
（3）若抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点C，已知点C在第一象限，且2≤[C]≤4，令t＝2b2-4a+2020，求t的取值范围．
25．（2023九下·雨花开学考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a＜0）与x轴交于A（-2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m的最大值及此时点P的坐标：
（3）连接AC，抛物线上是否存在点Q，使得∠BAQ＝2∠OCA？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：A、-5是整数，是有理数，故此选项符合题意；
B、是开方开不尽的数，是无理数，故此选项不符合题意；
C、是开方开不尽的数，是无理数，故此选项不符合题意；
D、π是无限不循环小数，是无理数，故此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】整数与分数统称有理数，整数分为正整数、零和负整数，分数包括正分数、负分数；无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，根据定义即可一一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、5a2-3a2=2a2，故此选项计算错误，不符合题意；
B、（-2a2）3=-8a6，故此选项计算错误，不符合题意；
C、a3÷a=a2，故此选项计算正确，符合题意；
D、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】合并同类项的时候，只需要将同类项的系数相加减，字母和字母的指数都不变，据此判断A选项；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此可判断B选项；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断C选项；完全平方公式的展开式是一个三项式，据此判断D选项.
3．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、即是中心对称图形，又是轴对称图形，故A不符合题意；
B、即是中心对称图形，又是轴对称图形，故B不符合题意；
C、只是轴对称图形，不是中心对称图形，故C符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为:C.
【分析】把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一一判断得出答案。
4．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 2276.7万 =22767000=2.2767×107.
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图：连接OA，
∵ 弦AB⊥CD于点E ，
∴AE=BE=5寸，∠AEO=90°，
设圆的半径OA=r寸，则OE=（r-1）寸，
在Rt△AOE中，AO2=OE2+AE2，
∴r2=（r-1）2+52，
解得r=13，
∴该圆的直径为26寸.
故答案为：B.
【分析】连接OA，根据垂径定理得AE=BE=5寸，∠AEO=90°，设圆的半径OA=r寸，则OE=（r-1）寸，在Rt△AOE中，利用勾股定理建立方程，求解即可解决问题.
6．【答案】A
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由题可得，MN垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠C＝∠CAD＝30°，
∴∠ADB＝60°，
又∵AB＝BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠B＝60°，∠BAC＝90°，BD＝AD＝CD，
∴AD是Rt△ABC斜边上的中线，
∵AB＝6，
∴BC＝2AB＝12，
∴，
∴S△ADC=S△ABC=××AC×AB=.
故答案为：A.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AD=CD，根据等边对等角得∠C＝∠CAD＝30°，根据三角形外角相等得∠ADB＝60°，进而根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得△ABD是等边三角形，推出BD＝AD＝DC，可得S△ADC＝S△ABC即可解决问题．
7．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、正方体的主视图及俯视图都是正方形，故此选项不符合题意；
B、圆柱体的主视图及俯视图都是长方形，故此选项不符合题意；
C、四棱锥的主视图是三角形，俯视图是有两条对角线的正方形，故此选项符合题意；
D、球体的主视图及俯视图都是圆，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】主视图，就是从正面看得到的平面图形，俯视图就是从上面看得到的平面图形，根据定义分别找出几个几何体的主视图及俯视图，从而判断得出答案.
8．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：外角是180°﹣120°＝60°，
360÷60＝6，则这个多边形是六边形．
故答案为：C．
【分析】一个多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
9．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： ，
由①得x≤2，
由②得x＞-2，
∴该不等式组的解集为：-2＜x≤2，
在数轴上表示该不等式组的解集为： .
故答案为：C.
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来，从而即可判断得出答案.
10．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设该小商品的利润率为x，
由题意，得：10×（1＋100%）×0.6 10＝10x，
解得：x＝0.2＝20%．
故答案为：B.
【分析】设该小商品的利润率为x，根据利润＝售价 进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
11．【答案】C
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE=BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE=60°，
∵BA=BC，AE=EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC=30°，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=30°，
∴∠CPE=∠PBC+∠PCB=60°，
故答案为：C.
【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值.再利用等边三角形的性质可得∠PBC=∠PCB=30°，即可解决问题；
12．【答案】D
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵∠BAN＝∠BAM＋∠MAN＝∠BAM＋45°，
∠AMD＝∠ABM＋∠BAM＝45°＋∠BAM，
∴∠BAN＝∠AMD，
又∠ABN＝∠ADM＝45°，
∴△ABN∽△MDA，
∴AB：BN＝DM：AD．
∵AD＝AB，
∴AB2＝BN DM．
故④正确；
△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADH．
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE＋∠DAF＝45°．
∴∠EAF＝∠HAF．
∵AE＝AH，AF＝AF，
∴△AEF≌△AHF（SAS），
∴∠AFH＝∠AFE，
即AF平分∠DFE．
故②正确；
③∵AB∥CD，
∴∠DFA＝∠BAN．
∵∠AFE＝∠AFD，∠BAN＝∠AMD，
∴∠AFE＝∠AMN．
又∠MAN＝∠FAE，
∴△AMN∽△AFE．
∴AM：AF＝AN：AE，
即AM AE＝AN AF．
故③正确；
由△AEF≌△AHF，可得EF＝FH，
得BE＋DF＝DH＋DF＝FH＝FE．
故①正确．
故答案为：D.
【分析】根据角的和差及三角形外角性质可以证明出∠BAN＝∠AMD，从而推出△ABN∽△MDA，根据相似三角形对应边成比例可得AB：BN＝DM：AD，并结合AB=AD可得结论④正确；把△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADH，利用SAS证明△AEF≌△AHF，推出∠AFH＝∠AFE，即AF平分∠DFE，可得②正确；证明△AMN∽△AFE，可得结论③正确；由△AEF≌△AHF，可得EF＝FH，可得①正确．
13．【答案】b（2a+1）（2a-1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： 4a2b-b＝ b（4a2-1）=b（2a+1）（2a-1）.
故答案为：b（2a+1）（2a-1）.
【分析】先提取公因式b，再利用平方差公式进行第二次分解即可.
14．【答案】30π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥的侧面积＝×6π×10＝30π（cm2）．
故答案为：30π．
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，进而根据扇形的面积公式“（l为底面圆的周长，r为母线长）”计算即可．
15．【答案】-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程x2-2x-k＝0有两个相等的实数根 ，
∴b2-4ac=0，即（-2）2-4×1×（-k）=0，
解得k=-1.
故答案为：-1.
【分析】由一元二次方程有两个相等的实数根，可得根的判别式b2-4ac=0，据此建立方程，求解即可.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点E作EM⊥x轴于点M，
∵将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的D点处，
∴∠EDF＝∠C＝90°，EC＝ED，CF＝DF，
∴∠MDE＋∠FDB＝90°，
而EM⊥OB，
∴∠MDE＋∠MED＝90°，
∴∠MED＝∠FDB，
∴Rt△MED∽Rt△BDF；
易得E（，3），F（4，）
∴AE=，BF=，
又∵EC＝AC AE＝4 ，CF＝BC BF＝3 ，
∴ED＝4 ，DF＝3 ，
∴，
∵Rt△MED∽Rt△BDF，
∴EM：DB＝ED：DF＝4：3，而EM＝3，
∴DB＝，
在Rt△DBF中，DF2＝DB2＋BF2，即（3 ）2＝（）2＋（）2，
解得k＝，
故答案为：.
【分析】过点E作EM⊥x轴于点M，由折叠得∠EDF＝∠C＝90°，EC＝ED，CF＝DF，根据同角的余角相等得∠MED＝∠FDB，从而证明Rt△MED∽Rt△BDF，易得E（，3），F（4，），从而可用含k的式子表示出EC、CF，可得DE、DF，则，根据相似三角形对应边成比例可得EM：DB＝ED：DF＝4：3，求出DB，在Rt△DBF中，利用勾股定理即可求解．
17．【答案】解：原式=2﹣2× + +1
=2﹣ + +1
=3．
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】利用负指数幂、特殊三角函数值、0指数幂的性质化简，再计算即可。
18．【答案】解：原式＝
＝
＝，
当a＝时，原式＝＝2（+1）＝2+2．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，再代入求值即可.
19．【答案】（1）解：40
频数分布直方图补充如下：
（2）解：C组对应的圆心角度数是：360°×＝108°，
E组人数占参赛选手的百分比是：×100%＝15%；
（3）解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是两名女生的有4种结果，
∴抽取的两人恰好是两名女生的概率为＝．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：（1）参加初赛的选手的总人数为：8÷20%＝40（人）；
B组的人数为：40×25%＝10（人），
故答案为：40；
【分析】（1）根据统计图提供的信息，用A组的频数除以所占的百分比即可求出参加初赛的选手的总人数；用参加初赛的选手的总人数乘以B组所占的百分比可得B组的人数，进而根据B组的人数补全直方图；
（2）用360°乘C组所占的百分比可得扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数，用E组的人数除以参加初赛的选手的总人数再乘以100％可得E组人数占参赛选手的百分比；
（3）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可知：共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是两名女生的有4种结果，从而根据概率公式计算即可.
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABE=∠CBE=45°，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS）；
（2）解：∵△ABE≌△CBE，
∴∠AEB＝∠CEB，
又∵∠AEC＝140°，
∴∠CEB＝70°，
∵∠DEC+∠CEB＝180°，
∴∠DEC＝180°-∠CEB＝110°，
∵∠DFE+∠ADB＝∠DEC，
∴∠DFE＝∠DEC-∠ADB＝110°-45°＝65°．
【知识点】三角形的外角性质；正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得AB＝CB，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABE=∠CBE=45°，从而利用SAS判断出△ABE≌△CBE；
（2）根据全等三角形的对应角相等得∠AEB＝∠CEB=70°，根据邻补角得∠DEC＝110°，最后根据三角形外角性质，由∠DFE＝∠DEC-∠ADB代入计算可得答案.
21．【答案】（1）解：过点F作FG⊥EC于G，
依题意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°，
∴四边形DEGF是矩形，
∴FG＝DE，
在Rt△CDE中，
DE＝CE tan∠DCE＝6×tan30 o ＝2 （米），
∴点F到地面的距离为2 米；
（2）解：∵斜坡CF的坡度为 i＝1：1.5．
∴Rt△CFG中，CG＝1.5FG＝2×1.5＝3（米），
∴FD＝EG＝（3+6）（米）．
在Rt△BCE中，
BE＝CE tan∠BCE＝6×tan60 o ＝6（米），
∴AB＝AD+DE-BE＝3+6+2-6＝6-≈4.3 （米）．
答：宣传牌的高度约为4.3米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点F作FG⊥EC于G，易得四边形DEGF是矩形，根据矩形的性质得FG＝DE，在Rt△CDE中，根据正切函数的定义，由DE＝CE tan∠DCE即可算出答案；
（2）根据坡比的定义，Rt△CFG中，可得CG＝1.5FG，进而可得FD＝EG＝（3+6）（米），在Rt△BCE中，根据正切函数的定义，由BE＝CE tan∠BCE求出BE，最后根据AB＝AD+DE-BE算出答案.
22．【答案】（1）解：设购进每个甲种乒乓球需要x元，购进每个乙种乒乓球需要y元，
依题意，得：，
解得：．
答：购进每个甲种乒乓球需要5元，每个乙种乒乓球需要10元．
（2）解：设该文具店购进m个乙种乒乓球，则购进＝（200-2m）个甲种乒乓球，
依题意，得：，
解得：23≤m≤25，
又∵m为正整数，
∴m可以取23，24，25，
∴该文具店共有3种进货方案，方案1：购进154个甲种乒乓球，23个乙种乒乓球；方案2：购进152个甲种乒乓球，24个乙种乒乓球；方案3：购进150个甲种乒乓球，25个乙种乒乓球．
（3）解：方案1获得的利润为3×154+4×23＝554（元），
方案2获得的利润为3×152+4×24＝552（元），
方案3获得的利润为3×150+4×25＝550（元）．
∵554＞552＞550，
∴方案1购进154个甲种乒乓球，23个乙种乒乓球获利最大，最大利润是554元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购进每个甲种乒乓球需要x元，购进每个乙种乒乓球需要y元，根据“若购进甲种乒乓球10个，乙种乒乓球5个，需要100元，若购进甲种乒乓球5个，乙种乒乓球3个，需要55元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该文具店购进m个乙种乒乓球，则购进（200 2m）个甲种乒乓球，根据购进甲种乒乓球的数量不少于乙种乒乓球数量的6倍且乙种乒乓球数量不少于23个，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各进货方案；
（3）利用销售总利润＝每个的利润×销售数量，分别求出各进货方案获得的利润，比较后即可得出结论．
23．【答案】（1）证明：∵点D是弧BC的中点，
∴
∴∠CAD＝∠BAD，即∠CAB＝2∠BAD，
∵弧BD=弧BD，
∴∠BOD＝2∠BAD，
∴∠CAB＝∠BOD，
∴DO∥AC；
（2）证明：∵，
∴∠CAD＝∠DCB，
又∠CDE=∠ADC，
∴△DCE∽△DAC，
∴CD2＝DE DA；
（3）解：∵tan∠CAD＝，连接BD，则BD＝CD，
∴∠DBC＝∠CAD，
在Rt△BDE中，tan∠DBE＝
设DE＝a，则CD＝2a，
而CD2＝DE DA，则AD＝4a，
∴AE＝3a，
∴＝3，
而△AEC∽△DEF，
即△AEC和△DEF的相似比为3，
设EF＝k，则CE＝3k，BC＝8k，
tan∠CAD＝，
∴AC＝6k，AB＝10k，
∴sin∠CDA＝．
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等得∠CAD＝∠BAD，即∠CAB＝2∠BAD，再根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠BOD＝2∠BAD，推出∠CAB＝∠BOD，从而根据同位角相等，两直线平行可得结论；
（2）根据等弧所对的圆周角相等得∠CAD＝∠DCB，结合∠CDE=∠ADC，可以证明△DCE∽△DCA，即可求解；
（3）tan∠CAD＝，连接BD，则BD＝CD，在Rt△BDE中，tan∠DBE＝，设DE＝a，则CD＝2a，而CD2＝DE DA，则AD＝4a，AE＝3a，故＝3，即△AEC和△DEF的相似比为3，设EF＝k，则CE＝3k，BC＝8k，tan∠CAD＝，则AC＝6k，AB＝10k，即可求解．
24．【答案】（1）解：由题意|p|+|2p|＝3，
∴p＝±1，
∴M（1，2）或（-1，-2），
∴k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）解：设点A（m，m+2）
由题意可得：|m|+|m+2|＝4，
当m≤-2时，-m-m-2＝4，
∴m＝-3，
∴点A（-3，-1）；
当-2＜m＜0时，-m+m+2＝4，
∴方程无解；
当m≥0时，m+m+2＝4，
∴m＝1，
∴点A坐标（1，3）；
（3）解：由题意方程组只有一组实数解，
消去y得ax2+（b-1）x+1＝0，
由题意Δ＝0，
∴（b-1）2-4a＝0，
∴4a＝（b-1）2，
∴原方程可以化为（b-1）2x2+4（b-1）x+4＝0，
∴x1＝x2＝，
∴C（，），
∵2≤[C]≤4，
∴1≤≤2或-2≤≤-1，
解得：-1≤b≤0或2≤b≤3，
∵点C在第一象限，
∴-1≤b≤0，
∵t＝2b2-4a+2020，
∴t＝2b2-4a+2020＝2b2-（b-1）2+2020＝b2+2b+2019＝（b+1）2+2018，
∵-1≤b≤0
∴2018≤t≤2019．
【知识点】一次函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据新定义运算法则得|p|＋|2p|＝3，求解可得p的值，从而得出点M的坐标，进而根据反比例函数图象上任意一点的横坐标坐标的乘积都等于k可求出k的值，从而求出反比例函数的解析式；
（2）设点A（m，m＋2），根据新定义运算法则得|m|＋|m＋2|＝4，进而分①当m≤-2时，②当-2＜m＜0时，③当m≥0时三种情况，根据绝对值的性质化简，再求解即可；
（3）联立两函数解析式消去y得ax2+（b-1）x+1＝0，由题意Δ＝0，据此建立方程用含b的式子表示出A，进而代入方程求解用含b的式子表示出方程的两根，可得点C的坐标，结合2≤[C]≤4得出关于b的不等式组，求解得出b的取值范围，用含b的式子表示出t，再将所得式子配成顶点式，结合b的取值范围，即可求解．
25．【答案】（1）解：∵OC＝2OA，OA＝2，
∴C（0，4），
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（-2，0）、B（4，0）两点，
∴可以假设y＝a（x+2）（x-4）（a≠0），
将点C（0，4）代入抛物线的解析式得到a＝-，
∴该抛物线的解析式为y＝-（x+2）（x-4）或y＝-x2+x+4或y＝-（x-1）2+；
（2）解：如图，由题意知，点P在y轴的右侧，作PE⊥x轴于E，交BC于F．
∴CD∥PE，
∴△CMD∽△FMP，
∴m＝＝，
∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1），
利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝-x+4，
设P（n，-n2+n+4），则F（n，-n+4），
∴PF＝-n2+n+4-（-n+4）＝-（n-2）2+2，
∴m＝＝-（n-2）2+，
∵-＜0，
∴当n＝2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）；
（3）解：①当点Q在x轴上方时，如图，作∠BAQ的角平分线角抛物线于N，作NG⊥AQ于G，NH⊥AB于H，连接GH交AN于S，作GK⊥AB于K，
∴∠NAG＝∠NAH＝∠BAQ，NG＝NH，AG＝AH，
∵∠BAQ＝2∠OCA，
∴∠NAG＝∠NAH＝∠OCA，
∵∠AOC＝∠NHA＝90°，
∴△AOC∽△NHA，
∴，
∴AH＝2NH，
设N（t，-t2+t+4），
∴t+2＝2（-t2+t+4），解得t＝3或-2（舍去），
∴N（3，），
∴NG＝NH＝，AG＝AH＝5，
∴AN⊥GH，GS＝HS＝，
∴∠AHS＝∠CAO，HG＝2，
∵∠AOC＝∠ASH＝90°，
∴△AOC∽△HKG，
∴， 即
∴KH＝2，
∴GK＝＝4，OK＝3-2＝1，
∴G（1，4），
∵A（-2，0），
∴直线AG的解析式为y＝x+，
联立抛物线的解析式为y＝-x2+x+4解得x＝或-2（舍去），
∴y＝×+＝，
∴点Q坐标为（，）；
②当点Q在x轴下方时，如图，
同理得G（，-），
∵A（-2，0），
∴直线AG的解析式为y＝-x-，
联立抛物线的解析式为y＝-x2+x+4解得x＝或-2（舍去），
∴y＝-×-＝-，
∴点Q坐标为（，-）．
综上，存在这样的点Q，满足条件的点Q坐标为（，）或（，-）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据点A的坐标及OC=2OA可求出C点坐标，由于此题给出了抛物线与x轴两交点的坐标，故设出交点式，代入C坐标求出a即可；
（2）如图，由题意知，点P在y轴的右侧，作PE⊥x轴于E，交BC于F，根据同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得CD∥PE，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△CMD∽△FMP，可得m＝＝，根据直线上的点的坐标特点易得点D的坐标为（0，1），利用待定系数法求出直线BC的解析式，根据点的坐标与图形的性质，设P（n，-n2+n+4），则F（n，-n+4），表示出PF的长，进而根据二次函数的性质即可解决问题；
（3）分两种情况：①当点Q在x轴上方时，如图，作∠BAQ的角平分线角抛物线于N，作NG⊥AQ于G，NH⊥AB于H，连接GH交AN于S，作GK⊥AB于K，首先判断出△AOC∽△NHA，根据相似三角形对应边成比例得，则AH＝2NH设N（t，-t2+t+4），建立方程求出t的值，可得点N的坐标，再判断出△AOC∽△HKG，根据相似三角形对应边成比例建立方程，可求出KH的长，从而可得点G的坐标，进而利用待定系数法求出直线AG的解析式，联立AG的解析式与抛物线的解析式求解可得点Q的坐标；②当点Q在x轴下方时，同理求解即可．
1 / 1湖南省长沙市雨花区2022-2023学年九年级下学期数学假期开学考试测试卷
一、选择题（共36分）
1．（2023九下·雨花开学考）在下列各数中，有理数是（ ）
A．-5 B． C． D．π
【答案】A
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：A、-5是整数，是有理数，故此选项符合题意；
B、是开方开不尽的数，是无理数，故此选项不符合题意；
C、是开方开不尽的数，是无理数，故此选项不符合题意；
D、π是无限不循环小数，是无理数，故此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】整数与分数统称有理数，整数分为正整数、零和负整数，分数包括正分数、负分数；无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，根据定义即可一一判断得出答案.
2．（2023九下·雨花开学考）下列计算正确的是（ ）
A．5a2-3a2＝2 B．（-2a2）3＝-6a6
C．a3÷a＝a2 D．（a+b）2＝a2+b2
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、5a2-3a2=2a2，故此选项计算错误，不符合题意；
B、（-2a2）3=-8a6，故此选项计算错误，不符合题意；
C、a3÷a=a2，故此选项计算正确，符合题意；
D、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】合并同类项的时候，只需要将同类项的系数相加减，字母和字母的指数都不变，据此判断A选项；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此可判断B选项；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断C选项；完全平方公式的展开式是一个三项式，据此判断D选项.
3．（2019·常熟模拟）下列四个图案中，不是中心对称图案的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、即是中心对称图形，又是轴对称图形，故A不符合题意；
B、即是中心对称图形，又是轴对称图形，故B不符合题意；
C、只是轴对称图形，不是中心对称图形，故C符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为:C.
【分析】把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一一判断得出答案。
4．（2023九下·雨花开学考）中新社北京1月27日电中国国家卫生健康委员会副主任曾益新27日在北京称，截至1月26日，中国已完成2276.7万剂次新冠疫苗接种．这里数据2276.7万可以用科学记数法表示为（ ）
A．0.22767×107 B．2.2767×105
C．2.2767×107 D．2.2767×106
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 2276.7万 =22767000=2.2767×107.
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此即可得出答案.
5．（2023九下·雨花开学考）《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些算法要比欧洲同类算法早1500多年，对中国及世界数学发展产生过重要影响．在《九章算术》中有很多名题，下面就是其中的一道．原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E．CE＝1寸，AB＝10寸，则可得直径CD的长为（ ）
A．13寸 B．26寸 C．18寸 D．24寸
【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图：连接OA，
∵ 弦AB⊥CD于点E ，
∴AE=BE=5寸，∠AEO=90°，
设圆的半径OA=r寸，则OE=（r-1）寸，
在Rt△AOE中，AO2=OE2+AE2，
∴r2=（r-1）2+52，
解得r=13，
∴该圆的直径为26寸.
故答案为：B.
【分析】连接OA，根据垂径定理得AE=BE=5寸，∠AEO=90°，设圆的半径OA=r寸，则OE=（r-1）寸，在Rt△AOE中，利用勾股定理建立方程，求解即可解决问题.
6．（2023九下·雨花开学考）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若AB＝BD，AB＝6，∠C＝30°，则△ACD的面积为（ ）
A． B． C． D．9
【答案】A
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由题可得，MN垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠C＝∠CAD＝30°，
∴∠ADB＝60°，
又∵AB＝BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠B＝60°，∠BAC＝90°，BD＝AD＝CD，
∴AD是Rt△ABC斜边上的中线，
∵AB＝6，
∴BC＝2AB＝12，
∴，
∴S△ADC=S△ABC=××AC×AB=.
故答案为：A.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AD=CD，根据等边对等角得∠C＝∠CAD＝30°，根据三角形外角相等得∠ADB＝60°，进而根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得△ABD是等边三角形，推出BD＝AD＝DC，可得S△ADC＝S△ABC即可解决问题．
7．（2023九下·雨花开学考）下列几何体中，主视图与俯视图不相同的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、正方体的主视图及俯视图都是正方形，故此选项不符合题意；
B、圆柱体的主视图及俯视图都是长方形，故此选项不符合题意；
C、四棱锥的主视图是三角形，俯视图是有两条对角线的正方形，故此选项符合题意；
D、球体的主视图及俯视图都是圆，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】主视图，就是从正面看得到的平面图形，俯视图就是从上面看得到的平面图形，根据定义分别找出几个几何体的主视图及俯视图，从而判断得出答案.
8．（2019八下·吉安期末）一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：外角是180°﹣120°＝60°，
360÷60＝6，则这个多边形是六边形．
故答案为：C．
【分析】一个多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
9．（2023九下·雨花开学考）不等式组的解集在数轴上用阴影表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： ，
由①得x≤2，
由②得x＞-2，
∴该不等式组的解集为：-2＜x≤2，
在数轴上表示该不等式组的解集为： .
故答案为：C.
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来，从而即可判断得出答案.
10．（2023九下·雨花开学考）中国总理李克强2020年6月1日考察山东时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．市场、企业、个体工商户活起来，生存下去，再发展起来，国家才能更好！为了响应党中央、国务院的号召，各地有序开放了“地摊经济”、“马路经济”，长沙某地摊摊主将进价为10元的小商品提价100%后再6折销售，该小商品的利润率（ ）
A．40% B．20% C．60% D．30%
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设该小商品的利润率为x，
由题意，得：10×（1＋100%）×0.6 10＝10x，
解得：x＝0.2＝20%．
故答案为：B.
【分析】设该小商品的利润率为x，根据利润＝售价 进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
11．（2019八上·洛川期中）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE=BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE=60°，
∵BA=BC，AE=EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC=30°，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=30°，
∴∠CPE=∠PBC+∠PCB=60°，
故答案为：C.
【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值.再利用等边三角形的性质可得∠PBC=∠PCB=30°，即可解决问题；
12．（2023九下·雨花开学考）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的两点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N．下列结论：①BE+DF＝EF；②AF平分∠DFE；③AM AE＝AN AF；④AB2＝BN DM．其中正确的结论是（ ）
A．②③④ B．①④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵∠BAN＝∠BAM＋∠MAN＝∠BAM＋45°，
∠AMD＝∠ABM＋∠BAM＝45°＋∠BAM，
∴∠BAN＝∠AMD，
又∠ABN＝∠ADM＝45°，
∴△ABN∽△MDA，
∴AB：BN＝DM：AD．
∵AD＝AB，
∴AB2＝BN DM．
故④正确；
△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADH．
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE＋∠DAF＝45°．
∴∠EAF＝∠HAF．
∵AE＝AH，AF＝AF，
∴△AEF≌△AHF（SAS），
∴∠AFH＝∠AFE，
即AF平分∠DFE．
故②正确；
③∵AB∥CD，
∴∠DFA＝∠BAN．
∵∠AFE＝∠AFD，∠BAN＝∠AMD，
∴∠AFE＝∠AMN．
又∠MAN＝∠FAE，
∴△AMN∽△AFE．
∴AM：AF＝AN：AE，
即AM AE＝AN AF．
故③正确；
由△AEF≌△AHF，可得EF＝FH，
得BE＋DF＝DH＋DF＝FH＝FE．
故①正确．
故答案为：D.
【分析】根据角的和差及三角形外角性质可以证明出∠BAN＝∠AMD，从而推出△ABN∽△MDA，根据相似三角形对应边成比例可得AB：BN＝DM：AD，并结合AB=AD可得结论④正确；把△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADH，利用SAS证明△AEF≌△AHF，推出∠AFH＝∠AFE，即AF平分∠DFE，可得②正确；证明△AMN∽△AFE，可得结论③正确；由△AEF≌△AHF，可得EF＝FH，可得①正确．
二、填空题（共12分）
13．（2023九下·雨花开学考）分解因式：4a2b-b＝ ．
【答案】b（2a+1）（2a-1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： 4a2b-b＝ b（4a2-1）=b（2a+1）（2a-1）.
故答案为：b（2a+1）（2a-1）.
【分析】先提取公因式b，再利用平方差公式进行第二次分解即可.
14．（2023九下·雨花开学考）若圆锥的底面直径为6cm，母线长为10cm，则圆锥的侧面积为 cm2．
【答案】30π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥的侧面积＝×6π×10＝30π（cm2）．
故答案为：30π．
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，进而根据扇形的面积公式“（l为底面圆的周长，r为母线长）”计算即可．
15．（2023九下·雨花开学考）一元二次方程x2-2x-k＝0有两个相等的实数根，则k＝ ．
【答案】-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程x2-2x-k＝0有两个相等的实数根 ，
∴b2-4ac=0，即（-2）2-4×1×（-k）=0，
解得k=-1.
故答案为：-1.
【分析】由一元二次方程有两个相等的实数根，可得根的判别式b2-4ac=0，据此建立方程，求解即可.
16．（2023九下·雨花开学考）如图，已知，在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数y＝（k＞0）的图象与AC边交于点E，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点E作EM⊥x轴于点M，
∵将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的D点处，
∴∠EDF＝∠C＝90°，EC＝ED，CF＝DF，
∴∠MDE＋∠FDB＝90°，
而EM⊥OB，
∴∠MDE＋∠MED＝90°，
∴∠MED＝∠FDB，
∴Rt△MED∽Rt△BDF；
易得E（，3），F（4，）
∴AE=，BF=，
又∵EC＝AC AE＝4 ，CF＝BC BF＝3 ，
∴ED＝4 ，DF＝3 ，
∴，
∵Rt△MED∽Rt△BDF，
∴EM：DB＝ED：DF＝4：3，而EM＝3，
∴DB＝，
在Rt△DBF中，DF2＝DB2＋BF2，即（3 ）2＝（）2＋（）2，
解得k＝，
故答案为：.
【分析】过点E作EM⊥x轴于点M，由折叠得∠EDF＝∠C＝90°，EC＝ED，CF＝DF，根据同角的余角相等得∠MED＝∠FDB，从而证明Rt△MED∽Rt△BDF，易得E（，3），F（4，），从而可用含k的式子表示出EC、CF，可得DE、DF，则，根据相似三角形对应边成比例可得EM：DB＝ED：DF＝4：3，求出DB，在Rt△DBF中，利用勾股定理即可求解．
三、解答题（共72分）
17．（2020九下·长沙开学考）计算：（ ）﹣1﹣2cos30°+ +（3﹣π）0
【答案】解：原式=2﹣2× + +1
=2﹣ + +1
=3．
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】利用负指数幂、特殊三角函数值、0指数幂的性质化简，再计算即可。
18．（2023九下·雨花开学考）先化简，再求值：，其中a＝．
【答案】解：原式＝
＝
＝，
当a＝时，原式＝＝2（+1）＝2+2．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，再代入求值即可.
19．（2023九下·雨花开学考）某校组织代表队参加市“与经典同行”吟诵大赛，初赛后对选手成绩进行了整理，分成5个小组（x表示成绩，单位：分）．A组：75≤x＜80；B组：80≤x＜85；C组：85≤x＜90；D组：90≤x＜95；E组：95≤x＜100，并绘制如下两幅不完整的统计图：请根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加初赛的选手共有 名，请补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中，C组对应的圆心角是多少度？E组人数占参赛选手的百分比是多少？
（3）学校准备组成8人的代表队参加市级决赛，E组6名选手直接进入代表队，现要从D组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中两名女生的概率．
【答案】（1）解：40
频数分布直方图补充如下：
（2）解：C组对应的圆心角度数是：360°×＝108°，
E组人数占参赛选手的百分比是：×100%＝15%；
（3）解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是两名女生的有4种结果，
∴抽取的两人恰好是两名女生的概率为＝．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：（1）参加初赛的选手的总人数为：8÷20%＝40（人）；
B组的人数为：40×25%＝10（人），
故答案为：40；
【分析】（1）根据统计图提供的信息，用A组的频数除以所占的百分比即可求出参加初赛的选手的总人数；用参加初赛的选手的总人数乘以B组所占的百分比可得B组的人数，进而根据B组的人数补全直方图；
（2）用360°乘C组所占的百分比可得扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数，用E组的人数除以参加初赛的选手的总人数再乘以100％可得E组人数占参赛选手的百分比；
（3）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可知：共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是两名女生的有4种结果，从而根据概率公式计算即可.
20．（2023九下·雨花开学考）如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，CE，并延长CE交AD于点F．
（1）求证：△ABE≌△CBE；
（2）若∠AEC＝140°，求∠DFE的度数．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABE=∠CBE=45°，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS）；
（2）解：∵△ABE≌△CBE，
∴∠AEB＝∠CEB，
又∵∠AEC＝140°，
∴∠CEB＝70°，
∵∠DEC+∠CEB＝180°，
∴∠DEC＝180°-∠CEB＝110°，
∵∠DFE+∠ADB＝∠DEC，
∴∠DFE＝∠DEC-∠ADB＝110°-45°＝65°．
【知识点】三角形的外角性质；正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得AB＝CB，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABE=∠CBE=45°，从而利用SAS判断出△ABE≌△CBE；
（2）根据全等三角形的对应角相等得∠AEB＝∠CEB=70°，根据邻补角得∠DEC＝110°，最后根据三角形外角性质，由∠DFE＝∠DEC-∠ADB代入计算可得答案.
21．（2023九下·雨花开学考）为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度i＝1：1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行．
（1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；
（2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB（结果精确到0.1米，≈1.41，≈1.73）．
【答案】（1）解：过点F作FG⊥EC于G，
依题意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°，
∴四边形DEGF是矩形，
∴FG＝DE，
在Rt△CDE中，
DE＝CE tan∠DCE＝6×tan30 o ＝2 （米），
∴点F到地面的距离为2 米；
（2）解：∵斜坡CF的坡度为 i＝1：1.5．
∴Rt△CFG中，CG＝1.5FG＝2×1.5＝3（米），
∴FD＝EG＝（3+6）（米）．
在Rt△BCE中，
BE＝CE tan∠BCE＝6×tan60 o ＝6（米），
∴AB＝AD+DE-BE＝3+6+2-6＝6-≈4.3 （米）．
答：宣传牌的高度约为4.3米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点F作FG⊥EC于G，易得四边形DEGF是矩形，根据矩形的性质得FG＝DE，在Rt△CDE中，根据正切函数的定义，由DE＝CE tan∠DCE即可算出答案；
（2）根据坡比的定义，Rt△CFG中，可得CG＝1.5FG，进而可得FD＝EG＝（3+6）（米），在Rt△BCE中，根据正切函数的定义，由BE＝CE tan∠BCE求出BE，最后根据AB＝AD+DE-BE算出答案.
22．（2023九下·雨花开学考）某体育用品店准备购进甲，乙品牌乒乓球两种，若购进甲种乒乓球10个，乙种乒乓球5个，需要100元，若购进甲种乒乓球5个，乙种乒乓球3个，需要55元．
（1）求购进甲，乙两种乒乓球每个各需多少元？
（2）若该体育用品店刚好用了1000元购进这两种乒乓球，考虑顾客需求，要求购进甲种乒乓球的数量不少于乙种乒乓球数量的6倍，且乙种乒乓球数量不少于23个，那么该文具店共有哪几种进货方案？
（3）若该体育用品店销售每只甲种乒乓球可获利润3元，销售每只乙种乒乓球可获利润4元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设购进每个甲种乒乓球需要x元，购进每个乙种乒乓球需要y元，
依题意，得：，
解得：．
答：购进每个甲种乒乓球需要5元，每个乙种乒乓球需要10元．
（2）解：设该文具店购进m个乙种乒乓球，则购进＝（200-2m）个甲种乒乓球，
依题意，得：，
解得：23≤m≤25，
又∵m为正整数，
∴m可以取23，24，25，
∴该文具店共有3种进货方案，方案1：购进154个甲种乒乓球，23个乙种乒乓球；方案2：购进152个甲种乒乓球，24个乙种乒乓球；方案3：购进150个甲种乒乓球，25个乙种乒乓球．
（3）解：方案1获得的利润为3×154+4×23＝554（元），
方案2获得的利润为3×152+4×24＝552（元），
方案3获得的利润为3×150+4×25＝550（元）．
∵554＞552＞550，
∴方案1购进154个甲种乒乓球，23个乙种乒乓球获利最大，最大利润是554元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购进每个甲种乒乓球需要x元，购进每个乙种乒乓球需要y元，根据“若购进甲种乒乓球10个，乙种乒乓球5个，需要100元，若购进甲种乒乓球5个，乙种乒乓球3个，需要55元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该文具店购进m个乙种乒乓球，则购进（200 2m）个甲种乒乓球，根据购进甲种乒乓球的数量不少于乙种乒乓球数量的6倍且乙种乒乓球数量不少于23个，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各进货方案；
（3）利用销售总利润＝每个的利润×销售数量，分别求出各进货方案获得的利润，比较后即可得出结论．
23．（2023九下·雨花开学考）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．
（1）求证：DO∥AC；
（2）求证：DE DA＝DC2；
（3）若tan∠CAD＝，求sin∠CDA的值．
【答案】（1）证明：∵点D是弧BC的中点，
∴
∴∠CAD＝∠BAD，即∠CAB＝2∠BAD，
∵弧BD=弧BD，
∴∠BOD＝2∠BAD，
∴∠CAB＝∠BOD，
∴DO∥AC；
（2）证明：∵，
∴∠CAD＝∠DCB，
又∠CDE=∠ADC，
∴△DCE∽△DAC，
∴CD2＝DE DA；
（3）解：∵tan∠CAD＝，连接BD，则BD＝CD，
∴∠DBC＝∠CAD，
在Rt△BDE中，tan∠DBE＝
设DE＝a，则CD＝2a，
而CD2＝DE DA，则AD＝4a，
∴AE＝3a，
∴＝3，
而△AEC∽△DEF，
即△AEC和△DEF的相似比为3，
设EF＝k，则CE＝3k，BC＝8k，
tan∠CAD＝，
∴AC＝6k，AB＝10k，
∴sin∠CDA＝．
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等得∠CAD＝∠BAD，即∠CAB＝2∠BAD，再根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠BOD＝2∠BAD，推出∠CAB＝∠BOD，从而根据同位角相等，两直线平行可得结论；
（2）根据等弧所对的圆周角相等得∠CAD＝∠DCB，结合∠CDE=∠ADC，可以证明△DCE∽△DCA，即可求解；
（3）tan∠CAD＝，连接BD，则BD＝CD，在Rt△BDE中，tan∠DBE＝，设DE＝a，则CD＝2a，而CD2＝DE DA，则AD＝4a，AE＝3a，故＝3，即△AEC和△DEF的相似比为3，设EF＝k，则CE＝3k，BC＝8k，tan∠CAD＝，则AC＝6k，AB＝10k，即可求解．
24．（2023九下·雨花开学考）定义：在平面直角坐标系中，点P（x，y）的横、纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记[P]＝|x|+|y|．
（1）已知M（p，2p）在反比例函数y＝的图象上，且[M]＝3，求反比例函数的解析式；
（2）已知点A是直线y＝x+2上的点，且[A]＝4，求点A的坐标；
（3）若抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点C，已知点C在第一象限，且2≤[C]≤4，令t＝2b2-4a+2020，求t的取值范围．
【答案】（1）解：由题意|p|+|2p|＝3，
∴p＝±1，
∴M（1，2）或（-1，-2），
∴k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）解：设点A（m，m+2）
由题意可得：|m|+|m+2|＝4，
当m≤-2时，-m-m-2＝4，
∴m＝-3，
∴点A（-3，-1）；
当-2＜m＜0时，-m+m+2＝4，
∴方程无解；
当m≥0时，m+m+2＝4，
∴m＝1，
∴点A坐标（1，3）；
（3）解：由题意方程组只有一组实数解，
消去y得ax2+（b-1）x+1＝0，
由题意Δ＝0，
∴（b-1）2-4a＝0，
∴4a＝（b-1）2，
∴原方程可以化为（b-1）2x2+4（b-1）x+4＝0，
∴x1＝x2＝，
∴C（，），
∵2≤[C]≤4，
∴1≤≤2或-2≤≤-1，
解得：-1≤b≤0或2≤b≤3，
∵点C在第一象限，
∴-1≤b≤0，
∵t＝2b2-4a+2020，
∴t＝2b2-4a+2020＝2b2-（b-1）2+2020＝b2+2b+2019＝（b+1）2+2018，
∵-1≤b≤0
∴2018≤t≤2019．
【知识点】一次函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据新定义运算法则得|p|＋|2p|＝3，求解可得p的值，从而得出点M的坐标，进而根据反比例函数图象上任意一点的横坐标坐标的乘积都等于k可求出k的值，从而求出反比例函数的解析式；
（2）设点A（m，m＋2），根据新定义运算法则得|m|＋|m＋2|＝4，进而分①当m≤-2时，②当-2＜m＜0时，③当m≥0时三种情况，根据绝对值的性质化简，再求解即可；
（3）联立两函数解析式消去y得ax2+（b-1）x+1＝0，由题意Δ＝0，据此建立方程用含b的式子表示出A，进而代入方程求解用含b的式子表示出方程的两根，可得点C的坐标，结合2≤[C]≤4得出关于b的不等式组，求解得出b的取值范围，用含b的式子表示出t，再将所得式子配成顶点式，结合b的取值范围，即可求解．
25．（2023九下·雨花开学考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a＜0）与x轴交于A（-2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m的最大值及此时点P的坐标：
（3）连接AC，抛物线上是否存在点Q，使得∠BAQ＝2∠OCA？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵OC＝2OA，OA＝2，
∴C（0，4），
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（-2，0）、B（4，0）两点，
∴可以假设y＝a（x+2）（x-4）（a≠0），
将点C（0，4）代入抛物线的解析式得到a＝-，
∴该抛物线的解析式为y＝-（x+2）（x-4）或y＝-x2+x+4或y＝-（x-1）2+；
（2）解：如图，由题意知，点P在y轴的右侧，作PE⊥x轴于E，交BC于F．
∴CD∥PE，
∴△CMD∽△FMP，
∴m＝＝，
∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1），
利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝-x+4，
设P（n，-n2+n+4），则F（n，-n+4），
∴PF＝-n2+n+4-（-n+4）＝-（n-2）2+2，
∴m＝＝-（n-2）2+，
∵-＜0，
∴当n＝2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）；
（3）解：①当点Q在x轴上方时，如图，作∠BAQ的角平分线角抛物线于N，作NG⊥AQ于G，NH⊥AB于H，连接GH交AN于S，作GK⊥AB于K，
∴∠NAG＝∠NAH＝∠BAQ，NG＝NH，AG＝AH，
∵∠BAQ＝2∠OCA，
∴∠NAG＝∠NAH＝∠OCA，
∵∠AOC＝∠NHA＝90°，
∴△AOC∽△NHA，
∴，
∴AH＝2NH，
设N（t，-t2+t+4），
∴t+2＝2（-t2+t+4），解得t＝3或-2（舍去），
∴N（3，），
∴NG＝NH＝，AG＝AH＝5，
∴AN⊥GH，GS＝HS＝，
∴∠AHS＝∠CAO，HG＝2，
∵∠AOC＝∠ASH＝90°，
∴△AOC∽△HKG，
∴， 即
∴KH＝2，
∴GK＝＝4，OK＝3-2＝1，
∴G（1，4），
∵A（-2，0），
∴直线AG的解析式为y＝x+，
联立抛物线的解析式为y＝-x2+x+4解得x＝或-2（舍去），
∴y＝×+＝，
∴点Q坐标为（，）；
②当点Q在x轴下方时，如图，
同理得G（，-），
∵A（-2，0），
∴直线AG的解析式为y＝-x-，
联立抛物线的解析式为y＝-x2+x+4解得x＝或-2（舍去），
∴y＝-×-＝-，
∴点Q坐标为（，-）．
综上，存在这样的点Q，满足条件的点Q坐标为（，）或（，-）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据点A的坐标及OC=2OA可求出C点坐标，由于此题给出了抛物线与x轴两交点的坐标，故设出交点式，代入C坐标求出a即可；
（2）如图，由题意知，点P在y轴的右侧，作PE⊥x轴于E，交BC于F，根据同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得CD∥PE，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△CMD∽△FMP，可得m＝＝，根据直线上的点的坐标特点易得点D的坐标为（0，1），利用待定系数法求出直线BC的解析式，根据点的坐标与图形的性质，设P（n，-n2+n+4），则F（n，-n+4），表示出PF的长，进而根据二次函数的性质即可解决问题；
（3）分两种情况：①当点Q在x轴上方时，如图，作∠BAQ的角平分线角抛物线于N，作NG⊥AQ于G，NH⊥AB于H，连接GH交AN于S，作GK⊥AB于K，首先判断出△AOC∽△NHA，根据相似三角形对应边成比例得，则AH＝2NH设N（t，-t2+t+4），建立方程求出t的值，可得点N的坐标，再判断出△AOC∽△HKG，根据相似三角形对应边成比例建立方程，可求出KH的长，从而可得点G的坐标，进而利用待定系数法求出直线AG的解析式，联立AG的解析式与抛物线的解析式求解可得点Q的坐标；②当点Q在x轴下方时，同理求解即可．
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