7.1 复数的概念
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
1.复数的定义
(1)形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做 ,规定i·i=i2= .
(2)全体复数所构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做 .
(3)z=a+bi(a,b∈R)称为复数的代数形式,其中的a与b分别叫做复数z的 .
2.复数的分类
已知复数z=a+bi(a,b∈R),
z为实数 .
z为虚数 .
z为纯虚数 .
z为非纯虚数 .
3.你能用图画出复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系吗
4.复数相等的充要条件
在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),规定:a+bi与c+di相等当且仅当 .
一、单选题
1.(教材改编题)(1+)i的实部与虚部分别是 ( )
A.1, B.1+,0
C.0,1+ D.0,(1+)i
2.以3i-的虚部为实部,以3i2+i的实部为虚部的复数是 ( )
A.3-3i B.3+i
C.-+i D.+i
3.(教材改编题)若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,则实数x的值为 ( )
A.1 B.0 C.-1 D.-1或1
4.若x,y∈R,且(3x+2y)+(x-y)i=i(i为虚数单位),则的值是 ( )
A.-5 B.5 C.- D.
二、多选题
5.下列结论错误的是 ( )
A.(-i)2=-1
B.-i2=-1
C.2i的实部是0
D.若z∈C,则z2>0
6.设全集U=C,实数集为R,纯虚数集为M,那么 ( )
A.M∪R=U B.(UM)∪R=U
C.M∩R= D.(UM)∩R=R
三、填空题
7.若复数2-bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数,则b的值为 .
8.若复数a2+am+2+(2a+m)i=0(m∈R),则实数a= .
四、解答题
9.(教材改编题)已知复数z=m(m-1)+(m2+2m-3)i,当m取何实数值时:
(1)z是纯虚数
(2)z=2+5i
10.已知集合P={5,(m2-2m)+(m2+m-2)i},Q={4i,5},其中m∈R,i为虚数单位,若P=Q,求实数m的值.
一、选择题
1.若a∈R,i为虚数单位,则“a=1”是“复数(a-1)(a+2)+(a+3)i为纯虚数”的 ( )
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分又不必要条件
2.下列命题正确的是 ( )
A.若x+yi=0,则x=y=0
B.若a+bi=3+8i,则a=3,b=8
C.若x为实数,且(x2-4)+(x2+2x)i是纯虚数,则x=±2
D.若x,m∈R且3x+mi<0,则有x<0
二、填空题
3.若a+bi=i2,其中a,b∈R,i是虚数单位,则a+b= .
4.复数z=cos+sini,且θ∈,若z是实数,则θ的值为 ;若z为纯虚数,则θ的值为 .
三、解答题
5.(教材改编题)实数x分别取什么值时,
复数z=+(x2-2x-15)i是:
①实数 ②虚数 ③纯虚数
6.已知复数x2-1+(y+1)i大于复数2x+3+(y2-1)i,试求实数x,y的取值范围.
第七章 复数
7.1 复数的概念
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
必备知识·落实
1.(1)虚数单位 -1 (2)复数集 (3)实部与虚部
2.b=0 b≠0 a=0且b≠0 a≠0且b≠0
3.能.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示:
4.a=c且b=d
知能素养·进阶
【基础巩固组】
1.C (1+)i可看作0+(1+)i=a+bi,所以实部a=0,虚部b=1+.
2.A 3i-的虚部为3,3i2+i的实部为-3,所以所求复数为3-3i.
3.C 因为z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,所以x2-1=0且x-1≠0,故有x=-1.
4.A 由题意知
所以所以==-5.
5.BD (-i)2=i2=-1,A正确,不符合题意;-i2=-(-1)=1,B错误,符合题意;2i=0+2i,其实部是0,C正确,不符合题意;若z=i,则z2=-1<0,D错误,符合题意.
6.CD 复数包括实数和虚数,故A选项错误,B选项错误;M∩R= ,故C选项正确;UM包括a+bi(a≠0,b≠0)和实数({z|z=a+bi,a,b∈R,b=0}),故UM∩R=R,D选项正确.
7.【解析】复数2-bi的实部为2,虚部为-b,由题意知2=-(-b),即b=2.
答案:2
8.【解析】因为a,m∈R,由题意,
可得
解得或
所以a=±.
答案:±
9.【解题指南】(1)利用m(m-1)=0,m2+2m-3≠0,即可求解.
(2)利用复数相等的条件实部与虚部分别相等,则m(m-1)=2,m2+2m-3=5即可求解.
【解析】(1)若复数是纯虚数,则
解得所以m=0.
(2)利用复数相等的条件实部与虚部分别相等可得
解得即m=2.
10.【解析】因为P=Q,所以(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,
所以解得m=2.
【素养提升组】
1.C 当a=1时,复数(a-1)(a+2)+(a+3)i=4i为纯虚数,当复数(a-1)(a+2)+(a+3)i为纯虚数时,a=1或a=-2.
2.D A,B都是错误的,原因是没有x,y∈R,a,b∈R的限制条件,因此相应结论都是错误的;
C也是错误的,事实上,当(x2-4)+(x2+2x)i是纯虚数时,应有所以x=2;
D正确,因为由3x+mi<0
可得即x<0.
3.【解析】由a+bi=i2 a+bi=-1 a=-1,b=0 a+b=-1.
答案:-1
4.【解析】z=cos+sini=-sin θ+icosθ.
当z是实数时, cosθ=0,因为θ∈,
所以θ=±;当z为纯虚数时
又θ∈,所以θ=0.
答案:± 0
5.【解析】①当x满足
即x=5时,是实数.
②当x满足即x≠-3且x≠5时,是虚数.
③当x满足
即x=-2或x=3时,是纯虚数.
6.【解析】因为x2-1+(y+1)i>2x+3+(y2-1)i,
所以且x2-1>2x+3,
解得y=-1且x<1-或x>1+,
即实数x,y的取值范围是x<1-或x>1+,
y=-1.7.1.2 复数的几何意义
1.虚轴上的点都表示纯虚数吗
2.复数的几何意义
复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面上的点Z 一一对应,
与向量一一对应.
3.复数与复平面上的向量都是一一对应的关系吗
4.复数的模
称为复数z=a+bi的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|.
即|z|=|a+bi|= ,其中a,b∈R.
5.|z|的几何意义是什么
6.共轭复数
复数z的共轭复数用表示,即如果z=a+bi,a,b∈R,那么= .
一、单选题
1.(教材改编题)如图,在复平面内,复数Z对应的点为P,则复数Z的虚部为 ( )
A.-1 B.2i
C.2 D.-i
2.(教材改编题)在复平面内,复数z=2+i,则对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.(教材改编题)在复平面内,O为原点,向量表示的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对称点为B,则向量表示的复数为( )
A.-2-i B.-2+i
C.1+2i D.-1+2i
4.若z=(m+1)+(m-1)i(i是虚数单位)在复平面内对应的点位于第四象限,则实数m的取值范围为 ( )
A.(-∞,-1) B.(-∞,1)
C.(-1,1) D.(-1,+∞)
二、多选题
5.已知复数z=1+i(其中i为虚数单位),则以下说法正确的有 ( )
A.复数z的虚部为i
B.|z|=
C.复数z的共轭复数=1-i
D.复数z在复平面内对应的点在第一象限
6.已知z=(m+3)+(m-1)i(m∈R)在复平面内对应的点为P,则P点可能在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
三、填空题
7.复平面上,已知实轴上的点A(3,0)与虚轴上的点B(0,-4),则向量对应的复数的实部为 ,虚部为 .
8.设z为纯虚数,且|z-1|=|-1+i|,则复数z= .
四、解答题
9.在复平面内,点A,B,C对应的复数分别为1+4i,-3i,2,O为复平面的坐标原点.
(1)求向量+和对应的复数;
(2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数.
10.已知复数z1=+i,z2=-+i.
(1)求|z1|及|z2|并比较大小;
(2)设z∈C,满足条件|z|=|z1|的复数z对应的点Z的轨迹是什么图形
一、选择题
1.设复数z1=a+2i,z2=-2+i且|z1|<|z2|,则实数a的取值范围是 ( )
A.{a|-1
1}
C.{a|a>1} D.{a|a>0}
2.(教材改编题)已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应点的集合是 ( )
A.1个圆 B.线段
C.2个点 D.2个圆
二、填空题
3.写出一个同时满足下列条件的复数z= .
①|z|=1;②复数z在复平面内对应的点在第四象限.
4.已知复数z=a+i(a∈R).若|z|<,则(a-1)+i在复平面内对应的点位于第 象限.
三、解答题
5.实数m取什么值时,复平面内表示复数z=(m-3)+(m2-5m-14)i的点:
(1)位于第四象限
(2)位于第一、三象限
(3)位于直线y=x上
6.已知复数z1=cosθ+isin 2θ,z2=sin θ+icosθ,求当θ满足什么条件时:
(1)z1,z2在复平面内对应的点关于实轴对称;
(2)|z2|<.
7.1.2 复数的几何意义
必备知识·落实
1.不是,除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.
2.(a,b)
3.不是,复数与以原点为起点的向量一一对应,并非复平面上的所有向量.
4.向量的模
5.|z|表示复平面内的点Z到原点的距离.
6.a-bi
知能素养·进阶
【基础巩固组】
1.C 由题意得,z=-1+2i,所以复数Z的虚部为2.
2.D 因为复数z=2+i,所以=2-i,则在复平面内对应的点的坐标为(2,-1),位于第四象限.
3.B 由题意得A(-1,2),则B(-2,1),所以向量表示的复数为-2+i.
4.C z=(m+1)+(m-1)i对应的点为(m+1,m-1),因为对应的点位于第四象限,
得
解得-15.BCD 因为复数z=1+i,所以其虚部为1,即A错误;|z|==,故B正确;复数z的共轭复数=1-i,故C正确;复数z在复平面内对应的点为(1,1),显然位于第一象限,故D正确.
6.ACD 由z=(m+3)+(m-1)i(m∈R),得P(m+3,m-1),
由得m>1;由得m∈ ;
由得m<-3;由
得-3由上可知,P点可能在第一、三、四象限.
7.【解析】复平面上,实轴上的点A(3,0)与虚轴上的点B(0,-4),则=(-3,-4),对应的复数z=-3-4i的实部为-3,虚部为-4.
答案:-3 -4
8.【解析】因为z为纯虚数,所以设z=ai(a∈R,且a≠0),
则|z-1|=|ai-1|=.
又因为|-1+i|=,所以=,即a2=1,
所以a=±1,即z=±i.
答案:±i
9.【解析】(1)由已知得,,所对应的复数分别为1+4i,-3i,2,则=(1,4),=(0,-3),=(2,0),
因此+=(1,1),=-=(1,-4),
故+对应的复数为1+i,对应的复数为1-4i.
(2)方法一:由已知得点A,B,C的坐标分别为(1,4),(0,-3),(2,0),
则AC的中点为,
由平行四边形的性质知BD的中点也是,
若设D(x0,y0),则有解得
故D(3,7).点D对应的复数为3+7i.
方法二:由已知得=(1,4),=(0,-3),=(2,0),
所以=(1,7),=(2,3),
由平行四边形的性质得=+=(3,10),
所以=+=(3,7),于是D(3,7).点D对应的复数为3+7i.
10.【解析】(1)|z1|=|+i|==2,
|z2|==1,所以|z1|>|z2|.
(2)由|z|=|z1|=2知||=2(O为坐标原点),
故点Z到原点的距离为2.
所以点Z的轨迹是以原点为圆心,2为半径的圆.
【素养提升组】
1.A 由题意得<,即<(a∈R),所以-12.A 由题意知(|z|-3)(|z|+1)=0,
即|z|=3或|z|=-1.因为|z|≥0,所以|z|=3,所以复数z对应点的集合是以坐标原点为圆心,3为半径的圆.
3.【解析】不妨令z=-i,
则|z|==1,复数z在复平面内对应的点,位于第四象限,满足①②,故z=-i符合题意.
答案:-i(答案不唯一)
4.【解析】因为z=a+i(a∈R),|z|<,所以<,
所以a2<1,所以-1所以(a-1)+i在复平面内对应的点(a-1,1)位于第二象限.
答案:二
5.【解析】(1)由题意得解得3(2)由题意得或
所以m>7或-2此时复数z对应的点位于第一、三象限.
(3)要使复数z对应的点在直线y=x上,只需m2-5m-14=m-3,所以m2-6m-11=0,所以m=3±2,
此时复数z对应的点位于直线y=x上.
6.【解析】(1)在复平面内,z1与z2对应的点关于实轴对称,
则
(k∈Z),所以θ=2kπ+(k∈Z).
(2)由|z2|<,得<,
即3sin2θ+cos2θ<2,所以sin2θ<,
所以kπ-<θ7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
1.复数加法、减法的运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则有:
z1+z2=(a+bi)+(c+di)= ;
z1-z2=(a+bi)-(c+di)= .
2.复数加法的运算律
设z1,z2,z3∈C,则有:
交换律:z1+z2= ;
结合律:(z1+z2)+z3= .
3.复数加减法的几何意义
如图所示,设复数z1,z2对应向量分别为,,四边形OZ1ZZ2为平行四边形,向量与复数 对应,向量与复数 对应.
4.|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义是什么
一、单选题
1.已知z1=2+i,z2=1-2i,则复数z=z2-z1对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.(教材改编题)a,b为实数,设z1=2+bi,z2=a+i,当z1+z2=0时,复数a+bi为 ( )
A.1+i B.2+i C.3 D.-2-i
3.如图,在复平面上,一个正方形的三个顶点A,B,O对应的复数分别是1+2i,-2+i,0,那么这个正方形的第四个顶点C对应的复数为( )
A.3+i B.3-i C.1-3i D.-1+3i
4.(教材改编题)已知复数z对应的向量如图所示,则复数z+1所对应的向量正确的是 ( )
二、多选题
5.对任意复数z=a+bi(a,b∈R),i为虚数单位,则下列结论中正确的是 ( )
A.z-=2a B.|z|=||
C.z+=2a D.z+=2bi
6.|(3+2i)-(1+i)|可以表示 ( )
A.点(3,2)与点(1,1)之间的距离
B.点(3,2)与点(-1,-1)之间的距离
C.点(2,1)到原点的距离
D.坐标为(-2,-1)的向量的模
三、填空题
7.(教材改编题)已知复数z满足z+1-3i=5-2i,则z= .
8.在复平面内,O是原点,若向量,,表示的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,则向量表示的复数为 .
四、解答题
9.计算:(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i);
(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)].
10.如图,平行四边形OABC的顶点O,A,C对应复数分别为0,3+2i,-2+4i,试求:
(1)所表示的复数,所表示的复数;
(2)对角线所表示的复数;
(3)对角线所表示的复数及的长度.
一、选择题
1.若复数z与其共轭复数满足2z-=1+3i,则|z|= ( )
A. B. C.2 D.
2.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则△AOB一定是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
二、填空题
3.若复数z1=4-3i,z2=4+3i(其中i为虚数单位)所对应的向量分别为与,则△OZ1Z2的周长为 .
4.设z∈C,且|z-i|=|z-1|,则复数z在复平面内的对应点Z(x,y)的轨迹方程是 ,|z+i|的最小值是 .
三、解答题
5.在复平面内,A,B,C三点分别对应复数1,2+i,-1+2i.
(1)求,,对应的复数;
(2)判断△ABC的形状.
6.已知|z2|=|z1|=1,|z1-z2|=1,求|z1+z2|.
7.2 复数的四则运算
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
必备知识·落实
1.(a+c)+(b+d)i (a-c)+(b-d)i
2.z2+z1 z1+(z2+z3)
3.z1+z2 z1-z2
4.|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离.
知能素养·进阶
【基础巩固组】
1.C z=z2-z1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i.故z对应的点为(-1,-3),它位于第三象限.
2.D 因为z1=2+bi,z2=a+i,
所以z1+z2=2+bi+(a+i)=0,
所以a=-2,b=-1,
即a+bi=-2-i.
3.D 因为=+ ,
所以对应的复数为1+2i-2+i=-1+3i,
所以点C对应的复数为-1+3i.
4.A 由题图可知,z=-2+i,所以z+1=-1+i,则复数z+1所对应的向量的坐标为(-1,1).
5.BC 由已知=a-bi,因此z-=2bi,z+=2a,|z|==||.
6.ACD 由复数的几何意义,知复数3+2i,1+i分别对应复平面内的点(3,2)与点(1,1),所以|(3+2i)-(1+i)|表示点(3,2)与点(1,1)之间的距离,故A说法正确;B说法错误;
|(3+2i)-(1+i)|=|2+i|,|2+i|可表示点(2,1)到原点的距离,故C说法正确;|(3+2i)-(1+i)|=|(1+i)-(3+2i)|=|-2-i|,|-2-i|可表示点(-2,-1)到原点的距离,即坐标为(-2,-1)的向量的模,故D说法正确.
7.【解析】方法一:设z=x+yi(x,y∈R),
因为z+1-3i=5-2i,
所以x+yi+(1-3i)=5-2i,
即x+1=5且y-3=-2,
解得x=4,y=1,所以z=4+i.
方法二:因为z+1-3i=5-2i,
所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i.
答案:4+i
8.【解析】因为复数与复平面内的点一一对应,且,,表示的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,所以=(-2,1),=(3,2),=(1,5),则=-=(5,1),而=-=(4,-4),故向量表示的复数为4-4i.
答案:4-4i
9.【解析】(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i)
=(1+3-5)+(2-4-6)i=-1-8i.
(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)]=5i-(4+i)=-4+4i.
10.【解题指南】要求某个向量对应的复数,只要找出所求向量的始点和终点,或者用向量的相等直接给出所求的结论.
【解析】(1)=-,所以所表示的复数为-3-2i.
因为=,所以所表示的复数为-3-2i.
(2)=-.
所以所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)对角线=+,它所对应的复数z=(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,||==.
【素养提升组】
1.A 设复数z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,因为2z-=1+3i,所以2(a+bi)-(a-bi)=1+3i,即a+3bi=1+3i,所以a=1,b=1,所以z=1+i,所以|z|=.
2.B 复数z1对应向量,复数z2对应向量.则|z1+z2|=|+|,|z1-z2|=|-|,
依题意有|+|=|-|.
所以以,为邻边所作的平行四边形是矩形,所以△AOB是直角三角形.
3.【解题指南】由已知可得=(4,-3),=(4,3),=-=(0,6),再求出复数的模,从而可得△OZ1Z2的周长.
【解析】因为=(4,-3),=(4,3),=-=(0,6),所以||==5,||==5,||==6.
所以△OZ1Z2的周长为5+5+6=16.
答案:16
4.【解析】|z-i|=|z-1|表示复数z在复平面内的对应点Z到点A(0,1),B(1,0)的距离相等,是线段AB的垂直平分线,所以点Z的轨迹方程是x-y=0.
|z+i|的最小值为点(0,-1)到直线x-y=0的距离,
所以|z+i|min=.
答案:x-y=0
5.【解析】(1)因为A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i,
所以,,对应的复数分别为1,2+i,-1+2i(O为坐标原点),
所以=(1,0),=(2,1),=(-1,2).
所以=-=(1,1),=-=(-2,2),
=-=(-3,1).
即对应的复数为1+i,对应的复数为-2+2i,对应的复数为-3+i.
(2)因为||==,||==2,
||==,
所以||2+||2=10=||2.
又因为||≠||,
所以△ABC是以角A为直角的直角三角形.
6.【解析】设向量表示的复数为z1-z2,O为坐标原点,
所以||=1,则△AOB为等边三角形,所以∠AOC=30°,则||=,所以||=,表示的复数为z1+z2,
所以|z1+z2|=.7.2.2 复数的乘、除运算
1.复数的乘法法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1·z2=(a+bi)(c+di)=________________.
2.复数的乘法与多项式乘法有何异同
3.复数乘法的运算律
对于任意复数z1,z2,z3∈C,有
交换律 z1z2=____
结合律 (z1z2)z3=______
分配律 z1(z2+z3)=________
4.复数的除法法则
(a+bi)÷(c+di)==______________(a,b,c,d∈R,且c+di≠0).
5.你认为复数除法运算的实质是什么 它与我们以前学习的什么运算较类似
6.两个共轭复数的和一定是实数吗 两个共轭复数的差一定是纯虚数吗
【基础巩固组】
一、单选题
1.(教材改编题)已知复数(a-i)(1+2i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是 ( )
A. B.- C.-2 D.2
2.如图所示,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,则复数对应的点位于 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.若1+2i(i为虚数单位)是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,则 ( )
A.b=2,c=-3 B.b=2,c=5
C.b=-2,c=-3 D.b=-2,c=5
4.已知复数z满足·z+2i=3+ai,a∈R,则实数a的值不可能是 ( )
A.1 B.-4 C.0 D.5
二、多选题
5.下面是关于复数z=(i为虚数单位)的说法,其中正确的为 ( )
A.|z|=2 B.z2=2i
C.z的共轭复数为1+i D.z的虚部为-1
6.设i为虚数单位,复数z=(a+i)(1+2i),则下列命题正确的是 ( )
A.若z为纯虚数,则实数a的值为2
B.若z在复平面内对应的点在第三象限,则实数a的取值范围是
C.实数a=-是z=(为z的共轭复数)的充要条件
D.若z+|z|=x+5i(x∈R),则实数a的值为2
三、填空题
7.(教材改编题)若复数z满足(1+i)z=4+2i,则z的虚部为________.
8.计算···…·=________.
四、解答题
9.计算:
(1)+;(2).
10.已知z∈C,为z的共轭复数,若z·-3=1+3i,求z.
【素养提升组】
一、选择题
1.(教材改编题)方程x2+6x+13=0的一个根是 ( )
A.-3-2i B.3+2i
C.-2+3i D.2+3i
2.已知复数z=,是z的共轭复数,则z·等于 ( )
A. B. C.1 D.2
二、填空题
3.在复平面内,复数z=+(1-i)2对应的点位于第________象限;||=________.
4.若=1-bi,其中a,b都是实数,i是虚数单位,则|a+bi|=________.
三、解答题
5.已知复数z=.
(1)求z的实部与虚部;
(2)若z2+m+n=1-i(m,n∈R,是z的共轭复数),求m和n的值.
6.已知m∈R,一元二次方程x2-(2m-1)x+m2+1=0的一个根z是纯虚数,求|z+m|.
7.2.2 复数的乘、除运算
必备知识·落实
1.(ac-bd)+(ad+bc)i
2.复数的乘法与多项式乘法是类似的,有一点不同即必须在所得结果中把i2换成-1,再把实部、虚部分别合并.
3.z2z1 z1(z2z3) z1z2+z1z3
4.+i
5.复数的除法是把分子、分母同乘分母的共轭复数c-di,化简后即得结果,这个过程实际上就是把分母实数化,这与根式除法的分母“有理化”很类似.
6.若z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,则z+=2a∈R.因此,两个共轭复数的和一定是实数;而z-=2bi.当b=0时,两个共轭复数的差是实数,而当b≠0时,两个共轭复数的差是纯虚数.
知能素养·进阶
【基础巩固组】
1.C 因为(a-i)(1+2i)=(a+2)+(2a-1)i且实部为0,所以a+2=0,解得a=-2.
2.B 由复数的几何意义知,z1=-2-i,z2=i,
所以==-1+2i,对应的点在第二象限.
3.D 因为1+2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,所以方程的另一个根为x=1-2i,由根与系数的关系,得-b=2,c=(1+2i)(1-2i),所以b=-2,c=5.
4.D 设z=x+yi(x,y∈R),则=x-yi,
所以x2+y2+2i(x-yi)=3+ai,
所以 y2+2y+-3=0,
所以Δ=4-4(-3)≥0,解得-4≤a≤4,
所以实数a的值不可能是5.
5.BD 因为z===-1-i,所以|z|=,A错误;z2=2i,B正确;
z的共轭复数为-1+i,C错误;
z的虚部为-1,D正确.
6.ACD z=(a+i)(1+2i)=a-2+(1+2a)i.
所以选项A:z为纯虚数,有可得a=2,故正确;选项B:z在复平面内对应的点在第三象限,
有解得a<-,故错误;选项C:a=-时,z==-;z=时,1+2a=0,即a=-,它们互为充要条件,故正确;选项D:z+|z|=x+5i(x∈R)时,有1+2a=5,即a=2,故正确.
7.【解析】因为(1+i)z=4+2i,
所以z====3-i.
答案:-1
8.【解析】因为=i,所以原式=i·i2·i3·…·i10=i1+2+3+…+10=i55=i3=-i.
答案:-i
9.【解析】(1)+=+
=i-i=0.
(2)=
====-1+i.
10.【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,(a,b∈R),
由题意得(a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)=1+3i,
即a2+b2-3b-3ai=1+3i,
则有解得或
所以z=-1或z=-1+3i.
【素养提升组】
1.A 因为Δ=36-4×13=-16,
所以x==-3±2i.
2.【思路探求】可以化简成复数的代数形式,再利用复数的运算性质求解;也可以利用共轭复数的性质求解.
A 方法一:因为z======-+,
所以=--,所以z·=.
方法二:因为z=,
所以|z|====,
所以z·=.
3.【解析】由z=+(1-i)2=i(1-i)-2i=1-i,
所以对应的点的坐标为(1,-1),位于第四象限,=1+i,所以||=.
答案:四
4.【解析】因为a,b∈R,且=1-bi,
则a=(1-bi)(1-i)=(1-b)-(1+b)i,
所以所以
所以|a+bi|=|2-i|==.
答案:
5.【解析】(1)z===2+i,
所以z的实部为2,虚部为1.
(2)把z=2+i代入z2+m+n=1-i,
得(2+i)2+m(2-i)+n=1-i,
即2m+n+3+(4-m)i=1-i,
所以
解得m=5,n=-12.
6.【解析】由题意可设复数z=bi,b∈R且b≠0,
因为z是一元二次方程x2-(2m-1)x+m2+1=0的复数根,
所以(bi)2-(2m-1)bi+m2+1=0,
即(-b2+1+m2)-(2m-1)bi=0,
所以
解得m=,b2=,b=±,
所以z=±i,z+m=±i,
所以|z+m|==.