10.1 随机事件与概率
10.1.1 有限样本空间与随机事件
1.随机试验特点
(1)试验可以在 下重复进行;
(2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且 个;
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先 出现哪一个结果.
2.如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω= 为有限样本空间.
3.随机试验的结果能事先确定吗
4.我们将样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含 的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A,B,C,…表示.在每次试验中,当且仅当A中 出现时,称为事件A发生.
一、单选题
1.袋中装有标号分别为1,3,5,7的四个相同的小球,从中取出两个,下列事件多于一个样本点的是 ( )
A.取出的两球标号为3和7
B.取出的两球标号的和为4
C.取出的两球的标号都大于3
D.取出的两球的标号的和为8
2.已知集合A={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8},从集合A中任取不相同的两个数作为点P的坐标,则事件“点P落在x轴上”包含的样本点共有 ( )
A.7个 B.8个 C.9个 D.10个
3.(教材改编题)掷两枚骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验结果是 ( )
A.一枚是3点,一枚是1点
B.一枚是3点,一枚是1点或两枚都是2点
C.两枚都是4点
D.两枚都是2点
二、多选题
4.下列四种说法中正确的是 ( )
A.“三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件
B.“当x为某一实数时可使x2<0”是不可能事件
C.“一个三角形的大边对的角小、小边对的角大”是必然事件
D.“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个,5个都是次品”是随机事件
5.从12本书(其中10本语文书,2本英语书)中任意抽取3本,则下列事件中的必然事件是( )
A.3本都是语文书
B.至多有2本是英语书
C.3本都是英语书
D.至少有一本是语文书
三、填空题
6.给出下面四个事件:
(1)某地2月3日将下雪;
(2)函数y=ax(a>0且a≠1)在定义域上是增函数;
(3)实数a,b都不为零,则a2+b2=0;
(4)a,b∈R,则ab=ba,
其中必然事件是 ;不可能事件是 ;随机事件是 .
7.哥德巴赫猜想是“任何一个大于4的偶数都是两个质数之和”,如16=3+13.现从不超过16的质数中随机选取两个不同的数(两个数无序),则满足条件的样本点共有 个.
四、解答题
8.同时转动如图所示的两个转盘,记转盘①得到的数为x,转盘②得到的数为y,结果为(x,y).
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)求这个试验的样本点的总数;
(3)“x+y=5”这一事件包含哪几个样本点 “x<3且y>1”呢
(4)“xy=4”这一事件包含哪几个样本点 “x=y”呢
9.从0,1,2这3个数字中,不放回地取两次,每次取一个,构成有序数对(x,y),其中x为第1次取到的数字,y为第2次取到的数字.
(1)写出样本空间;
(2)写出“第1次取出的数字是2”这一事件的集合表示.
一、选择题
1.有一列北上的火车,已知停靠的车站由南至北分别为S1,S2,…,S10站.铁路局需为该列车准备 种北上的车票. ( )
A.9 B.10 C.45 D.55
2.先后抛掷两枚质地均匀的硬币,观察落地后硬币的正反面情况,则下列事件中包含3个样本点的是 ( )
A.至少一枚硬币正面向上
B.只有一枚硬币正面向上
C.两枚硬币都是正面向上
D.两枚硬币中一枚正面向上,另一枚反面向上
二、填空题
3.从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数,则事件“其和为奇数”包含的样本点个数为 .
4.将一个各个面上涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体,从这些小正方体中任取1个,观察取到的小正方体的情况,则事件A“从小正方体中任取1个,恰有两面涂有颜色”含有 个样本点.
三、解答题
5.袋子中有4个大小和质地相同的球,标号为1,2,3,4,从中随机摸出一个球,记录球的编号,先后摸两次.
(1)若第一次摸出的球不放回,写出试验的样本空间;
(2)若第一次摸出的球放回,写出试验的样本空间.
6.从含有两件正品a1,a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件,每次取出后不放回,连续取两次.
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)设A为“取出的两件产品中恰有一件次品”,写出集合A;
(3)把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”,其余条件不变,请继续回答上述两个问题.
第十章 概率
10.1 随机事件与概率
10.1.1 有限样本空间与随机事件
必备知识·落实
1.(1)相同条件 (2)不止一 (3)不能确定
2.{ω1,ω2,…,ωn}
3.不能事先确定试验的结果,但可确定有哪些可能结果.
4.一个样本点 某个样本点
知能素养·进阶
【基础巩固组】
1.D 选项A,B,C都只含有一个样本点,D中包含取出标号为1和7,3和5两个样本点,所以D不是一个样本点.
2.C “点P落在x轴上”包含的样本点的特征是纵坐标为0,横坐标不为0,因为A中有9个非零数,所以样本点共有9个.
3.B 掷两枚骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验结果是一枚是3点,一枚是1点或两枚都是2点.
4.ABD A正确,因为无论怎么放,其中一个盒子的球的个数都不小于2;
B正确,因为无论x为何实数,x2<0均不可能发生;
C错误,三角形中大边对大角,所以③是不可能事件;
D正确,因为“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个,5个都是次品”这件事有可能发生,也有可能不发生,是随机事件.
5.BD 因为12本书中只有2本英语书,从中任取3本,必然至少有一本语文书,至多有2本是英语书.
6.【解析】(1)随机事件,某地在2月3日可能下雪,也可能不下雪;
(2)随机事件,函数y=ax,当a>1时在定义域上是增函数,当0
(3)不可能事件;
(4)必然事件,若a,b∈R,则ab=ba恒成立.
答案:(4) (3) (1)(2)
7.【解析】用(x,y)表示从不超过16的质数2,3,5,7,11,13中随机选取两个不同的数,则样本空间为
{(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(3,5),(3,7),(3,11),(3,13),(5,7),(5,11),(5,13),(7,11),
(7,13),(11,13)}共含15个样本点.
答案:15
8.【解析】(1)Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),
(4,3),(4,4)}.
(2)样本点的总数为16.
(3)“x+y=5”包含以下4个样本点:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1);“x<3且y>1”包含以下6个样本点:(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4).
(4)“xy=4”包含以下3个样本点:(1,4),(2,2),(4,1);
“x=y”包含以下4个样本点:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).
9.【解析】(1)用有序数对(x,y)表示事件,所以Ω={(0,1),(1,0),(0,2),(2,0),(1,2),(2,1)}.
(2)根据题意可知,0,1,2这3个数字中,不放回地取两次,第一次取出2,则第二次取出的只能是0或1,所以“第1次取出的数字是2”这一事件的集合表示为{(2,0),(2,1)}.
【素养提升组】
C 铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种,从S2站发车的车票共计
8种,…,从S9站发车的车票有1种,合计共9+8+…+2+1=45(种).
2.A 先后抛掷两枚质地均匀的硬币各一次的基本事件有(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)四个基本事件.
“至少一枚硬币正面向上”包括“(正,正),(正,反),(反,正)”3个样本点,故A正确;
“只有一枚硬币正面向上”包括“(正,反),(反,正)”2个样本点,故B错误;
“两枚硬币都是正面向上”包括“(正,正)”1个样本点,故C错误;
“两枚硬币中一枚正面向上,另一枚反面向上”包括“(正,反),(反,正)”2个样本点,故D错误.
3.【解析】从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10个样本点,其中(1,2,4),(1,3,5),(2,3,4),(2,4,5)三个数字之和为奇数,共有4个样本点.
答案:4
4.【解析】每条棱的中间位置上有一个是两个面涂有颜色的小正方体,共12个.
答案:12
5.【解析】用m表示第一次摸出的球的编号,用n表示第二次摸出的球的编号,则样本点可用(m,n),m,n∈{1,2,3,4}表示.
(1)若第一次摸出的球不放回,则m≠n,此时的样本空间可表示为Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},共有12个样本点.
(2)若第一次摸出的球放回,则m,n可以相同.此时试验的样本空间可表示为Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}},共有16个样本点.
6.【解析】(1)样本空间为Ω1={(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}.
(2)A={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}.
(3)若改为取出后放回,则样本空间为Ω2={(a1,a1),(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),(b1,b1)},A={(a1,b1),
(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}.10.1.2 事件的关系和运算
1.互斥事件
事件A与事件B .
2.对立事件
事件A和事件B在任何一次试验中 .事件A的对立事件记为.
3.互斥事件与对立事件有什么关系
4.并事件
事件A与事件B ,也称这个事件为事件A与事件B的和事件.
5.交事件
事件A与事件B ,也称这样一个事件为事件A与事件B的积事件.
一、单选题
1.(教材改编题)奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环,颜色自左至右,上方依次为蓝、黑、红,下方依次为黄、绿,象征着五大洲.在手工课上,老师将这5个环发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作,每人分得1个,则事件“甲分得红色”与“乙分得红色” ( )
A.是对立事件
B.互斥且对立
C.互斥但不对立
D.不是互斥事件
2.下列各组事件中不是互斥事件的是 ( )
A.一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6
B.统计一个班的数学成绩,平均分不低于90分与平均分不高于90分
C.播种100粒菜籽,发芽90粒与发芽80粒
D.检验某种产品,合格率高于70%与合格率低于70%
3.设H,E,F为三个事件,,,分别表示它们的对立事件,表示“H,E,F三个事件恰有一个发生”的表达式为 ( )
A.H+E+F
B.H+E+F
C.HE+HF+EF
D.++
4.已知盒中有5个红球,3个白球,从盒中任取2个球,下列说法中正确的是 ( )
A.全是白球与全是红球是对立事件
B.没有白球与至少有一个白球是对立事件
C.只有一个白球与只有一个红球是互斥关系
D.全是红球与有一个红球是包含关系
二、多选题
5.从刚生产的一批产品(既有正品也有次品)中取出3件产品,设A={3件产品全不是次品},B={3件产品全是次品},C={3件产品不全是次品},则下列结论正确的
是( )
A.A与B互斥 B.A与C互斥
C.A与B对立 D.B与C对立
6.一个人连续射击2次,则下列各事件关系中,说法正确的是 ( )
A.事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
B.事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件
C.事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件
D.事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
三、填空题
7.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,“甲夺得冠军”为事件A,“乙夺得冠军”为事件B,那么“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”用事件A与B可表示为 .
8.依次投掷两枚硬币的试验中,设事件A={(正面,反面)},事件B={(正面,正面),(反面,正面)},则事件A与事件B的关系是 .
四、解答题
9.设某人向一个目标射击3次,用事件Ai表示随机事件“第i次射击击中目标”(i=1,2,3),指出下列事件的含义:
(1)A1∩A2;
(2)A1∩A2∩;
(3)A1∪A2.
10.从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数从1~10各10张)中,任取一张.
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
判断上面给出的每对事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.
一、选择题
1.某产品分为甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,从等级为甲、乙、丙的三件产品中任取一件,抽到甲、乙、丙三级产品分别为事件A,B,C,则抽取一件抽得次品为 ( )
A.A B.B∩C C. D.
2.同时抛掷两枚均匀的骰子,事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为 ( )
A.一个是5点,另一个是6点
B.一个是5点,另一个是4点
C.至少有一个是5点或6点
D.至多有一个是5点或6点
二、填空题
3.掷一枚质地均匀的骰子,记A为事件“落地时向上的数是奇数”,B为事件“落地时向上的数是偶数”,C为事件“落地时向上的数是3的倍数”.其中是互斥事件的是 ,是对立事件的是 .
4.抛掷红蓝两枚骰子,记“红色骰子出现3点”为事件A,“蓝色骰子出现4点”为事件B,事件A与事件AB 互斥事件.(填“是”或“不是”)
三、解答题
5.某班要进行一次辩论比赛,现有4名男生和2名女生随机分成甲、乙两个辩论小组,每组3人.考虑甲组的人员组成情况,记事件Ak=“甲组有k名女生”.
(1)事件A1含有多少个样本点
(2)若事件B=“甲组至少有一名女生”,则事件B与事件Ak有怎样的运算关系
(3)判断事件A2与事件∪A0是什么关系
6.盒子里有大小和质地均相同的6个红球和4个白球,现从中任取3个球,设事件A={3个球中有1个红球,2个白球},事件B={3个球中有2个红球,1个白球},事件C={3个球中至少有1个红球},事件D={3个球中既有红球又有白球}.
(1)事件D与A,B是什么运算关系
(2)事件C与A的交事件是什么事件
10.1.2 事件的关系和运算
必备知识·落实
1.不能同时发生
2.有且仅有一个发生
3.对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件.
4.至少有一个发生
5.同时发生
知能素养·进阶
【基础巩固组】
1.C 甲、乙不能同时得到红色,因而这两个事件是互斥事件;又甲、乙可能都得不到红色,即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件,所以这两个事件不是对立事件.
2.B 对于A,一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6,不可能同时发生,故A中两事件为互斥事件;对于B,设事件A1为平均分不低于90分,事件A2为平均分不高于90分,则A1∩A2为平均分等于90分,A1,A2可能同时发生,故它们不是互斥事件;对于C,播种菜籽100粒,发芽90粒与发芽80粒,不可能同时发生,故C中两事件为互斥事件;对于D,检验某种产品,合格率高于70%与合格率低于70%,不可能同时发生,故D中两事件为互斥事件.
3.B 选项A表示H,E,F三个事件至少有一个发生;
选项B表示三个事件恰有一个发生;
选项C表示三个事件恰有一个不发生;
选项D表示H,E,F三个事件至少有一个不发生.
4.B 从盒中任取2球,出现球的颜色情况是,全是红球,有一个红球且有一个白球,全是白球,至少有一个的对立面是没有一个.故选B.
5.AD A={3件产品全不是次品},指的是3件产品全是正品,B={3件产品全是次品},C={3件产品不全是次品},它包括1件次品2件正品,2件次品1件正品,3件全是正品3个事件,由此知:A与B是互斥事件,但不对立;A与C的交事件不是 ,不是互斥事件,更不是对立事件;B与C是互斥事件,也是对立事件.
6.BD 对于A,事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中”,所以不是对立事件,A错误;对于B,事件“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”,与事件“两次均击中”是互斥事件,B正确;对于C,事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和“第一次击中、第二次不中”,所以与事件“第二次击中”不是互斥事件,C错误;对于D,事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”,D正确.
7.【解析】因为“甲夺得冠军”为事件A,“乙夺得冠军”为事件B.由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”即“甲夺得冠军”或“乙夺得冠军”,因此事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”为事件A∪B或(A+B).
答案:A∪B或(A+B)
8.【解析】A∩B= ,A∪B≠Ω,所以事件A与事件B是互斥事件,但不是对立事件.
答案:互斥但不对立
9.【解析】(1)A1∩A2表示第1次和第2次射击都击中目标.
(2)A1∩A2∩表示第1次和第2次射击都击中目标,而第3次没有击中目标.
(3)A1∪A2表示第1次击中目标或第2次击中目标.
10.【解析】(1)是互斥事件,不是对立事件.
理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件.同时,不能保证其中必有一个发生,这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”,因此,二者不是对立事件.
(2)既是互斥事件,又是对立事件.
理由是:从40张扑克牌中,任意抽取1张,“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”,两个事件不可能同时发生,但其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件.
(3)不是互斥事件,当然不可能是对立事件.
理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生,如抽出的牌点数为10,因此,二者不是互斥事件,当然不可能是对立事件.
【素养提升组】
1.D 事件A为抽到一件正品,故A错误.
事件B∩C为同时抽到乙、丙,不满足题意,故B错误.
事件为抽到甲或乙,故C错误.
事件为抽取甲级产品的反面,即抽到次品.
2.C 设两枚骰子分别为甲、乙,则其点数的可能值包括以下四种可能:甲是5点且乙是6点,甲是5点且乙不是6点,甲不是5点且乙是6点,甲不是5点且乙不是6点,事件“都不是5点且不是6点”为第四种情况,故其对立事件是前三种情况.
【误区警示】解答本题容易忽视根据两个骰子是否为5点或6点对所有可能出现的结果进行分析,导致错误.
3.【解析】A,B既是互斥事件,也是对立事件.
答案:A,B A,B
4.【解析】由题意得,事件A={(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)},事件B={(1,4),(2,4),(3,4),(4,4),(5,4),(6,4)}.
事件AB={(3,4)},所以A∩(AB)={(3,4)}≠ ,所以事件A与事件AB不是互斥事件.
答案:不是
5.【解析】(1)用1,2,3,4表示4名男生,用a,b表示2名女生,因为事件A1=“甲组有1名女生”,所以A1={(1,2,a),(1,2,b),(1,3,a),(1,3,b),(1,4,a),(1,4,b),(2,3,a),(2,3,b),(2,4,a),(2,4,b),(3,4,a),(3,4,b)},共含12个样本点.
(2)事件B=“甲组至少有一名女生”,其含义是甲组有一名女生或甲组有两名女生,所以B=A1∪A2.
(3)因为A2与A0∪A1是对立事件,所以=A0∪A1,所以∪A0=A0∪A1,所以事件A2与事件∪A0是对立事件.
6.【解析】设“从10个球中任取3个球,得到i个红球”为事件Ai(i=0,1,2,3).
(1)由题意得,事件A={3个球中有1个红球,2个白球}=A1,事件B={3个球中有2个红球,1个白球}=A2,事件D={3个球中既有红球又有白球}=A1∪A2,由此可得D=A∪B.
(2)事件C={3个球中至少有1个红球}=A1∪A2∪A3,事件A={3个球中有1个红球,2个白球}=A1,所以C∩A=A.10.1.3 古典概型
1.概率
对随机事件发生 的度量(数值),事件A的概率用 表示.
2.古典概型的特征
(1)样本空间的样本点只有 ;
(2)每个样本点发生的可能性 .
3.若一次试验的结果所包含的样本点的个数是有限个,则该试验是古典概型吗
4.概率公式
若试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数,则事件A的概率:P(A)= = .
一、单选题
1.下列是古典概型的是 ( )
A.任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为样本点
B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率,将取出的正整数作为样本点
C.从甲地到乙地共n条路线,求某人正好选中最短路线的概率
D.抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止
2.从集合{2,4,6,8}中任取两个不同元素,则这两个元素相差2的概率为 ( )
A. B. C. D.
3.甲、乙去同一家药店各购一种医用外科口罩,已知这家药店出售A,B,C三种医用外科口罩,则甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为 ( )
A. B. C. D.
二、多选题
4.在一个古典概型中,若两个不同的随机事件A,B发生的概率相等,则称A和B是“等概率事件”,如:随机抛掷一个骰子一次,事件“点数为奇数”和“点数为偶数”是“等概率事件”.关于“等概率事件”,以下判断正确的是 ( )
A.在同一个古典概型中,所有的基本事件之间都是“等概率事件”
B.若一个古典概型的事件总数大于2,则在这个古典概型中除基本事件外没有其他“等概率事件”
C.因为所有必然事件的概率都是1,所以任意两个必然事件都是“等概率事件”
D.同时抛掷三枚硬币一次,则事件“仅有一个正面”和“仅有两个正面”是“等概率事件”
5.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,记事件“选中的2人都是女同学”的概率为P1;事件“选中的2人都是男同学”的概率为P2;事件“选中1名男同学1名女同学”的概率为P3.则下列选项正确的是 ( )
A.P1+P2=P3 B.2P1=P3
C.P1>2P2 D.=P2P3
三、填空题
6.某校有A,B两个学生食堂,若a,b,c三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐,则事件A=“三人在同一个食堂用餐”包含的样本点个数为 .
四、解答题
7.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n个.已知从袋子中随机抽取1个小球,取到标号是2的小球的概率是.
(1)求n的值;
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b.若事件A表示“a+b=2”,求事件A的概率.
8.某涉外公司经理计划从3个亚洲国家分公司A1,A2,A3和3个欧洲国家分公司B1,B2,B3中选择2个公司去调研.
(1)若从这6个分公司中任选2个,求这2个公司都在亚洲国家的概率;
(2)若从亚洲国家分公司和欧洲国家分公司中各任选1个,求这2个公司包括A1但不包括B1的概率.
9.新高考数学试题中有多项选择题,要求为:“在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.”已知某多项选择题的正确答案是BCD.
(1)若甲同学不会做该题,但他想猜对得5分,就随机填写了一个答案,求他得5分的概率.
(2)若乙同学也不会做该题,他只想得2分,就按单项选择题处理,随机填写了一个答案,求他得2分的概率.
一、选择题
1.安排甲,乙,丙三位志愿者到编号为1,2,3的三个教室打扫卫生,每个教室恰好安排一位志愿者,则甲恰好不安排到3号教室的概率为 ( )
A. B. C. D.
2.2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一,可以这样描述:存在无穷多个素数p,使得p+2是素数.素数对(p,p+2)称为孪生素数.从15以内的素数中任取2个构成素数对,其中是孪生素数的概率为 ( )
A. B.
C. D.
二、填空题
3.一份调查问卷,共有5道题,其中有两种题型,一种是选择题,共3道,另一种是填空题,共2道.若某人从中任选2道题,每一次选1题(不放回),则所选的题不是同一种题型的概率为 ,若从中任选2道题,每一次选1题(有放回),则所选的题不是同一种题型的概率为 .
4.设集合P={x,1},Q={y,1,2},P Q,x,y∈{1,2,3,…,9}.在直角坐标平面内,从所有满足这些条件的有序实数对(x,y)所表示的点中任取一个,其落在圆x2+y2=r2内的概率恰为,则r2的一个可能整数值是 (只需要写出一个即可).
三、解答题
5.一个盒子里装有完全相同的十个小球,分别标上1,2,3,…,10这10个数字,今随机地抽取两个小球,
如果:(1)小球是不放回的;
(2)小球是有放回的.
求两个小球上的数字为相邻整数的概率.
6.田忌和齐王赛马是历史上有名的故事,设齐王的三匹马分别为A,B,C,田忌的三匹马分别为a,b,c;三匹马各比赛一次,胜两场者获胜.若这六匹马比赛优、劣程度可以用以下不等式表示:A>a>B>b>C>c.
(1)正常情况下,求田忌获胜的概率;
(2)为了得到更大的获胜机会,田忌预先派出探子到齐王处打探实情,得知齐王第一场必出上等马A,于是田忌采用了最恰当的应对策略,求这时田忌获胜的概率.
10.1.3 古典概型
必备知识·落实
1.可能性大小 P(A)
2.(1)有限个 (2)相等
3.不一定是,还要看每个样本点发生的可能性是否相同,若相同才是,否则不是.
4.
知能素养·进阶
【基础巩固组】
1.C A项中由于点数的和出现的可能性不相等,故A不是;B项中的样本空间是无限的,故B不是;C项满足古典概型的有限性和等可能性,故C是;D项中样本空间不是有限个,各个样本点的发生也不具有等可能性,故D不是.
2.B 从集合{2,4,6,8}中任取两个不同元素的取法有(2,4),(2,6),(2,8),(4,6),(4,8),(6,8)共6种,其中满足两个元素相差2的取法有(2,4),(4,6),(6,8)共3种.故这两个元素相差2的概率为.
3.A 甲、乙在A,B,C三种医用外科口罩中各购一种的基本事件有(B,A),(B,B),(B,C),(A,A),(A,B),(A,C),(C,A),(C,B),(C,C)共9种,
其中甲,乙购买的是同一种医用外科口罩的基本事件有(A,A),(B,B)(C,C)共3种,则其概率为P==.
【误区警示】求解时没有考虑顺序(A,B),(B,A)是两种不同的取法而致错.
4.AD 对于A,由古典概型的定义知,所有基本事件的概率都相等,故所有基本事件之间都是“等概率事件”,故A正确;对于B,如在1,3,5,7,9五个数中,任取两个数,所得和为8和10这两个事件发生的概率相等,故B错误;对于C,由题可知“等概率事件”是针对同一个古典概型的,故C不正确;对于D,同时抛掷三枚硬币一次共有8种不同的结果,其中“仅有一个正面”包含3种结果,其概率为,“仅有两个正面”包含3种结果,其概率为,故这两个事件是“等概率事件”,故D正确.
5.BC 将2名男同学分别记为x,y,3名女同学分别记为a,b,c,则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有(x,y),(x,a),(x,b),(x,c),(y,a),(y,b),(y,c),(a,b),(a,c),(b,c)共10种,则P1=,P2=,P3==,因此2P1=P3,P1>2P2,P1+P2≠P3,≠P2P3.
6.【解析】a,b,c三名学生选择食堂的结果有:(A,A,A),(A,A,B),(A,B,A),(A,B,B),(B,A,A),(B,A,B),(B,B,A),(B,B,B)共8个,三人在同一食堂用餐的结果有:(A,A,A),(B,B,B),共2个.
答案:2
7.【解析】(1)由题意可知:=,解得n=2.
(2)不放回地随机抽取2个小球的样本空间Ω= {(0,1),(0,21),(0,22),(1,0),(1,21),(1,22),(21,0),(21,1),(21,22),(22,0),(22,1),(22,21)},共12个,事件A包含的样本点为:(0,21),(0,22),(21,0),(22,0),共4个.
所以P(A)==.
答案:(1)2 (2)
8.【解析】(1)由题意知,从6个公司中任选2个,其一切可能的结果组成的样本点有:
{(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)},共15个.
所选2个公司都在亚洲国家的事件所包含的样本点有:{(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3)},共3个,
则所求事件的概率为P==.
(2)从亚洲国家分公司和欧洲国家分公司中各任选1个,其一切可能的结果组成的样本点有:
{(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3)},共9个.包括A1但不包括B1的事件所包含的样本点有:{(A1,B2),(A1,B3)},共2个,则所求事件的概率为P=.
9.【解析】(1)该事件的样本空间Ω={(AB),(AC),(AD),(BC),(BD),(CD),(ABC),(ABD),(ACD),(BCD),
(ABCD)},共11个样本点,每个样本点的发生是等可能的,故可以用古典概型计算概率.用A表示“甲同学得5分”,则A={(BCD)},含有1个样本点,所以P(A)=.
(2)该事件的样本空间Ω={(A),(B),(C),(D)},共4个样本点,每个样本点的发生是等可能的,故可以用古典概型计算概率.
用B表示“乙同学得2分”,则B={(B),(C),(D)},含有3个样本点,所以P(B)=.
【素养提升组】
1.A 甲,乙,丙三位志愿者到编号为1,2,3的三个教室,每个教室恰好安排一位志愿者,则有
(甲,1),(乙,2),(丙,3);(甲,1),(乙,3),(丙,2);
(甲,2),(乙,1),(丙,3);(甲,2),(乙,3),(丙,1);
(甲,3),(乙,1),(丙,2);(甲,3),(乙,2),(丙,1),共6种,其中甲恰好不安排到3号教室:
(甲,1),(乙,2),(丙,3);(甲,1),(乙,3),(丙,2);
(甲,2),(乙,1),(丙,3);(甲,2),(乙,3),(丙,1),共4种,所以甲恰好不安排到3号教室的概率为P==.
2.C 15以内的素数有2,3,5,7,11,13,共6个,任取2个构成素数对,则有:(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(3,5),(3,7),(3,11),(3,13),(5,7),(5,11),(5,13),(7,11),(7,13),(11,13),共15种取法,是孪生素数的有(3,5),(5,7),(11,13),其概率P==.
3.【解析】将3道选择题依次编号为1,2,3;2道填空题依次编号为4,5.从5道题中任选2道题解答,每一次选1题(不放回),则所有样本点为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),
(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共20种,而且这些样本点发生的可能性是相等的.设事件A为“所选的题不是同一种题型”,则事件A包含的样本点有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),共12种,所以P(A)==0.6.
从5道题中任选2道题解答,每一次选1题(有放回),则所有样本点为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共25种,而且这些样本点发生的可能性是相等的.设事件B为“所选的题不是同一种题型”,故所选题不是同一种题型的样本点共12种,所以P(B)==0.48.
答案:0.6 0.48
4.【解析】满足条件的点有(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7),(8,8),(9,9),共14个.欲使其落在x2+y2=r2内的概率为,则这14个点中有4个点在圆内,所以只需29答案:30(或31或32)
5.【解析】设事件A:两个小球上的数字为相邻整数.则事件A包括的基本事件有:(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(7,8),(8,9),(9,10),(10,9),(9,8),(8,7),(7,6),(6,5),
(5,4),(4,3),(3,2),(2,1)共18个.
(1)不放回取球时,总的基本事件数为90,故P(A)==.
(2)有放回取球时,总的基本事件数为100,故P(A)==.
6.【解析】(1)比赛配对的基本事件共有6个,它们是:(Aa,Bb,Cc),(Aa,Bc,Cb),(Ab,Ba,Cc),(Ab,Bc,Ca),(Ac,Ba,Cb),(Ac,Bb,Ca).经分析:仅有配对为(Ac,Ba,Cb)时,田忌获胜,且获胜的概率为.
(2)田忌的策略是首场安排劣马c出赛,基本事件有2个:(Ac,Ba,Cb),(Ac,Bb,Ca),配对为(Ac,Ba,Cb)时,田忌获胜,则获胜的概率为.10.1.4 概率的基本性质
1.概率的基本性质
性质1:对任意的事件A,都有 ;
性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)= ,P( )= .
性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)= .
推广 如果事件A1,A2,…,Am两两互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)= .
性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)= ,P(A)=1-P(B).
性质5:如果A B,那么 .
性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)= .
2.若P(A)=1-P(B),事件A与B是对立事件吗
一、单选题
1.小明需要从甲城市编号为1~14的14个工厂或乙城市编号为15~32的18个工厂中选择一个去实习,设“小明在甲城市实习”为事件A,“小明在乙城市且编号为3的倍数的工厂实习”为事件B,则P(A+B)= ( )
A. B. C. D.
2.某学校教务处决定对数学组的老师进行“评教”,根据数学成绩从某班学生中任意找出一人,如果该同学的数学成绩低于90分的概率为0.2,该同学的成绩在[90,120]之间的概率为0.5,那么该同学的数学成绩超过120分的概率为 ( )
A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8
3.从1,2,3,…,30这30个数中任意摸出一个数,则事件“摸出的数是偶数或能被5整除的数”的概率是 ( )
A. B. C. D.
4.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是 ( )
A. B. C. D.
二、多选题
5.某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的饮料共5杯,其颜色完全相同,并且其中3杯为A饮料,另外2杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对,则评为优秀;若3杯选对2杯,则评为良好;否则评为不合格.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.则下列结论正确的是 ( )
A.此人被评为优秀的概率为
B.此人被评为良好的概率为
C.此人被评为不合格的概率为
D.此人被评为良好及以上的概率为
6.大学新生军训时,小明射击一次,成绩为10环的概率为0.1,9环的概率为0.3,脱靶的概率为0.01.则 ( )
A.小明不脱靶的概率为0.99
B.小明成绩为9环或10环的概率为0.4
C.小明成绩为7环的概率为0.7
D.小明成绩在9环以下但不脱靶的概率为0.59
三、填空题
7.
如图所示,靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ,Ⅲ构成,射手命中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别为0.35,0.30,0.25,则不命中靶的概率是 .
8.事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,且P(A)=2P(B),则P(A)= .
四、解答题
9.经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下:
排队 人数 0 1 2 3 4 5人及 5人以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
求:(1)至多2人排队等候的概率是多少
(2)至少3人排队等候的概率是多少
10.黄种人群中各种血型的人所占的比例如表所示.
血型 A B AB O
该血型的 人所占比例 0.28 0.29 0.08 0.35
已知同种血型的人互相可以输血,O型血可以输给任一种血型的人,其他不同血型的人不能互相输血.小明是B型血,若小明因病需要输血,则:
(1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少
(2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少
一、选择题
1.抛掷一个质地均匀的骰子的试验,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A+发生的概率为 ( )
A. B. C. D.
2.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为 ( )
A.0.2 B.0.35 C.0.5 D.0.4
二、填空题
3.已知P(A)=0.4,P(B)=0.2.
(1)如果B A,则P(A∪B)= ,P(AB)= ;
(2)如果A,B互斥,则P(A∪B)= ,P(AB)= .
4.某商店试销某种商品20天,获得如下数据:
日销售量(件) 0 1 2 3
频数 1 5 9 5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存货少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货,将频率视为概率.则当天商店不进货的概率为 .
三、解答题
5.某高级中学共有学生2 000名,各年级男、女生人数如下表:
高一年级 高二年级 高三年级
女生 373 x y
男生 377 370 z
已知在全校学生中随机抽取1名,抽到高二年级女生的概率为0.19.
(1)求x的值;
(2)现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生,问:应在高三年级中抽取多少名
(3)已知y≥245,z≥245,求高三年级中女生比男生少的概率.
6.(教材改编题)某商场有奖销售中,购满100元商品得一张奖券,多购多得,每1 000张奖券为一个开奖单位.设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:
(1)P(A),P(B),P(C);
(2)抽取1张奖券中奖概率;
(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率.
10.1.4 概率的基本性质
必备知识·落实
1.P(A)≥0 1 0 P(A)+P(B)
P(A1)+P(A2)+…+P(Am)
1-P(A) P(A)≤P(B) P(A)+P(B)-P(A∩B)
2.不一定.当在一次试验中只有事件A与B时才是对立事件.
知能素养·进阶
【基础巩固组】
1.B P(A+B)=P(A)+P(B)=+=.
2.B 该同学数学成绩超过120分(事件A)与该同学数学成绩不超过120分(事件B)是对立事件,而不超过120分的事件为低于90分(事件C)和[90,120](事件D)两事件的和事件,即P(A)=1-P(B)=1-[P(C)+P(D)]= 1-(0.2+0.5)=0.3.
3.B 设事件A“摸出的数为偶数”,事件B“摸出的数能被5整除”,则P(A)=,P(B)==,P(A∩B)==,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=+-=.
4.D 记3个红球分别为a1,a2,a3,2个白球分别为b1,b2.
从3个红球、2个白球中任取3个,则所包含的基本事件有(a1,a2,a3),(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a3,b1),(a1,a3,b2),(a2,a3,b1),(a2,a3,b2),(a1,b1,b2),(a2,b1,b2),(a3,b1,b2),共10个.由于每个基本事件发生的机会均等,因此这些基本事件的发生是等可能的.
用A表示“所取的3个球中至少有1个白球”,则其对立事件表示“所取的3个球中没有白球”,则事件包含的基本事件有1个:(a1,a2,a3),所以P()=.
故P(A)=1-P()=1-=.
5.ACD 将5杯饮料编号为:1,2,3,4,5,编号1,2,3表示A饮料,编号4,5表示B饮料,则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为:(123),(124),(125),(134),(135),(145),(234),(235),(245),(345),共有10种.令D表示此人被评为优秀的事件,E表示此人被评为良好的事件,F表示此人被评为不合格的事件,G表示此人被评为良好及以上的事件.则:事件D含(123),只有1个样本点,事件E含(124),(125),(134),(135),(234),(235),共6个样本点,故P(D)=,P(E)=,P(F)=1-P(D)-P(E)=,
P(G)=P(D)+P(E)=.
6.ABD 因为脱靶的概率为0.01,所以不脱靶的概率为1-0.01=0.99,所以A正确;因为成绩为10环的概率为0.1,9环的概率为0.3,由互斥事件的概率加法公式得小明成绩为9环或10环的概率为0.1+0.3=0.4,所以B正确;由已知条件无法得到小明成绩为7环的概率,所以C错误;由互斥事件与对立事件的概率公式得小明成绩在9环以下但不脱靶的概率为1-0.1-0.3-0.01=0.59,所以D正确.
7.【解析】“射手命中圆面Ⅰ”为事件A,“命中圆环Ⅱ”为事件B,“命中圆环Ⅲ”为事件C,“不中靶”为事件D,则A,B,C彼此互斥,故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.35+0.30+0.25=0.90.因为中靶和不中靶是对立事件,故不命中靶的概率为P(D)=1-P(A∪B∪C)=1-0.90=0.10.
答案:0.10
8.【解析】因为事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,所以P(A)+P(B)=1-=.
又因为P(A)=2P(B),所以P(A)+P(A)=,
所以P(A)=.
答案:
9.【解析】记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F互斥.
(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A∪B∪C,所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)
=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)方法一:记“至少3人排队等候”为事件H,则H=D∪E∪F,所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)
=0.3+0.1+0.04=0.44.
方法二:记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.
10.【解析】(1)对任一个人,其血型为A,B,AB,O的事件分别为A',B',C',D',它们彼此互斥.由已知得P(A')=0.28,P(B')=0.29,P(C')=0.08,P(D')=0.35.
由于B,O型血可以输给B型血的人,
因此“可以输血给小明的人”为事件B'+D',
根据互斥事件的概率加法公式,得:
P(B'+D')=P(B')+P(D')=0.29+0.35=0.64.
(2)由于A,AB型血不能输给B型血的人,
因此“不能输血给小明的人”为事件A'+C',
所以P(A'+C')=P(A')+P(C')=0.28+0.08=0.36.
【素养提升组】
1.C 抛掷一个骰子的试验有6种可能结果,依题意,得P(A)==,P(B)==,
所以P()=1-P(B)=1-=,
因为表示“出现5点或6点”的事件,所以事件A与互斥,从而P(A+)=P(A)+P()=+=.
2.B 事件“抽到的产品不是一等品”的对立事件是“抽到一等品”,而事件A={抽到一等品},且P(A)=0.65,
于是得1-P(A)=1-0.65=0.35,
所以事件“抽到的产品不是一等品”的概率为0.35.
【名师点睛】求复杂的互斥事件概率的两种方法:一是直接求解法,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和;二是间接法,先求该事件的对立事件的概率,再由P(A)=1-P()求解.
注:当题目涉及“至多”“至少”型问题,多考虑间接法.
3.【解析】(1)因为B A,所以P(A∪B)=P(A)=0.4,P(AB)=P(B)=0.2.
(2)如果A,B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.4+0.2=0.6.P(AB)=P( )=0.
答案:(1)0.4 0.2 (2)0.6 0
4.【解析】商店不进货即日销售量少于2件,显然“日销售量为1件”与“日销售量为0件”不可能同时发生,彼此互斥,分别计算两事件发生的频率,将其视作概率,利用概率加法公式可解.
记“当天商品销售量为0件”为事件A,“当天商品销售量为1件”为事件B,“当天商店不进货”为事件C,则P(C)=P(A)+P(B)=+=.
答案:
5.【解析】(1)因为=0.19,所以x=380.
(2)高三年级人数为y+z=2 000-(373+377+380+370)=500,现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生,应在高三年级抽取的人数为×48=12(名).
(3)设高三年级女生比男生少为事件A,则为高三年级女生比男生多或高三年级男生和女生同样多.高三年级女生数、男生数记为(y,z),由(2)知y+z=500,y,z∈N.满足题意的所有样本点是(245,255),(246,254),(247,253),…,(255,245),共11个,事件包含的样本点是(250,250),(251,249),(252,248),(253,247),(254,246),(255,245),共6个.所以P()=.因此,P(A)=1-=.
6.【解析】(1)因为每1 000张奖券中设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个,所以P(A)=,P(B)==,P(C)==.
(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D,则P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=++=.
(3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E,
则P(E)=1-P(A)-P(B)=1--=.10.2 事件的相互独立性
1.相互独立事件
对任意两个事件A与B,如果P(AB)= 成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为 .
2.相互独立事件的性质
如果事件A与B相互独立,那么A与 , 与B, 与 也相互独立.
3.相互独立事件与互斥事件有什么区别
4.相互独立事件同时发生的概率公式的推广
如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1A2…An)= .
一、单选题
1.坛子中放有3个白球,2个黑球,从中进行不放回地取球两次,每次取一球,用A1表示第一次取得白球,A2表示第二次取得白球,则A1和A2是( )
A.互斥事件
B.相互独立事件
C.对立事件
D.不相互独立的事件
2.某校在秋季运动会中安排了篮球投篮比赛,现有20名同学参加篮球投篮比赛,已知每名同学投进的概率均为0.4;每名同学有2次投篮机会,且各同学投篮之间没有影响;现规定:投进两个得4分,投进一个得2分,一个未进得0分,则其中一名同学得2分的概率为 ( )
A.0.5 B.0.48 C.0.4 D.0.32
3.设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)是 ( )
A. B. C. D.
4.若P(AB)=,P()=,P(B)=,则事件A与B的关系是 ( )
A.事件A与B互斥
B.事件A与B对立
C.事件A与B相互独立
D.事件A与B既互斥又独立
二、多选题
5.正四面体骰子的四个面上分别标有1,2,3,4,随机地抛掷一次,记录着地的一面上的数字.事件A={1,2},B={1,3},C={1,4},则( )
A.P(AB)=P(A)P(B)
B.P(AC)=P(A)P(C)
C.P(BC)=P(B)P(C)
D.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
6.某商场推出二次开奖活动,凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券.奖券上有一个兑奖号码,可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动.如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05,则两次抽奖中 ( )
A.都抽到某一指定号码的概率为0.05
B.都没有抽到某一指定号码的概率为0.95
C.恰有一次抽到某一指定号码的概率为0.095
D.至少有一次抽到某一指定号码的概率为0.097 5
三、填空题
7.在某道路A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒,某辆车在这条道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为 .
8.周老师上数学课时,给班里同学出了两道选择题,她预估做对第一道题的概率为0.80,做对两道题的概率为0.60,则预估做对第二道题的概率是 .
四、解答题
9.某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮,否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为,,,且各轮问题能否正确回答互不影响.
(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率;
(2)求该选手至多进入第二轮考核的概率.
10.某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号,假设拨过了的号码不再重复,试求下列事件的概率:
(1)第3次拨号才接通电话;
(2)拨号不超过3次而接通电话.
一、选择题
1.某种开关在电路中闭合的概率为p,现将4只这种开关并联在某电路中(如图所示),若该电路为通路的概率为,则p= ( )
A. B. C. D.
2.甲、乙两队进行足球友谊赛,采取三局两胜制,每局都要分出胜负,根据以往经验,单局比赛中甲队获胜的概率为,设各局比赛相互间没有影响,则甲队战胜乙队的概率为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题
3.同学甲参加某科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分,答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5,且各题答对与否相互之间没有影响,则同学甲得分不低于300分的概率是 .
4.某同学进行投篮训练,在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别是,,p,该同学站在这三个不同的位置各投篮一次,恰好投中两次的概率为,则p的值为 .
三、解答题
5.A,B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验,每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效,若在一个试验组中,服用A有效的白鼠的只数比服用B有效的多,就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A有效的概率为,服用B有效的概率为.
(1)求一个试验组为甲类组的概率;
(2)观察3个试验组,求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率.
6.如图所示,用A,B,C三类不同的元件连接成两个系统N1,N2,当元件A,B,C都正常工作时,系统N1正常工作;当元件A正常工作且元件B,C至少有一个正常工作时,系统N2正常工作;系统N1,N2正常工作的概率分别为P1,P2.
(1)若元件A,B,C正常工作的概率依次为0.5,0.6,0.8,求P1,P2;
(2)若元件A,B,C正常工作的概率都是P(010.2 事件的相互独立性
必备知识·落实
1.P(A)·P(B) 独立
2.
3.两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生;两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.
一般地,两个事件不可能既互斥又相互独立,因为互斥事件不可能同时发生,而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提.
4.P(A1)P(A2)…P(An)
知能素养·进阶
【基础巩固组】
1.D 因为P(A1)=,若A1发生了,P(A2)==;若A1不发生,P(A2)=,所以A1发生的结果对A2发生的结果有影响,所以A1与A2不是相互独立事件.
2.B 设事件A=“第一次投进球”,B=“第二次投进球”,则得2分的概率P=P(A)+P(B)=0.4×(1-0.4)+(1-0.4)×0.4=0.48.
3.D 由P(A)=P(B),得P(A)P()=P(B)·P(),
即P(A)[1-P(B)]=P(B)[1-P(A)],
所以P(A)=P(B).又P()=,
所以P()=P()=,所以P(A)=.
4.C 因为P()=,所以P(A)=.
又P(B)=,P(AB)=,
所以P(AB)=P(A)P(B),
所以事件A与B相互独立但不一定互斥.
5.ABC 因为样本空间为Ω={1,2,3,4},
所以P(A)=P(B)=P(C)=,
因为A∩B=A∩C=B∩C=A∩B∩C={1},
所以P(AB)=P(AC)=P(BC)=P(ABC)=,所以ABC都正确,因为P(ABC)≠P(A)P(B)P(C),所以D错误.
6.BC 记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A,“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B,则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB.由于两次抽奖结果互不影响,因此A与B相互独立.于是由独立性可得,两次抽奖都抽到某一指定号码的概率P(AB)=P(A)P(B)=0.05×0.05=0.002 5.同理“两次抽奖都没有抽到某一指定号码”的概率P()=P()P()=0.95×0.95=0.902 5;
“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(A)∪(B)表示.由于事件A与B互斥,根据概率加法公式和相互独立事件的定义,所求的概率为P(A)+P(B)=P(A)P()+ P()P(B)=0.05×(1-0.05)+(1-0.05)×0.05=0.095;“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可用(AB)∪(A)∪(B)表示.由于事件AB,A和B两两互斥,根据概率加法公式和相互独立事件的定义,所求的概率为P(AB)+P(A)+P(B)=0.002 5+0.095=0.097 5.
7.【解析】由题意可知,每个交通灯开放绿灯的概率分别为,,.某辆车在这个道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为××=.
答案:
8.【解析】设“做对第一道题”为事件A,“做对第二道题”为事件B,则P(AB)=P(A)P(B)=0.8×P(B)=0.6,故P(B)=0.75.
答案:0.75
9.【解析】记“该选手正确回答第i轮问题”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=.
(1)该选手进入第三轮才被淘汰的概率为P(A1A2)=P(A1)P(A2)P()=××1-=.
(2)该选手至多进入第二轮考核的概率为
P(+A1)=P()+P(A1)P()=1-+×1-=.
10.【解析】设Ai={第i次拨号接通电话},i=1,2,3.
(1)第3次才接通电话可表示为A3,
于是所求概率为P(A3)=××=;
(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A1+A2+A3,由于事件A1,A2,A3两两互斥,于是所求概率为P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=+×+××=.
【素养提升组】
1.B 因为该电路为通路的概率为,所以该电路为不通路的概率为1-,只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路,所以1-=(1-p)4,解得p=或p=(舍去).
2.C 甲、乙两队进行足球友谊赛,采取三局两胜制,每局都要分出胜负,根据以往经验,单局比赛中甲队获胜的概率为,设各局比赛相互间没有影响,甲队战胜乙队包含两种情况:
①甲连胜2局,概率为P1=()2=.
②前两局甲队一胜一负,第三局甲队胜,概率为
P2=××+××=.
则甲队战胜乙队的概率为
P=P1+P2=+=.
3.【解析】设“同学甲答对第i个题”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=0.8,P(A2)=0.6,P(A3)=0.5,且A1,A2,A3相互独立,同学甲得分不低于300分对应于事件A1A2A3∪A1A3∪A2A3发生,
故所求概率为P=P(A1A2A3∪A1A3∪A2A3)
=P(A1A2A3)+P(A1A3)+P(A2A3)
=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P()P(A3)+P()P(A2)P(A3)=0.8×0.6×0.5+0.8×0.4×0.5+0.2×0.6×0.5=0.46.
答案:0.46
4.【解析】在甲、乙、丙处投中分别记为事件A,B,C,恰好投中两次为事件AB,AC,
BC发生,故恰好投中两次的概率:P=××(1-p)+×(1-)×p+(1-)××p=,
解得p=.
答案:
5.【解析】(1)设Ai表示事件“一个试验组中,服用A有效的小白鼠有i只”,i=0,1,2.Bi表示事件“一个试验组中,服用B有效的小白鼠有i只”,i=0,1,2.据题意有:P(A0)=×=,P(A1)=2××=,P(A2)=×=,P(B0)=×=,P(B1)=2××=.
所求概率为P=P(B0A1)+P(B0A2)+P(B1A2)=×+×+×=.
(2)所求概率P'=1-=.
6.【解析】(1)设A=“元件A正常工作”,B=“元件B正常工作”,C=“元件C正常工作”,则A,B,C相互独立.P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(C)=0.8,
故P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.5×0.6×0.8=0.24,
P2=P(A)[1-P()]=0.5×(1-0.4×0.2)=0.46.
(2)P(A)=P(B)=P(C)=P,
P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=P3,
P2=P(A)[1-P()]=P[1-(1-P)2],
P1-P2=P3-P[1-(1-P)2]=2P3-2P2=2P2(P-1),
又010.3.1 频率的稳定性
1.频率的稳定性
随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会 ,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐 事件A发生的概率P(A),称频率的这个性质为频率的稳定性.因此可以用频率fn(A)估计概率P(A).
2.频率与概率的范围都是 .
3.随机事件在一次试验中是否发生与概率的大小有什么关系
一、单选题
1.随着互联网的普及,网上购物已逐渐成为消费时尚,为了解消费者对网上购物的满意情况,某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答),统计结果如表:
满意状况 不满意 比较满意 满意 非常满意
人数 200 n 2 100 1 000
根据表中数据,估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是 ( )
A. B. C. D.
2.甲、乙两人做游戏,下列游戏中不公平的是 ( )
A.掷一枚骰子,向上的点数为奇数则甲胜,向上的点数为偶数则乙胜
B.同时掷两枚相同的骰子,向上的点数之和大于7则甲胜,否则乙胜
C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色则甲胜,是黑色则乙胜
D.甲、乙两人各写一个数字,若是同奇或同偶则甲胜,否则乙胜
3.小明同学进行投球练习,连投了10次,恰好投进了8次.若用A表示“投进球”这一事件,则事件A发生的 ( )
A.概率为 B.频率为
C.频率为8 D.以上均不正确
4.某个地区统计某年起几年内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表:
项目 1年内 2年内 3年内 4年内
新生婴儿数 5 544 9 013 13 520 17 191
男婴数 2 716 4 899 6 812 8 590
这一地区男婴出生的概率约是 ( )
A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7
二、多选题
5.年初,某市教研室对某畅销书进行了5次“读者问卷调查”,结果如下:
调查序号 1 2 3 4 5
被调查人数n 1 001 1 000 1 004 1 003 1 000
满意人数m 999 998 1 002 1 002 997
则下列说法正确的是 ( )
A.第5次调查读者满意的频率最高
B.第1,2,3次调查读者满意的频率各不相等
C.读者对此畅销书满意的概率约为99.8%
D.5次调查该市读者对此畅销书满意频率均高于0.99
6.下列说法中正确的有 ( )
A.做9次抛掷一枚质地均匀的硬币的试验,结果有5次出现正面,所以出现正面的概率是
B.盒子中装有大小和形状相同的3个红球,3个黑球,2个白球,每种颜色的球被摸到的可能性相同
C.从-4,-3,-2,-1,0,1,2中任取一个数,取得的数小于0和不小于0的可能性不相同
D.设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,次品的件数可能不是10件
三、填空题
7.某中学为了了解初中部学生的某项行为规范的养成情况,在校门口按系统抽样的方法:每2分钟随机抽取一名学生,登记佩戴胸卡的学生的名字.结果,150名学生中有60名佩戴胸卡.第二次检查,调查了初中部的所有学生,有500名学生佩戴胸卡.据此估计该中学初中部一共有 名学生.
8.某中学要在高一年级二班、三班、四班中任选一个班参加社区服务活动,有人提议用如下方法选班:掷两枚硬币,正面向上记作2点,反面向上记作1点,两枚点数和是几,就选几班.按照这个规则,当选概率最大的是 班.
四、解答题
9.历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复试验,结果如表所示:
抛掷次数 正面向上的次数 正面向上的比例
2 048 1 061 0.518 1
4 040 2 048 0.506 9
12 000 6 019 0.501 6
24 000 12 012 0.500 5
30 000 14 984 0.499 5
72 088 36 124 0.501 1
(1)在上述抛掷硬币的试验中,你会发现怎样的规律
(2)在抛掷硬币试验中,把正面向上的比例称作正面向上的频率,你能给频率下个定义吗
(3)抛掷硬币试验表明,正面朝上在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复试验后,随着试验次数的增加,正面朝上发生的频率呈现出一定的规律性,这个规律性是如何体现出来的
(4)在相同条件下,事件A在先后两次试验中发生的频率fn(A)是否一定相等 事件A在先后两次试验中发生的概率P(A)是否一定相等
10.在英语中不同字母出现的频率彼此不同且相差很大,但同一个字母的使用频率相当稳定,有人统计了40多万个单词中5个元音字母的使用频率,结果如表所示:
元音字母 A E I O U
频率 7.88% 12.68% 7.07% 7.76% 2.80%
(1)从一本英文书(小说类)里随机选一页,统计在这一页里元音字母出现的频率;
(2)将你统计得出的频率与上表中的频率进行比较,结果是否比较接近 你认为存在差异的原因是什么.
一、选择题
1.若经检验,某厂的产品合格率为98%,估算该厂8 000件产品中的次品件数为 ( )
A.7 840 B.160
C.16 D.784
2.某中学举办电脑知识竞赛,满分为100分,80分以上为优秀(含80分),现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成五组:第一组[50,60),第二组[60,70),第三组[70,80),第四组[80,90),第五组[90,100],其中第一、三、四、五小组的频率分别为0.30,0.15,0.10,0.05,而第二小组的频数是40,则参赛的人数以及成绩优秀的概率分别是 ( )
A.50,0.15 B.50,0.75
C.100,0.15 D.100,0.75
二、填空题
3.从一堆苹果中任取10个,称得它们的质量如下(单位:g):125,120,122,105,130,114,116,95,120,134.从这一堆苹果中,随机取出一个,则估计得到的苹果质量落在[114.5,124.5]内的概率为 .
4.(教材改编题)小明和小展按如下规则做游戏:桌面上放有5支铅笔,每次取1支或2支,最后取完铅笔的人获胜,你认为这个游戏规则 .(填“公平”或“不公平”)
三、解答题
5.为了研究某种油菜籽的发芽率,科研人员在相同条件下做了10批试验,油菜籽的发芽试验相关数据如下表:
批次 每批粒数 发芽的粒数
1 2 2
2 5 4
3 10 9
4 70 60
5 130 116
续表
批次 每批粒数 发芽的粒数
6 700 637
7 1 500 1 370
8 2 000 1 780
9 3 000 2 709
10 5 000 4 490
问题:
(1)如何计算每批试验中油菜籽发芽的频率
(2)由各批油菜籽发芽的频率,可以得到频率具有怎样的特征
(3)如何估计该油菜籽发芽的概率近似值
6.某射击运动员为备战奥运会,在相同条件下进行射击训练,结果如下:
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心 次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心的 频率 0.8 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91
(1)该射击运动员射击一次,击中靶心的概率大约是多少
(2)假如该射击运动员射击了300次,则击中靶心的次数大约是多少
(3)假如该射击运动员射击了300次,前270次都击中靶心,那么后30次一定都击不中靶心吗
10.3 频率与概率
10.3.1 频率的稳定性
必备知识·落实
1.缩小 稳定于
2.[0,1]
3.随机事件的概率表明了随机事件发生的可能性的大小,但并不表示概率大的事件一定发生,概率小的事件一定不发生.
知能素养·进阶
【基础巩固组】
1.C 由题意得,n=4 500-200-2 100-1 000=1 200,所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1 200+2 100=3 300,所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为=.
由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为.
2.B 对于A、C、D,甲胜,乙胜的概率都是,游戏是公平的;对于B,点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等,但点数小于等于7时乙胜,所以甲胜的概率小,游戏不公平.
3.B 因为投球一次即进行一次试验,投球10次,投进8次,即事件A发生的频数为8,所以事件A发生的频率为=.
4.B 由表可知,男婴出生的频率依次是0.49,0.54,0.50,0.50,故这一地区男婴出生的概率约为0.5.
5.BC 计算表中1至5次调查读者满意的频率依次是0.998,0.998,0.998,0.999,0.997,故AB不正确,D正确;
在5次“读者问卷调查”中,收到的反馈信息是“读者对此畅销书满意的概率约是P(A)=0.998”,用百分数表示就是P(A)=99.8%.
6.BC 对于A,应为出现正面的频率是,故A错误;对于B,摸到白球的概率要小于摸到红球或黑球的概率,故B错误;对于C,取得的数小于0的概率大于不小于0的概率,故C正确;对于D,任取100件产品,次品的件数是随机的,故D正确.
7.【解析】设初中部有n名学生,
依题意得=,解得n=1 250.
所以该中学初中部共有学生大约1 250名.
答案:1 250
8.【解析】掷两枚硬币,所有可能的结果为(正,正),(正,反),(反,正),(反,反).
其点数和分别为4,3,3,2,所以选二班和选四班的概率都是,选三班的概率为=.
故选三班的概率最大.
答案:三
9.【解析】(1)当试验次数很多时,出现正面的比例在0.5附近摆动.
(2)在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的频率.
(3)事件A发生的频率趋于稳定,在某个常数附近摆动.
(4)频率具有随机性,做同样次数的重复试验,事件A发生的频率可能不相同;概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次试验无关.
10.【解析】(答案不唯一)(1)选取英文书籍任意一页,一共637个字母,其中元音字母出现频数和频率如下:
A出现38次,频率为:5.97%
E出现96次,频率为:15.07%
I出现47次,频率为:7.38%
O出现52次,频率为:8.16%
U出现12次,频率为:1.88%
(2)可以发现统计出来的频率与上表中的频率不是很接近,因为统计数据较小,有很强的偶然性,题表中的统计数据为40多万个单词.随着试验次数的增加,频率偏离概率很大的可能性会越来越小.
【素养提升组】
1.B 由题意知合格率为98%,则次品率为1-98%=2%,故8 000件产品中的次品件数为8 000×2%=160(件).
2.C 由已知得第二小组的频率是
1-0.30-0.15-0.10-0.05=0.40,频数为40,设共有参赛学生x人,则x×0.4=40,所以x=100.因为成绩优秀的频率为0.10+0.05=0.15,所以估计成绩优秀的概率为0.15.
3.【解析】10个苹果中,质量落在区间[114.5,124.5]内的有4个,频率为=0.4,所以苹果质量落在区间[114.5,124.5]内的概率可估计为0.4.
答案:0.4
4.【解析】当第一个人第一次取2支时,还剩余3支,无论是第二个人取1支还是取2支,第一个人在第二次取铅笔时,都可取完,即第一个人一定能获胜,所以不公平.
答案:不公平
5.【解析】(1)利用公式:频率=,可求出各批油菜籽发芽的频率.
(2)批次1的频率=1,批次2的频率=0.8,批次3的频率=0.9,批次4的频率≈0.857,批次5的频率≈0.892,批次6的频率=0.91,批次7的频率≈0.913,批次8的频率=0.89,批次9的频率=0.903,批次10的频率=0.898,当试验次数越来越多时,频率越来越趋近于一个常数.
(3)由(2)可知,当试验次数越来越多时,频率在0.9附近波动,由此估计该油菜籽发芽的概率约为0.9.
6.【解析】(1)由题意得,击中靶心的频率与0.9接近,故击中靶心的概率约为0.9.
(2)击中靶心的次数大约为300×0.9=270(次).
(3)由概率的意义,可知概率是个常数,不因试验次数的变化而变化.后30次中,每次击中靶心的概率仍是0.9,所以不一定击不中靶心.10.3.2 随机模拟
1.随机数的概念
要产生1~n(n∈N*)之间的随机整数,把n个 相同的小球分别标上1,2,3,…,n,放入一个容器中, 后取出一个球,这个球上的数就称为随机数.
2.随机模拟方法
利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验,通过模拟试验得到的
来估计 ,这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法.
3.用计算机模拟试验来代替大量的重复试验有什么优点
一、单选题
1.用随机模拟方法得到的频率 ( )
A.大于概率
B.小于概率
C.等于概率
D.是概率的近似值
2.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同,现从中随机取出两个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是 ( )
A. B. C. D.
3.下列关于随机数的说法,正确的是 ( )
A.计算器只能产生(0,1)之间的随机数
B.计算机不能产生指定两个整数之间的取整数值的随机数
C.计算器或计算机产生的随机数是完全等可能的
D.计算器或计算机产生的随机数是伪随机数
4.每道选择题有四个选项,其中只有一个选项是正确的.某次数学考试共有12道选择题,有位同学说:“每个选项正确的概率是,我每道题都选择第一个选项,则一定有3道题选择结果正确.”该同学的说法 ( )
A.正确 B.错误
C.无法解释 D.以上均不正确
二、多选题
5.下列说法中,正确的是 ( )
A.频率反映随机事件的频繁程度,概率反映随机事件发生的可能性大小
B.频率是不能脱离n次试验的试验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值
C.做n次随机试验,事件发生m次,则事件发生的频率就是事件的概率
D.频率是概率的近似值,而概率是频率的稳定值
三、填空题
6.在用随机(整数)模拟“有4个男生和5个女生,从中选4个,求选出2个男生2个女生的概率”时,可让计算机产生1~9的随机整数,并用1~4代表男生,用5~9代表女生.因为是选出4个,所以每4个随机数作为一组.若得到的一组随机数为“4678”,则它代表的含义是 .
7.袋子中有四个小球,分别写有“中、华、民、族”四个字,有放回地从中任取一个小球,直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率,利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数,分别用0,1,2,3代表“中、华、民、族”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取球三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:
232 321 230 023 123 021 132
220 001 231 130 133 231 031
320 122 103 233
由此可以估计,恰好抽取三次就停止的概率为 .
四、解答题
8.某校高一年级共20个班,1 200名学生,期中考试时如何把学生分配到40个考场中去
9.甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3个,乙盒中有黄、黑、白三种颜色的球各2个,从两个盒子中各取1个球.
(1)求取出的两个球是不同颜色的概率;
(2)请设计一种随机模拟的方法,来近似计算(1)中取出的两个球是不同颜色的概率(写出模拟的步骤).
一、选择题
1.某种心脏手术,成功率为0.6,现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率;先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数,由于成功率是0.6,故我们用0,1,2,3表示手术不成功,4,5,6,7,8,9表示手术成功;再以每3个随机数为一组,作为3例手术的结果,经随机模拟产生如下10组随机数:
812,832,569,683,271,989,730,537,925,907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为( )
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5
2.从分别写有A,B,C,D,E的5张卡片中任取2张,这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题
3.抛掷两枚均匀的正方体骰子,用随机模拟方法估计朝上面的点数的和是6的倍数的概率时,用1,2,3,4,5,6分别表示朝上面的点数是1,2,3,4,5,6.用计算器或计算机分别产生1到6的两组整数随机数各60个,每组第i个数组成一组,共组成60组数,其中有一组是16,这组数表示的结果是否满足朝上面的点数的和是6的倍数:
(填“是”或“否”),满足朝上面的点数的和是6的倍数的概率为 .
4.假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中靶心,5,6,7,8,9,0表示未命中靶心;再以每两个随机数为一组,代表两次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:
93 28 12 45 85 69 68 34 31 25
73 93 02 75 56 48 87 30 11 35
据此估计,该运动员两次掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为 .
三、解答题
5.一个袋中有7个大小和质地相同的小球,其中6个白球,1个红球,现任取1个,若为红球就停止,若为白球就放回,搅拌均匀后再接着取.试设计一个模拟试验估计恰好第三次摸到红球的概率.
6.某篮球爱好者做投篮练习,如果他每次投篮投中的概率都是0.6,那么在连续三次投篮中,他三次都投中的概率是多少 试设计一个模拟试验估计他三次都投中的概率.
10.3.2 随机模拟
必备知识·落实
1.质地和大小 充分搅拌
2.频率 概率
3.用频率估计概率时,需做大量的重复试验,费时费力,并且有些试验具有破坏性,有些试验无法真正进行.因此利用计算机进行随机模拟试验就成为一种很重要的替代方法,它可以在短时间内多次重复地来做试验.
知能素养·进阶
【基础巩固组】
1.D 因为实验数据越多频率就越接近概率,所以用随机模拟方法得到的频率,数据是有限的,接近概率.
2.A 随机取出两个小球有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种情况,和为3只有1种情况(1,2),和为6可以是(1,5),(2,4),共2种情况,所以P=.
3.D A项,计算器也可以产生a~b上的整数随机数;
B项,计算机能产生指定两个整数之间的取整数值的随机数;
C项,计算器或计算机产生的随机数是伪随机数,不能保证等可能.
4.B 解每一道选择题都可看成一次试验,每次试验的结果都是随机的,经过大量的试验其结果呈现出一定的规律,即随机选取一个选项选择正确的概率是.12道选择题做对3道题的可能性比较大,但并不能保证一定做对3道题,也有可能都选错,因此该同学的说法错误.
5.ABD 频率是在一次试验中某一事件出现的次数与试验总数的比值,随某事件出现的次数而变化,概率指的是某一事件发生的可能程度,是个确定的理论值.
6.【解析】用1~4代表男生,用5~9代表女生,4 678表示一男三女.
答案:选出的4个人中,只有1个男生
7.【解析】由随机产生的随机数可知恰好抽取三次就停止的有021,001,130,031,共4组随机数,恰好抽取三次就停止的概率约为=.
答案:
8.【解析】要把1 200人分到40个考场,每个考场30人,可用计算机完成.
(1)按班级、学号顺序把学生档案输入计算机.
(2)用随机函数按顺序给每个学生一个随机数(每人都不相同).
(3)使用计算机的排序功能按随机数从小到大排列,可得到1 200名学生的考试号0001,0002,…,1200,然后0001~0030为第一考场,0031~0060为第二考场,依次类推.
9.【解析】(1)设A表示“取出的两个球是相同颜色”,B表示“取出的两个球是不同颜色”,则事件A的概率为:P(A)=×+×=.由于事件A与事件B是对立事件,所以事件B的概率为P(B)=1-P(A)=1-=.
(2)随机模拟的步骤:第1步:利用抽签法或计算机(计算器)产生1~3和2~4两组取整数值的随机数,每组各有N个随机数.用“1”表示取到红球,用“2”表示取到黑球,用“3”表示取到白球,用“4”表示取到黄球.第2步:统计两组对应的N对随机数中,每对中的两个数字不同的对数n.第3步:计算的值.则就是取出的两个球是不同颜色的概率的近似值.
【素养提升组】
1.A 由10组随机数知,3个随机数都在4~9中的有569,989两组,故所求的概率为P==0.2.
2.B 用计算器产生1到5之间的随机整数,用1~5分别代表A~E 5个字母.利用随机模拟试验产生N组随机数,每2个数一组,从中数出两个数按从小到大的顺序相邻的随机数个数N1,可得≈.
【一题多解】本题还可用以下方法求解:从A,B,C,D,E的5张卡片中任取2张,基本事件有AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE共10种结果,其中2张卡片上字母恰好按字母顺序相邻的有AB,BC,CD,DE共4种结果,
所以P==.
3.【解析】16表示第1枚骰子向上的点数是1,第二枚骰子向上的点数是6,则朝上面的点数的和是1+6=7,不表示和是6的倍数.该试验共有36种不同结果,事件“点数的和是6的倍数”包含(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,6)共6种情况,故概率为.
答案:否
4.【解析】两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1,2,3,4中的之一.它们分别是93,28,45,25,73,93,02,48,30,35共10个,
因此所求的概率为=0.5.
答案:
5.【解析】用1,2,3,4,5,6表示白球,7表示红球,利用计算器或计算机产生1~7之间取整数值的随机数,因为要求恰好第三次摸到红球,所以每三个随机数作为一组.例如产生20组随机数:
666 743 671 464 571 561 156 567 732 375 716 116 614 445 117 573 552 274 124 662
表示第一次、第二次摸到白球,第三次摸到红球的是567和117,共2组,所以恰好第三次摸到红球的概率约为=0.1.
6.【解析】通过设计模拟试验的方法来解决问题,利用计算机或计算器可以产生0~9之间取整数值的随机数.用1,2,3,4,5,6表示投中,用7,8,9,0表示未投中,这样可以体现投中的概率是0.6.因为要投篮三次,所以每三个随机数作为一组.例如产生20组随机数:
812 932 569 683 271 989 730 537 925 834 907 113 966 191 432 256 393 027 556 755
在这组数中,表示三次都投中的分别是113,432,256,556,共有4组,故三次投篮都投中的概率近似为=0.2.