河南省信阳市重点实验中学2023-2024学年高二上学期12月数学教学测评（二）（含解析）

信阳市重点实验中学2023-2024学年高二上学期12月数学教学测评（二）
一、单选题
1.设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数z满足，则复数z的虚部为（ ）
A.1 B. C. D.
3.设函数若，则（ ）
A. B. C.1 D.2
4.若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5.已知，为椭圆E的两个焦点，B为椭圆E短轴的一个顶点，直线与椭圆E的另一个交点为P.若，则椭圆E的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6.中，，交AC于点D，且，的最小值为（ ）
A. B. B.8 D.
7.过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A.1 B. C. D.
8.已知函数，关于x的方程有4个不同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9.关于函数，下列说法正确的是（ ）
A.的最小正周期为 B.的最大值为2
C.的图象关于点对称 D.在上单调递减
10.以下结论正确的是（ ）
A. B.的最小值为2
C.若，则 D.若，则
11.已知曲线，则下列说法正确的为（ ）
A.若该曲线是双曲线方程，则，或
B.若则该曲线为椭圆
C.若该曲线离心率为，则
D.若该曲线为焦点在y轴上双曲线，则离心率
12.函数是定义在R上的奇函数，当时，，以下命题错误的是（ ）
A.当时，
B.函数有5个零点
C.若函数的图像与函数的图像有四个交点，则
D.的单调递减区间是
三、填空题
13.已知，，则______.
14.若直线：与：相互垂直，则实数m的值为______.
15.已知为椭圆内一点，经过P作一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为______.
16.在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥的外接球体积为______.
四、解答题
17.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（I）求角B的大小；
（II）求的取值范围.
18.为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：第一组第1组、第2组、第3组、第4组、第5组
（1）求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数；
（2）估计抽出的100名志愿者年龄的第50百分位数（精确到0.1）
（3）若在抽出的第2组和第4组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取5名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这5名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.
19.已知动点与两定点，的距离的比为.
（1）求动点P的轨迹方程并说明是什么图形；
（2）过点B作直线l，l与点P的轨迹C相交于M、N两点，已知，若，求直线l的方程.
20.学校为丰富教职工业余文化活动，在元旦节举办了某项比赛，现甲乙两组进入到决赛阶段，决赛采用三局两胜制决出冠军，假设每局比赛没有平局且每一局比赛中甲组获胜的概率为.
（1）求甲组最终获得冠军的概率；
（2）已知冠军奖品为28个篮球，在甲组第一局获胜后，比赛因故取消，奖品分配新方案是：假设比赛继续进行下去，按照甲乙两组各自获胜的概率分配篮球，问按此方案，甲组、乙组分别可获得多少个篮球？
21.如图，在四棱锥中，为等边三角形，M为PA的中点，，平面平面ABCD.
（1）证明：平面平面；
（2）若，，，直线PB与平面MCD所成角的正弦值为，求三棱锥的体积.
22.已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为.
（1）求C的方程；
（2）记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点（M在第二象限），直线与交于点P.证明：点P在定直线上.
参考答案
1.【答案】A 2.【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】A
5.【答案】B【详解】不妨取B为上顶点，如图所示：
设|，则，则，整理得到，，中，，整理得到，即.
6.【答案】B【详解】因为，所以.当且仅当时取“＝”.即的最小值为.
7.【答案】B【详解】因为，即，可得圆心，半径，过点作圆C的切线，记切点为A，B，因为，则，可得，，则，，即为钝角，所以；
8.【答案】B【详解】因为，函数图象如下所示：
要使关于x的方程有4个不同的实数根，
即有4个不同的实数根，
因为方程必有一正一负两个根，记为a，b（），
问题等价于与共有4个解，如图仅有一解，
则问题等价于共有3个解，等价于又因为，，
所以，所以，，
函数在上单调递增，当时，，所以
9.【答案】AB 10.【答案】AC 11.【答案】AD
【详解】若是双曲线方程，则解得，或，A正确；当时，曲线方程为，表示圆，B错误，若该曲线离心率为，则曲线表示椭圆，当焦点在x轴上时，，解得，当焦点在y轴上时，，解得，C错误；若该曲线为焦点在y轴上双曲线，则，即，，因为，则，即，，D对.
12.【答案】ACD【详解】对于A：当时，，则，且为奇函数，所以，故A错误；对于B：当时，令，得，解得或，即当时，两个有零点，又函数是定义在R上的奇函数，可知当时，也有两个零点，又，所以函数共有5个零点，故B正确；对于C：作出函数的图象，若函数的图像与函数的图像有四个交点，则或，故C错.对于D：由图象可知：的单调递减区间是，，故D错误.
13.【答案】28 14.【答案】3 15.【答案】 16.【答案】
17.解：（I）由结合正弦定理可得：，且，，又因为为锐角三角形，故.
（Ⅱ）.
由可得：，，
则，.
即的取值范围是.
18.解（1）由直方图知：，可得，
500名志愿者中年龄在的人数为人.
（2）由（1）易知：第50百分位数在区间内，若该数为a，
，解得.
（3）由题设5名志愿者有2名来自，3名来自，此5人中取2人共10种方法，2人恰好来自同一组共4种方法，抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.
19.解：（1）由动点与两定点，的距离的比为，
可得，整理得，
即，所以动点P是以为圆心，2为半径的圆.
（2由题意知l的斜率一定存在且不等于0，设直线l： ，即，
点Q到l的距离，
则弦长为，
因为，即，解得或，
所以或，所以直线l的方程为或.
20.解：（1）令事件：甲组在第i局获胜， 1、2、3，
甲组胜的概率为；
（2）由题意知，在甲组第一局获胜的情况下，甲组输掉比赛为事件：甲组接下来的比赛中连输两场，所以在甲第一局获胜的前提下，最终输掉比赛的概率：，即甲获胜的概率为，故应按照3：1的比例来分配比赛奖品，即甲组应获得21个篮球，乙组获得7个篮球比较合理.
21.（1）证明：取中点为N，连接，
因为为等边三角形，所以，
且平面平面，平面平面，面，
所以平面，又平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
因为M为中点，所以，且，平面，
所以平面，且平面，所以平面平面.
（2）由（1）可知，平面，所以，建立如图所示空间直角坐标系，
设，则可得，，，
，，，
即，，，
设平面的法向量为，
则，取，得平面的一向量为，
设直线与平面所成角为，
所以，
解得，或，即（舍去）或1，
所以，.
22.解：（1）设双曲线方程为（，），
由已知得知且，
则，，所以双曲线方程为：.
（2）由（1）可得，，设，，
显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，且，
与联立得：，
所以，，，
直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：，
由可得，即，据此可得点P在定直线上运动.