2023-2024学年高中数学人教A版（2019）必修第一册 章末测评卷 第三章 函数概念与性质 测评（含解析）

第三章测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2021江苏南京秦淮中学高一期末)下列关于x,y的关系中为函数的是(　　)
A.y=
B.y2=4x
C.y=
D.
x 1 2 3 4
y 0 0 -6 11
2.(2022浙江温州高一期末)下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是(　　)
A.y=x3 B.y=x2 C.y=x D.y=
3.(2021河南长葛高一月考)下列函数中,值域为(0,+∞)的是(　　)
A.y= B.y=
C.y= D.y=x2+1
4.下列选项中,两个函数表示同一个函数的是(　　)
A.y=,y=1
B.y=()2,y=|x|
C.f(x)=|x|,g(x)=
D.y=,y=
5.已知某市生产总值连续两年持续增加,若第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　)
A. B.
C. D.-1
6.已知函数f(x)=ax3+bx+7(其中a,b为常数),若f(-7)=-17,则f(7)的值为(　　)
A.31 B.17 C.-17 D.15
7.定义运算a b=则函数f(x)=x2 |x|的图象是(　　)
8.定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0.则当n∈N*时,有(　　)
A.f(-n)B.f(n-1)C.f(n+1)D.f(n+1)二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.(2021江苏连云港高一期中)对于定义在R上的函数f(x),下列判断正确的是(　　)
A.若f(2)>f(-2),则函数f(x)是R上的增函数
B.若f(2)C.若f(2)=f(-2),则函数f(x)是偶函数
D.若f(2)≠f(-2),则函数f(x)不是偶函数
10.已知函数f(x)=ax2-2ax-3(a>0),则(　　)
A.f(-3)>f(3) B.f(-2)C.f(4)=f(-2) D.f(4)>f(3)
11.若函数f(x)=在R上是单调函数,则a的取值可能是(　　)
A.0 B.1 C. D.3
12.(2022福建南平高一期末)已知函数f(x)=关于函数f(x)的结论正确的是 (　　)
A.f(x)的定义域为R
B.f(x)的值域为(-∞,4]
C.若f(x)=2,则x的值是-
D.f(x)<1的解集为(-1,1)
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.函数y=的定义域是　　　　　.
14.已知函数y=f(x)+x3为偶函数,且f(10)=13,若函数g(x)=f(x)+6,则g(-10)=　　　　　.
15.李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.
(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付　　　　　元;
(2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为　　　　.
16.若函数f(x)=在区间(-2,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　　.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)(2021山东临沂高一期中)已知函数f(x)=x+-2在x∈(1,+∞)时的最小值为m.
(1)求m;
(2)若函数g(x)=的定义域为R,求a的取值范围.
18.(12分)已知函数f(x)=,x∈[3,5].
(1)判断f(x)在区间[3,5]上的单调性并证明;
(2)求f(x)的最大值和最小值.
19.(12分)(2021福建福州高一期末)在①k=-1,②k=1这两个条件中任选一个,补充在下面问题中.
已知函数f(x)=-kx,且　　　　　.
(1)求f(x)的定义域,并判断f(x)的奇偶性;
(2)判断f(x)的单调性,并用定义给予证明.
20.(12分)(2021河南平顶山高一期末)某厂家拟进行某产品的促销活动,根据市场情况,该产品的月销量(即月产量)m万件与月促销费用x万元(x≥0)满足m=10-(k为常数),如果不搞促销活动,则该产品的月销量是2万件.已知生产该产品每月固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入5万元,厂家将每件产品的销售价格定为元,设该产品的月利润为y万元.注:利润=销售收入-生产投入-促销费用.
(1)将y表示为x的函数;
(2)月促销费用为多少万元时,该产品的月利润最大
21.(12分)已知二次函数f(x)对x∈R都有f(x+1)-f(x)=2x+2成立,且f(1)=3.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数g(x)=f(x)-(1+2m)x+1(m∈R)在x∈[-2,3]上的最小值.
22.(12分)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-x2+ax.
(1)若a=-2,求函数f(x)的解析式;
(2)若函数f(x)为R上的减函数,
①求a的取值范围;
②若对任意实数m,f(m-1)+f(m2+t)<0恒成立,求实数t的取值范围.
第三章测评
1.D　对于A,y=中,令解得即x∈ ,不是关于x,y的函数;
对于B,当x>0时,y2=4x有两个y与x对应,不是关于x,y的函数;
对于C,y=当x=1时,有y=±1,所以不是关于x,y的函数;
对于D,满足任取定义域内的x,都有唯一的y与x对应,是关于x,y的函数.故选D.
2.D　因为y=x3,y=x是奇函数,y=x2是偶函数,故排除ABC;
y=的定义域为[0,+∞),故既不是奇函数也不是偶函数,故选D.
3.B　函数y=的值域为[0,+∞),函数y=的定义域为(0,+∞),值域为(0,+∞);函数y=的定义域和值域均为(-∞,0)∪(0,+∞),函数y=x2+1的值域为[1,+∞).故选B.
4.C　A.y=的定义域为{x|x≠0},y=1的定义域为R,定义域不同,不是同一个函数;B.y=()2的定义域为[0,+∞),y=|x|的定义域为R,不是同一个函数;C.f(x)=|x|与g(x)=定义域和对应关系相同,故是同一个函数;D.y==|x-1|,y==x-1,对应关系不同,不是同一个函数.
5.D　设第一年年初生产总值为1,则这两年的生产总值为(p+1)(q+1).设这两年生产总值的年平均增长率为x,则(1+x)2=(p+1)(q+1),解得x=-1,故选D.
6.A　令g(x)=ax3+bx,则g(x)为奇函数.因为f(-7)=g(-7)+7=-17,所以g(-7)=-17-7=-24,g(7)=24,f(7)=g(7)+7=31.
7.B　根据运算a b=
得f(x)=x2 |x|=
由此可得图象如图所示.
8.C　由(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0得f(x)在(-∞,0]上单调递增.又f(x)为偶函数,所以f(x)在[0,+∞)上单调递减.又f(-n)=f(n)且0≤n-1故f(n+1)即f(n+1)9.BD　若函数f(x)是R上的增函数,对于任意的x1f(-2),不能保证函数f(x)是R上的增函数,A错误;
若f(2)若f(2)≠f(-2),不满足对于定义域中的任意一个x,都有f(-x)=f(x),函数f(x)不是偶函数,D正确,故选BD.
10.ACD　函数f(x)=ax2-2ax-3(a>0)图象的对称轴为直线x=1,且在区间[1,+∞)上单调递增,
f(-3)=f(5)>f(3),选项A正确;
f(-2)=f(4)>f(3),选项B错误;
f(4)=f(-2),选项C正确;
f(4)>f(3),选项D正确.
11.BC　f(x)=-x2+2a在区间(-∞,-1]上单调递增,
所以f(x)=ax+4在区间(1,+∞)上也单调递增,
所以解得012.BC　f(x)=函数的定义域为[-2,+∞),故A错误;
当-2≤x<1时,f(x)=x2∈[0,4],当x≥1时,f(x)∈(-∞,1],
故函数的值域为(-∞,4],故B正确;
由f(x)=2,得解得x=-,故C正确;
由f(x)<1得
解得-11.
则f(x)<1的解集为(-1,1)∪(1,+∞),故D错误.故选BC.
13.[-1,7]　要使式子有意义,则7+6x-x2≥0,解得-1≤x≤7.
14.2 019　因为函数y=f(x)+x3为偶函数,
所以f(10)+103=f(-10)+(-10)3.
由f(10)=13,得f(-10)=2 013.
因为函数g(x)=f(x)+6,所以g(-10)=2 019.
15.(1)130　(2)15　(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付(60+80)-10=130(元).
(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y元,
当y<120时,李明得到的金额为y·80%,符合要求.
当y≥120时,有(y-x)·80%≥y·70%成立,
即8(y-x)≥7y,x≤,即x≤=15.
所以x的最大值为15.
16.　f(x)==a+.
∵y=在区间(-2,+∞)上单调递减,
∴1-2a>0,∴a<.
17.解(1)∵x>1,∴x-1>0,
∴f(x)=x+-2=(x-1)+-1≥2-1=3,当且仅当x-1=,即x=3时等号成立,∴m=3.
(2)由(1)可知g(x)=的定义域为R,
则不等式ax2-ax+3≥0的解集为R,
①a=0时,3≥0恒成立,满足题意;
②a≠0时,解得0∴综上可得a的取值范围为[0,12].
18.解(1)函数f(x)在区间[3,5]上单调递增,证明如下:
设x1,x2是区间[3,5]上的任意两个实数,且x1∵3≤x1∴x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴函数f(x)在区间[3,5]上单调递增.
(2)由(1)知函数f(x)在区间[3,5]上单调递增,
所以函数f(x)的最小值为f(x)min=f(3)=,函数f(x)的最大值为f(x)max=f(5)=.
19.解选择①k=-1,因为f(x)=-kx,
所以f(x)=x-.
(1)要使函数f(x)有意义,只需x≠0,
所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
因为f(-x)=-x-=-x-=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
(2)函数f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均单调递增.
证明如下: x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=x1--x2-=(x1-x2)+=(x1-x2)1+=.
因为00,x1x2+1>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)故函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;
同理可证,函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递增;
所以函数f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均单调递增.
选择②k=1,因为f(x)=-kx,所以f(x)=-x.
(1)要使函数f(x)有意义,只需x≠0,
所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
因为f(-x)=-(-x)=--x=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
(2)函数f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均单调递减.
证明如下: x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=-x1--x2=+(x2-x1)=(x2-x1)1+=.
因为0所以x2-x1>0,x1x2>0,x1x2+1>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
故函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减;
同理可证,函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减;
所以函数f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均单调递减.
20.解(1)由题意知当x=0时,m=2,则2=10-,解得k=16.所以m=10-.
利润y=m×-8-5m-x=1.6+m-x,
又因为m=10-,
所以y=1.6+m-x=11.6--x,x∈[0,+∞).
(2)由(1)知y=11.6--x,
所以y=13.6--(x+2)=13.6-+x+2.
因为x≥0时,x+2≥2,
又因为+(x+2)≥2=8,当且仅当=x+2,即x=2时,等号成立,
所以y≤13.6-8=5.6,
故月促销费用为2万元时,该产品的月利润最大,最大为5.6万元.
21.解(1)设二次函数f(x)=ax2+bx+c,a≠0,则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+2ax+a+bx+b+c,
f(x+1)-f(x)=2ax+a+b=2x+2,解得a=b=1,
即f(x)=x2+x+c,f(1)=2+c=3,得c=1,
所以f(x)=x2+x+1.
(2)g(x)=x2-2mx+2=(x-m)2+2-m2,其图象的对称轴为直线x=m,开口向上.分三种情况:
①当m<-2时,函数y=g(x)在区间[-2,3]上单调递增,g(x)min=g(-2)=6+4m;
②当-2≤m≤3时,函数y=g(x)在区间[-2,3]上的最小值为g(x)min=g(m)=2-m2;
③当m>3时,函数y=g(x)在区间[-2,3]上单调递减,g(x)min=g(3)=11-6m.
综上,g(x)min=
22.解(1)当x<0时,-x>0,
又f(x)为奇函数,且a=-2,
∴f(x)=-f(-x)=x2-2x,
∴f(x)=
(2)①当a≤0时,对称轴x=≤0,
∴f(x)=-x2+ax在区间[0,+∞)上单调递减,
由于奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,
∴f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,
又在区间(-∞,0)上f(x)>0,在区间(0,+∞)上f(x)<0,
∴当a≤0时,f(x)为R上的减函数.
当a>0时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,不合题意.
∴函数f(x)为减函数时,a的取值范围为(-∞,0].
②∵f(m-1)+f(m2+t)<0,
∴f(m-1)<-f(m2+t).
又f(x)是奇函数,∴f(m-1)又f(x)为R上的减函数,∴m-1>-t-m2恒成立,