2023-2024学年高中数学人教A版（2019）必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 测评（含解析）

第四章测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2022广西桂林高一期末)下列函数中,是偶函数且在区间(-∞,0)上单调递减的是(　　)
A.y= B.y=log3x
C.y=x2 D.y=-|x|
2.(2021安徽宿州高一期中)定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=0,当x∈(0,+∞)时,f(x)=2x-1,则f(-3)+f(0)的值等于(　　)
A.-4 B. C.- D.4
3.(2022四川雅安高一期末)已知4a=9b=12,则=(　　)
A. B.1 C. D.2
4.(2022山东烟台高一期末)为了保障交通安全,根据国家有关规定:100 mL血液中酒精含量达到20~79 mg的驾驶员即为酒后驾驶,80 mg及以上认定为醉酒驾驶.假设某驾驶员一天晚上8点喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上升到0.6 mg/mL,如果在停止喝酒后,他血液中酒精含量会以每小时10%的速度减少,则他次日上午最早几点(结果取整数)开车才不构成酒驾 (　　)(参考数据:lg 3≈0.477)
A.6 B.7 C.8 D.9
5.(2022四川遂宁高一期末)已知3a=4b=12,c=logab,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.aC.b6.(2022浙江浙东北联盟高一期末)已知函数f(x)=loga(x2-ax+4)(a>0且a≠1)满足:对任意实数x1,x2,当≤x1A.(1,4) B.(0,1) C.(2,4) D.(3,4)
7.(2022重庆高一期末)已知函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-1,0] B.[-1,0]
C.(-1,+∞) D.[-1,+∞)
8.若a>1,设函数f(x)=ax+x-4的零点为m,g(x)=logax+x-4的零点为n,则的取值范围是(　　)
A.,+∞ B.[1,+∞)
C.(4,+∞) D.,+∞
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.若a>b>0,0A.logcaB.ca>cb
C.ac>bc
D.logc(a+b)>0
10.某单位准备印制一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用分为制版费和印刷费两部分,先收取固定的制版费,再按印刷数量收取印刷费;乙厂直接按印刷数量收取印刷费.甲厂的总费用y1(单位:千元),乙厂的总费用y2(单位:千元)与印制证书数量x(单位:千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示,则(　　)
A.甲厂的费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y1=0.5x+1
B.当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为1.5元
C.当印制证书数量超过2千个时,乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为y2=x+
D.若该单位需印制证书数量为8千个,则该单位选择甲厂更节省费用
11.已知实数a,b满足等式,则下列五个关系式中可能成立的是(　　)
A.a>b>0 B.aC.012.已知函数f(x)=2x+log2x,且实数a>b>c>0,满足f(a)f(b)f(c)<0,若实数x0是函数y=f(x)的一个零点,那么下列不等式中可能成立的是(　　)
A.x0a C.x0三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.=　.
14.能说明“函数f(x)的图象在区间[0,2]上是一条连续不断的曲线.若f(0)·f(2)>0,则f(x)在(0,2)内无零点”为假命题的一个函数是　.
15.已知a>0且a≠1,函数y=loga(2x-3)+的图象恒过点P,若P在幂函数f(x)的图象上,则点P坐标为　　　　　,f(8)=　　　　　.
16.已知函数f(x)=其中k≥0.关于x的函数y=f(f(x))有两个不同零点,则实数k的取值范围是　　　　.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知f(x)=3x-1.
(1)若x∈[0,1],求f(x)的值域;
(2)若y∈-,2,求f(x)的定义域.
18.(12分)画出函数f(x)=|log3x|的图象,并求出其值域、单调区间以及在区间上的最大值.
19.(12分)已知f(x)=其中a>0,a≠1.
(1)若f(x)在(-∞,+∞)上是单调函数,求实数a,b的取值范围;
(2)当a=2时,函数f(x)在(-∞,+∞)上只有一个零点,求实数b的取值范围.
20.(12分)已知函数f(x)=loga(1+x)-loga(1-x),其中a>0且a≠1.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)若f=2,求使f(x)>0成立的x的集合.
21.(12分)某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲,这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,2月测得凤眼莲覆盖面积为24 m2,3月测得凤眼莲覆盖面积为36 m2,凤眼莲覆盖面积y(单位:m2)与月份x的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=p+q(p>0)可供选择.
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;
(2)求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
22.(12分)已知函数f(x)=-.
(1)用定义证明函数f(x)在(-∞,+∞)上为减函数;
(2)若x∈[1,2],求函数f(x)的值域;
(3)若g(x)=+f(x),且当x∈[1,2]时,g(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
第四章测评
1.C　指数函数y=、对数函数y=log3x不是偶函数,所以A,B不正确;y=x2为偶函数且在(-∞,0)上单调递减,所以C正确;y=-|x|为偶函数,但在(-∞,0)上y=x单调递增,所以D选项不正确.
2.A　∵f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),
∴f(x)是奇函数,
∴f(0)=0,f(-3)=-f(3)=-23-1=-4.
∴f(-3)+f(0)=-4.故选A.
3.B　∵4a=9b=12,∴a=log412,b=log912.
∴=log124+log129=log124+log123=log1212=1,故选B.
4.B　设他至少经过t小时后才可以驾车,
则0.6×(1-10%)t<,
即3×t<1,即t×lg所以t>≈10.4.
因为t∈N,所以t≥11,故至少经过11个小时,即次日最早7点才可以驾车,故选B.
5.B　因为3a=4b=12,
所以2=log391=log44所以2所以c6.A　对任意实数x1,x2,当≤x1所以函数f(x)在区间,+∞上单调递增.
令u=x2-ax+4,y=logau,
由于u=x2-ax+4在区间,+∞上单调递增,
所以y=logau单调递增,且有umin=+4>0,
可得解得1故实数a的取值范围是(1,4).故选A.
7.D　当-3所以函数f(x)=x2-ax在区间(1,+∞)上的值域包含(2,+∞),
所以存在x∈[1,+∞),使得x2-ax≤2,即a≥x-.
令g(x)=x-,则函数g(x)=x-在区间[1,+∞)上单调递增.
故g(x)≥g(1)=-1,即a≥-1.故选D.
8.B　函数f(x)=ax+x-4的零点是函数y=ax与函数y=4-x图象交点A的横坐标,函数g(x)=logax+x-4的零点是函数y=logax与函数y=4-x图象交点B的横坐标,由于指数函数与对数函数互为反函数,其图象关于直线y=x对称,直线y=4-x与直线y=x垂直,故直线y=4-x与直线y=x的交点(2,2)即AB的中点,由此可知m+n=4,则(m+n)=2+≥1,
当且仅当m=n=2时等号成立.
故≥1,所求的取值范围是[1,+∞).
9.AC　A选项,因为0由a>b>0得logca故A正确;
B选项,因为0b>0,得caC选项,因为a>b>0,01,
所以ac>bc,故C正确;
D选项,取c=,a+b=2,
则logc(a+b)=2=-1<0,故D错误.
10.ABC　甲厂的费用y1与证书数量x满足的函数关系为y1=0.5x+1,故A正确;
当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为3÷2=1.5(元),故B正确;
易知当x>2时,y2与x之间的函数关系式为y2=x+,故C正确;
当x=8时,y1=0.5×8+1=5,y2=×8+,因为y1>y2,所以当印制8千个证书时,选择乙厂更节省费用,故D不正确.
11.ABD　在同一坐标系中画出函数y=和y=的图象,借助图象分析a,b满足等式时的a,b大小关系,如图所示:
若a,b均为正数,则a>b>0;若a,b均为负数,则a12.ABC　由函数的单调性可得,函数f(x)=2x+log2x在(0,+∞)上单调递增,
由f(a)f(b)f(c)<0,则f(a),f(b),f(c)为负数的个数为奇数,对于选项A,B,C,选项可能成立;
对于选项D,当x00,f(b)>0,f(c)>0,即不满足f(a)f(b)f(c)<0,故D选项不可能成立.
13.29-π　+2(-1)×(-2)-|3-π|+(-3)=25+4-π+3-3=29-π.
14.y=(x-1)2(开放题,答案不唯一)　考查函数y=(x-1)2,绘制函数图象如图所示,
该函数f(x)的图象在区间[0,2]上是一条连续不断的曲线,f(0)·f(2)>0,但是函数f(x)在(0,2)内存在零点x=1,故该函数说明原命题为假命题.
15.(2,)　2　由题意,函数y=loga(2x-3)+图象恒过点P,令2x-3=1,即x=2,则y=loga1+,即P(2,).
设幂函数f(x)=xα(α∈R),将点P(2,)代入幂函数,可得2α=,解得α=,即f(x)=,
所以f(8)==2.
16.[0,1)　令f(x)=t,则y=f(t),
当k∈[0,1)时,函数f(x)的图象如下图所示.
由f(t)=0,则t=1,故函数f(x)与函数y=t=1有两个交点,所以k∈[0,1)满足题意.
当k∈[1,+∞)时,函数f(x)的图象如下图所示.
由f(t)=0,则t=1,则函数f(x)与函数y=t=1只有一个交点,所以k∈[1,+∞)不满足题意.
即k的取值范围是[0,1).
17.解(1)∵0≤x≤1,且f(x)在[0,1]上单调递增,
∴30≤3x≤31.
∴0≤3x-1≤2.
即f(x)的值域为[0,2].
(2)∵-≤y≤2,∴-≤3x-1≤2,
∴≤3x≤3,解得-1≤x≤1.
即f(x)的定义域为[-1,1].
18.解因为f(x)=|log3x|=
所以在区间[1,+∞)上f(x)的图象与y=log3x的图象相同,在区间(0,1)上的图象与y=log3x的图象关于x轴对称,据此可画出其图象,如图所示.
由图象可知,函数f(x)的值域为[0,+∞),单调递增区间是[1,+∞),单调递减区间是(0,1).
当x∈时,f(x)在区间上是单调递减的,在区间[1,6]上是单调递增的.
又f=2,f(6)=log36<2,
故f(x)在上的最大值为2.
19.解(1)由题意知f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,
∵f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增的,
∴当x≥0时,f(x)也单调递增,
∴a>1,且f(0)=1+b≥-1,得b≥-2.
综上,a,b的取值范围分别是a∈(1,+∞),b∈[-2,+∞).
(2)∵x<0时,f(x)<-1,
∴f(x)在区间(-∞,0)上无零点,
∴x≥0时,f(x)=2x+b有且只有一个零点,
∵f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,且f(x)∈[1+b,+∞),
∴f(0)=1+b≤0,
∴b≤-1.
∴实数b的取值范围是b∈(-∞,-1].
20.解(1)要使函数有意义,则解得-1(2)f(x)是奇函数.理由如下:
∵f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
(3)若f=2,
∴loga-loga=loga4=2,
解得a=2,
∴f(x)=log2(1+x)-log2(1-x).
若f(x)>0,则log2(x+1)>log2(1-x),
∴
解得0故所求x的集合为(0,1).
21.解(1)两个函数y=kax(k>0,a>1),y=p+q(p>0)在(0,+∞)上单调递增,随着x的增加,函数y=kax(k>0,a>1)的值增加得越来越快,而函数y=p+q(p>0)的值增加得越来越慢.
由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,
所以函数模型y=kax(k>0,a>1)适合要求.
由题意可知,x=2时,y=24;x=3时,y=36,
所以解得
所以该函数模型的解析式是y=×x(x∈N*).
(2)x=0时,y=×0=,
所以元旦放入凤眼莲的面积是 m2.
由×x>10×,得x>10,
所以x>lo10=.
因为≈5.7,且x∈N*,
所以x≥6,
所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份.
22.解(1)函数f(x)的定义域为R, x1,x2∈R,且x1∵x10.
又+1>0,+1>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
∴f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.
(2)∵f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,
∴当x∈[1,2]时,f(x)min=f(2)=-,f(x)max=f(1)=-.
∴当x∈[1,2]时,f(x)的值域为.
(3)由(2)得,当x∈[1,2]时,f(x)∈,
∵g(x)=+f(x),
∴当x∈[1,2]时,
g(x)∈.
∵g(x)≥0在x∈[1,2]上恒成立,