2023-2024学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用（含解析）

第五章综合测评
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若f'(x)=,则函数f(x)可以是(　　)
A. B. C.x-3 D.ln x
2.函数f(x)=x3+3x2+3x-a的极值点的个数是 (　　)
A.2 B.1
C.0 D.由a确定的
3.设曲线y=在点(1,0)处的切线与直线x-ay+1=0垂直,则a=(　　)
A.- B. C.-2 D.2
4.若函数f(x)=-x3+3x2+9x+a在区间[-2,-1]上的最大值为2,则它在该区间上的最小值为(　　)
A.-5 B.7 C.10 D.-19
5.
如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,给出下列结论:
①-3是函数y=f(x)的极值点;
②-1是函数y=f(x)的最小值点;
③y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零;
④y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增.
则正确结论的序号是(　　)
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
6.已知函数f(x)=x+在(-∞,-1)上单调递增,则实数a的取值范围是(　　)
A.[1,+∞) B.(-∞,0)∪(0,1]
C.(0,1] D.(-∞,0)∪[1,+∞)
7.已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率为(　　)
A.e B.-e C. D.-
8.已知函数g(x)的图象关于y轴对称,当x∈(-∞,0)时,g'(x)<0,g(2)=0,且g(x)=f(x+1),则(x+1)f(x)>0的解集为(　　)
A.(3,+∞)
B.(-∞,1)∪(1,+∞)
C.(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.下列求导运算错误的是(　　)
A.x+'=1+ B.(log2x)'=
C.(3x)'=3x D.(x2cos x)'=-2xsin x
10.设点P是曲线y=ex-x+上的任意一点,点P处的切线的倾斜角为α,则角α的取值范围包含区间(　　)
A.,π B.
C.0, D.0,∪,π
11.对于函数f(x)=,下列说法正确的有(　　)
A.f(x)在x=e处取得极大值
B.f(x)有两个不同的零点
C.f(2)D.若f(x)1
12.已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如表所示,f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　)
x -1 0 4 5
f(x) 1 2 2 1
A.函数f(x)的极大值点有2个
B.函数f(x)在[0,2]上单调递减
C.若x∈[-1,t],f(x)的最大值是2,则t的最大值为4
D.当1三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2021山东日照期中)已知函数f(x)的导数f '(x),且满足f(x)=2f '(1)+ln x,则f(e)=　　　　　.
14.若曲线y=x3-x2在点P处的切线l与直线y=-x垂直,则切线l的方程为　　　　　　　　.
15.直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有三个相异的公共点,则实数a的取值范围是　　　　.
16.已知函数f(x)=-ax,x∈(0,+∞),设x1,x2是(0,+∞)上的任意两个数,当x1四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)求曲线y=+2x在x=1处的切线斜率及切线方程.
18.(本小题满分12分)已知k为实常数,函数f(x)=x3-3x2+k在[0,2]上的最大值等于1.
(1)求k的值;
(2)若函数g(x)在定义域R上连续且单调递增,g(0)=k,g(x)≥x+1,写出一个满足以上条件的函数g(x),并证明你的结论.
19.(本小题满分12分)设函数f(x)=a2ln x-x2+ax(a>0).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)求所有的实数a,使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立.
20.(本小题满分12分)甲、乙两地相距400千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过100千米/时,已知该汽车每小时的运输成本P(单位:元)关于速度v(单位:千米/时)的函数关系是P=v4-v3+15v.
(1)求全程运输成本Q(单位:元)关于速度v的函数关系式.
(2)为使全程运输成本最少,汽车应以多大速度行驶 并求此时运输成本的最小值.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=xex+ax2+2x+1在x=-1处取得极值.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数y=xex与y=-x2-2x+m的图象只有一个交点,试求实数m的值.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ex+t-x在x=1处的切线是x轴.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若x≥1,f(x)-m(ln x-x+1)≥0恒成立,求实数m的取值范围.
参考答案
第五章综合测评
1.A　'=,'=-,x-3'=-x-4,(ln x)'=.
故满足f'(x)=的f(x)可以是f(x)=.故选A.
2.C　∵f'(x)=3x2+6x+3=3(x2+2x+1)=3(x+1)2≥0,∴函数f(x)在R上单调递增,无极值.故选C.
3.A　由题意得,y'=(x>0),∵曲线在点(1,0)处的切线与直线x-ay+1=0垂直,∴=-a,解得a=-,故选A.
4.A　∵f'(x)=-3x2+6x+9=-3(x+1)(x-3),
∴函数f(x)在[-2,-1]上单调递减,
∴最大值为f(-2)=2+a=2,
∴a=0,函数f(x)在区间[-2,-1]上的最小值为f(-1)=a-5=-5.
5.D　由导函数y=f'(x)的图象可知,当x<-3时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x>-3时,f'(x)>0,f(x)单调递增,故x=-3是函数y=f(x)的极小值点,也是最小值点,故①④正确,②③错误.故选D.
6.D　由题意知f'(x)=1-,由于f(x)在(-∞,-1)上单调递增,则f'(x)≥0在(-∞,-1)上恒成立,即≤x2在(-∞,-1)上恒成立.当x<-1时,x2>1,则有≤1,解得a≥1或a<0.故选D.
7.C　设切点坐标为(a,ln a),∵y=ln x,∴y'=,切线的斜率是,切线的方程为y-ln a=(x-a),将(0,0)代入可得ln a=1,∴a=e,∴切线的斜率是.故选C.
8.A　因为函数g(x)的图象关于y轴对称,所以g(x)为偶函数,则g(-2)=g(2)=0.
因为当x∈(-∞,0)时,g'(x)<0,故g(x)单调递减,所以当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,故g(x)单调递增,故当x<-2或x>2时,g(x)>0,当-2因为g(x)=f(x+1),所以f(x)=g(x-1),故不等式(x+1)f(x)>0等价于(x+1)g(x-1)>0,
所以
解得x>3,
所以(x+1)f(x)>0的解集为(3,+∞).故选A.
9.ACD　x+'=1-,故A错误;(log2x)'=,故B正确;(3x)'=3xln 3,故C错误;(x2cos x)'=2xcos x+x2(-sin x)=2xcos x-x2sin x,故D错误.故选ACD.
10.CD　y=ex-x+的导数为y'=ex-,由ex>0,可得切线的斜率k>-,由tan α>-,可得0≤α<<α<π,故选CD.
11.ACD　函数的导数为f'(x)=(x>0),
令f'(x)=0得x=e,当00,函数单调递增,当x>e时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,
则当x=e时,函数取得极大值,极大值为f(e)=,故A正确;
当x→0时,f(x)→-∞,当x→+∞时,f(x)→0,
则f(x)的大致图象如图.
由f(x)=0,得ln x=0,解得x=1,即函数f(x)只有一个零点,故B错误;
因为f(4)==f(2),f(3)>f(π)>f(4),所以f(2)若f(x)则k>,设h(x)=(x>0),
则h'(x)=-,当00,当x>1时,h'(x)<0,即当x=1时,函数h(x)取得极大值同时也是最大值,最大值为h(1)=1,故k>1成立,故D正确.
故选ACD.
12.AB　由f'(x)的图象可知,当-1≤x<0或20,当0即当x=0时,函数f(x)取得极大值,当x=4时,函数f(x)取得极大值,即函数f(x)有两个极大值点,故A正确;
函数f(x)在[0,2]上单调递减,故B正确;
作出f(x)的大致图象如图,若x∈[-1,t],f(x)的最大值是2,则t满足0≤t≤5,即t的最大值是5,故C错误;
由y=f(x)-a=0得f(x)=a,若f(2)≤1,当1若1故选AB.
13.3　∵f(x)=2f'(1)+ln x,∴f'(x)=,
∴f'(1)=1,∴f(x)=2+ln x,∴f(e)=3.
14.x-y+=0或x-y-1=0　据题意,设P(x0,),且y=x3-x2在点P处的切线斜率为1,y'=3x2-2x,∴3-2x0=1,解得x0=-或1,
∴P-,-或(1,0),
∴切线l的方程为x-y+=0或x-y-1=0.
15.(-2,2)　令f'(x)=3x2-3=0,得x=±1,可求得f(x)的极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2,f(x)的大致图象如图所示,当-216.-∞,　由题意知x1f(x1)则g'(x)=ex-2ax≥0恒成立.∴2a≤.
令m(x)=,则m'(x)=,
当x∈(0,1)时m'(x)<0,m(x)单调递减,
当x∈(1,+∞)时m'(x)>0,m(x)单调递增,
∴2a≤m(x)min=m(1)=e,∴a≤.
∴实数a的取值范围为-∞,.
17.解函数的导数f'(x)=-+2,曲线y=+2x在x=1处的切线斜率k=f'(1)=-1+2=1,f(1)=1+2=3,即切点坐标为(1,3),则对应的切线方程为y-3=x-1,即x-y+2=0.
18.解(1)f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),
因为0≤x≤2,f'(x)≤0,所以f(x)在[0,2]上单调递减;
所以当x∈[0,2]时,f(x)max=f(0)=k=1,所以k=1.
(2)函数g(x)=ex满足条件,证明如下:
首先函数g(x)=ex满足在定义域R上连续且单调递增,且g(0)=1=k.
下面证明:g(x)≥x+1,令h(x)=g(x)-(x+1)=ex-x-1,则h'(x)=ex-1,由h'(x)=0,得x=0,当x∈(-∞,0)时,h'(x)<0,h(x)在(-∞,0)上单调递减;
当x∈(0,+∞)时,h'(x)>0,h(x)在(0,+∞)上单调递增;
所以h(x)≥h(0)=0,即g(x)-(x+1)≥0,
所以g(x)≥x+1.
19.解(1)∵f(x)=a2ln x-x2+ax,x>0,
∴f'(x)=-2x+a=-,x>0.
由于a>0,∴f(x)的单调递增区间为(0,a),单调递减区间为(a,+∞).
(2)由题意得,f(1)=a-1≥e-1,即a≥e,
结合(1)知f(x)在[1,e]上单调递增,
要使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立,
只要解得a=e.
20.解(1)Q=P·=v4-v3+15v·=v3-v2+15·400=v2+6 000(0(2)Q'=-5v,令Q'=0,则v=0(舍去)或v=80,
当00,
∴当v=80千米/时时,全程运输成本取得极小值,即最小值,且Qmin=Q(80)=(元).
21.解(1)f'(x)=ex+xex+2ax+2=ex(x+1)+2ax+2,
由f'(-1)=0得-2a+2=0,
则a=1,f(x)=xex+x2+2x+1,
f'(x)=ex(x+1)+2x+2=(x+1)(ex+2),
由f'(x)>0,得x>-1;由f'(x)<0,得x<-1.
故函数f(x)的单调递增区间为(-1,+∞),单调递减区间为(-∞,-1).
(2)函数y=xex与y=-x2-2x+m的图象只有一个交点等价于方程xex=-x2-2x+m,即f(x)=m+1只有一个实数解.
由(1)f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,故f(x)在x=-1处取极小值(最小值)-.
因为方程f(x)=m+1只有一个实数解,
所以m+1=-,解得m=--1.
22.解(1)f'(x)=ex+t-1,f(x)在x=1处的切线斜率k=f'(1)=e1+t-1,
∵f(x)在x=1处的切线是x轴,
∴k=e1+t-1=0,解得t=-1,
∴f(x)=ex-1-x,f'(x)=ex-1-1.
令f'(x)>0,解得x>1,令f'(x)<0,解得x<1,
∴函数f(x)的单调递减区间为(-∞,1),单调递增区间为(1,+∞).
(2)构造函数h(x)=x-1-ln x(x≥1),则h'(x)=1-≥0,
∴函数h(x)在[1,+∞)上单调递增,则h(x)≥h(1)=0,
∴当x≥1时,x-1≥ln x.
由f(x)-m(ln x-x+1)≥0得ex-1-x-mln x+m(x-1)≥0,即ex-1+m(x-1)≥x+mln x=eln x+mln x,
构造函数g(x)=ex+mx,则g(x-1)≥g(ln x).
∵x≥1,∴x-1≥0,ln x≥0,
∴函数g(x)=ex+mx在[0,+∞)上单调递增,
∴g'(x)=ex+m≥0在[0,+∞)上恒成立,
即m≥-ex在[0,+∞)上恒成立,
∴m≥-1,即实数m的取值范围为[-1,+∞).