2023-2024学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用（含解析）

第五章综合训练
一、单项选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2021江西景德镇高二期末)若f(x)=ln x+x3,则=(　　)
A.1 B.2 C.4 D.8
2.(2021河南九师联盟高二联考)已知函数f(x)=2x+3f'(0)·ex,则f'(1)=(　　)
A.e B.3-2e C.2-3e D.2+3e
3.曲线f(x)=x3+x-2在P0处的切线平行于直线y=4x-1,则点P0的坐标为(　　)
A.(1,0)
B.(2,8)
C.(1,0)或(-1,-4)
D.(2,8)或(-1,-4)
4.函数f(x)=3x2+ln x-2x的极值点有(　　)
A.0个 B.1个
C.2个 D.无数个
5.(2021广西河池高二期末)已知函数f(x)=ln x-ax-2在区间(1,2)上不单调,则实数a的取值范围为(　　)
A.,1 B.,1
C. D.
6.(2021天津南开中学高二期中)已知x=2是f(x)=2ln x+ax2-3x的极值点,则f(x)在,3上的最大值是(　　)
A.2ln 3- B.-
C.-2ln 3- D.2ln 2-4
7.设a=e,b=,c=,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.aC.c8.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)=1+x,且f(1)=2,不等式f(x)≥(a+1)x+1有解,则正实数a的取值范围是(　　)
A.(0,] B.(0,)
C. D.
二、多项选择题(在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求)
9.下列结论不正确的是(　　)
A.若y=cos,则y'=-sin
B.若y=sin x2,则y'=2xcos x2
C.若y=cos 5x,则y'=-sin 5x
D.若y=xsin 2x,则y'=xsin 2x
10.如果函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则下述结论正确的是(　　)
A.函数y=f(x)在区间(3,5)内单调递增
B.当x=-时,函数y=f(x)有极大值
C.函数y=f(x)在区间(1,2)内单调递增
D.当x=2时,函数y=f(x)有极大值
11.(2021广东湛江一模)已知函数f(x)=x3-3ln x-1,则(　　)
A.f(x)的极大值为0
B.曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线为x轴
C.f(x)的最小值为0
D.f(x)在定义域内单调
12.若直线l与曲线C满足下列两个条件:①直线l在点P(x0,y0)处与曲线C相切;②曲线C在点P附近位于直线l的两侧,则称直线l在点P处“切过”曲线C.则下列结论正确的是 (　　)
A.直线l:y1=0在点P(0,0)处“切过”曲线C:y2=x3
B.直线l:y1=x-1在点P(1,0)处“切过”曲线C:y2=ln x
C.直线l:y1=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y2=sin x
D.直线l:y1=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y2=tan x
三、填空题
13.若函数f(x)=aln x+bx2+3x的极值点为x1=1,x2=2,则a=　　　　,b=　　　　.
14.某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元,每年最大规模的种植量是10万斤,每种植1斤藕,成本增加1元.销售额y(单位:万元)与莲藕种植量x(单位:万斤)满足y=-x3+ax2+x(a为常数),若种植3万斤,利润是万元,则要使销售利润最大,每年需种植莲藕　　　　　万斤.
15.(2021江苏连云港检测)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足:对任意x>0,有f(x)+xf'(x)>0成立且f(1)=2,则不等式f(x)<的解集为　　　　　.
16.已知函数f(x)=x3+3ax2+3x+1,当x∈[2,+∞)时,f(x)≥0恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　　　　.
四、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.已知函数f(x)=ex(cos x+sin x)0≤x≤.
(1)求函数f(x)的导数f'(x);
(2)求函数f(x)的值域.
18.设函数f(x)=aln x+x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的极值.
19.(2021甘肃兰州一中高二月考)已知函数f(x)=x+aln x+1.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为-a+1,求实数a的值.
20.已知函数f(x)=ln x-4ax,g(x)=xf(x).
(1)若a=,求g(x)的单调区间;
(2)若a>0,求证:f(x)≤-2.
21.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度),设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;
(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
22.设函数f(x)=ln x-.
(1)求证:当x>1时,f(x)>0;
(2)若关于x的不等式参考答案
第五章综合训练
1.D　由题意f'(x)=+3x2,所以f'(1)=1+3=4,
所以=2=2f'(1)=8.故选D.
2.C　因为f'(x)=2+3f'(0)·ex,所以f'(0)=2+3f'(0),所以f'(0)=-1,所以f'(x)=2-3ex,所以f'(1)=2-3e.故选C.
3.C　依题意令f'(x)=3x2+1=4,解得x=±1,f(1)=0,f(-1)=-4,故点P0的坐标为(1,0)或(-1,-4),故选C.
4.A　函数定义域为(0,+∞),且f'(x)=6x+-2=,令6x2-2x+1=0,则Δ=-20<0,所以f'(x)>0恒成立,即f(x)在定义域上单调递增,无极值点.
5.B　由f'(x)=-a=可知,当a≤0时函数f(x)在(1,2)上单调递增,不合题意;
当a>0时,函数f(x)的极值点为x=,若函数f(x)在区间(1,2)上不单调,必有1<<2,解得6.A　由题意f'(x)=+2ax-3且f'(2)=0,解得a=,则f'(x)=+x-3=.
∴当12时,f'(x)>0.
∴在区间,1,(2,3]上,函数f(x)单调递增;在区间(1,2)上,函数f(x)单调递减.
∵f(3)=2ln 3->f(1)=-,∴f(x)在,3上的最大值是2ln 3-.故选A.
7.A　构造函数f(x)=,则f'(x)=,当x>e时,f'(x)>0,则f(x)在(e,+∞)上单调递增.
又e<3<π,∴f(e)即,故a8.C　因为f'(x)=1+,故f(x)=x+ln x+C,其中C为常数.
因f(1)=2,所以C=1,即f(x)=x+ln x+1.
不等式f(x)≥(a+1)x+1有解可化为x+ln x+1≥(a+1)x+1,即≥a在(0,+∞)上有解.
令g(x)=,则g'(x)=,
当x∈(0,e)时,g'(x)>0,g(x)在(0,e)上单调递增;
当x∈(e,+∞)时,g'(x)<0,g(x)在(e,+∞)上单调递减.
故g(x)max=g(e)=,所以09.ACD　对于A,y=cos,则y'=-sin,故错误;
对于B,y=sin x2,则y'=2xcos x2,故正确;
对于C,y=cos 5x,则y'=-5sin 5x,故错误;
对于D,y=xsin 2x,则y'=sin 2x+xcos 2x,故错误.故选ACD.
10.CD　当x∈(-∞,-2)时,函数f(x)单调递减;当x∈(-2,2)时,函数f(x)单调递增;当x∈(2,4)时,函数f(x)单调递减;当x∈(4,+∞)时,函数f(x)单调递增.
因此当x=-2时,函数f(x)取极小值,当x=2时,函数f(x)取极大值;当x=4时,函数f(x)取极小值.结合选项易知,A,B错误,C,D正确,故选CD.
11.BC　f(x)=x3-3ln x-1的定义域为(0,+∞),f'(x)=3x2-(x3-1).
令f'(x)=(x3-1)=0,得x=1.
当x变化时,f(x),f'(x)变化情况如下表:
x (0,1) 1 (1,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) 单调递减 极小值 单调递增
所以f(x)的极小值也是最小值,最小值为f(1)=0,无极大值,在定义域内不单调,故C正确,A,D错误;对于B,由f(1)=0及f'(1)=0,得y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y-0=0(x-1),即y=0,故B正确.故选BC.
12.ACD　A项,因为y'2=3x2,当x=0时,y'2=0,
所以l:y1=0是曲线C:y2=x3在点P(0,0)处的切线.
当x<0时,y2<0;当x>0时,y2>0.
所以曲线C在点P附近位于直线l的两侧,结论正确.
B项,y'2=,当x=1时,y'2=1,在P(1,0)处的切线为l:y1=x-1.
令h(x)=x-1-ln x,
则h'(x)=1-(x>0),
当x>1时,h'(x)>0;当0所以h(x)min=h(1)=0.故x-1≥ln x,
即当x>0时,曲线C全部位于直线l的下侧(除切点外),结论错误.
C项,y'2=cos x,当x=0时,y'2=1,在P(0,0)处的切线为l:y1=x,由正弦函数图象可知,曲线C在点P附近位于直线l的两侧,结论正确.
D项,y'2=,当x=0时,y'2=1,在P(0,0)处的切线为l:y1=x,由正切函数图象可知,曲线C在点P附近位于直线l的两侧,结论正确.故选ACD.
13.-2　-　f(x)的定义域为(0,+∞).
f'(x)=+2bx+3=.
因为函数f(x)的极值点为x1=1,x2=2,
所以x1=1,x2=2是方程f'(x)==0的两个根,即为方程2bx2+3x+a=0的两根.
所以由根与系数的关系知解得
14.8　设销售利润为g(x),则g(x)=-x3+ax2+x-2-x=-x3+ax2-2(0因为g(3)=-×33+a×32-2=,所以a=2,
则g(x)=-x3+2x2-2,求导得g'(x)=-x2+4x=-x(x-8),
当x∈(0,8)时,g'(x)>0;当x∈(8,10)时,g'(x)<0.
所以g(x)在(0,8)上单调递增,在(8,10)上单调递减,
则当x=8时,g(x)取得最大值.
所以要使销售利润最大,每年需种植莲藕8万斤.
15.(0,1)　令g(x)=xf(x)-2,x∈(0,+∞),
g(1)=f(1)-2=0,
∵g'(x)=f(x)+xf'(x)>0,
∴g(x)=xf(x)-2在x∈(0,+∞)上单调递增,
∴满足不等式g(x)<0=g(1)的解为0即不等式f(x)<的解集为(0,1).
16.　当x∈[2,+∞)时,f(x)≥0,即x3+3ax2+3x+1≥0,即x+≥-3a.
令g(x)=x+,则g'(x)=.
令h(x)=x3-3x-2,则h'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
易知h'(x)≥0在x∈[2,+∞)上恒成立,
∴h(x)在x∈[2,+∞)内单调递增,
∴h(x)≥h(2)=0,也就是x3-3x-2≥0在x∈[2,+∞)上恒成立,∴g'(x)≥0在x∈[2,+∞)上恒成立,g(x)在x∈[2,+∞)内单调递增,∴g(x)的最小值为g(2)=,
-3a≤g(2)=,解得a≥-.
17.解(1)因为f(x)=ex(cos x+sin x),
所以f'(x)=ex(cos x+sin x)+ex(-sin x+cos x)=excos x.
故函数f(x)的导数f'(x)=excos x.
(2)因为0≤x≤,所以f'(x)=excos x≥0,
函数f(x)在上单调递增,
所以f(x)min=f(0)=e0(cos 0+sin 0)=,f(x)max=f.
故函数f(x)的值域为.
18.解(1)因为f(x)=aln x+x+1,故f'(x)=.
由于曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴,故该切线斜率为0,即f'(1)=0,从而a-=0,解得a=-1.
(2)由(1)知f(x)=-ln x+x+1(x>0),f'(x)=-,令f'(x)=0,解得x1=1,x2=-因x2=-不在定义域内,舍去,当x∈(0,1)时,f'(x)<0,故f(x)在(0,1)上单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(1,+∞)上单调递增.故f(x)在x=1处取得极小值f(1)=3,无极大值.
19.解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1+.
当a≥0时,f'(x)>0恒成立,f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值;
当a<0时,令f'(x)>0,解得x>-a,令f'(x)<0,解得0此时f(x)有极小值f(-a)=-a+aln(-a)+1,无极大值.
综上,当a≥0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间,无极值;当a<0时,f(x)的单调递增区间为(-a,+∞),单调递减区间为(0,-a),极小值为f(-a)=-a+aln(-a)+1,无极大值.
(2)f'(x)=1+,x∈[1,e],由f'(x)=0得x=-a.
①若a≥-1,则x+a≥0,即f'(x)≥0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上单调递增,∴f(x)min=f(1)=-a+1,即2=-a+1,则a=-1,符合条件;
②若a≤-e,则x+a≤0,即f'(x)≤0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上单调递减,∴f(x)min=f(e)=-a+1,即e+a+1=-a+1,则a=-,不符合条件;
③若-e∴f(x)在(1,-a)上单调递减,当-a0,
∴f(x)在(-a,e)上单调递增,∴f(x)min=f(-a)=-a+1,即-a+aln(-a)+1=-a+1,则a=-1,不符合条件.
综上所述,a=-1.
20.(1)解由a=,得g(x)=xln x-x2(x>0),
则g'(x)=ln x-x+1.
令h(x)=ln x-x+1,则h'(x)=.
故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,h(x)max=h(1)=0.
从而当x>0时,g'(x)≤0恒成立,故g(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间.
(2)证明f'(x)=-4a=.
由a>0,令f'(x)=0,得x=,故f(x)在上单调递增,在上单调递减.
所以f(x)max=f=ln-1.
只需证明ln-1≤-2.
令t=>0,即证ln t-t+1≤0(*),由(1)易知(*)式成立,故原不等式成立.
21.解(1)∵蓄水池的侧面的建造成本为200πrh元,底面的建造成本为160πr2元,
∴蓄水池的总建造成本为(200πrh+160πr2)元,
即200πrh+160πr2=12 000π,
∴h=(300-4r2),
∴V(r)=πr2h=πr2×(300-4r2)=(300r-4r3),
又由r>0,h>0可得0故函数V(r)的定义域为(0,5).
(2)由(1)中V(r)=(300r-4r3),0可得V'(r)=(300-12r2)(0令V'(r)=(300-12r2)=0,则r=5,
∴当r∈(0,5)时,V'(r)>0,函数V(r)单调递增,
当r∈(5,5)时,V'(r)<0,函数V(r)单调递减,
所以当r=5,h=8时该蓄水池的体积最大.
22.(1)证明∵f(x)=ln x-,
∴f'(x)=.
当x>1时,f'(x)>0.
∴f(x)在(1,+∞)内单调递增,∴f(x)>f(1)=0,得证.
(2)解设h(x)=-a(x-1),x∈(1,+∞),
则h'(x)=-a=,
当a≥1时,1-ax2<0,ln x>0,∴h'(x)<0,
∴h(x)在x∈(1,+∞)内单调递减,
∴h(x)当a≤0时,在(1,+∞)内有h(e)=-a(e-1)>0,故不合题意;
当01-对任意x∈(1,+∞)恒成立;
∴h(x)=-a(x-1)>-a(x-1)=-a(x-1)=(1-ax2),
∴当x∈时,h(x)≥0,故不合题意.
综上,实数a的取值范围为[1,+∞).