12月高二联考数学试卷答案
1.【答案】B
【解析】根据独立事件概率关系逐一判断
，
故选：B
2.【答案】A
【解析】本题考查空间向量的坐标运算.∵l∥α，平面α的法向量为(1，-1，2)，
∴(2，m，1)·(1，-1，2)=0，∴2-m+2=0，∴m=4.
3.【答案】C
【解析】本题考查古典概型.由题意可知宋朝“笔、墨、纸、砚”有6种，其中4种产自安徽，从6种当中选2种共有15种情况，且每种情况发生的概率相同，其中两种全部来自安徽的情况共有6种，所以所求概率为P= .
4.【答案】B
【解析】本题考查两直线间的距离.设所求的直线方程为3x-4y+c=0.由题意得 =1，解得c=-6或c=-16.
5. 【答案】A
由两直线垂直的充要条件得a×1+(-1)a=0,所以A正确
6.【答案】D
【解析】双曲线的渐近线为ax-by=0;由于它和已知圆相切，则圆心到该直线距离等于半径，即又c=2,所以，a2=c2-b2=1.D正确
7.【答案】C
【解析】本题考查双曲线的方程.当t=3时，曲线表示圆，故排除①③.
8.【答案】B
【解析】设正方体的棱长为1，以 ;为原点， 分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则 ， ， 的中点 ，
， ，则 ，
设 ， ，
由 与 共线，可得 ，所以 ，所以 ，其中 ，
因为 ，
，
所以 ，所以 ，即 是动点 到直线 的距离，
由空间两点间的距离公式可得 ，
所以当 时， 取得最小值 ，此时 为线段 的中点，
由于 为定值，所以当的面积取得最小值时， 为线段 的中点.
故选：B
9.【答案】BD【解析】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1，“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2，
则P(A1)= ，P(A2)= ，且A1，A2相互独立；
在A中，2个球都是红球的概率为 ，A正确；
在B中，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为 ，B错误；
在C中，2个球中至少有1个红球的概率为1-P( )·P( )=1- ，C正确；
在D中，2个球中恰有1个红球的概率为 ，D错误.
10.【答案】AD
【解析】本题考查直线与圆的位置关系.对于A项，由题意可得 ，所以a2+b2>4> ，从而点(a，b)在圆O的外部，故A项正确；
对于B项，直线与圆相交，则最长的弦为直径4故B项错；
对于C项，圆心到直线的距离为 >1，如图，直线x-y-2=0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该满足|r|> +1，故C项错误；
对于D项，过点P(1， )作圆O：x2+y2=r2的切线只有一条，则点P在圆O上，又kOP= ，故切线的斜率为- =- ，
所以切线方程为y- =- (x-1)，即x+ y-4=0，故D项正确.
11.【答案】BCD
【解析】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 ，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
由 平面 ，
得 ，即 ，化简可得 ，
所以动点 在直线 上，
， ， ，所以 与 不垂直，A选项错误；
， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，B选项正确； 因A1B1┴面BCC1B1且BP在面BCC1B1内，所以A1B1┴BP，C正确；
球心M是面BCC1B1和面DCC1D1的公共棱CC1中点，在这两平面上截球面所得弧半径均为、圆心角均为，总弧长为；在面ABCD和A1B1C1D1上截球面得弧的半径均为1，截面小圆圆心分别为C、C1，圆心角均为，总弧长为，这四段弧长之和为
D选项正确；
故选BCD.
12.【答案】ABD
【解析】由题意知 ，设直线AB方程为 ， ，
联立 ，可得 ， ，
故 ，
则 ，
故当 时， 的最小值为4，故A正确；
又 ，即M点纵坐标为2m，故 ，
当 时， 轴，NF在x轴上，此时 ；
当 时， ， ，故 ，
综合可知， ，故B正确；又点N到直线AB的距离为 ，
故 ，当 时，取最小值4，故C错误；
若直线AB的斜率为 ，则直线AB方程为 ，即 ，
则 ，由于A在第一象限，故解得 ，
故 ，由于 同向，故 ，故D正确，
故选ABD.
13.【答案】120
【解析】由题意可知总体中每个个体被抽到的可能性都是 ，故总体中的个体数为10÷ =120.
14.【答案】y= x-3
【解析】解出直线x+y=4和2x+3y-8=0的交点（4，0）.设直线方程为y= x+b，将点（4，0）坐标代入得b=-3，∴直线方程为y= x-3.
15.【答案】1
【解析】本题考查两相交圆的公共弦长问题.两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程：(x2+y2+2ay-6)-(x2+y2)=0-4 y= .又a>0，结合图象(图略)，可知 = =1 a=1.
16.【答案】
【解析】不妨假设点P在双曲线右支上，则 ，
由于 ， ，故 ，
故 ，而 ，
故 ，故答案为： .
17.【答案】（1）0.7；（2）0.165.
【解析】（1）记“运动员射击1次，成绩合格”为事件 ；
记“射击1次，命中 环”为事件 ，（ ，且 ），
则 ，且事件 两两互斥.
由题意知， ， ， ，……3分
所以 .
答：该名运动员射击1次，成绩合格的概率为0.7……5分
（2）记“该名运动员射击2次，共命中18环”为事件 ；
记“第一次射击，命中环”为事件 ，（ ，且 ）；
“第二次射击，命中 环”为事件 ，（ ，且 ），则 与 相互独立.
事件 ， ， 两两互斥， ，
所以
， ……9分
该名运动员射击2次，共命中18环的概率为0.165. …….10分
18.【答案】见解析
【解析】(1)由频率分布直方图可得第4组的频率为1-(0.01+0.03+0.03+0.01)×10=0.2，
∴x=0.2÷10=0.02. ……1分
估计所抽取的50名学生成绩的平均数为(55×0.01+65×0.03+75×0.03+85×0.02+95×0.01)×10=74，……3分
由于前两组的频率之和为0.1+0.3=0.4，前三组的频率之和为0.1+0.3+0.3=0.7，
∴中位数在第3组中，
设中位数为t，则有(t-70)×0.03=0.1，解得t= ，
即所求的中位数为 ……5分
(2)由(1)知，50名学生中成绩不低于70分的频率为0.3+0.2+0.1=0.6，……6分
用样本估计总体，可以估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数为2000×0.6=1200，……8分
(3)由(1)可知，后三组中的人数分别为15，10，5，∴这三组中所抽取的人数分别为3，2，1.
记成绩在[70，80)的3名学生分别为a，b，c，成绩在[80，90)的2名学生分别为d，e，成绩在[90，100]的1名学生为f，则从中随机抽取3人的所有可能结果为(a，b，c)，(a，b，d)，(a，b，e)，(a，b，f)，(a，c，d)，(a，c，e)，(a，c，f)，(a，d，e)，(a，d，f)，(a，e，f)，(b，c，d)，(b，c，e)，(b，c，f)，(b，d，e)，(b，d，f)，(b，e，f)，(c，d，e)，(c，d，f)，(c，e，f)，(d，e，f)，共20种，……10分
其中成绩在[80，100]的学生没人被抽到的可能结果为(a，b，c)，只有1种，
故成绩在[80，100]的学生至少有1人被抽到的概率P=1- …….12分
19.【解析】(1)解：由题意可知，c=1，
设椭圆方程为 ，将点 代入椭圆方程，得 ，解得 (舍)， ，所以椭圆方程为 ……6分
(2)设|PF1|=2+x,|PF2|=2-x,有余弦定理得
4=(2+x)2+(2-x)2-2(2+x)(2-x)cos600,解得x=0 ……9分
所以|PF1|=|PF2|=2，点P与椭圆上下顶点重合，即P(0,)或(0,-)，…11分
则三角形PF1F2面积为=|F1F2|.|PO|= …….12分
20.【解析】（1）设圆C的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2;(a>0,b>0)依题意得b=r=2a,所以圆C的方程为（x-a）2+（y-2a）2=4a2;
把点（1，0）坐标代入上式得（1-a）2+4a2=4a2，解得a=1
所以圆C的方程为（x-1）2+（y-2）2=4； ……4分
（2）直线l:kx-y-2k+1=0可化为k(x-2)-(y-1)=0, 又 ，
∴ ，解得 ， ∴直线l恒过定点. 而（2-1）2+（1-2）2<4，所以定点在圆内，故直线l:kx-y-2k+1=0与圆C相交; ……8分
（3）由题意，直线被圆C截得弦长最短时CA┴l,所以kl.KCA=-1,即得k=1,故l的方程为y=x-1,化为一般式为x-y-1=0. ……10分
圆心到l的距离为弦长为 ……12分
21.【答案】(1)证明见解析； (2) .
【解析】解法一：(1)依题意， 平面 ，且四边形 是正方形.
以A为原点，分别以 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， .取 的中点M，连接 .
，则 ，……3分
∴ ，∴ ， ……5分
又∵ 平面 平面 ，∴ 平面 ……6分
解法二：连接AC，设AC与BD相交于O,取PC中点M,连MO，则MO=PA=EB且MO||PA||EB,所以四边形BOME为平行四边形，因此EM||BD ……3分
又∵ 平面 平面 ，∴ 平面 ……6分
(2) ，F为 的中点，
则 ， ， ， .
又 ， 平面 ，故 为平面 的一个法向量， ……8分
设平面 的法向量为 ，因为 ，
，即 ，令 ，得 ， ，
故 . ……10分
设二面角 的大小为 ，则 ，
由图知，所求二面角为钝角，所以二面角 的大小是 ……12分
22.【答案】(1) ；
(2) ， 面积的最大值为1.
【解析】(1)设椭圆 的半焦距为 .因为 的周长为 ，
所以 ，①
因为椭圆 的离心率为 ，所以 ，②由①②解得 ， .
则 .所以椭圆 的方程为 ……4分
(2)设 ， ，
联立 ，消元得 ，
当 ，即 时，
则 ， ，则
，……6分
当 为定值时，即与 无关，故 ，得 ，…8分
此时 ，
又点 到直线 的距离 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，……10分
经检验，此时 成立，
所以 面积的最大值为1 ……12分2023年12月十堰市区县普通高中联合体月度联考
高二数学试卷
考试时间：2023年12月28日下午14：30一16：30
试卷满分：150分
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时必须使用2B铅笔，将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有題目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题的四个选项中，只有一个符合本题
要求。
1.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，
甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙
表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，
则
-d
()
A.甲与丙相互独立
B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立
D.丙与丁相互独立
2.若直线l∥a,且l的方向向量为(2，m,1),平面a的法向量为(1，一1,2)，则m的值为(
A.4
B.-6
C.-8
D.8
3.笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即文房四宝.“笔、墨、纸、砚”之名，起源于南北朝时
期.历史上，“笔、墨、纸、砚”所指之物屡有变化.在宋朝时，“笔、墨、纸、砚”特指宣笔（安徽
宣城)、徽墨（安徽徽州联县）宣纸（安徽宣城泾县）、锨砚（安徽徽州歙县）、祧砚（甘肃卓尼
县)、端砚（广东肇庆，古称端州）.若从宋朝特指的六种文书工具中任取两种，则恰好这两
种都是产自安徽的概率为
A号
B号
c号
D.
4.到直线3x一4y一11=0的距离为1的直线方程为
r
A.3x-4y-1=0
B.3x-4y-6=0或3x-4y-16=0
C.3x-4y+1=0或3x-4y-1=0
D.3x-4y+16=0或3.x-4y-3=0
5.已知直线l1:ax-y+1=0,l2:x+ay十1=0，a∈R,以下结论正确的是
()
A.不论a为何值，1与L2都互相垂直；
B.当a变化时，l1与l2都互相平行；
C.a=1时，l1与l2关于y轴对称；
D.直线l1与圆x2+y2=1不能相切
6.已知双曲线若-苦=1(a>0,6>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆
(x一2)2十y2=3相切，则双曲线的方程为
()
A-若-1
B-苦=1
c号-y-1
D.2
高二数学考试第1页·共4页
