(共34张PPT)
1.1 集合的概念与表示
第1课时 集合的概念
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
课标定位
素养阐释
1.通过实例了解集合的含义.
2.理解集合中元素的特征,并能利用它们进行解题.
3.掌握元素与集合的关系,并能用符号“∈”或“ ”来表示.
4.掌握数学中一些常见的集合及其记法.
5.体会数学抽象的过程,提升逻辑推理的核心素养.
自主预习·新知导学
一、集合的概念
【问题思考】
1.阅读下面的语句,并回答提出的问题:
①平面内到定点O的距离等于定长d的所有的点;
②方程x2-1=0的所有实数根;
③著名的科学家.
(1)以上各语句中要研究的对象分别是什么
(2)哪个语句中的对象不确定 为什么
提示:(1)分别为点,实数根,科学家.
(2)③中的对象不确定.因为“著名”没有明确的划分标准.
2.一般地,我们把指定的某些对象的全体称为集合,通常用大写英文字母A,B,C,…表示.
集合中的每个对象叫作这个集合的元素,通常用小写英文字母a,b,c,…表示.
3.下列各组对象不能组成集合的是( )
A.大于6的所有整数
B.高一数学课本中所有的简单题
C.被3除余2的所有正整数
D.函数y=x图象上所有的点
答案:B
二、元素与集合的关系
【问题思考】
1.设集合A表示“1~10之间的所有素数”,3和4与集合A是何关系
提示:3是集合A的元素,即3属于集合A,记作3∈A;4不是集合A的元素,即4不属于集合A,记作4 A.
2.如果元素a在集合A中,就说元素a属于集合A,记作a∈A;如果元素a不在集合A中,就说元素a不属于集合A,记作a A.
三、集合中元素的性质
【问题思考】
1.构成英文单词good的所有字母能否组成一个集合 如果能组成一个集合,该集合中有几个元素 为什么
提示:能.因为集合中的元素是明确的(确定性).该集合有三个元素.因为集合中的元素必须是不同的(互异性).
2.某班所有头发较长的同学能否组成一个集合 某班身高高于175 cm的男生能否组成一个集合 集合元素确定性的含义是什么
提示:某班所有头发较长的同学不能组成集合,因为“头发较长”无明确的标准.某班身高高于175 cm的男生能组成一个集合,因为标准确定.集合元素确定性的含义:集合中的元素必须是确定的,也就是说,一个集合确定后,任何一个对象是或不是这个集合的元素就确定了.
3.(1)抽象概括:一个集合确定后,任何一个对象是或不是这个集合的元素就确定了.
(2)规定:一个集合中的任何两个元素都不相同.也就是说,集合中的元素没有重复.
(3)概括:集合中元素具有确定性、互异性、无序性.
四、常用的数集及其记法
【问题思考】
1.非负整数集与正整数集有何区别
提示:非负整数集包括0,而正整数集不包括0.
2.填表:
3.若a∈Q,则一定有a∈R吗 反过来呢
提示:若a∈Q,则一定有a∈R;反过来,若a∈R,但不一定有a∈Q.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)某服装店所有漂亮的衣服能组成一个集合.( × )
(2)方程x2-2x+1=0的解集中含有两个元素.( × )
(3)0∈N+.( × )
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一 集合的概念
【例1】 (多选题)下列各组对象能组成一个集合的是( ).
A.某校园中所有较高的树
B.平面直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C.不小于10的自然数
D.所有的等边三角形
解析:A中“较高”没有明确的标准,所以不能组成一个集合; B,C,D中的对象都满足集合中元素的确定性,所以能组成集合.
答案:BCD
一般地,要确认一组对象a1,a2,a3,…,an能不能组成集合的过程为
【变式训练1】 (多选题)下列说法正确的有( ).
A.所有素数能组成一个集合
B.数轴上的一些点能组成一个集合
C.正偶数的全体可以组成一个集合
D.大于4 020且小于4 024的所有整数不能组成一个集合
解析:A中“素数”具有确定性,能组成集合,故正确;B中“一些点”的标准不明确,不能组成集合,故错误;C中“正偶数”具有确定性,可组成集合,故正确;D中满足条件的整数有2 021,
2 022,2 023,具有确定性,能组成集合,故错误.
答案:AC
探究二 元素与集合的关系
答案:ACD
判断元素与集合关系的两种方法
(1)直接法:如果集合中的元素是直接给出的,只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.
(2)推理法:对于一些没有直接表示出来元素的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可,此时应明确已知集合中的元素具有什么特征.
探究三 集合中元素的性质
【例3】 已知集合A中含有两个元素a和a2,若1∈A,求实数a的值.
分析:1∈A→a=1或a2=1→验证互异性
解:因为1∈A,所以a=1或a2=1,即a=±1.当a=1时,a=a2,集合A中只有一个元素,所以a≠1;当a=-1时,集合A中含有两个元素1,-1,符合集合中元素的互异性,所以a=-1.
1.本例中若去掉条件“1∈A”,其他条件不变,则实数a的取值范围是什么
解:由题意a和a2组成含有两个元素的集合,则a≠a2,解得a≠0且a≠1.
2.本例中若将条件“1∈A”改为“2∈A”,其他条件不变,求实数a的值.
3.已知集合A中含有三个元素a+1,3a,a2+1,若1∈A,求实数a的值.
根据集合中元素的特征求解参数的值或取值范围的基本步骤
易 错 辨 析
因忽视集合中元素的互异性致误
【典例】 方程x2-(a+1)x+a=0的解集中有几个元素
错解 x2-(a+1)x+a=(x-a)(x-1)=0,所以方程的解为x1=1,x2=a,则方程的解集中有两个元素1,a.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:以上错解中没有注意到字母a的取值是不确定的.事实上,当a=1时,不满足集合中元素的互异性.
正解:因为x2-(a+1)x+a=(x-a)·(x-1)=0,
所以方程的解为x1=1,x2=a.
若a=1,则方程的解集中只有一个元素1;若a≠1,则方程的解集中有两个元素1,a.
1.先解方程得到x的值,再根据元素的互异性进行检验.
2.在解方程求得x的值后,常因忘记验证集合中元素的互异性,而造成错误.
【变式训练】 若以方程x2-5x+6=0和x2-x-2=0的解为元素组成集合M,则M中元素的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:方程x2-5x+6=0有两个不同的解x1=2,x2=3,方程x2-x-2=0有两个不同的解x3=-1,x4=2,其中2是两个方程相同的解,在集合M中作为一个元素,故M中共有3个元素.
答案:C
随 堂 练 习
1.下列各选项中所述对象可以组成集合的是( )
A.相当大的数
B.本班视力较好的学生
C.平面内到△ABC三个顶点距离相等的点
D.有趣的游戏
解析:A中“相当大”这个词界限不确定,不明确哪些元素在该集合中,故选项A中的对象不能组成集合;同样选项B,D中的对象也不能组成集合,故选C.
答案:C
2.设集合A中只含有一个元素a,则有( )
A.0∈A B.a A C.a∈A D.a=A
解析:∵集合A中只含有一个元素a,
∴a属于集合A,即a∈A.
答案:C
3.由x2,x3组成一个集合A,A中含有两个元素,则实数x的取值可以是( )
A.0 B.-1 C.1 D.-1或1
解析:验证法:若x=0,则x2=0,x3=0,不合题意;
若x=1,则x2=1,x3=1,不合题意;
若x=-1,则x2=1,x3=-1,符合题意,故选B.
答案:B
答案:(1) ∈ ∈ (2) ∈ ∈
解:当a=0时,四个数都为0,故集合中只含有一个元素.
当a≠0时, =|a|;
若a>0,则|a|=a.
若a<0,则|a|=-a.
故当a≠0时,集合中含有两个元素a,-a.
所以集合中最多含有两个元素.(共45张PPT)
1.1 集合的概念
第2课时 集合的表示
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
课标定位
素养阐释
1.掌握用列举法、描述法表示集合,并能够运用两种表示方法表示一些简单的集合.
2.在具体问题情境中,了解空集的含义及表示.
3.了解区间的含义,能用区间表示集合.
4.体会数学抽象的过程,加强抽象概括、数学运算素养的培养.
自主预习·新知导学
一、集合的表示
【问题思考】
阅读下面的语句,并回答提出的问题:
学习了集合的概念后,老师布置了一道作业题:把所有满足不等式3x-1<2x+9的正整数解用集合表示.洋洋、笑笑、婷婷三名同学给出了三个不同的答案,结果如表1-1-2.
姓名 答案
洋洋 {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
笑笑 {x≤9,x∈N+}
婷婷 {x∈N+|x≤9}
1.洋洋的答案是否正确 他用了什么方法表示
提示:正确,他是先解不等式,再找出正整数解,最后用列举法表示.
2.笑笑和婷婷的答案是否正确 若正确,是用什么方法表示的
提示:婷婷的答案是正确的,是用描述法表示的.笑笑的答案是错误的.
3.表示集合的常用方法
(1)列举法:把集合中的元素一一列举出来写在花括号“{ }”内表示集合的方法,一般可将集合表示为{a,b,c,…}.
【特别提示】用列举法表示集合时,元素排列的顺序可以不同.如{1,2,3}与{2,1,3}表示同一个集合.
(2)描述法:通过描述元素满足的条件表示集合的方法.一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件},即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围,再画一条竖线“|”,在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征.
4.由大于-1小于5的自然数组成的集合,用列举法表示为 ,用描述法表示为 .
解析:大于-1小于5的自然数有0,1,2,3,4,故用列举法表示为{0,1,2,3,4};用描述法可用x代表元素,其范围及满足的条件分别是x∈N,-1
答案:{0,1,2,3,4} {x∈N|-1二、集合的分类
【问题思考】
1.集合{x|x2-3x+2=0},{(x,y)|y=3x+1,x∈R},{x∈R|x2+2<0}中分别有多少个元素
提示:分别有两个,无数个,0个元素.
2.不含任何元素的集合叫作空集,记作 ;含有有限个元素的集合叫作有限集;含有无限个元素的集合叫作无限集.
3.有下列说法:
①0与{0}表示同一个集合;
②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1};
③方程(x-1)2(x-2)=0的所有解组成的集合可表示为{1,1,2};
④集合{x|4其中正确的说法是( ).
A.①和④ B.②和③
C.② D.以上四种说法都不对
解析:①0不是集合,所以①错误.②根据集合中元素的无序性可知,由1,2,3组成的集合表示为{1,2,3}或{3,2,1}均可以,所以②正确.③根据集合中元素的互异性可知,满足方程的解组成的集合为{1,2},所以③错误.④满足4答案:C
三、实数集的区间表示
【问题思考】
2.区间
【注意】(1)符号“∞”读作“无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”.
(2)区间是数集的另一种表示方法,区间的两个端点值必须保证左小、右大.
3.区间是数集的另一种表示方法,那么任何数集都能用区间表示吗
提示:不是任何数集都能用区间表示,如集合{0}就不能用区间表示.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)集合{(1,2)}与集合{(2,1)}表示同一集合.( × )
(2)集合{x2+1,1}中x的取值为任意实数.( × )
(3)用描述法表示方程x-1=0的解集为{1}.( × )
(4)集合{ }表示空集.( × )
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一 用列举法表示集合
【例1】 用列举法表示下列集合:
(1)不大于10的非负偶数组成的集合A.
(2)小于8的素数组成的集合B.
(3)方程2x2-x-3=0的实数根组成的集合C.
(4)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合D.
解:(1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10,
所以集合A={0,2,4,6,8,10}.
(2)小于8的素数有2,3,5,7,所以B={2,3,5,7}.
所以一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点为(1,4),
所以D={(1,4)}.
用列举法表示集合的四个注意点
(1)用列举法表示集合,要注意集合是数集还是点集,或其他形式的集合.
(2)元素与元素之间必须用“,”隔开.
(3)集合中的元素不能重复,且无顺序.
(4)集合中的元素不能遗漏.
【变式训练1】 用列举法表示下列集合:
(1)小于10的所有自然数组成的集合.
(2)单词look中的字母组成的集合.
解:(1)小于10的所有自然数有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,故用列举法表示为{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
(2)因为集合中的元素具有互异性,所以look中的字母组成的集合为{l,o,k}.
因为x为整数,所以x的取值为4,5,6,故所求集合为{4,5,6}.
探究二 用描述法表示集合
【例2】 用描述法表示下列集合:
(1)正偶数集;
(2)被3除余2的正整数的集合;
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.
解:(1)偶数可用式子x=2n,n∈Z表示,但此题要求为正偶数,故限定n∈N+,所以正偶数集可表示为{x|x=2n,n∈N+}.
(2)设被3除余2的数为x,则x=3n+2,n∈Z,但元素为正整数,故x=3n+2,n∈N,所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x=3n+2,n∈N}.
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点(x,y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即xy=0,故坐标轴上的点组成的集合可表示为{(x,y)|xy=0}.
用描述法表示集合应注意的三点
(1)用描述法表示集合,首先应弄清楚集合的属性,是数集、点集还是其他的类型.一般地,数用一个字母表示,而点则用一个有序数对来表示.
(2)用描述法表示集合时,若描述部分出现元素记号以外的字母,则要对新字母说明其含义或取值范围.
(3)多层描述时,应当准确使用“且”和“或”,所有描述的内容都要写在集合内.
【变式训练2】 用描述法表示下列集合:
(1)比1大且比10小的实数组成的集合;
(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合.
解:(1){x∈R|1(2)集合的代表元素是点,用描述法可表示为{(x,y)|x<0,且y>0}.
探究三 用区间表示集合
【例3】 用区间表示下列集合:
(1){x|x>-1}= ; (2){x|2(3){x|x≤-3}= ; (4){x|2≤x≤4}= .
解析:(1)集合{x|x>-1}可用开区间表示为(-1,+∞);(2)集合{x|2答案:(1)(-1,+∞) (2)(2,5] (3)(-∞,-3] (4)[2,4]
用区间表示数集的注意点
(1)区间左端点值小于右端点值.
(2)区间两端数值之间用“,”隔开.
(3)含端点值的一端用中括号,不含端点值的一端用小括号.
(4)以“-∞”“+∞”为区间的一端时,则用小括号.
【变式训练3】 已知区间(4p-1,2p+1)为一确定区间,则实数p的取值范围是 .
解析:由题意知4p-1<2p+1,所以p<1,
即实数p的取值范围为(-∞,1).
答案:(-∞,1)
探究四 集合表示法的运用
【例4】 已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}.若A中只有一个元素,求实数a的值.
解:当a=0时,原方程变为2x+1=0,此时 ,符合题意.
当a≠0时,方程ax2+2x+1=0为一元二次方程,当Δ=4-4a=0,即a=1时,原方程的解为x1=x2=-1,符合题意.
故a=0或a=1.
1.本例中若A中最多有一个元素,其余不变,求实数a的取值范围.
解:A中最多有一个元素,即A中有一个元素或A中没有元素.当a≠0,且Δ=4-4a<0,即a>1时,原方程无实数解.结合例4的解题过程可知,当a=0或a≥1时,A中最多有一个元素.
2.本例中若A中至少有一个元素,其余不变,求实数a的取值范围.
解:A中至少有一个元素,即A中有一个或两个元素.
由a≠0,且Δ=4-4a>0,得a<1且a≠0,结合例4的解题过程可知, a≤1.
故当a≤1时,A中至少有一个元素.
集合与方程的综合问题的解题策略
(1)弄清方程与集合的关系,往往是用集合表示方程的解集,集合中的元素就是方程的实数根.
(2)当方程中含有参数时,一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围,必要时要分类讨论.
(3)求出参数的值或取值范围后要检验是否满足集合中元素的互异性.
易 错 辨 析
因忽视集合中代表元素的表示形式致误
【典例】 用列举法表示集合A={(x,y)|y=x2,-1≤x≤1,x∈Z}.
错解 由-1≤x≤1,x∈Z,得x=-1,0,1,分别代入y=x2,得y=1,0,1,故A={0,1}.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:错解误把点集当数集,与{y|y=x2,-1≤x≤1,x∈Z}混淆.
解集合问题时一定要弄清集合的本质是什么,而集合的本质取决于代表元素的表现形式,即弄清代表元素的特征.
答案:C
随 堂 练 习
答案:D
2.用列举法表示集合A={x∈N|-3≤x≤3}为( ).
A.{1,2,3}
B.{0,1,2,3}
C.{-2,-1,0,1,2}
D.{-3,-2,-1,0,1,2,3}
解析:因为x∈N,所以集合A表示-3到3的自然数组成的集合,故用列举法可表示为{0,1,2,3}.
答案:B
3.(多选题)下列元素属于集合M={(x,y)|x+y≤1,x∈N,y∈N}的有( ).
A.(0,0) B.(0,1)
C.(1,0) D.(2,-1)
解析:因为M={(x,y)|x+y≤1,x∈N,y∈N},
故M={(0,0),(0,1),(1,0)}.
答案:ABC
4.若(a,3a-1]为一确定区间,则实数a的取值范围是 .
5.用适当的方法表示下列集合:
(1)方程x(x2+2x+1)=0的解集;
(2)在自然数集中,小于1 000的奇数组成的集合.
解:(1)因为方程x(x2+2x+1)=0的解为x1=0,x2=x3=-1,
所以解集为{0,-1}.
(2)在自然数集中,奇数可表示为x=2n+1,n∈N,故在自然数集中,小于1 000的奇数组成的集合为{x|x=2n+1,n∈N且n<500}.(共45张PPT)
1.2 集合的基本关系
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合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
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课标定位
素养阐释
1.理解子集、真子集的概念及集合相等的含义.
2.掌握子集、真子集及集合相等的应用,会判断集合间的基本关系.
3.能使用Venn图表达集合的基本关系.
4.通过本节的学习,能识别并判断集合的关系,提升逻辑推理及数学抽象素养.
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一、元素与集合的相关概念
【问题思考】
1.阅读下面的语句,并回答提出的问题:
观察下列各组集合:
①A={1,2,3};B={1,2,7};C={1,2,3,4,5}.
②P={x|x是马};Q={x|x是黑马}.
(1)集合A,B,C中的元素有关系吗
提示:有关系.集合A中的每一个元素都属于集合C,集合B中的元素1,2属于集合C,元素7不属于集合C.
(2)集合P与集合Q中的元素有关系吗
提示:有关系.集合Q中的每一个元素都属于集合P.
2.子集的概念:一般地,对于两个集合A与B,如果集合A中的
任何一个元素都属于集合B,即若a∈A,则a∈B,那么称集合A是集合B的子集,记作A B(或B A),读作“A包含于B”(或“B包含A”).
二、子集的性质
【问题思考】
1.已知集合A={x|(x-1)2=0},B={1,2,3},C={1,2,3,4},请问集合A与B,B与C,A与C之间是什么关系
提示:由题意,知A={1}.根据集合的关系,可知A B,B C,A C.
2.子集的有关性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集,即A A.
(2)规定:空集是任何集合的子集,也就是说,对于任意一个集合A,都有 A.
(3)对于两个集合A与B,如果集合A是集合B的子集,且集合B也是集合A的子集,那么称集合A与集合B相等,记作A=B.
【拓展】对于集合A,B,C,如果A B,且B C,那么A C.
3. 与{0}有什么区别
提示: 是不含任何元素的集合,{0}是含有一个元素0的集合, {0}.
三、Venn图
【问题思考】
1.下列集合是什么关系 能不能用图形表示它们的关系
(1)A={1,2},B={x|x2-3x+2=0};
(2)M={x|x是平行四边形},N={x|x是矩形}.
提示:(1)解x2-3x+2=0得x=1或x=2,故B={1,2},所以A=B;
(2)N M.可以用图形表示它们的关系如图.
2.Venn图
为了直观地表示集合间的关系,常用平面上封闭曲线的内部表示集合,称为Venn图.
3.能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的Venn图是( ).
解析:由x2-x=0得x=1或x=0.
故N={0,1},所以N M,其对应的Venn图如题中选项B所示.
答案:B
四、真子集
【问题思考】
1.集合B={1,2},集合C={x|(x2-2x)(x-1)=0}与集合A={0,1,2}的元素有何关系
提示:集合B中的元素都是集合A中的元素,但集合A中的元素0在集合B中没有.
由(x2-2x)(x-1)=0得x=0或x=1或x=2,则C={0,1,2},即集合A与C的元素完全相同.
2.对于两个集合A与B,如果A B,且A≠B,那么称集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A),读作“A真包含于B”(或“B真包含A”).
3.当集合A不包含于集合B(或集合B不包含集合A)时,记作A B(或B A).
4.列出集合A={0,1,2}的真子集.
提示:集合A={0,1,2}的真子集有 ,{0},{1},{2},{0,1},{1,2},{0,2}.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)任何集合都有两个子集.( × )
(2)已知集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A=B=C.( × )
(3)空集是任何集合的真子集.( × )
(4)集合A不能是其自身的真子集.( √ )
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一 子集的确定
【例1】 已知集合A满足{a,b} A {a,b,c,d},求满足条件的集合A.
解:由题意可知,集合A中一定含有元素a,b,对于c,d可能都不在集合A中,也可能只有1个在集合A中,故满足{a,b} A {a,b,c,d}的集合A有{a,b},{a,b,c},{a,b,d}.
求解有限集合的子集问题,关键有三点
(1)确定所求集合.
(2)合理分类,按照子集所含元素的个数依次写出.
(3)注意两个特殊的集合,即空集和集合本身.
注意:一般地,若集合A中有n(n∈N+)个元素,则其子集有2n个,真子集有(2n-1)个,非空真子集有(2n-2)个.
【变式训练1】 适合条件{1} A {1,2,3,4,5}的集合A的个数是( )
A.15 B.16
C.31 D.32
解析:满足条件的集合A有{1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,2,3}, {1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5}, {1,2,4,5},{1,3,4,5},共15个.
答案:A
探究二 集合间关系的判断
【例2】 指出下列各对集合间的关系:
(1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};
(2)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形};
(3)A={x|-1(4)M={x|x=2n-1,n∈N+},N={x|x=2n+1,n∈N+}.
解:(1)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是有序实数对,故集合A与B之间无包含关系.
(2)等边三角形是三边均相等的三角形,等腰三角形是有两边相等的三角形,故A B.
(3)集合B={x|x<5},在数轴上表示出集合A,B,如图.
由图可知A B.
(4)由列举法知M={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},故N M.
判断集合与集合间关系的常用方法:(1)列举观察法:当集合中元素个数较少时,可列举出集合中的全部元素得出集合之间关系.(2)集合元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系.(3)数形结合法:利用数轴或Venn图判断.若A B和A B同时成立,则A B更能准确表达集合A,B之间的关系.
【变式训练2】 (多选题)已知集合A={x|x2-9=0},则下列式子正确的有( ).
A.3∈A B.{-3}∈A
C. A D.{3,-3} A
解析:根据题意知,集合A={x|x2-9=0}={-3,3},对于A,由于3是集合A的元素,故正确;对于B,由于{-3}是集合,应有{-3} A,故错误;对于C,由于 A,故正确;对于D,由于{3,-3} A,故正确.
答案:ACD
探究三 集合相等
【例3】 已知集合A={1,1+a,1+2a},B={1,q,q2}.若A=B,求实数a,q的值.
分析:根据两集合相等,列出关于a,q的方程组,求出a,q,代入相应集合验证集合中元素是不是满足互异性,从而得解.
1.若两个集合相等,则所含元素完全相同,与顺序无关,但要注意检验,排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形.
2.若两个集合中的元素均有无限多个,要看两集合的代表元素是否一致,且看代表元素满足的条件是否一致,若均一致,则两集合相等.
3.另外证明两个集合相等的思路是证A B且B A.
答案:C
探究四 由集合间的关系求参数问题
【例4】 已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m-6≤x≤2m-1},若A B,求实数m的取值范围.
分析:根据集合关系把已知集合标在数轴上,然后建立不等式组求解.
1.本例中若将“A={x|-2≤x≤5},A B”改为“A={x|x<-2或x>5}, B A”,其余不变,求实数m的取值范围.
2.已知集合A={x|x2-2x-3=0},B={x|ax-2=0},且B A,求实数a的值.
解:A={x|x2-2x-3=0}={-1,3}.
当B= 时,ax-2=0无解,可得a=0.
当B≠ 时,由于B A,因此B={-1}或B={3}.
①当B={-1}时,由a×(-1)-2=0,可得a=-2;
1.求解集合中的参数问题,应先分析、化简每个集合,然后应用数形结合思想与分类讨论思想求解.
2.利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,特别要注意端点值的检验.
3.注意空集的特殊性,遇到“B A”时,若B为含字母参数的集合,一定要分“B= ”和“B≠ ”两种情形讨论.
【变式训练4】 已知集合A={x|-3易 错 辨 析
因忽视空集的特殊性致误
【典例】 已知集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},且B A,求实数m的值.
错解 A={x|x2+x-6=0}={-3,2}.
∵B A,
∴mx+1=0的解为x=-3或x=2.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:上述解法是初学者解此类题的典型错误解法.原因是考虑不全面,由集合B的含义及B A,忽略了集合B为 的可能,而漏掉解.
正解:A={x|x2+x-6=0}={-3,2}.
∵B A,
∴可以分以下情形讨论:当B= 时,有m=0,符合题意.
在解决此类问题时,若题目出现包含关系,应首先想到有没有出现 的可能.
【变式训练】 已知集合A={x|1随 堂 练 习
1.下列关系错误的个数是( )
①1∈{0,1,2};②{1}∈{0,1,2};③{0,1,2} {0,1,2};
④{0,1,2}={2,0,1};⑤{0,1} {(0,1)}.
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:①正确;因为集合{1}是集合{0,1,2}的真子集,所以不能用属于来表示,所以②错误;③正确,因为任何集合都是它本身的子集;④正确,因为集合元素具有无序性;因为集合{0,1}表示数集,它有两个元素,而集合{(0,1)}表示点集,它只有一个元素,所以⑤错误,所以错误的个数是2.故选B.
答案:B
2.集合A={x∈N|0≤x<3}的真子集的个数为( ).
A.4 B.7 C.8 D.16
解析:由题意,可得A={0,1,2},
其真子集为 ,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},共7个.
答案:B
3.若{1,2}={x|x2+bx+c=0},则( )
A.b=-3,c=2 B.b=3,c=-2 C.b=-2,c=3 D.b=2,c=-3
解析:依题意知,x1=1,x2=2是方程x2+bx+c=0的两个实数根,由根与系数的关系,得b=-3,c=2.
答案:A
4.已知集合U,S,T,F的关系如图所示,则下列关系正确的是( )
①S∈U;②F T;③S T;
④S F;⑤S∈F;⑥F U.
A.①③ B.②⑤ C.③④ D.③⑥
解析:元素与集合之间的关系才用∈,故①⑤错误;子集的区域要被全部涵盖,故②④错误,③⑥正确.
答案:D
5.已知集合A={x|x≥1,或x≤-2},B={x|x≥a},若B A,求实数a的取值范围.
解:在数轴上表示出集合A,B,如图所示.
若B A,则a≥1,
即实数a的取值范围是[1,+∞).(共39张PPT)
1.3 集合的基本运算
第1课时 交集与并集
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
课标定位
素养阐释
1.理解两个集合的交集和并集的定义,明确数学中的“且”“或”的含义.
2.能借助Venn图或数轴求两个集合的交集和并集.
3.能利用交集、并集的性质解决有关参数问题.
4.体会数学抽象的过程,加强直观想象与数学运算素养的培养.
自主预习·新知导学
一、交集
【问题思考】
1.观察集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},C={3,4}.思考下面的问题:
(1)集合A与集合B有公共元素吗 如果有,它们的公共元素组成的集合是什么
提示:有公共元素,它们的公共元素组成的集合是{3,4}.
(2)集合C中的元素与集合A,B有什么关系
提示:集合C中的所有元素都属于集合A,且属于集合B,即若x∈C,则x∈A,且x∈B.
2.交集
文字语言 由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合,叫作集合A与B的交集,记作A∩B,读作“ A交B ”
符号语言 A∩B={x|x∈A,且x∈B}
图形语言
3.已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=( )
A.{0,2} B.{1,2}
C.{0} D.{-2,-1,0,1,2}
答案:A
二、并集
【问题思考】
1.观察集合A={1,2,3},B={2,3,4},C={1,2,3,4},回答下面的问题:
(1)集合A,B中的元素与集合C的关系是什么
提示:通过观察可发现集合A中的所有元素都属于集合C;集合B中的所有元素都属于集合C.
(2)集合C中的元素与集合A中的元素和集合B中的元素有什么关系
提示:集合C中的元素由所有属于集合A或属于集合B的元素组成,即若x∈C,则x∈A或x∈B.
2.并集
文字语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,叫作集合A与B的并集,记作A∪B,读作“ A并B ”
符号语言 A∪B={x|x∈A,或x∈B}
图形语言
3.(1)集合A∪B={x|x∈A,或x∈B}中的“或”包含哪几种情况
(2)集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数之和 若不是,那么在什么条件下,集合A∪B的元素个数等于集合A与集合B的元素个数之和
提示:(1)集合中的“或”包含三种情况:①x∈A,且x B;②x∈B,且x A;③x∈A,且x∈B.
(2)不一定;当A∩B= 时.
三、交集与并集的运算性质
【问题思考】
1.交集与并集的运算性质
2.若A∩B= ,则A,B是否均为空集 若A∪B= 呢
提示:A∩B= 时,A,B可以为 ,也可以不为 ,如A={1,2},B={3,4},则A∩B= ,当A∪B= 时,A=B= .
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)当两个集合没有公共元素时,这两个集合的交集为 .( √ )
(2)已知集合A={x|x>1},B={x|x>0},则A∪B={x|x>0}.( √ )
(3)满足{1}∪B={1,2}的集合B的个数是1.( × )
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一 交集及其运算
【例1】 (1)设集合M={m∈Z|-3A.{0,1} B.{-1,0,1}
C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2}
(2)若集合A={x|1≤x≤3},B={x|x>2},则A∩B= .
解析:(1)由已知,得M={-2,-1,0,1},N={-1,0,1,2,3},
所以M∩N={-1,0,1}.故选B.
(2)如图,可得A∩B={x|2
答案:(1)B (2){x|2求集合交集的思路:
(1)识别集合:点集或数集;
(2)化简集合:明确集合中的元素;
(3)求交集:元素个数有限,利用定义或Venn图求解;连续数集,借助数轴求解.
【变式训练1】 (1)已知集合A={0,1,2,3},B={x|x-1>0},则A∩B=( )
A.{0,1,2,3} B.{1,2,3} C.{2,3} D.{3}
(2)已知集合A={x|x≥2,或-2解析:(1)集合A={0,1,2,3},B={x|x>1},则A∩B={2,3}.
(2)A∩B={x|x≥2,或-2答案:(1)C (2){x|x≥5,或x=2}
探究二 并集及其运算
【例2】 已知集合M={x|-35},则M∪N=( )
A.{x|x<-5,或x>-3} B.{x|-5C.{x|-35}
解析:在数轴上表示集合M,N,如图所示,则M∪N={x|x<-5,或x>-3}.
答案:A
求集合并集的两种基本方法:
(1)定义法:若集合是用列举法表示的,可以直接利用并集的定义求解;
(2)数形结合法:若集合是用描述法表示的由实数组成的数集,则可以借助数轴分析法求解.
【变式训练2】 已知集合M={x|-1A.(-∞,-1) B.(-1,2)
C.(-1,+∞) D.[0,+∞)
解析:∵M={x|-1∴M∪N={x|x>-1}.故选C.
答案:C
探究三 集合交、并运算的性质及综合应用
【例3】 已知集合A={x|-1分析:先转化已知条件→把集合A,B在数轴上表示出来→数形结合求解
解:∵A∩B=A,∴A B.
在数轴上表示出集合A,B,如图.
由图可知,a的取值范围为[1,+∞).
1.若将本例中的“A={x|-1解:由题意可在数轴上表示出集合A,B,如图.
由图可知,a的取值范围为(1,+∞).
2.若将本例中的“A∩B=A”改为“A∩B≠ ”,求实数a的取值范围.
解:A={x|-1由图可知,要使A∩B≠ ,需满足a>-1,
所以a的取值范围为{a|a>-1}.
3.本例中若把“集合B={x|x利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点
(1)方法:当题目中含有条件A∩B=A,A∪B=B时,常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析,将关系进行等价转化如:A∩B=A A B,A∪B=B A B等.
(2)关注点:当题目条件中出现B A时,若集合B不确定,解答时要注意讨论B= 和B≠ 的情况.
【变式训练3】 已知集合A={x|-3易 错 辨 析
集合运算中忽视空集致误
【典例】 已知集合M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax=1},若M∪N=M,则实数a的取值集合为 .
错解 由题意,可得M={-1,3},又M∪N=M,
∴N M.
∴N={-1}或N={3}.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:以上解答中漏掉了N= 的情况,由并集的定义可知M∪ =M.所以在求解本题时应对集合N分等于 与不等于 两种情况分类讨论.
正解:∵M∪N=M,∴N M,
∴可以分N= 和N≠ 两种情况讨论.
当N= 时,a=0;
当N≠ 时,由题意,可得M={-1,3},
当N={-1}时,把x=-1代入ax=1,得a=-1;
1.对于任意集合A,都有A∩ = .
2.对于任意集合A,都有A∪ =A.
因此题中若有A∩B=A,就要考虑集合A可能为 的情况;若有A∪B=A,就要考虑集合B可能为 的情况.
【变式训练】 已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|2x2-ax+2=0},若A∪B=A,求实数a的取值范围.
解:因为A∪B=A,所以B A.
由已知可得A={1,2}.
若1∈B,则2×12-a×1+2=0,
得a=4,当a=4时,B={1} A,符合题意.
若2∈B,则2×22-2a+2=0,得a=5.
所以a=5不符合题意.
若B= ,则a2-16<0,得-4随 堂 练 习
1.已知集合A={x|-2A.{x|0≤x<1} B.{x|-2C.{x|-2解析:在数轴上分别表示出集合A,B(图略),
得A∪B={x|-2答案:C
2.(多选题)设S={x|x<1,或x>5},T={x|aA.-2 B.-3 C.0 D.-1
解析:在数轴上表示集合S,T,如图所示.
因为S∪T=R,
故ACD正确.
答案:ACD
3.已知集合A={(x,y)|y=x+3},B={(x,y)|y=3x-1},则A∩B= .
答案:{(2,5)}
4.已知集合A={x|-1≤x<3},B={x|2x-4≥x-2}.
(1)求A∩B;
(2)若集合C={x|2x+a>0},且满足B∪C=C,求实数a的取值范围.(共37张PPT)
1.1 集合的概念
第2课时 全集与补集
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
课标定位
素养阐释
1.了解全集的定义和它的记法.理解补集的概念,能正确运用补集的符号和表示形式,会用图形表示一个集合及其子集的补集.
2.会求一个给定集合在全集中的补集,并能解答简单的应用题.
3.体会数学抽象的过程,提升数学运算、逻辑推理的素养.
自主预习·新知导学
一、全集的含义
【问题思考】
1.根据方程(x-3)(x2-2)=0在不同范围内的解集,回答下面的问题:
(1)该方程在有理数集内的解集为 ;在实数集内的解集为 .
(2)问题(1)中在有理数集范围内或在实数集范围内的含义是什么
提示:有理数集范围内或实数集范围内是指所研究问题的集合是给定的有理数集或实数集的子集.
2.全集的定义
定义:在研究某些集合的时候,它们往往是某个给定集合的子集,这个给定的集合叫作全集,常用符号 U 表示.
二、补集的概念
【问题思考】
1.观察下面三个集合:A={1,2,3,4},B={5,6,7,8},U={1,2,3,4,5,6,7,8}.回答下面的问题.
(1)集合A,B,U有什么关系
提示:A U,B U,A∪B=U.
(2)B中元素与U和A有什么关系
提示:B中元素都属于集合U,它是由U中不属于集合A的元素组成的.
2.
设U是全集,A是U的一个子集(即A U),则由U中所有不属于A的元素组成的集合,叫作U中子集A的补集,记作 UA,即 UA={x|x∈U,且x A}.用Venn图表示为
3.已知全集U={0,1,2},且 UA={2},则A=( ).
A.{0} B.{1}
C. D.{0,1}
答案:D
三、补集的性质
【问题思考】
1.设集合A={1,2},那么相对于集合M={0,1,2,3}和N={1,2,3}, MA和 NA相等吗 由此说说你对全集与补集的认识.
提示: MA={0,3}, NA={3}, MA≠ NA.补集是一个相对的概念,研究补集必须在全集的条件下研究,而全集因研究问题不同而不同,同一个集合相对于不同的全集,其补集也就不同.
2.补集的性质
(1)A∪( UA)=U;
(2)A∩( UA)= ;
(3) UU= , U =U, U( UA)= A ;
(4)( UA)∩( UB)= U(A∪B);
(5)( UA)∪( UB)= U(A∩B).
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)全集一定是实数集R.( × )
(2)若A B U,则 UA UB.( √ )
(3)若集合A={3,4,m},B={3,4}, AB={5},则m=5.( √ )
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一 补集的运算
【例1】 (1)设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},则 UA= .
(2)若全集U=R,集合A={x|x≥1},则 UA= .
解析:(1)∵U={1,2,3,4,5},A={1,2},∴ UA={3,4,5}.
(2)由补集的定义,结合数轴(图略)可得 UA={x|x<1}.
答案:(1){3,4,5} (2){x|x<1}
根据补集的定义,当集合中的元素离散时,可借助Venn图求解;当集合中的元素是连续的数集时,可借助数轴求解.
【变式训练1】 已知全集U={x|x≥-3},集合A={x|-3解析:借助数轴(图略)得 UA={x|x=-3,或x>4}.
答案:{x|x=-3,或x>4}
探究二 集合交、并、补的综合运算
【例2】 (1)已知全集U={x∈N+|x≤9},集合A={1,2,3}, B={3,4,5,6},则 U(A∪B)=( ).
A.{3} B.{7,8}
C.{7,8,9} D.{1,2,3,4,5,6}
解析:全集U={x∈N+|x≤9}={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
∵集合A={1,2,3},B={3,4,5,6},
∴A∪B={1,2,3,4,5,6},∴ U(A∪B)={7,8,9}.故选C.
答案:C
(2)已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2解:在数轴上分别表示出全集U及集合A,B,如图.
则A∩B={x|-2所以( UA)∪B={x|x≤2,或3≤x≤4};A∩( UB)={x|21.如果所给集合为有限集,先确定全集,并将其余集合中的元素一一列举出来,然后结合交、并、补集的定义求解,也可借助Venn图求解.
2.如果所给集合为无限集,那么常借助数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后再根据交、并、补集的定义求解.需要注意的是端点值的取舍问题.
3.解决集合的混合运算时,一般先计算括号内的部分,再计算其他部分,如本例(2)求( UA)∪B时,可先求出 UA,再求并集.
【变式训练2】 设全集为R,集合A={x|3≤x<7},B={x|2解:全集R和集合A,B在数轴上表示如下.
由图知,A∪B={x|2所以 R(A∪B)={x|x≤2,或x≥10},
( RA)∩B={x|2探究三 与集合基本运算有关的参数的求解
【例3】 设全集U=R,A={x|x+m≥0},B={x|-2解法1:由题意得, UA={x|x<-m},又B={x|-2
结合数轴可知-m≤-2,所以m≥2.
故实数m的取值范围是[2,+∞).
解法2:由题意得,A={x|x≥-m}.
由( UA)∩B= ,得B A.
在数轴上表示出集合A,B,如图.
由数轴可知,-m≤-2,即m≥2.
故实数m的取值范围为{m|m≥2}.
1.若将本例中“( UA)∩B= ”改为“( UA)∩B=B”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
解:由已知得 UA={x|x<-m},B UA.所以-m≥4,解得m≤-4.
故实数m的取值范围为(-∞,-4].
2.若将本例中“( UA)∩B= ”改为“( UB)∪A=R”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
解:由已知得,A={x|x≥-m},B A,所以-m≤-2,解得m≥2.
故实数m的取值范围为[2,+∞).
3.若将本例中“( UA)∩B= ”改为“( UA)∩B≠ ”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
解:由已知得 UA={x|x<-m},因为( UA)∩B≠ ,结合数轴(如图),
得-m>-2,即m<2.
故实数m的取值范围为(-∞,2).
【变式训练3】 设全集为R,集合A={x|a≤x≤a+3}, RB={x|-1≤x≤5}.
(1)若A∩B≠ ,求a的取值范围;
(2)若A∩B≠A,求a的取值范围.
解:因为全集为R, RB={x|-1≤x≤5},所以B={x|x<-1,或x>5}.
所以当A∩B≠ 时,a的取值范围是{a|a<-1,或a>2}.
(2)假设A∩B=A,则A B,结合数轴,得a+3<-1,或a>5,解得a<-4,或a>5.
所以当A∩B≠A时,a的取值范围是{a|-4≤a≤5}.
易 错 辨 析
忽视集合与全集的关系致误
【典例】 设全集U={2,3,a2+2a-3},A={|2a-1|,2}, UA={5},求实数a的值.
错解 因为 UA={5},所以5∈U,且5 A,所以a2+2a-3=5,且|2a-1|≠5,解得a=2或a=-4,即实数a的值是2或-4.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:本题解答错误在于没有验证A U.集合A的元素|2a-1|是由a确立的.
正解:同错解先求出a=2或a=-4.事实上,当a=2时,|2a-1|=3, A={2,3},符合题意,而当a=-4时,A={9,2},不是U的子集,应舍去.因此a=2.
全集主要在与补集有关的问题中用到,要注意它是求补集的条件,研究补集问题需先确定全集,此外要注意集合元素的互异性.
【变式训练】 已知集合U={n|n是小于9的正整数}, A={n∈U|n是奇数},B={n∈U|n是3的倍数},则 U(A∪B)= .
解析:由题意知U={n|n是小于9的正整数}={1,2,3,4,5,6,7,8},
则A={n∈U|n是奇数}={1,3,5,7},B={n∈U|n是3的倍数}={3,6},
所以A∪B={1,3,5,6,7},所以 U(A∪B)={2,4,8}.
答案:{2,4,8}
随 堂 练 习
1.设全集U={x|x≥0},集合P={1},则 UP等于( )
A.{x|0≤x<1,或x>1} B.{x|x<1}
C.{x|x<1,或x>1} D.{x|x>1}
解析:因为U={x|x≥0},P={1},
所以 UP={x|x≥0,且x≠1}={x|0≤x<1,或x>1}.
答案:A
2.若全集U={1,2,3,4,5},且 UA={x∈N|1≤x≤3},则集合A的真子集共有( ).
A.3个 B.4个 C.7个 D.8个
解析:根据题意,全集U={1,2,3,4,5},且 UA={x∈N|1≤x≤3} ={1,2,3},则A={4,5},故A的真子集有 ,{4},{5},共3个.
答案:A
3.如图所示,已知全集U={1,2,3,4,5},M={1,2,3},N={2,5},则阴影部分表示的集合是( ).
A.{3,4,5} B.{1,3,4}
C.{1,3} D.{3,4}
解析:因为N={2,5},U={1,2,3,4,5},
所以 UN={1,3,4},
则M∩( UN)={1,3},
即阴影部分表示的集合为{1,3}.
答案:C
4.已知U={x|x>0},A={x|2≤x<6},则 UA= .
解析:如图,分别在数轴上表示出集合U,A,则由补集的定义可知, UA={x|0
答案:{x|05.设全集U=R,集合A={x|1≤x≤3},B={x|2a(1)当a=1时,求( UA)∩B;
(2)若( UA)∩B=B,求实数a的取值范围.
解:(1)当a=1时,B={x|2又A={x|1≤x≤3},
∴ UA={x|x<1,或x>3}.
∴( UA)∩B={x|3(2)∵( UA)∩B=B,
∴B UA.
当B= 时,有2a≥a+3,解得a≥3;
当B≠ 时,在数轴上表示出集合B, UA,如图,(共32张PPT)
2.1 必要条件与充分条件
第1课时 必要条件与充分条件
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
课标定位
素养阐释
1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系.
2.通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系.
3.通过必要条件与充分条件的判断,提升逻辑推理素养,借助必要条件与充分条件的应用,提升数学运算素养.
自主预习·新知导学
一、必要条件与性质定理
【问题思考】
1.古时候有个卖油郎.一天,他在卖油回家的路上捡到30两银子,回家后其母亲要求他把银子还给失主.当卖油郎把银子还给失主时,失主却说自己丢了50两银子,要卖油郎拿出自己私留的20两银子.两人为此争执不休,告到县衙.县令听了两人的供述后,把银子判给卖油郎,失主含羞离去.
设A:卖油郎拾到30两银子,失主丢失50两银子.
B:卖油郎所拾银子不是失主所丢.
县令由A得出什么结论 它是A的什么条件
提示:B,必要条件.
2.必要条件的含义
一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称q是p的必要条件.也就是说,一旦q不成立,p一定也不成立,即q对于p的成立是必要的.
3.p:a<1,q:|a|<1,则p是q的 条件.
解析:∵a≤|a|<1,∴|a|<1 a<1,
∴p是q的必要条件.
答案:必要
二、充分条件与判定定理
【问题思考】
有一个圆A,在其内又含有一个圆B.请回答:
(1)“点在圆A内”是“点在圆B内”的什么条件
提示:点在圆B内,能推出点在圆A内,故“点在圆A内”是“点在圆B内”的必要条件.
(2)“点在圆B内”是“点在圆A内”的什么条件
提示:因为点在圆B内 点一定在圆A内,所以“点在圆B内”是“点在圆A内”的充分条件.
2. 充分条件的含义
一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称p是q的充分条件.
3.(1)若p是q的充分条件,这样的条件p唯一吗
提示:不唯一.例如“p:x>1”是“q:x>0”的充分条件,p还可以是“x>2”“x>3”或“2(2)“若p,则q”为真命题,则p是q的什么条件
提示:充分条件.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)当p是q的必要条件时,也可以说成q成立则必有p成立.( √ )
(2)若p是q的充分条件,则p成立,一定有q成立.( √ )
(3)若p q,则p一定不是q的充分条件.( √ )
(4)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.( × )
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一 必要条件
【例1】 将下面的性质定理写成“若p,则q”的形式,并用必要条件的语言表述.
(1)矩形的对角线相等;
(2)正方形的四条边相等.
解:(1)原命题可表述为“若一个四边形是矩形,则该四边形的对角线相等”,所以“四边形的对角线相等”是“该四边形是矩形”的必要条件.
(2)原命题可表述为“若一个四边形是正方形,则这个四边形的四条边相等”,所以“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的必要条件.
当一个命题的条件和结论不明显时,可以把它的表述适当改变,再写成“若p,则q”的形式,然后根据必要条件与命题的关系判断.
【变式训练1】 把下列命题写成“若p,则q”的形式,并用必要条件的语言表述.
(1)实数的平方是非负数;
(2)等底等高的两个三角形面积相等.
解:(1)原命题可以写成:若一个数是实数,则它的平方是非负数.所以“一个数的平方是非负数”是“这个数是实数”的必要条件.
(2)原命题可以写成:若两个三角形等底等高,则这两个三角形面积相等.
所以“两个三角形面积相等”是“这两个三角形等底等高”的必要条件.
探究二 充分条件
【例2】 用充分条件的语言表述下列命题:
(1)若p:m<-2,则q:方程x2-x-m=0无实数根;
(2)若m是有理数,则m是实数;
(3)若a=-b,则a2=b2.
解:(1)“p:m<-2”是“q:方程x2-x-m=0无实数根”的充分条件.
(2)“m是有理数”是“m是实数”的充分条件.
(3)“a=-b”是“a2=b2”的充分条件.
判断充分条件的方法:(1)先确定命题的条件和结论,同时判断此命题的真假,若命题为真时是充分条件,为假时不是充分条件.(2)根据定义判断.
【变式训练2】 用充分条件的语言表述下面的命题:
(1)四条边相等的四边形是菱形;
(2)若Δ>0,则一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根.
解:(1)“若一个四边形四条边相等”是“该四边形是菱形”的充分条件.
(2)“Δ>0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根”的充分条件.
探究三 充分条件、必要条件的应用
【例3】 是否存在实数p,使“4x+p<0”是“x>2或x<-1”的充分条件 若存在,求出p的取值范围;若不存在,请说明理由.
应用充分条件和必要条件的两个思路
(1)确定条件与结论:确定p和q谁是条件,谁是结论.
(2)“ ”符号的应用:若p q,则p是q成立的充分条件;若q p,则p是q成立的必要条件.
提醒:应用充分条件和必要条件,主要看能否得到p q和q p.
【变式训练3】 已知p:-4解:由-4又q是p的充分条件,则有{x|2易 错 辨 析
因对充分条件、必要条件的概念理解不清致误
【典例】 已知p:-10)是p的一个必要条件,求实数a的取值范围.
错解 依题意,得{x|-10).
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:分不清条件和结论,或对必要条件的概念理解不清,把必要条件当充分条件致误.必要条件是由结论推条件,充分条件由条件推结论,解题时要注意区分.
正解:由-a0),解得1-a0).
依题意,得{x|-10).
故实数a的取值范围是[2,+∞).
在判断充分条件、必要条件时,要特别注意哪一个是“条件”,哪一个是“结论”,否则将犯“张冠李戴”的错误.需注意:若p是q的……条件,则p是条件,q是结论;若p的……条件是q,则p是结论,q是条件.
【变式训练】 已知非空集合A={x|2随 堂 练 习
1.“x<0,或x>4”的一个必要条件是( )
A.x<0 B.x>4
C.x<0,或x>2 D.x<-1,或x>5
解析:当x<0,或x>4时一定有x<0,或x>2.故选C.
答案:C
2.“x2=4”是“x=m”的必要条件,则m的一个值可以是( )
A.0 B.2 C.4 D.16
解析:由“x=2”能得出“x2=4”,选项B正确.
答案:B
答案:AC
4.下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的充分条件的命题个数为( ).
①若y是x的二次函数,则y=x2;
②若x>5,则x>2;
③若x2-9=0,则x=3.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:①y=x2 y是x的二次函数,∴p是q的必要条件;
②x>5 x>2,∴p是q的充分条件;
③x2-9=0 x=3,∴p是q的必要条件.故选B.
答案:B
5.下面四个条件中,使“a>b”成立的充分条件是 . (填序号)
①a>b-1;②a>b+1;③a2>b2;④a3>b3.
解析:取a=0.5,b=1,则a>b-1,但ab+1时,因为b+1>b,所以a>b成立,故“a>b+1”是“a>b”成立的充分条件,②符合题意;取a=-2,b=1,满足“a2>b2”,但“a>b”不成立,故“a2>b2”不是“a>b”成立的充分条件,故③不符合题意;根据立方的意义,当“a3>b3”成立时,必定有“a>b”成立,故“a3>b3”是“a>b”成立的充分条件,④符合题意.
答案:②④(共40张PPT)
2.1 必要条件与充分条件
第2课时 充要条件
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
课标定位
素养阐释
1.理解充要条件的意义.
2.掌握充分、必要、充要条件的应用.
3.区分充分条件但不是必要条件、必要条件但不是充分条件.
4.体会抽象概括的过程,加强逻辑推理素养的培养.
自主预习·新知导学
一、充要条件的含义
【问题思考】
1.(1)已知p:整数a是6的倍数,q:整数a是2和3的倍数.请判断:p是q的充分条件吗 p是q的必要条件吗
提示:因为p q,所以p是q的充分条件.
又q p,所以p是q的必要条件.
(2)通过问题(1)的判断,你发现了什么 这种关系是否对任意一个“若p,则q”的命题只要具备上述命题的条件都成立 你能用数学语言概括出来吗
提示:可以发现p既是q的充分条件,又是q的必要条件,且这种关系对“若p,则q”的命题只要具备p q,且q p都成立,即p q.
2.抽象概括
一般地,如果 p q ,且 q p ,那么称p是q的充分且必要条件,简称p是q的充要条件,记作 p q .
3.符号“ ”的含义是什么
提示:符号“ ”的含义是“等价于”.
二、充分条件、必要条件、充要条件的判断
【问题思考】
1.观察两个集合A={x|x>0}和B={x|x>1},
(1)集合A,B满足什么关系
(2)若p:x>0,q:x>1,则p是q的什么条件
提示:(1)B A.
(2)p是q的必要条件.
2.若p不是q的充分条件,则q可能是p的必要条件吗 p可能是q的必要条件吗
提示:充分条件与必要条件是共存的,如果p不是q的充分条件,则q也不是p的必要条件.但p可能是q的必要条件.
3.充分条件、必要条件的判断,如表.
提示:充分条件,但不是必要条件 必要条件,但不是充分条件
4.设集合M={x|0A.充分条件,但不是必要条件
B.必要条件,但不是充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:因为N M,所以“a∈M”是“a∈N”的必要条件,但不是充分条件.
答案:B
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)当p是q的充要条件时,也可以说成q成立当且仅当p成立.
( √ )
(2)若p是q的充要条件,则命题p和q是两个相互等价的命题.
( √ )
(4)“1合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一 充要条件的判断
【例1】 在下列各题中,试判断p是q的什么条件.
(1)若a,b∈R,p:a2+b2≠0,q:a,b不全为0;
(2)p:x=1,q:x2-2x+1=0.
解:(1)由a2+b2≠0 a,b不全为0,反之,由a,b不全为0 a2+b2≠0,
故p是q的充要条件.
(2)解x2-2x+1=0,得x=1,所以“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要条件,即p是q的充要条件.
判断充要条件的两种思路
(1)命题角度:判断p q及q p这两个命题是否成立.若两者都成立,则p与q互为充要条件.
(2)集合角度:从集合角度去判断.已知集合A,B,p:x∈A,q:x∈B,若A B,且B A,则p与q互为充要条件.
【变式训练1】 a,b中至少有一个不为零的充要条件是( )
A.ab=0 B.ab>0
C.a2+b2=0 D.a2+b2>0
解析:若a2+b2>0,则a,b不同时为零;a,b中至少有一个不为零,则a2+b2>0.
答案:D
探究二 充分条件、必要条件的判断
【例2】 在下列各题中,试判断p是q的什么条件.
(1)p:y+x>4,q:x>1,y>3;
(2)p:a>b,c<0,q:ac(3)p:△ABC是直角三角形,q:△ABC为等腰三角形.
解:(1)y+x>4不能推出x>1,y>3,即p q,而由x>1,y>3可得x+y>4,即q p,故p是q的必要条件,但不是充分条件.
(2)当a>b,c<0时,有acb, c<0,也可能是a0,即q p,故p是q的充分条件,但不是必要条件.
(3)如图.由图可知p,q对应的集合间无
包含关系,故p既不是q的充分条件,
也不是q的必要条件.
从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
设A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q}.
若A B,则p是q的充分条件,若A B,则p是q的充分条件,但不是必要条件
若B A,则p是q的必要条件,若B A,则p是q的必要条件,但不是充分条件
若A=B,则p,q互为充要条件
若A不包含于B且B不包含于A,则p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
【变式训练2】 对任意实数a,b,c,给出下列命题:
①“a=b”是“ac=bc”的充要条件;
②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件;
③“a>b”是“a2>b2”的充分条件;
④“a<5”是“a<3”的必要条件.
其中为真命题的是 .(填序号)
解析:①由a=b,可得ac=bc.但ac=bc时不一定有a=b,故①为假命题;②由“a+5为无理数”可得“a为无理数”,由“a为无理数”可得“a+5为无理数”,故②为真命题;③由“a>b”不能得出a2>b2,如a=1,b=-2,故③为假命题;④“由a<5”不能推出“a<3”,而由“a<3”可推出“a<5”,故④为真命题.
答案:②④
探究三 充要条件的证明
充要条件的证明策略
(1)要证明p是q的充要条件,需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题“若p,则q”和“若q,则p”均为真.
(2)可以利用集合的思想来证明,证明p与q对应的集合是相同的,证明前必须分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.
提醒:证明时一定要注意,分清充分性与必要性的证明方向.
【变式训练3】 求证:关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0),有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.
证明:设方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2.必要性:因为关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个正根和一个负根,
所以关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,且两根异号,即方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个正根和一个负根.
探究四 与充分、必要及充要条件相关的参数的求解
【例4】 已知p:A={x|-2≤x≤10},q:B={x|1-m≤x≤1+m,m>0}.若p是q的必要条件,但不是充分条件,求实数m的取值范围.
分析:将p,q的关系转化为集合A,B的关系→列不等式组求解→下结论
解:因为p是q的必要条件,但不是充分条件,所以B A,
即{x|1-m≤x≤1+m,m>0} {x|-2≤x≤10},
又m>0,所以实数m的取值范围是(0,3].
1.若本例中将“p是q的必要条件,但不是充分条件”改为“p是q的充分条件,但不是必要条件”,其余条件不变,求实数m的取值范围.
解:因为p是q的充分条件,但不是必要条件,所以A B,
即{x|-2≤x≤10} {x|1-m≤x≤1+m,m>0}.
即实数m的取值范围是[9,+∞).
2.若本例中p,q不变,是否存在实数m,使得p是q的充要条件 若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
应用充分条件但不是必要条件,必要条件但不是充分条件或充要条件求参数的值(取值范围)的一般步骤
(1)根据已知条件将充分条件但不是必要条件,必要条件但不是充分条件或充要条件转化为集合间的关系.
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
【变式训练4】 若“x>2m-3”是“-1解析:由“x>2m-3”是“-1得(-1,4) (2m-3,+∞),所以2m-3≤-1,解得m≤1.
答案:(-∞,1]
易 错 辨 析
不能准确判断充要条件致误
【典例】 “函数y=ax2+ax+1的图象在x轴的上方”是“0错解 设p:函数y=ax2+ax+1的图象在x轴的上方,q:0因为当00恒成立,即函数y=ax2+ax+1的图象在x轴的上方,故q p.
得0所以p是q的充要条件.
答案 充要
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:忽略了a=0时y=ax2+ax+1>0变为1>0这一情况.
正解:设p:函数y=ax2+ax+1的图象在x轴的上方,q:0因为当0而当a=0时,函数y=ax2+ax+1的值为1,其图象在x轴上方,
所以p q.
故p为q的必要条件,但不是充分条件.
答案:必要条件,但不是充分
用定义判断时无论是p q,还是q p,均要认真考虑是否有反例,这一点往往是判断充分性和必要性的关键和难点.
随 堂 练 习
1.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A B”的( )
A.充分条件,但不是必要条件
B.必要条件,但不是充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:∵A={1,a},B={1,2,3},A B,
∴a∈B,且a≠1,
∴a=2或a=3,
∴“a=3”是“A B”的充分条件,但不是必要条件.
答案:A
2.二次函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是( )
A.m=-2 B.m=2
C.m=-1 D.m=1
解析:由二次函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称,可得
,即m=-2,且当m=-2时,函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称.
答案:A
3.王昌龄是唐代著名的边塞诗人,被誉为“七绝圣手”,其《从军行》传诵至今,“青海长云暗雪山,孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”,由此推断,其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的( ).
A.必要条件,但不是充分条件
B.充分条件,但不是必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:返回家乡 攻破楼兰,攻破楼兰 返回家乡,故选A.
答案:A
4.设p:x<3,q:-1A.充要条件
B.充分条件,但不是必要条件
C.必要条件,但不是充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析:因为p:x<3,q:-1答案:C
5.若“p:x(x-3)<0”是“q:2x-3答案:[3,+∞)(共38张PPT)
2.2 全称量词与存在量词
第1课时 全称量词命题
与存在量词命题
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
课标定位
素养阐释
1.通过已知的数学实例理解全称量词与存在量词的含义.
2.理解并掌握全称量词命题和存在量词命题的概念并能用数学符号表示.
3.能判断全称量词命题和存在量词命题的真假并掌握其判断方法.
4.体会抽象概括的过程,加强逻辑推理能力素养的培养.
自主预习·新知导学
一、全称量词命题
【问题思考】
1.某个城市有一位理发师,他的广告词是这样写的:“本人的理发技艺十分高超,誉满全城.我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎!”来找他刮脸的人络绎不绝,自然都是那些不给自己刮脸的人.可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡须长了,他本能地抓起了剃刀,你们说他能不能给他自己刮脸呢 如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸.而如果他给自己刮脸呢 他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸.
这就是著名的“罗素理发师悖论”问题.
(1)文中理发师说:“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸”.对“所有”这一词语,你还能用其他词语代替吗
(2)上述词语“所有”及其代替词语都有什么含义
提示:(1)任意一个,全部,每个.
(2)表示某个范围内的整体或全部.
2.全称量词命题
(1)在给定集合中,断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题.
(2)在命题中,诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词.用符号“ ”表示,读作“对任意的”.
3.在全称量词命题中,量词是否可以省略 一个全称量词命题的表述是否唯一
提示:在有些全称量词命题中,全称量词是可以省略的,如“平行四边形的对角线互相平分”实际应解读为“所有平行四边形的对角线都互相平分”.一个全称量词命题的表述不唯一.对于一个全称量词命题,由于自然语言的不同,可以有不同的表述方法,只要形式正确即可.
二、存在量词命题
【问题思考】
1.观察下列语句:
①存在一个x∈R,使2x+1=3;
②至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.
(1)语句①②是命题吗 若是命题,判断其真假.
(2)语句①②中的“存在一个”“至少有一个”有什么含义
(3)你能写出一些与问题(2)中的词语具有相同意义的词语吗
提示:(1)是命题,都为真命题.
(2)表示总体中“个别”或“一部分”.
(3)某些,有的,有些等.
2.存在量词命题
(1)在给定集合中,断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题.
(2)在命题中,诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词,用符号“ ”表示,读作“存在”.
3.命题“有的素数是奇数”中的量词是有的.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.( × )
(2)全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”.
( √ )
(3)全称量词命题中一定含有全称量词,存在量词命题中一定含有存在量词.( × )
(4)命题“有些菱形是正方形”是全称量词命题.( × )
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一 全称量词命题的判断
【例1】判断下列命题是不是全称量词命题,如果是,请指出全称量词,并判断真假.
(1)所有的素数都是偶数;
(2)任意x∈R,(x-1)2+1≥1;
(3)任何无理数的平方还是无理数.
解:(1)是全称量词命题,“所有”是全称量词,如3是素数,但不是偶数,所以该命题是假命题;
(2)是全称量词命题,“任意”是全称量词,是真命题;
(3)是全称量词命题,“任何”是全称量词,如 是有理数,所以该命题是假命题.
判定一个语句是全称量词命题的三个步骤
(1)判断语句是不是命题,如果不是命题,那么当然不是全称量词命题.
(2)量词判断:如果是命题,再分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称量词命题.当命题中不含量词时,要注意理解命题含义的实质.
(3)下结论.
【变式训练1】判断下列命题是不是全称量词命题,如果是,请指出全称量词,并判断真假.
(1)对任意实数x,都有x2≥0;
(2)菱形的对角线相等.
解:(1)是全称量词命题,“任意”是全称量词,是真命题;
(2)是全称量词命题,省略了全称量词“所有”,是假命题.
探究二 存在量词命题的判断
【例2】 指出下列命题中,哪些是存在量词命题,并判断所有命题的真假.
(1)存在一个x∈R,使
(2)存在一个实数,它的相反数等于它本身;
(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示;
(4)存在一个实数x,使等式x2+x+8=0成立.
分析:先判断命题的类型,全称量词命题通过推理判定其为真,存在量词命题通过举特例判定其为真.
解:(1)(2)(4)是存在量词命题;(3)是全称量词命题.
(1)因为不存在x0∈R,使 成立,所以该命题是假命题.
(2)存在一个实数零,它的相反数等于它本身,所以该命题是真命题.
(3)如:边长为1的正方形的对角线长为 ,它的长度就不是有理数,所以该命题是假命题.
(4)因为方程x2+x+8=0的判别式Δ=-31<0,所以该方程无实数解,所以该命题是假命题.
判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题时,需要注意以下两点
(1)若命题中含有量词,则直接判断所含量词是全称量词还是存在量词;
(2)若命题中不含有量词,则要根据命题的实际意义进行判断.
【变式训练2】 下列命题为存在量词命题的是( )
A.自然数都是正整数
B.存在x=1,使方程x2+x-2=0
C.对任意x∈{x|x>-1},3x+4>0都成立
D.对顶角相等
解析:A,D中命题都省略了全称量词“所有”,所以A,D都是全称量词命题;C中含有全称量词“任意”,是全称量词命题,B中命题含有存在量词“存在”,所以B是存在量词命题,故选B.
答案:B
探究三 根据全称(存在)量词命题求参数范围
【例3】 若命题“ x∈R,使得x2+2x+a-1<0”是真命题,求实数a的取值范围.
分析:先把问题转化为二次函数的图象与x轴的交点问题→利用对应方程的判别式构造不等式→解不等式得结论
解:因为 x∈R,使得x2+2x+a-1<0,所以二次函数y=x2+2x+a-1的图象与x轴有两个公共点,所以Δ=22-4(a-1)>0,解得a<2.
故实数a的取值范围是(-∞,2).
1.把本例中“真命题”改为“假命题”,其他条件不变,则结果是什么
解:由题意,可知Δ=22-4(a-1)≤0,解得a≥2.
故实数a的取值范围是[2,+∞).
2.若把本例条件改为“ x∈[-1,+∞),x2+2x+a-1>0”,其他条件不变,则a的取值范围是什么
解:“ x∈[-1,+∞),x2+2x+a-1>0”恒成立,
等价于1-a即1-a<(x2+2x)min,x∈[-1,+∞),
又当x∈[-1,+∞)时,y=x2+2x=(x+1)2-1≥-1,即(x2+2x)min=-1.
故1-a<-1,解得a>2,即a的取值范围是(2,+∞).
1.全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题,其为真时,转化为相应的数学问题(如函数、方程、不等式等),再利用相应知识构建方程或不等式求解.
2.存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在” “不存在”“是否存在”等语句表述,解答该类问题时,一般先对结论作出存在的假设,转化为相应的数学问题求解,再结合条件看求解是否合理,否则否定假设.
【变式训练3】 若“ x∈[-1,1],m≤x2+1”为真命题,则实数m的最大值为 .
解析:“ x∈[-1,1],m≤x2+1”为真命题,
即m≤(x2+1)min,x∈[-1,1],
而当x∈[-1,1]时,1≤x2+1≤2,
所以m≤1,故实数m的最大值为1.
答案:1
易 错 辨 析
忽视特例的作用而致误
【典例】 判断下列命题的真假.
(1) x∈R,x2+2x+1>0;
(2) x∈R,|x-1|≤0.
错解 (1)因为x2+2x+1=(x+1)2,所以x2+2x+1>0恒成立,
即 x∈R,x2+2x+1>0是真命题.
(2)一个数的绝对值不可能小于0,所以不存在实数x,使|x-1|≤0,即 x∈R,|x-1|≤0是假命题.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:以上解法都忽视了特例,(1)中忽视了当x=-1时x2+2x+1=0,导致判断错误.(2)中忽视当x=1时|x-1|=0,导致判断错误.
正解:(1)因为当x=-1时x2+2x+1=0,所以命题“ x∈R,x2+2x+1>0”是假命题.
(2)因为当x=1时,|x-1|=0成立,所以命题“ x∈R,|x-1|≤0”是真命题.
判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路
【变式训练】 若命题“ x∈R,使得方程(a-1)x2+x-1=0成立”是真命题,求实数a的取值范围.
随 堂 练 习
1.下列说法正确的个数是( )
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题;
②命题“ x∈R,x2+2<0”是全称量词命题;
③命题“ x∈R,x2+4x+4≤0”是存在量词命题.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:只有②③正确.
答案:C
2.(多选题)下列命题既是存在量词命题又是真命题的有( ).
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x,使x2≤0
C.存在两个无理数,它们的和是无理数
D.存在一个负数x,使
解析:B,C,D是存在量词命题,但D是假命题,故选BC.
答案:BC
3.下列语句是存在量词命题的是( )
A.整数n是2和7的倍数
B.存在整数n0,使n0能被11整除
C.若4x-3=0,则
D. x∈M,p(x)成立
解析:B中含存在量词“存在”.
答案:B
4.下列命题,是全称量词命题的是 ;是存在量词命题的是 .(填序号)
①正方形的四条边相等;
②有两个角是45°的三角形都是等腰直角三角形;
③正数的平方根不等于0;
④至少有一个正整数是偶数.
解析:①②③都是省略了全称量词的全称量词命题.④是存在量词命题.
答案:①②③ ④
5.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假:
(1) x∈N*,x-2≤0;
(2)三角形两边之和大于第三边;
(3)有些整数是偶数.
解:(1)存在量词命题.当x=1时,x-2=-1≤0,故存在量词命题“ x∈N*,x-2≤0”是真命题.
(2)全称量词命题.三角形中,任意两边之和大于第三边.故全称量词命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题.
(3)存在量词命题.如:2是整数,2也是偶数.
故存在量词命题“有些整数是偶数”是真命题.
6.已知命题p:“存在两个负实数x,使关于x的方程x2+mx+1=0成立”是真命题,求实数m的取值范围.(共41张PPT)
2.2 全称量词与存在量词
第2课时 全称量词命题
与存在量词命题的否定
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
课标定位
素养阐释
1.掌握对含有一个量词的命题的否定方法.正确掌握量词的否定的各种形式.
2.明确全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题.
3.通过对命题否定的学习,体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用,提升交流的严谨性与准确性.
自主预习·新知导学
一、全称量词命题的否定
【问题思考】
1.观察下列命题:
①所有矩形都是平行四边形;
②每一个数的平方都是正数;
③ x∈R,|x|≥0.
(1)上述命题是全称量词命题还是存在量词命题 你能写出它们的否定吗
提示:它们都是全称量词命题.①的否定是“存在一个矩形不是平行四边形”;②的否定是“存在一个数的平方不是正数”;③的否定是“ x∈R,使|x|<0”.
(2)以上三个命题的否定与原命题相比在形式上有什么变化 是否任意一个全称量词命题的否定都遵循此变化规律 你能概括出来吗
提示:从命题形式看,这三个命题的否定都变成了存在量词命题.任意一个全称量词命题的否定都遵循这种变化规律,即“ x∈M,p(x)成立”的否定为“ x∈M,使p(x)不成立”.
2.全称量词命题的否定
(1)语言描述
一般地,要否定一个全称量词命题,只需要在给定集合中找到一个元素,使命题的结论不正确,即全称量词命题不成立.
(2)全称量词命题的否定是存在量词命题.
对于全称量词命题p: x∈M,x具有性质p(x),通常把它的否定表示为 x∈M,x不具有性质p(x).
3.用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗
提示:不唯一,如“所有的菱形都是平行四边形”,它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”,也可以是“有些菱形不是平行四边形”.
4.命题“ x2>4,有x>2”的否定是( )
A. x2>4,有x≤2 B. x2≤4,有x≤2
C. x2>4,使x≤2 D. x2≤4,使x≤2
解析:所给命题“ x2>4,有x>2”是全称量词命题,它的否定是存在量词命题,为“ x2>4,使x≤2”.
答案:C
二、存在量词命题的否定
【问题思考】
1.给出下列命题:
①有些实数的绝对值是正数;
②某些平行四边形是菱形;
③ x∈R,x2+1<0.
(1)上述命题是全称量词命题还是存在量词命题 你能写出它们的否定吗
提示:它们是存在量词命题.其中①的否定是“所有实数的绝对值都不是正数”,②的否定是“每一个平行四边形都不是菱形”,③的否定是“ x∈R,x2+1≥0”.
(2)以上三个命题的否定与原命题相比在形式上有什么变化 是否任意一个存在量词命题的否定都遵循此变化规律 你能概括出来吗
提示:这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题,任意一个存在量词命题的否定都遵循这种变化规律,即“ x∈M,使p(x)成立”的否定为“ x∈M,p(x)都不成立”.
2.存在量词命题的否定
(1)语言描述
一般地,要否定一个存在量词命题,需要判定给定集合中每一个元素均不能使存在量词命题的结论成立.
(2)存在量词命题的否定是全称量词命题.
对于存在量词命题p: x∈M,x具有性质p(x),通常把它的否定表示为 x∈M,x不具有性质p(x).
(3)一些常见词语的否定
3.命题:“有的四边形是平行四边形”的否定为 .
答案:“所有的四边形都不是平行四边形”
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)全称量词命题的否定就是把结论否定.( × )
(2)无论全称量词命题还是存在量词命题,其否定和本身都是一真一假.( √ )
(3)小于的否定是大于.( × )
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一 全称量词命题的否定
【例1】 写出下列全称量词命题的否定:
(1)任何一个平行四边形的对边都平行;
(2)任意a,b∈R,方程ax=b都有唯一解;
(3)可以被5整除的整数,末位是0.
解:(1)原命题的否定是“存在一个平行四边形,它的对边不都平行”.
(2)原命题的否定是“存在a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在”.
(3)原命题的否定是“存在被5整除的整数,末位不是0”.
全称量词命题的否定的两个关键
(1)看格式:写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论,把全称量词改为存在量词,结论变为否定的形式就得到命题的否定.
(2)看含义:有些全称量词命题省略了量词,在这种情况下,千万不要将否定写成“是”或“不是”.
【变式训练1】 写出下列全称量词命题的否定:
(1)p:所有自然数的平方都是正数;
(2)p:任何实数x都是方程5x-12=0的根.
解:(1)原命题的否定是“有些自然数的平方不是正数”.
(2)原命题的否定是“存在实数x不是方程5x-12=0的根”.
探究二 存在量词命题的否定
【例2】 写出下列存在量词命题的否定,并判断其否定的真假.
(1)有些实数的相反数是正数;
(2)某些菱形是正方形;
分析:先把存在量词改为全称量词,然后把结论否定,推理或举特例判断命题的真假.
解:(1)命题的否定是“不存在一个实数,它的相反数是正数”,即“所有实数的相反数都不是正数”.它为假命题.
(2)命题的否定是“没有一个菱形是正方形”,即“每一个菱形都不是正方形”.由于邻边互相垂直的菱形是正方形,因此命题的否定是假命题.
写存在量词命题的否定的方法:
(1)将存在量词改写为全称量词.
(2)将结论否定.
【变式训练2】 命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( )
A.任意一个有理数,它的平方是有理数
B.任意一个无理数,它的平方都不是有理数
C.存在一个有理数,它的平方是有理数
D.存在一个无理数,它的平方不是有理数
解析:根据存在量词命题的否定是全称量词命题,先将存在量词改为全称量词,然后否定结论,故该命题的否定为“任意一个无理数,它的平方都不是有理数”.
答案:B
探究三 全称(存在)量词命题的否定的应用
【例3】 已知命题“对于任意x∈R,x2+x+a≥0”是假命题,求实数a的取值范围.
分析:由其否定是真命题→先求其否定→转化为不等式求解
解:全称量词命题“对于任意x∈R,x2+x+a≥0”的否定为“存在x∈R,x2+x+a<0”.
因为原命题是假命题,
所以其否定为真命题.
函数y=x2+x+a的图象是开口向上的抛物线,借助二次函数的图象(图略),易知,若存在x∈R,x2+x+a<0,则其对应方程的判别式Δ=1-4a>0,
1.本例中把条件“假命题”改为“真命题”,其余不变,求实数a的取值范围.
2.本例中把条件“对于任意x∈R,x2+x+a≥0”改为“对任意x>0, x2+ax+1≥0”,其余不变,则实数a的取值范围是 .
解析:由题意,命题的否定是“存在x>0,x2+ax+1<0”,为真命题.
因为函数y=x2+ax+1的图象是开口向上的抛物线,且过点(0,1),借助二次函数的图象(图略),
故实数a的取值范围是(-∞,-2).
答案:(-∞,-2)
注意p与p的否定的真假性只能一真一假,解决问题时可以正难则反,进行相互转化.
【变式训练3】 由命题“存在x∈R,使x2-2x+2-m≤0”是假命题,得m的取值范围是(-∞,a),则实数a的值是 .
解析:命题“存在x∈R,使x2-2x+2-m≤0”的否定为“ x∈R,有x2-2x+2-m>0”,且为真命题,即对 x∈R,有m只需m<(x2-2x+2)min,又x2-2x+2=(x-1)2+1≥1,则m<1,故a=1.
答案:1
易 错 辨 析
对命题的否定理解不透彻致误
【典例】 写出命题p“存在一个实数x,使得x2-x-2<0”的否定.
错解1 命题p的否定为“存在一个实数x,使得x2-x-2≥0”.
错解2 命题p的否定为“对任意实数x,都有x2-x-2<0”.
错解3 命题p的否定为“ x R,都有x2-x-2≥0”.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:错解1,只对结论进行了否定,而没有将存在量词改为全称量词.
错解2,只将存在量词改为全称量词,而没有对结论进行否定.
错解3,否定词添加错误.
正解:对任意实数x,都有x2-x-2≥0.
全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题,对全称量词命题和存在量词命题否定时,不仅要否定结论,还要将全称量词变为存在量词,存在量词变为全称量词.
【变式训练】 写出下列命题的否定.
(1)所有的负数都小于零;
(2)至少有一个实数x,使x3+1=0.
解:(1)命题的否定为“至少存在一个负数不小于零”.
(2)命题的否定为“ x∈R,x3+1≠0”.
随 堂 练 习
1.命题“某班所有的男生都爱踢足球”的否定是( ).
A.某班所有的男生都不爱踢足球
B.某班至多有一个男生爱踢足球
C.某班所有女生都爱踢足球
D.某班至少有一个男生不爱踢足球
答案:D
2.命题“ x>0,使x2-3x+2>0”的否定为( )
A. x>0,x2-3x+2≤0
B. x≤0,x2-3x+2≤0
C. x>0,有x2-3x+2≤0
D. x≤0,有x2-3x+2≤0
解析:该命题是一个存在量词命题,
它的否定为“ x>0,有x2-3x+2≤0”.
答案:C
3.(多选题)下列命题的否定为真命题的是( ).
A. x∈R,使x2+2x+2≤0
B.任意一个四边形的四个顶点共圆
C.所有能被3整除的整数都是奇数
D. x∈R,有x2≥0
解析:因为x2+2x+2=(x+1)2+1≥1,所以原命题为假命题,则其否定为真命题;根据圆内接四边形的定义,可得任意一个四边形的四个顶点共圆为假命题,其否定为真命题;所有能被3整除的整数都是奇数为假命题,如整数6,它是偶数,故其否定为真命题; x∈R,有x2≥0为真命题,所以它的否定是假命题.
答案:ABC
4.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并写出它们的否定.
(1)p:对任意的x∈R,都有≤1成立.
(2)q: x∈R,使x2+1>3x.
(3)r:所有的正方形都是矩形.
(4)s:有些三角形是锐角三角形.
解:命题(1)(3)为全称量词命题,命题(2)(4)为存在量词命题.
(1)命题p的否定为“ x∈R,使>1成立”.
(2)命题q的否定为“ x∈R,有x2+1≤3x”.
(3)命题r的否定为“至少存在一个正方形不是矩形”.
(4)命题s的否定为“所有的三角形都不是锐角三角形”.
5.已知命题p:任意x∈R,有ax2-2x+3≥0,如果命题p的否定是真命题,求实数a的取值范围.(共36张PPT)
3.1 不等式的性质
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合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
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课标定位
素养阐释
1.初步学会作差法比较两实数的大小.
2.掌握不等式的性质.
3.能利用不等式的性质进行数或式的大小比较及证明不等式.
4.体会数学抽象的过程,加强直观想象与数学运算能力素养的培养.
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一、实数大小的比较
【问题思考】
1.(1)对于两个实数a,b,其大小关系有哪几种可能
提示:两个实数a,b,其大小关系有三种可能,即a>b,a=b,a(2)如果a-b是正数,那么这两个实数的大小关系如何 反之成立吗
提示:如果a-b是正数,那么a>b,反之也成立,用数学语言可描述为a-b>0 a>b.
(3)如果a-b是负数,那么这两个实数的大小关系如何 反之成立吗
提示:如果a-b是负数,那么a2.实数的运算与其大小关系:
a-b>0 a>b ;a-b=0 a=b ;a-b<0 a3.某工厂8月的产量比9月的产量少;甲物体比乙物体重;A容器与B容器的容积相等.若前一个量用a表示,后一个量用b表示,则上述事实可分别表示为 ab , a=b .
二、不等式的性质
【问题思考】
1.(1)在解不等式x-3>2时,通过移项得x>5,其理论依据是什么
提示:不等式两边同时加上一个数不等号方向不变.
(2)已知3>2,若两边同时乘2,不等式成立吗 若两边同时乘c(c为常数),不等式成立吗
提示:同时乘2,不等式成立.两边同时乘c,不等式不一定成立,当c=0时,3c=2c;当c>0时,3c>2c;当c<0时,3c<2c.
(3)已知3>2,32>22,那么3n>2n(n∈N+)成立吗
提示:成立.
2.不等式的性质
性质1 如果a>b,且b>c,那么a>c.
性质2 如果a>b,那么a+c>b+c.
性质3 (1)如果a>b,c>0,那么ac>bc;(2)如果a>b,c<0,那么ac性质4 如果a>b,c>d,那么a+c>b+d .
性质5 (1)如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd;(2)如果a>b>0,c特殊地,当a>b>0时,an>bn,其中n∈N+,n≥2.
3.若a>b,c>d,则下列不等关系不一定成立的是( )
A.a-b>d-c B.a+d>b+c
C.a-c>b-c D.a-c解析:由a>b,c>d,得a+c>b+d,移项得,a-b>d-c,A正确;由a>b得a-c>b-c,C正确;由c>d得-c<-d,所以a-c答案:B
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2.( √ )
(2)若a>b,则ac2>bc2.( × )
(3)若a+c>b+d,则a>b,c>d.( × )
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一 作差比较大小
【例1】 已知a,b均为正实数.试利用作差法比较a3+b3与a2b+ab2的大小.
解:a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2)
=a2(a-b)+b2(b-a)
=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b).
当a=b时,a-b=0,所以a3+b3=a2b+ab2;
当a≠b时,(a-b)2>0,又a>0,b>0,所以a+b>0,所以a3+b3>a2b+ab2.
综上所述,a3+b3≥a2b+ab2.
比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.作差法比较实数大小的一般步骤是:作差→恒等变形→判断差的符号→下结论.作差后变形是比较大小的关键一步,变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式.
【变式训练1】 已知x≤1,试比较3x3与3x2-x+1的大小.
解:3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1).
由x≤1得x-1≤0,而3x2+1>0,
所以(3x2+1)(x-1)≤0,所以3x3≤3x2-x+1.
探究二 利用不等式的性质证明简单不等式
分析:证明不等式,要紧扣不等式的性质进行恒等变形,注意条件与结论之间的联系.
利用不等式的性质证明不等式时的注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论证明不等式,一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质,并灵活准确地加以应用.
(2)应用不等式的性质进行推导时,应严格遵循不等式的性质成立的条件且不可省略条件或跳步推导,更不可随意构造性质与法则.
探究三 不等式性质的应用
【例3】 已知a<0,-1A.a>ab>ab2 B.ab2>ab>a
C.ab>a>ab2 D.ab>ab2>a
分析:根据已知条件两两作差比较→或根据a,b的范围取特殊值验证→注意要在给定范围内
解析:(方法一)因为a<0,-1所以ab2-a=a(b2-1)>0,ab-ab2=ab(1-b)>0.
所以ab>ab2>a,故选D.
答案:D
1.本例中若把已知条件改为0答案:A
答案:C
利用不等式的性质判断不等式是否成立的两种方法
(1)直接法:判断不等式成立,要利用不等式的相关性质证明;判断不等式不成立,只需举出一个反例即可.
(2)特殊值法:注意取值一定要遵循三个原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算;三是所取的值要有代表性.
易 错 辨 析
因忽视不等式的性质的单向性致误
【典例】 已知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范围.
错解 1≤a-b≤2,①
2≤a+b≤4,②
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
1.借助性质,转化为同向不等式相加进行解答,切忌连续多次使用,避免扩大取值范围.
2.将所给条件整体使用,切不可随意拆分所给条件.
3.结合不等式的传递性进行求解.
随 堂 练 习
1.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是( )
A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>b
C.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b
解析:由a+b>0知a>-b,-a又b<0,所以-b>0,
所以a>-b>b>-a.
答案:C
2.设M=x2,N=-x-1,则M与N的大小关系是( )
A.M>N B.M=N
C.M答案:A
3.若a,b,c,d为实数,则下列说法正确的是( ).
A.若aB.若ac2C.若aD.若a解析:对于A,当c=0时,a|c|=b|c|=0,故A错误.
对于B,因为ac2又因为c2>0,所以a对于C,如a=2,b=3,c=2,d=3时,满足a所以C错误.
对于D,由于a,b,c,d的正负不确定,所以无法由a得出ac答案:B
4.若1≤x≤3,2≤y≤4,求x-y的取值范围.
解:因为2≤y≤4,所以-4≤-y≤-2,又1≤x≤3,所以-3≤x-y≤1.
故x-y的取值范围是[-3,1].