(共26张PPT)
§1 指数幂的拓展
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
随 堂 练 习
课标定位
素养阐释
1.理解分数指数幂的含义,学会根式与分数指数幂之间的相互转化.
2.了解无理数指数幂.
3.体会归纳推理的过程,提升数学运算素养.
自主预习·新知导学
一、分数指数幂
【问题思考】
1.观察下列各式,你能得出什么结论
提示:通过观察题中两式可以得出,当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式.
二、无理数指数幂
【问题思考】
1.无理数是无限不循环小数,课本中是如何用有理数指数幂来研究无理数指数幂的
提示:随着无理数指数精确度越高,以无理数指数的不足近似值和过剩近似值为指数的幂会趋近于同一个数,这个数即无理数指数幂.
2.(1)定义:一般地,给定正数a,对于任意的正无理数α,可用课本中类似的方法定义一个实数aα.这是一个确定的正实数.规定:
,这样指数幂中指数的范围就拓展到了全体实数.
(2)①给定一个正数a,对任意实数α,指数幂aα都大于0;
②0的任意正实数指数幂都等于0;
③0的零指数幂和任意负实数指数幂都没有意义.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)只要根式有意义,都能写成分数指数幂的形式.( × )
(3)0的任何指数幂都等于0.( × )
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一 用分数指数幂表示正数
【例1】 把下列各式中的b(b>0)写成分数指数幂的形式:
(1)b3=4;
(2)b-2=5;
(3)bm=32n(m,n∈N+).
将bn=d中正实数b写成分数指数幂的形式时,主要依据分数指数幂的定义.
【变式训练1】 用分数指数幂表示下列各式中的a(a>0).
(1)a-8=28;
(2)a-8=57;
(3)a-8n=33m(m,n∈N+).
探究二 求分数指数幂
计算分数指数幂一定要把握指数幂的概念,要先根据分数指数幂的定义,将分数指数幂化为整数指数幂,再进行计算.
探究三 根式与分数指数幂的互化
【例3】 将下列分数指数幂与根式进行互化:(式中字母均为正实数)
随 堂 练 习
答案:A
答案:A
3.若81的平方根为a,-8的立方根为b,则a= ,a+b= .
解析:因为81的平方根为±9,所以a=±9.
又因为-8的立方根为-2,所以b=-2,
所以a+b=-11或a+b=7.
答案:9 -11或7(共30张PPT)
§2 指数幂的运算性质
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
课标定位
素养阐释
1.理解实数指数幂的运算性质.
2.能够根据实数指数幂的运算法则进行计算.
3.感受数学抽象与逻辑推理的过程,体会数学运算的过程与法则,提高运算能力.
自主预习·新知导学
指数幂的运算性质
【问题思考】
2.对于任意正数a,b和实数α,β,实数指数幂均满足下面的运算性质:
(1)aα·aβ= aα+β ;
(2)= aαβ ;
(3)(ab)α= aαbα .
3.进行幂的运算时,当式子中既有分数指数幂又有根式时,一般应遵循怎样的原则化简
提示:一般把根式统一化成分数指数幂的形式,再用有理数指数幂的运算性质化简.可总结为:先统一,再运算.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一 指数幂的化简
探究二 指数幂的运算
指数幂运算的步骤
(1)有括号先算括号里的,无括号先做指数运算.
(2)负实数指数幂化为正实数指数幂的倒数.
(3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数,先化成假分数,然后尽可能用幂的形式表示,以便于使用指数幂的运算性质.
探究三 条件求值问题
(1)a+a-1;
(2)a2+a-2.
(2)对(1)中的结果a+a-1=7两边平方得a2+a-2+2=49,
所以a2+a-2=47.
1.若本例条件不变,求a2-a-2的值.
解:令y=a2-a-2,两边平方得y2=a4+a-4-2=(a2+a-2)2-4,
由例3(2)的解可知,a2+a-2=47,所以y2=472-4=2 205.
条件求值问题的常用方法
(1)求值后代入:从已知条件中解出所含字母的值,然后再代入求值,这种方法一般是不可取的.
(2)整体代入:所求结果涉及的某些部分,可以作为一个整体先求出其值,然后再代入求最终结果.
【变式训练3】 设2m=8n+1,9n=3m-9,求m+n的值.
易 错 辨 析
忽视运算性质成立的条件
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
在aα(α为有理数)中要求a>0,同样在实数指数幂的运算性质中也要求底数为正.
随 堂 练 习
答案:D
答案:C
答案:B
4.设α,β是方程5x2+10x+1=0的两根,则2α·2β= ,(2α)β= .(共49张PPT)
§3 指数函数
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
课标定位
素养阐释
1.理解指数函数的概念和意义.
2.掌握指数函数的图象和性质.
3.会画指数函数的图象,并利用图象解题.
4.会利用指数函数的性质解决简单的问题.
5.体会数学抽象的过程,强化直观想象素养的培养.
自主预习·新知导学
一、指数函数的概念
【问题思考】
1.(1)某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个……一个这种细胞分裂x次以后,得到的细胞个数y与x之间满足什么关系式
(2)有一根1 m长的绳子,第一次剪去绳长的一半,第二次再剪去剩余绳子的一半……剪去x次后剩余绳子的长度为y m,则y与x之间满足什么关系式
(3)上面问题(1),(2)中满足的关系式是不是函数关系 它们与函数y=x2有什么区别
提示:(1)y与x之间满足y=2x(x∈N+).
(3)因为对于每一个x都有唯一的y与之对应,因此按照函数的定义这两个关系式都可构成函数.它们与函数y=x2的区别在于前者的自变量都在指数的位置上,而y=x2的自变量在底数的位置上.
2.(1)指数函数的概念
当给定正数a,且a≠1时,对于任意的实数x,都有唯一确定的正数 y=ax与之对应.因此,y=ax是一个定义在实数集上的函数,称为指数函数.
(2)指数函数的性质
①定义域是R,函数值大于0;②图象过定点(0,1).
二、指数函数y=ax(a>1)的图象与性质
【问题思考】
1.在同一平面直角坐标系中画出函数y=2x及y=3x的图象,结合图象你发现两者之间有什么关系
提示:在同一平面直角坐标系中画出函数y=2x和y=3x的图象,如图.
通过图象,可以看出:
①两者图象都在x轴的上方,
且两函数都是单调递增的.
②当x>0时,3x>2x>1,当x<0时,0<3x<2x<1.
2.(1)一般地,当a>1时,指数函数y=ax的定义域是R,值域是(0,+∞),其图象过定点(0,1),在R上是增函数.当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于 正无穷大;当x值趋近于负无穷大时,函数值趋近于0.
(2)对于函数y=ax和y=bx(a>b>1):
①当x<0时,0
②当x=0时,ax=bx=1;
③当x>0时,ax>bx>1.
三、指数函数y=ax(0【问题思考】
2.(1)一般地,当0(2)对于函数y=ax和y=bx(0①当x<0时,ax>bx>1;
②当x=0时,ax=bx=1;
③当x>0时,0(3)一般地,指数函数y=ax和 (a>0,且a≠1)的图象关于 y轴对称,且它们在R上的单调性 相反 .
3.对于指数函数y=ax(a>0,且a≠1),当底数a变化时,图象在第一象限内的位置关系有什么特点
提示:当a>1时,底数a的取值越大,函数的图象在第一象限越靠近y轴;当04.(多选题)下列函数中,在R上是增函数的有( ).
答案:BD
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过定点(0,0)( × )
(2)y=2-x在R上是减函数.( √ )
(3)函数y=5x-1是指数函数.( × )
(4)函数y=10-x的定义域为{x|x≠0}.( × )
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究一 指数函数概念的理解
【例1】 指出下列哪些函数是指数函数:
解:(1)(5)(7)为指数函数.
(2)底数不是常数,指数不是变量,故不是指数函数;
(3)中3x的系数不为1,故不是指数函数;
(4)中底数-3<0,故不是指数函数;
(6)中底数x不是常数,故不是指数函数.
判断所给函数是不是指数函数,要严格按照指数函数的定义.
【变式训练1】 已知函数y=(2a2-3a+2)·ax(a是常数)是指数函数,求a的值.
探究二 指数函数的图象
【例2】 如图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是( )
A.aB.bC.1D.a解析:方法1:在y轴的右侧,指数函数的图象由下到上,底数依次增大.
由指数函数图象的升降,知c>d>1,0∴b方法2:如图,作直线x=1,与四个函数的
图象分别交于A,B,C,D四点,将x=1代入
各个函数可得函数值等于底数,所以四
个交点的纵坐标越大,则底数越大,由图
可知b答案:B
无论指数函数的底数a如何变化,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象与直线x=1相交于点(1,a),由图象可知:在y轴右侧,图象从下到上相应的底数由小变大.
【变式训练2】 如图,若0解析:因为0答案:D
探究三 利用指数函数比较大小
【例3】 比较下列各组数的大小:
(1)1.70.3,1.50.3;(2)1.70.3,0.83.1.
解:(1)方法1:∵1.7>1.5,
∴在区间(0,+∞)上,函数y=1.7x的图象位于函数y=1.5x的图象的上方.
而0.3>0,∴1.70.3>1.50.3.
1.对于底数不同、指数相同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数图象的变化规律来判断.
2.对于底数不同且指数也不同的幂的大小比较,可以通过中间值来比较.
3.对于三个(或三个以上)数的大小比较,则可以先根据特殊值0,1进行分组,再比较各组数的大小.
(2)∵-11,
因此有3-x>1,又0<0.5<1,∴0<0.5-x<1,
∴3-x>0.5-x(-1探究四 解简单指数不等式
分析:先化为同底数的幂→根据指数函数的单调性建立不等式求解→结果要写成集合或区间的形式
(2)∵f(x)=ax(a>1)是R上的增函数,且a-3x>ax+4,
∴-3x>x+4,解得x<-1,
故实数x的取值范围是{x|x<-1}.
1.若把本例(2)中的“a>1”换为“0解:因为0又a-3x>ax+4,所以-3x-1,
故实数x的取值范围是{x|x>-1}.
2.若把本例(2)中的“a>1”换为“a>0,且a≠1”,其他条件不变,求实数x的取值范围.
解:当a>1时,原不等式可化为-3x>x+4,解得x<-1;
当0-1.
故当a>1时,实数x的取值范围是{x|x<-1};
当0-1}.
3.已知a>0,比较aπ与a3的大小.
解:设f(x)=ax,易知π>3.
当a>1时,函数f(x)在R上是增函数,则aπ>a3;
当a=1时,函数f(x)=1是常数,则aπ=a3;
当01.利用指数型函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式.
2.解不等式af(x)>ag(x)(a>0,且a≠1)的依据是指数型函数的单调性,要养成判断底数取值范围的习惯,若底数不确定,就需进行分类讨论,即
答案:C
探究五 指数函数性质的综合应用
(2)已知函数f(x)=x2+2x-m·2-x是定义在R上的偶函数,则实数m的值等于 .
(2)由已知得,f(-x)=f(x),
即x2+2-x-m·2x=x2+2x-m·2-x,
整理得(m+1)(2x-2-x)=0,
∵x∈R,∴m+1=0,即m=-1.
答案:(1)(-∞,1] (2)-1
1.指数型复合函数的单调性的求解步骤:
(1)求定义域:依据题意明确研究范围.
(2)拆分:把原函数拆分成几个基本函数.
(3)定性质:分层逐一求单调性.
(4)下结论:根据复合函数的单调性法则即“同增异减”,得出原函数的单调性.
2.指数函数本身不具有奇偶性,但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性,其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质.
易 错 辨 析
忽视对底数的分类讨论致误
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:本题有两处错误,一是a>0,不能保证f(x)=ax在R上是增函数;二是不等式的解集没有写成集合的形式.
当指数函数的底数a不确定时,一般要对底数a分“a>1和0【变式训练】 函数y=ax(a>0,且a≠1)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差为5,则a= .
解析:当a>1时,有a1-a0=5,即a=6;
当0综上知,a=6.
答案:6
随 堂 练 习
1.设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是( )
A.aC.b解析:因为函数y=0.6x在R上为减函数,
所以b=0.61.5又c=1.50.6>1,所以b答案:C
2.若2x+1<1,则实数x的取值范围是( )
A.(-1,1) B.(-1,+∞)
C.(0,1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)
解析:因为不等式2x+1<1=20,
又y=2u是增函数,所以x+1<0,解得x<-1.
答案:D
答案:A
4.函数f(x)=2x-3(1≤x≤5)的值域是 .
解析:因为1≤x≤5,所以-2≤x-3≤2.
由于底数2>1,因此函数f(x)=2x-3在其定义域上是增函数,
5.已知函数f(x)=4+ax-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则定点P的坐标是 .
解析:由x-1=0,得x=1,y=4+1=5,
即点P的坐标为(1,5).
答案:(1,5)(共42张PPT)
第3课时 指数运算与指数函数
知 识 网 络
要 点 梳 理
专题归纳·核心突破
知 识 网 络
要 点 梳 理
1.实数指数幂的运算性质是怎样的
提示:实数指数幂的运算性质:
设a,b>0,α,β∈R.
(1)aα·aβ=aα+β;
(2)(aα)β=aαβ;
(3)(ab)α=aαbα.
2.指数函数的定义域、值域、图象、性质是怎样的 请完成下表:
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)函数f(x)=a|x|(a>0,且a≠1)的最小值等于1.( × )
(2)任何指数函数的图象都在x轴上方.( √ )
(3)若函数f(x)是指数函数,且f(1)>1,则f(x)是增函数.( √ )
(4)若函数g(x)=af(x)(a>0,且a≠1),则g(x)与f(x)的定义域与值域相同.( × )
(5)函数y=4-|x|的单调递增区间是(0,+∞),单调递减区间是(-∞,0). ( × )
(6)若a>1,则当f(x)有最大值时,g(x)=af(x)也有最大值.( √ )
(7)若函数g(x)=af(x)(a>0,且a≠1)的值域为(0,+∞),则f(x)的值域必为R.( √ )
专题归纳·核心突破
专题整合
高考体验
专题一 指数幂的运算
分析:根据指数幂的运算性质运算.
1.指数幂的运算,首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用运算性质计算,但应注意:
(1)必须同底数幂相乘,指数才能相加;
(2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
专题二 指数函数的图象及应用
【例2】 (1)已知函数f(x)是定义在区间[-4,0)∪(0,4]上的奇函数,当x∈(0,4]时,f(x)的图象如图所示,那么满足不等式f(x)≥3x-1的x的取值范围是( )
A.[-1,0)∪(0,1]
B.[-4,-2]∪(0,1]
C.[-4,-2]∪[2,4]
D.[-1,0)∪[2,4]
解析:(1)设g(x)=3x-1,画出函数g(x)和f(x)在区间[-4,0)∪(0,4]上的图象,如下图所示.
要使f(x)≥3x-1,
即函数f(x)的图象在函数g(x)图象的上方(包括交点),
所以满足条件的x的取值范围为 [-4,-2]∪(0,1],故选B.
指数函数图象的画法(判断)及应用方法:
(1)画(判断)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:
(2)与指数函数有关的函数的图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象.
(3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.
【变式训练2】 函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( )
A.a>1,b<0
B.a>1,b>0
C.00
D.0(2)若曲线y=|2x-1|与直线y=b有两个公共点,则实数b的取值范围是 .
解析:(1)观察题中f(x)=ax-b的图象可以得出,函数f(x)=ax-b在定义域上为减函数,所以0(2)曲线y=|2x-1|与直线y=b的图象如图所示,
由图象可得,如果曲线y=|2x-1|与直线y=b有两个公共点,则实数b的取值范围是(0,1).
答案:(1)D (2)(0,1)
专题三 比较大小
A.c>a>b B.b>a>c
C.a>b>c D.a>c>b
分析:先将a,b,c均化为同底数的幂,然后利用指数函数的单调性比较大小.
解析:∵a=40.9=(22)0.9=21.8,
且指数函数y=2x在R上是增函数,
∴21.8>21.5>21.44,因此,a>c>b,故选D.
答案:D
比较指数式大小的策略:
(1)能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小;
(2)不能化成同底数的,一般引入“1”等中间量比较大小.
【变式训练3】 下列各式大小关系正确的是( )
A.1.72.5>1.73 B.0.6-1>0.62
C.0.8-0.1>1.250.2 D.1.70.3<0.93.1
解析:A中,因为函数y=1.7x在R上是增函数,
又2.5<3,所以1.72.5<1.73;
B中,因为函数y=0.6x在R上是减函数,又-1<2,
所以0.6-1>0.62;
C中,因为0.8-1=1.25,
所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.
因为函数y=1.25x在R上是增函数,0.1<0.2,
所以1.250.1<1.250.2,即0.8-0.1<1.250.2;
D中,因为1.70.3>1,0<0.93.1<1,
所以1.70.3>0.93.1.
答案:B
专题四 解简单的指数方程或不等式
【例4】 已知函数f(x)=x2+2|x|-8,则不等式f(3x-1-5)≤16的解集是( )
A.[1,3] B.[1,9]
C.[1,+∞) D.(-∞,3]
分析:分析出函数f(x)是偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,由此建立指数不等式求解.
解析:函数f(x)=x2+2|x|-8的定义域为R,关于原点对称,
且f(-x)=(-x)2+2|-x|-8=x2+2|x|-8=f(x),
所以该函数为偶函数,
当x≥0时,f(x)=x2+2x-8=(x+1)2-9,
该函数在区间[0,+∞)上单调递增,
由f(3x-1-5)≤16,得f(|3x-1-5|)≤f(4),
所以|3x-1-5|≤4,即-4≤3x-1-5≤4,
得1≤3x-1≤9,则0≤x-1≤2,解得1≤x≤3.
所以不等式f(3x-1-5)≤16的解集是[1,3].故选A.
答案:A
解简单的指数方程或不等式:可先利用幂的运算性质化为同底数幂,再利用单调性转化为一般不等式求解.
答案:C
专题五 指数型函数
探究指数型函数的性质,要结合复合函数的单调性:同增异减.其他与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致.
答案:(-∞,1]
考点一 指数函数的图象及应用
答案:B
答案:B
考点二 指数函数的性质及应用
解析:画出函数f(x)的图象如图所示,由图可知:
①当x+1≥0,且2x≥0,即x≥0时,f(2x)=f(x+1),不满足题意;
②当x+1>0,且2x<0,即-1③当x+1≤0时,x≤-1,此时2x<0,
若f(x+1)则x+1>2x,解得x<1.故x≤-1.
综上所述,x的取值范围为(-∞,0).
答案:D
解析:借助函数的图象可知,对于A,函数单调递减,不合题意;对于B,根据指数函数的性质可知函数单调递减,不合题意;对于C,函数在定义域内不具有单调性,不合题意;对于D,根据幂函数的性质可知,函数在其定义域内为增函数,符合题意.故选D.
答案:D
5.(2019·北京高考)设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a= ;若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是 .
解析:若函数f(x)=ex+ae-x为奇函数,
又x∈R,则有f(0)=0,即e0+ae0=1+a=0,解得a=-1.
若函数f(x)=ex+ae-x为R上的增函数,
因为y=ex为R上的增函数,
所以y=ae-x为R上的增函数,或y=ae-x为常量,而y=e-x为R上的减函数,所以a<0或a=0,即a≤0.
答案:-1 (-∞,0]