4.5 函数的应用(二)
4.5.1 函数的零点与方程的解
A级 必备知识基础练
1.函数f(x)=ln 2x-1的零点位于区间( )
A.(2,3) B.(3,4) C.(0,1) D.(1,2)
2.(2022江西赣州高一期末)若函数f(x)=2x+x-4的零点所在区间为(k,k+1)(k∈Z),则k=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知函数f(x)=则函数y=f(x)+3x的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4.函数f(x)=x3-的零点个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.无数个
5.(多选题)若函数f(x)的图象在R上连续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是( )
A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点
B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点
C.f(x)在区间(1,2)上可能有零点
D.f(x)在区间(1,2)上一定有零点
6.若方程x2-(k+2)x+1-3k=0有两个不相等的实数解x1,x2,且0
7.已知函数f(x)=x2-mx+a-m对任意的实数m恒有零点,求实数a的取值范围.
B级 关键能力提升练
8.已知函数f(x)=log2(x+1)+3x+m的零点在区间(0,1]上,则m的取值范围为( )
A.(-4,0)
B.(-∞,-4)∪(0,+∞)
C.(-∞,-4]∪[0,+∞)
D.[-4,0)
9.(2021北京丰台高一期末)已知函数f(x)=则f(x)的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
10.已知实数x0是函数f(x)=的一个零点,若0A.f(x1)<0,f(x2)<0
B.f(x1)<0,f(x2)>0
C.f(x1)>0,f(x2)<0
D.f(x1)>0,f(x2)>0
11.已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,有如下的对应值表:
x 1 2 3 4 5 6
y 123.56 21.45 -7.82 11.45 -53.76 -128.88
则下列说法正确的是( )
A.函数y=f(x)在区间[1,6]上有3个零点
B.函数y=f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点
C.函数y=f(x)在区间[1,6]上至多有3个零点
D.函数y=f(x)在区间[1,2]上无零点
12.已知f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且α,β是函数f(x)的两个零点,则实数a,b,α,β的大小关系可能是( )
A.a<αC.α13.已知函数f(x)=若f(x)恰有两个零点,则正数a的取值范围是 ( )
A.0, B.,2
C.,1 D.(1,2)
14.已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系是 .
15.已知函数f(x)=若f(x0)=-1,则x0= ,若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围为 .
16.(2021河南洛阳高一期末)已知函数f(x)=
(1)若f(a)=1,求实数a的值;
(2)若关于x的方程f(x)-m=0恰有三个解,求实数m的取值范围.
C级 学科素养创新练
17.已知函数f(x)=x2-(k-2)x+k2+3k+5有两个零点.
(1)若函数的两个零点分别是-1和-3,求k的值;
(2)若函数的两个零点分别是α和β,求α2+β2的取值范围.
4.5.1 函数的零点与方程的解
1.D f(x)=ln 2x-1在定义域上是增函数,并且是连续函数,且f(1)=ln 2-1<0,f(2)=ln 4-1>0,根据函数零点存在定理可得,函数f(x)的零点位于区间(1,2)上,故选D.
2.A 因为函数f(x)=2x+x-4在R上单调递增,且f(1)=2+1-4=-1<0,f(2)=22+2-4=2>0,
所以函数的零点在区间(1,2)内.又因为函数的零点在区间(k,k+1)(k∈Z)内,所以k=1,故选A.
3.C 根据题意,令x2-2x+3x=0,解得x1=0,x2=-1,当x≤0时,符合题意;
令1++3x=0,无解,故函数y只有两个零点,故选C.
4.B 作出y=x3与y=的图象,如图所示,两个函数的图象只有一个公共点,所以函数f(x)只有一个零点.故选B.
5.AC 因为f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,
所以f(0)f(1)<0,
因为函数f(x)的图象在R上连续不断,
由零点存在定理,可得f(x)在区间(0,1)上一定有零点.
又f(1)f(2)>0,因此无法判断f(x)在区间(1,2)上是否有零点.
6. 因为方程x2-(k+2)x+1-3k=0有两个不相等的实数解x1,x2,且0所以设f(x)=x2-(k+2)x+1-3k,画出函数f(x)的大致图象,如图所示.
结合图象知f(0)=1-3k>0,且f(1)=-4k<0,
且f(2)=1-5k>0,所以0故实数k的取值范围为.
7.解令x2-mx+a-m=0,
因为函数f(x)对任意的实数m恒有零点,
故不论m取何值,方程x2-mx+a-m=0恒有解,
即Δ=(-m)2-4(a-m)≥0,
即a≤+m对任意的实数m恒成立.
∵+m=(m+2)2-1≥-1,
∴a≤-1.
∴实数a的取值范围是(-∞,-1].
8.D 由题意,函数f(x)=log2(x+1)+3x+m是定义域上的增函数,
又由函数f(x)在区间(0,1]上存在零点,则满足
解得-4≤m<0,即实数m的取值范围为[-4,0),故选D.
9.C ∵f(x)=
令f(x)=0,
当x≤0时,x2-2x=0,解得x=0或x=2(舍去);
当x>0时,-1=0,解得x=1.
所以f(x)=0有2个实数解,即函数f(x)的零点个数为2.故选C.
10.B 因为y=与y=-在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=在(0,+∞)上单调递增,且f(x0)=0,所以当00.故选B.
11.B 由题中表格可知,f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)f(5)<0.
由函数零点存在定理知,函数y=f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)上分别至少存在1个零点,所以函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个.
虽然f(1)f(2)>0,但函数y=f(x)在[1,2]上也有可能存在一个或多个零点.同理,在[5,6]上也如此.
12.C ∵α,β是函数f(x)的两个零点,
∴f(α)=f(β)=0.
又f(a)=f(b)=-2<0,结合二次函数的图象(如图所示)可知a,b必在α,β之间.故选C.
13.C 函数f(x)=若f(x)恰有两个零点,
可得2x-1=0,解得x=0<1;(x-a)(x-2a)=0,可得x=a或x=2a,
由a≥1,2a<1,可得a∈ ;由2a≥1,a<1,可得≤a<1,
综上可得a的取值范围是,1.故选C.
14.a观察图象可知,函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次是点A,B,C的横坐标,由图象可知a15.-1 (0,1) 由方程f(x0)=-1得解得x0=-1.关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根等价于y=f(x)的图象与y=k的图象有两个不同的交点,观察图象可知,当016.解(1)当a>0,f(a)=1,即a2-3a+2=1,解得a=,均满足条件.当a≤0时,∵ea>0,ea+1>1,
∴f(a)=1无解.故a=.
(2)在同一坐标系内分别作出y1=f(x)和y2=m的图象如图所示.
当x≤0时,f(x)单调递增,1当x>0时,f(x)在0,上单调递减,在,+∞上单调递增,f=-.
故当117.解(1)∵-1和-3是函数f(x)的两个零点,
∴-1和-3是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的实数解.则解得k=-2.
(2)由题意知α和β是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的实数解,∴则4.5.2 用二分法求方程的近似解
A级 必备知识基础练
1.(多选题)下列函数中,能用二分法求函数零点的有( )
A.f(x)=3x-1
B.f(x)=x2-2x+1
C.f(x)=log4x
D.f(x)=ex-2
2.(2021江西上高二中高二期末)若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:
f(1)=-2 f(1.5)= 0.625 f(1.25)= -0.984
f(1.375)= -0.260 f(1.437 5)= 0.162 f(1.406 25)= -0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确到0.1)为( )
A.1.4 B.1.3
C.1.2 D.1.5
3.(多选题)已知函数f(x)在区间(0,a)上有唯一的零点,其中a>0,在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为,则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)在区间内可能有零点
B.函数f(x)在区间内可能有零点
C.函数f(x)在内无零点
D.函数f(x)的零点可能是
4.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实数解,取区间中点x0=2.5,那么下一个有解区间为 .
5.下表是连续函数f(x)在区间[1,2]上一些点的函数值:
x 1 1.25 1.375 1.406 5 1.438
f(x) -2 -0.984 -0.260 -0.052 0.165
x 1.5 1.625 1.75 1.875 2
f(x) 0.625 1.982 2.645 4.35 6
由此可判断,方程f(x)=0的一个近似解为 .(精确到0.1)
6.已知函数f(x)=ln x+2x-6.
(1)证明:f(x)有且只有一个零点;
(2)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不大于.
B级 关键能力提升练
7.在用二分法求的近似值的过程中,可以构造函数f(x)=x2-2(x>0),我们知道f(1)·f(2)<0,所以∈(1,2),要使的近似值满足精确度为0.1,则对区间(1,2)至少二等分的次数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
8.用二分法求方程ln x-=0在[1,2]上的根时,取中点c=1.5,则下一个有根区间为( )
A.(1,1.25) B.(1,1.5)
C.(1,2) D.(1.5,2)
9.(多选题)若函数f(x)的图象是连续的,且函数f(x)的唯一零点同时在区间(0,4),(0,2),1,,内,则与f(0)符号不同的是( )
A.f B.f(2)
C.f(1) D.f
10.已知函数f(x)=ln(x+1)+2x-m(m∈R)的一个零点附近的函数值的参考数据如下表:
x 0 0.5 0.531 25 0.562 5
f(x) -1.307 -0.084 -0.009 0.066
x 0.625 0.75 1
f(x) 0.215 0.512 1.099
由二分法求得方程ln(x+1)+2x-m=0的近似解(精确度0.05)可能是( )
A.0.625 B.-0.009
C.0.562 5 D.0.066
11.用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:
f(1.600 0)≈ 0.200 f(1.587 5)≈ 0.133 f(1.575 0)≈ 0.067
f(1.562 5)≈ 0.003 f(1.556 2)≈ -0.029 f(1.550 0)≈ -0.060
据此数据,可得方程3x-x-4=0的一个近似解为 (精确到0.01).
12.证明函数f(x)=x3-x2+5,x∈[-2,-1]有零点,并指出用二分法求零点的近似值(精确度小于0.1)时,至少需要进行多少次函数值的计算.
C级 学科素养创新练
13.已知函数f(x)=.
(1)判断函数f(x)在区间[0,+∞)上的单调性,并用定义证明;
(2)函数g(x)=f(x)+log2x-2在区间(1,3)内是否有零点 若有零点,用“二分法”求零点的近似值(精确度0.3);若没有零点,说明理由.
(参考数据:≈1.18,≈1.225,≈1.323,log21.25≈0.32,log21.5≈0.585,log21.75≈0.807)
4.5.2 用二分法求方程的近似解
1.ACD f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,f(1)=0,当x<1时,f(x)>0;当x>1时,f(x)>0,在零点两侧函数值同号,不能用二分法求零点,其余选项中在函数的零点两侧函数值总是异号.故选ACD.
2.A 由表格中参考数据可得f(1.437 50)>0,f(1.406 25)<0,又因为题中要求精确到0.1,所以近似根为1.4,故选A.
3.ABD 根据二分法原理,依次“二分”区间后,零点应存在于更小的区间,因此,零点应在中,或f=0,故选ABD.
4.[2,2.5] 因为f(2)<0,f(2.5)>0,f(3)>0,
所以f(2)f(2.5)<0,f(2.5)f(3)>0.
所以下一个有解区间应为[2,2.5].
5.1.4 由题中表格对应的数值可得,函数零点一定在区间[1.406 5,1.438]上,由精确度可知近似解可为1.4.
6.(1)证明令x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=ln+2(x1-x2),且>1,x1-x2>0.
∴f(x1)>f(x2),即f(x)=ln x+2x-6在(0,+∞)上是增函数,
∴f(x)至多有一个零点.又f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0,∴f(2)·f(3)<0,即f(x)在(2,3)内有一个零点.
∴f(x)在(0,+∞)上只有一个零点.
(2)解∵f(2)<0,f(3)>0,取x1=,f=ln -1<0,
∴f(3)f<0,即f(x)零点x0∈,3.
取x2=,则f=ln>0.
∴ff<0.
∴x0∈.又=,
∴满足题意的区间为.
7.B 设要计算n次,则n满足<0.1,即2n>10.故计算4次就可满足要求.
所以将区间(1,2)等分的次数为4次.故选B.
8.D 令f(x)=ln x-,因为f(1)=-1<0,f(2)=ln 2-=ln 2-ln >ln 2-ln =ln 2-ln 2=0,
f(1.5)=ln=lnln e=lnln e2=ln -ln e2<(ln 4-2)=0,所以下一个有根区间为(1.5,2).故选D.
9.BD 由二分法的步骤可知:①零点在区间(0,4)内,则有f(0)·f(4)<0,不妨设f(0)>0,f(4)<0,取中点2;②零点在区间(0,2)内,则有f(0)·f(2)<0,则f(0)>0,f(2)<0,取中点1;③零点在区间(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0,则f(1)>0,f(2)<0,取中点;④零点在区间1,内,则有f(1)·f<0,则f(1)>0,f<0,则取中点;⑤零点在区间内,则有f·f<0,则f>0,f<0,所以与f(0)符号不同的是f(4),f(2),f.
10.C 设近似解为x0,
因为f(0.531 25)<0,f(0.562 5)>0,
所以x0∈(0.531 25,0.562 5).
因为0.562 5-0.531 25=0.031 25<0.05,
所以方程的近似解可取为0.562 5,故选C.
11.1.56 由表知,f(1.556 2)=-0.029,f(1.562 5)=0.003,则f(1.556 2)f(1.562 5)<0,故区间的端点四舍五入可得1.56.
12.解因为f(-2)=-8-4+5=-7<0,f(-1)=-1-1+5=3>0,
所以f(-2)·f(-1)<0,所以函数f(x)=x3-x2+5在区间[-2,-1]上有零点x0.
至少需要进行3次函数值的计算,理由如下:
取区间[-2,-1]的中点x1==-,且f-=-+5=-<0,所以x0∈-,-1.
取区间-,-1的中点x2==-,
且f-=+5>0,
所以x0∈-,-.
取区间-,-的中点x3==-,
且f-=+5>0,
所以x0∈-,-.
因为---<0.2,所以区间-,-的中点x4==-即为零点的近似值,即x0≈-,所以至少需进行3次函数值的计算.
13.解(1)函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数.
理由如下:令0≤x1故函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数.
(2)g(x)=+log2x-2是增函数.
∵g(1)=1+log21-2=-1<0,g(3)=+log23-2>0,g(2)=+log22-2=-1>0,
∴函数g(x)在区间(1,2)内有且只有一个零点.
∵g(1.5)=+log21.5-2≈1.225+0.585-2=-0.19<0,g(1.75)=+log21.75-2≈1.323+0.807-2=0.13>0,∴函数的零点在(1.5,1.75)内.4.5.3 函数模型的应用
A级 必备知识基础练
1.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致是( )
2.有一组实验数据如下:
t 1.99 3.00 4.00 5.10 6.12
V 1.5 4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是( )
A.V=log2t B.V=lot
C.V= D.V=2t-2
3.(多选题)某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少,则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)( )
A.6 B.9 C.8 D.7
4.(2022福建泉州高一期末)已知火箭的最大速度v(单位:km/s)和燃料质量M(单位:kg)、火箭质量m(单位:kg)的关系是v=2 000ln1+.若火箭的最大速度为9 240 km/s,则≈( )(参考数值:e4.62≈101)
A. B. C.10 D.100
5.已知某个病毒经30 min可繁殖为原来的2倍,且病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:h,y表示病毒个数),则k= ,经过5 h,1个病毒能繁殖 个.
6.一个驾驶员喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,根据有关规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.2 mg/mL,那么这个驾驶员至少要经过 h才能开车(结果精确到1 h,参考数据lg 2≈0.30,lg 3≈0.48).
7.有关数据显示,中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨,2016年的年增长率为50%,有专家预测,如果不采取措施,未来包装垃圾还将以此增长率增长,从哪年开始,快递行业产生的包装垃圾会超过4 000万吨.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
B级 关键能力提升练
8.(2021广西河池高一期末)某化工原料厂原来月产量为100吨,月份增产20%,二月份比一月份减产10%,则二月份产量为( )
A.106吨 B.108吨 C.110吨 D.112吨
9.(2021福建福州高一期末)已知比较适合生活的安静环境的声强级L(噪音级)为30~40分贝(符号:dB),声强I(单位:W/m2)与声强级L(单位:dB)的函数关系式为I=b·10aL(a,b为常数).某型号高铁行驶在无村庄区域的声强为10-5.2 W/m2,声强级为68 dB,驶进市区附近降低速度后的声强为10-6.5 W/m2,声强级为55 dB,若要使该高铁驶入市区时的声强级达到安静环境要求,则声强的最大值为( )
A.10-9 W/m2 B.10-8 W/m2
C.10-7 W/m2 D.10-6 W/m2
10.(多选题)(2021江苏连云港高二期末)已知2000年底,人类知识总量为a,假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番,从2009年底到2019年底是每一年翻一番,2020年(按365天计算)是每73天翻一番,则下列说法正确的是( )
A.2006年底人类知识总量是2a
B.2009年底人类知识总量是8a
C.2019年底人类知识总量是213a
D.2020年底人类知识总量是218a
11.某地下车库在排气扇发生故障的情况下,测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态,经抢修后恢复正常.排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm(ppm为浓度单位,1 ppm表示百万分之一),经检验知,该地下车库一氧化碳浓度y(单位:ppm)与排气时间t(单位:分钟)之间存在函数关系y=27-mt(m为常数),则m= ;若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常,那么至少需要排气 分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态.
12.某地区发生里氏8.0级特大地震.地震专家对发生的余震进行了监测,记录的部分数据如下表:
强度/J 1.6×1019 3.2×1019 4.5×1019 6.4×1019
震级/里氏 5.0 5.2 5.3 5.4
注:地震强度是指地震时释放的能量.
地震强度x和震级y的模拟函数关系可以选用y=alg x+b(其中a,b为常数).利用散点图可知a的值等于 .(取lg 2≈0.3进行计算)
13.如图,是某受污染的湖泊在自然净化过程中,某种有害物质的剩留量y与净化时间t(单位:月)的近似函数关系:y=at(t≥0,a>0,且a≠1).有以下叙述:
①第4个月时,剩留量会低于;②每月减少的有害物质量都相等;③若剩留量为所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.
其中所有正确的叙述是 .(填序号)
14.(2021福建宁德高一期末)为了给广大市民提供优质的饮用水,某矿泉水厂特别重视生产过程的除杂质工序,过滤前水含有杂质a%(其中a为常数),每经过一次过滤均可使水的杂质含量减少,设水过滤前的量为1,过滤次数为x(x∈N*)时,水的杂质含量为y.
(1)写出y与x的函数关系式;
(2)假设出厂矿泉水的杂质含量不能超过0.002a%,问至少经过几次过滤才能使矿泉水达到要求 (参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)
C级 学科素养创新练
15.(2022山东聊城高一期末)测得某水域2020年二月底浮萍覆盖面积为45 m2,四月底浮萍覆盖面积为80 m2,八月底浮萍覆盖面积为115 m2.若浮萍覆盖面积y(单位:m2)与月份x(2020年1月底记x=1,2021年1月底记x=13)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=mlog2x+n(m>0)可供选择.
(1)你认为选择哪个模型更符合实际 并解释理由;
(2)利用你选择的函数模型,试估算从2020年1月初起至少经过多少个月该水域的浮萍覆盖面积能达到148 m2 (可能用到的数据log215≈3.9,≈1.37,≈66.72)
4.5.3 函数模型的应用
1.D 设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意知ax=a(1+0.104)y,即y=log1.104x(x≥1),所以函数y=f(x)的图象大致为D中图象.
2.C 当t=4时,选项A中的V=log24=2,
选项B中的V=lo4=-2,
选项C中的V==7.5,
选项D中的V=2×4-2=6,故选C.
3.BC 设经过n次过滤,产品达到市场要求,则,即,由nlg≤-lg 20,即n(lg 2-lg 3)≤-(1+lg 2),得n≥≈7.4.
4.D 由题意,火箭的最大速度v和燃料质量M、火箭质量m的关系是v=2 000ln1+,可得v=2 000ln1+=9 240,即ln1+==4.62,所以1+=e4.62≈101,可得=100.故选D.
5.2ln 2 1 024 当t=0.5时,y=2,
∴2=,∴k=2ln 2,
∴y=e2tln 2.当t=5时,y=e10ln 2=210=1 024.
6.2 设经过n h后才能开车,
此时酒精含量为0.3(1-25%)n.
根据题意,有0.3(1-25%)n≤0.2,
则有nlg=n(lg 3-2lg 2)≤lg =lg 2-lg 3,
将已知数据代入,得n(0.48-0.60)≤0.30-0.48,
∴n≥,故至少要经过2 h才能开车.
7.解设快递行业产生的包装垃圾为y万吨,n表示从2015年开始增加的年份的数量,
由题意可得y=400×(1+50%)n=400×n,n∈N*,
当y=4 000时,有n=10,两边取对数可得n(lg 3-lg 2)=1,
∴n(0.477 1-0.301 0)=1,0.176 1n=1,解得n≈6,
∴从2015+6=2021年开始,快递行业产生的包装垃圾会超过4 000万吨.
8.B 因为化工原料厂原来月产量为100吨,月份增产20%,所以一月份的产量为100×(1+20%)=120(吨).又因为二月份比一月份减产10%,
所以二月份的产量为120×(1-10%)=108(吨).故选B.
9.B 由题意可知解得a=0.1,b=10-12,所以I=10-12×100.1L=100.1L-12,所以当L取最大值40时,I取得最大值100.1×40-12=10-8(W/m2),故选B.
10.BCD 2006年底人类知识总量为a×2×2=4a,故A错误;2009年底人类知识总量为a×2×2×2=8a,故B正确;2019年底人类知识总量为8a×210=213a,故C正确;2020年底人类知识总量为213a×25=218a,故D正确.故选BCD.
11. 32 ∵函数y=27-mt(m为常数)经过点(4,64),
∴64=27-4m,解得m=.故y=.
由,解得t≥32.
故至少排气32分钟,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态.
12. 由记录的部分数据可知x=1.6×1019时,y=5.0,x=3.2×1019时,y=5.2.
所以
②-①,得0.2=alg,0.2=alg 2.
所以a=.
13.①③ 由图象可得,当t=2时,y=,即a2=,
解得a=.故y=.
所以当t=4时,有害物质的剩余量为y=,所以①正确;
第一个月的减少量为1-;
第二个月的减少量为,显然两者不同,所以②错误;
③由已知,所以,即,所以t1+t2=t3,故③正确.
14.解(1)因为每经过一次过滤均可使水的杂质含量减少,所以每次过滤后所含的杂质是前一次的,故y=a%×,x∈N*.
(2)设至少经过x次过滤才能使矿泉水达到要求,则
a%×≤0.002a%,所以,
所以lgx≤lg,即xlg≤lg,
所以x≥≈5.7,又x∈N*,所以x≥6.
故至少经过6次过滤才能使矿泉水达到要求.
15.解(1)若选择数据(2,45)和(4,80),
由解得m=35,n=10,
则y=35log2x+10,
当x=8时,y=35log28+10=115,与实际情况相符;
由解得a=,k=,
则y=×x,
当x=8时,y=×8=>115,与实际情况差别比较大,故选函数模型y=35log2x+10.
(2)因为35log215+10≈35×3.9+10=146.5,