第四章 数列
4.1 数列的概念
第1课时 数列的概念与简单表示
必备知识基础练
1.(2022福建泉州高二期末)数列{an}中,若an=,则a4=( )
A. B. C.2 D.8
2.已知数列-1,,-,…,(-1)n,…,它的第5项的值为( )
A. B.-
C. D.-
3.已知数列的通项公式an=则a2a3等于( )
A.70 B.28 C.20 D.8
4.(2021河南八市重点高中高二联考)数列2,-5,8,-11,…,(-1)n-1(3n-1),(-1)n(3n+2)的第2n项为( )
A.6n-1 B.-6n+1
C.6n+2 D.-6n-2
5.数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式是( )
A. B.cos
C.cos D.cos
6.(多选题)已知数列的通项公式为an=n2-8n+15,则3可以是( )
A.数列{an}中的第1项
B.数列{an}中的第2项
C.数列{an}中的第4项
D.数列{an}中的第6项
7.(多选题)下面四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是( )
A.1,,…,,…
B.sin,sin,sin,…,sin,…
C.-1,-,-,-,…,-,…
D.1,,…,,…
8.(多选题)数列{an}的通项公式为an=n+,则 ( )
A.当a=2时,数列{an}的最小值是a1=a2=3
B.当a=-1时,数列{an}的最小值是a1=0
C.当0
D.当a<2时,{an}为递增数列
9.已知数列{an}的通项公式为an=2 021-3n,则使an>0成立的正整数n的最大值为 .
10.写出以下各数列的一个通项公式.
(1)1,-,-,….
(2)10,9,8,7,6,….
(3)2,5,10,17,26,….
(4),….
(5)3,33,333,3 333,….
11.已知数列{an},an=n2-pn+q,且a1=0,a2=-4.
(1)求a5.
(2)150是不是该数列中的项 若是,是第几项
关键能力提升练
12.下列图案关于星星的数量构成一个数列,该数列的一个通项公式是( )
A.an=n2-n+1 B.an=
C.an= D.an=
13.设an=+…+(n∈N*),则a2等于( )
A.
B.
C.
D.
14.(2021河北石家庄月考)数列,-,-,…的一个通项公式为( )
A. B.
C. D.
15.(2022广西南宁二中高二月考)若数列{an}的通项公式为an=-2n2+25n,则数列{an}的各项中最大项是( )
A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项
16.(多选题)已知数列{an}的前4项依次为2,0,2,0,则数列{an}的通项公式可以是( )
A.an=
B.an=1+(-1)n+1
C.an=2sin
D.an=
17.(2021辽宁锦州义县高二月考)已知数列{an}的通项公式为an=,若数列{an}为递减数列,则实数k的取值范围为 .
18.函数f(x)=x2-2x+n(n∈N*)的最小值记为an,设bn=f(an),则数列{an},{bn}的通项公式分别是an= ,bn= .
19.已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N*).
(1)0和1是不是数列{an}中的项 如果是,那么是第几项
(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项 若存在,分别是第几项
学科素养创新练
20.如图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案,会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图2中的直角三角形继续作下去,记OA1,OA2,…,OAn,…的长度构成数列{an},则此数列的通项公式为( )
图1
图2
A.an=n,n∈N* B.an=,n∈N*
C.an=,n∈N* D.an=n2,n∈N*
21.(2021浙江金丽衢十二校高三联考)若数列{an}的通项公式为an=(n∈N*),则这个数列中的最大项是( )
A.第43项 B.第44项
C.第45项 D.第46项
22.在数列{an}中,an=.
(1)求数列的第7项.
(2)求证:此数列的各项都在区间(0,1)内.
(3)区间内有没有数列中的项 若有,有几项
参考答案
4.1 数列的概念
第1课时 数列的概念与简单表示
1.B 由an=可知16-2n>0,即n<8,所以a4=.
2.D 第5项为(-1)5×=-.
3.C 由an=得a2a3=2×10=20.
4.B 由数列可知奇数项为正数,偶数项为负数,即可表示为(-1)n-1,又首项为2,故数列的通项公式为an=(-1)n-1(3n-1),所以第2n项为a2n=(-1)2n-1(6n-1)=-(6n-1)=-6n+1.
5.D 当n=1时,C不成立;当n=2时,B不成立;当n=4时,A不成立.故选D.
6.BD 令n2-8n+15=3,解得n=2或n=6,因此3是数列{an}中的第2项和第6项,故选BD.
7.CD 选项C,D既是无穷数列又是递增数列.
8.ABCD 当a=2时,an=n+,由f(x)=x+的单调性及a1=3,a2=3,可知A正确;
当a=-1时,an=n-,显然是递增数列,故最小值为a1=0,B正确;
令an=n+=a,得n2-na+a=0,当0若{an}是递增数列,则an+1>an,即n+1+>n+,得a9.673 由an=2 021-3n>0,得n<=673,
又因为n∈N*,所以正整数n的最大值为673.
10.解(1)an=(-1)n+1;
(2)an=11-n;
(3)an=n2+1;
(4)an=;
(5)an=(10n-1).
11.解(1)由已知,得解得所以an=n2-7n+6,所以a5=52-7×5+6=-4.
(2)令an=n2-7n+6=150,解得n=16(n=-9舍去),所以150是该数列中的项,并且是第16项.
12.C 由图形可知,当n=1时,有1个,排除BD;当n=3时,有6个,排除A.
故选C.
13.C ∵an=+…+(n∈N*),
∴a2=.
14.B 数列,-,-,…可以写成,-,-,…,故这个数列的一个通项公式为an=.故选B.
15.C 因为an=-2n2+25n=-2n-2+,且n∈N*,所以当n=6时,an的值最大,即最大项是第6项.
16.ABC ∵an=
∴a1=2,a2=0,a3=2,a4=0,故A正确;
∵an=1+(-1)n+1,
∴a1=1+(-1)2=2,a2=1+(-1)3=0,a3=1+(-1)4=2,a4=1+(-1)5=0,故B正确;
∵an=2sin ,
∴a1=2=2,a2=2=0,
a3=2=2,a4=2=0,故C正确;
∵an=,∴a1==2,a2==1,a3==2,a4==1,故D错误.故选ABC.
17.(0,+∞) 由数列{an}为递减数列可知an+13-3n,因为n∈N*,所以3-3n≤0(n=1时等号成立),即3-3n的最大值为0,所以k>0.
18.n-1 n2-3n+3 当x=1时,f(x)min=f(1)=1-2+n=n-1,即an=n-1;
将x=n-1代入f(x)得,bn=f(n-1)=(n-1)2-2(n-1)+n=n2-3n+3.
19.解(1)令an=0,得n2-21n=0,∴n=21或n=0(舍去),∴0是数列{an}中的第21项.令an=1,得=1,
而该方程无正整数解,∴1不是数列{an}中的项.
(2)假设存在连续且相等的两项是an,an+1,
则有an=an+1,即.
解得n=10,所以存在连续且相等的两项,它们分别是第10项和第11项.
20.C ∵OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,
∴OA2=,OA3=,…,OAn=,…,
∴a1=1,a2=,a3=,…,an=,….
21.C 设f(x)=(x>0),
则f(x)=,又由x+≥2,当且仅当x=时,等号成立,
则当x=时,x+取得最小值,此时f(x)取得最大值,
而44<<45,a44=22.(1)解a7=.
(2)证明∵an==1-,
∴0(3)解令,则故n=1,即在区间内有且只有1项a1.第2课时 数列的递推公式
必备知识基础练
1.已知在数列{an}中,a1=2,an+1=an+n(n∈N*),则a4的值为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
2.(2021河北承德一中高二月考)已知数列{an}的前n项和Sn=,则a6的值等于( )
A. B.- C. D.-
3.(2021河南中原名校高三联考)已知数列{an}的前n项和Sn=4n2-10n,则a2a6=( )
A.52 B.68 C.96 D.108
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2,则a2=( )
A.4 B.2 C.1 D.-2
5.已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),则数列{an}的通项公式是( )
A.2n-1 B.
C.n2 D.n
6.若数列{an}满足an+1=2an-1,且a8=16,则a6= .
7.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,求{an}的通项公式.
关键能力提升练
8.已知数列{an},a1=2,a2=1,an+2=3an+1-an,则a6+a4-3a5的值为( )
A.3 B.-2 C.-1 D.0
9.已知数列{an},an+1=,a1=3,则a2 022= ( )
A. B.3 C.- D.
10.在数列{an}中,a1=1,对所有的n≥2,都有a1a2a3…an=n2,则a3+a5等于( )
A. B. C. D.
11.(多选题)在无穷数列{an}中,若ap=aq(p,q∈N*),总有ap+1=aq+1,此时定义{an}为“阶梯数列”.设{an}为“阶梯数列”,且a1=a4=1,a5=,a8a9=2,则( )
A.a7=1 B.a8=2a4
C.S10=10+3 D.a2 020=1
12.设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)-n+an+1an=0(n∈N*),则它的通项公式an= .
13.(2021陕西西安部分学校高二期末)已知数列{an}满足a1=3,a2=8,an+2等于an+1an的个位数,则a4= .
14.已知数列{an}满足an+1=
若a1=,试求a2 021+a2 022.
学科素养创新练
15.(2021河南南阳高二期中)在数列{an}中,a1=,an+1=则a23=( )
A. B. C. D.
16.已知数列a1=1,a2,a3,…,an(n∈N*)的法则如下:若an为自然数,则an+1=an-2,否则an+1=an+3,则a6= .
参考答案
第2课时 数列的递推公式
1.D 因为a1=2,an+1=an+n,所以a2=a1+1=2+1=3,a3=a2+2=3+2=5,a4=a3+3=5+3=8.
2.D a6=S6-S5==-.故选D.
3.B 由题意,可得当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n2-10n-[4(n-1)2-10(n-1)]=8n-14,
所以a2a6=(8×2-14)×(8×6-14)=68.
4.A Sn=2an-2 a1=S1=2a1-2 a1=2 a1+a2=S2=2a2-2 a2=4.故选A.
5.D (方法一 构造法)
由已知整理,得(n+1)an=nan+1,
∴,∴数列是常数列,
且=1,∴an=n.
(方法二 累乘法)
当n≥2时,,
…
,
两边分别相乘,得=n.∵a1=1,∴an=n.
6. ∵an+1=2an-1,∴a8=2a7-1=16,
解得a7=,又a7=2a6-1=,解得a6=.
7.解由题意,得an+1-an=ln,
∴an-an-1=ln(n≥2),
an-1-an-2=ln,
…,
a2-a1=ln,
∴当n≥2时,an-a1=ln·…·=ln n,
∴an=2+ln n(n≥2).
当n=1时,a1=2+ln 1=2,符合上式,
∴an=2+ln n(n∈N*).
8.D ∵an+2=3an+1-an,∴an+2+an=3an+1.
令n=4,得a6+a4=3a5,∴a6+a4-3a5=0.
9.A 由题意,可知:a1=3,
a2==-,
a3=,
a4==3,
a5==-,
….
∴数列{an}是一个以3为最小正周期的周期数列.
∵2 022÷3=674,∴a2 022=a3=.
10.C 由题意a1a2=22,a1a2a3=32,a1a2a3a4=42,a1a2a3a4a5=52,
则a3=,a5=.故a3+a5=.
11.ACD 因为{an}为“阶梯数列”,由a1=a4=1可得a2=a5,a3=a6,a4=a7,a5=a8,a6=a9,…,观察可得a1=a4=a7=…=a3n-2=1(n∈N*),a2=a5=a8=…=a3n-1=(n∈N*),a3=a6=a9=…=a3n(n∈N*),即数列{an}是以3为周期的周期数列,所以a7=1,a8=,故A正确,B错误;
a9==2,S10=(a1+a4+a7+a10)+(a2+a5+a8)+(a3+a6+a9)=10+3,故C正确;
a2 020=a1+3×673=a1=1,故D正确.故选ACD.
12. 把(n+1)-n+an+1an=0分解因式,
得[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0.
∵an>0,∴an+1+an>0,
∴(n+1)an+1-nan=0,∴,
∴·…·×…×(n≥2),∴.
又a1=1,∴an=a1=.
又a1=1也适合上式,∴an=,n∈N*.
13.2 由已知an+2等于an+1an的个位数,又a1=3,a2=8,则a1a2=24,∴a3=4,则a2a3=32,∴a4=2.
14.解∵a1=,
∴a2=2a1-1=,
∴a3=2a2-1=,∴a4=2a3=.
∴数列{an}是周期数列,且周期为3.
∴a2 021+a2 022=a673×3+2+a674×3=a2+a3=.
15.A 由题意可得a1=,a2=a1+1=,a3=|2a2-3|=,a4=a3+1=,a5=|2a4-3|=,a6=,…,则数列{an}是以4为周期的数列,故a23=a3=.
16.1 ∵a1=1是自然数,∴a2=a1-2=1-2=-1.
∵a2=-1不是自然数,∴a3=a2+3=-1+3=2.
∵a3=2是自然数,∴a4=a3-2=2-2=0.
∵a4=0是自然数,∴a5=a4-2=0-2=-2.
∵a5=-2不是自然数,∴a6=a5+3=-2+3=1.