第五章 一元函数的导数及其应用
5.1 导数的概念及其意义
5.1.1 变化率问题
必备知识基础练
1.质点运动规律S(t)=t2+3,则从t=3到t=3.3 内,质点运动的平均速度为( )
A.6.3 B.36.3 C.3.3 D.9.3
2.表示( )
A.曲线y=x2切线的斜率
B.曲线y=x2在点(1,1)处切线的斜率
C.曲线y=-x2切线的斜率
D.曲线y=-x2在(1,-1)处切线的斜率
3.已知函数f(x)=x2图象上四点A(1,f(1)),B(2,f(2)),C(3,f(3)),D(4,f(4)),割线AB,BC,CD的斜率分别为k1,k2,k3,则( )
A.k1B.k2C.k3D.k14.(多选题)已知物体做自由落体运动的方程为s=s(t)=gt2,当Δt无限趋近于0时,无限趋近于9.8 m/s,那么下列说法不正确的是( )
A.9.8 m/s是在0~1 s这段时间内的平均速度
B.9.8 m/s是在1~(1+Δt) s这段时间内的速度
C.9.8 m/s是物体在t=1 s这一时刻的瞬时速度
D.9.8 m/s是物体从1~(1+Δt) s这段时间内的平均速度
5.已知曲线y=上一点P(1,1),则曲线在点P处的切线的斜率为 .
6.一个物体做直线运动,位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系为s(t)=5t2+mt,且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s,则实数m的值为 .
7.一个做直线运动的物体,其位移s与时间t的关系是s(t)=3t-t2(s的单位:m,t的单位:s).
(1)求此物体的初速度;
(2)求此物体在t=2 s时的瞬时速度;
(3)求t=0 s到t=2 s的平均速度.
关键能力提升练
8.曲线y=x3+x2-2x在x=-1处的切线斜率是( )
A.1 B.-1 C.2 D.3
9.设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a等于( )
A.1 B. C.- D.-1
10.(多选题)在曲线y=x3-x+1的所有切线中,斜率的可能取值为( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
11.(多选题)某物体的运动方程为s=s(t)=下列说法正确的是( )
A.此物体在t0=1到t1=1+Δt(0<Δt<2)这段时间内的平均速率是常数
B.此物体在t0=1到t1=1+Δt(0<Δt<2)这段时间内的平均速率与Δt有关
C.此物体在t0=1时的瞬时速度为6
D.此物体在t0=1时的瞬时速度为28
12.
已知汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示,在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为,则三者的大小关系为 .(由大到小排列)
学科素养创新练
13.在曲线y=x3-x2+3x-的所有切线中,斜率最小的切线方程为 .
参考答案
5.1 导数的概念及其意义
5.1.1 变化率问题
1.A S(3)=12,S(3.3)=13.89,
则平均速度=6.3,故选A.
2.B 当y=f(x)=x2时,
,
可知表示y=f(x)=x2在点(1,1)处的切线的斜率.故选B.
3.A k1==4-1=3,k2==9-4=5,k3==16-9=7,
∴k14.ABD 当Δt趋近于0时,平均速度趋近于该时刻的瞬时速度.故选ABD.
5.-2 曲线y=上一点P(1,1),在点P处的切线的斜率为=-2,所以点P处的切线的斜率为-2.
6.1 由已知,得=26,所以(5×32+3m)-(5×22+2m)=26,解得m=1.
7.解(1)=3-Δt.
(3-Δt)=3,所以物体的初速度v0=3 m/s.
(2)
==-Δt-1.
(-Δt-1)=-1,
所以在t=2时的瞬时速度为-1 m/s.
(3)=1(m/s).
8.B 由题意知所求的切线斜率为
=[-1-2Δx+(Δx)2]=-1.
9.A 因为(2a+aΔx)=2a,所以2a=2,所以a=1.
10.BCD 因为y=x3-x+1=f(x),所以k==x2-1.
当x=0时,k有最小值-1,故只要k≥-1即可,故选BCD.
11.BC 当0<Δt<2,1所以=3Δt+6.
=6,即在t0=1时的瞬时速度为6.
故选BC.
12. ∵=kOA,
=kAB,=kBC,
又由图象得kOA∴.
13.2x-y=0 由题意知在曲线上一点(x0,f(x0))的切线斜率为
=(Δx)2+x0Δx+-2x0+3-Δx]
=-2x0+3,
故当x0=1时,切线斜率最小为2.
∴y=×13-12+3×1-=2,
故斜率最小的切线方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0.5.1.2 导数的概念及其几何意义
必备知识基础练
1.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为5x-y+1=0,则( )
A.f'(x0)>0 B.f'(x0)<0
C.f'(x0)=0 D.f'(x0)不存在
2.函数f(x)=x2-sin x在[0,π]上的平均变化率为( )
A.1 B.2
C.π D.π2
3.已知f(x)=-x2,若f'(a)=,则a的值等于( )
A.- B.
C.- D.
4.设函数y=f(x)的导函数为f'(x),若y=f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线方程为x-y+2=0,则f(1)+f'(1)=( )
A.4 B.3
C.2 D.1
5.(多选题)曲线y=在点P处的切线的倾斜角为,则点P的坐标可能为( )
A.(3,3) B.(-3,-3)
C.(9,1) D.(1,9)
6.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则f'(x0)= .
7.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f(x)在A,B两点处的导数f'(a)与f'(b)的大小关系为f'(a) f'(b).(填“<”或“>”)
8.曲线y=x2-2x+3在点A(-1,6)处的切线方程是 .
9.利用导数的定义求函数f(x)=在x=2处的导数.
10.已知函数y=f(x)=-x2+x图象上两点A(2,f(2)),B(2+Δx,f(2+Δx))(Δx>0).
(1)若割线AB的斜率不大于-1,求Δx的取值范围;
(2)求函数y=f(x)=-x2+x的图象在点A(2,f(2))处切线的斜率.
关键能力提升练
11.(2021江西南昌江西师大附中高二期末)设函数y=f(x)在R上可导,则等于( )
A.f'(1) B.3f'(1)
C.f'(1) D.以上都不对
12.(2021安徽滁州高二期末)函数y=f(x)=x2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为k1,在区间[x0-Δx,x0]上的平均变化率为k2,Δx>0,则k1与k2的大小关系为( )
A.k1>k2 B.k1C.k1=k2 D.不能确定
13. (多选题)已知函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上的图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A.f(x)在[a,b]上的平均变化率等于g(x)在[a,b]上的平均变化率
B.f(x)在[a,b]上的平均变化率小于g(x)在[a,b]上的平均变化率
C.对于任意x0∈(a,b),函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率
D.存在x0∈(a,b),使得函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率
14.(多选题)近两年为抑制房价过快上涨,政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策.各地房产部门为尽快实现稳定房价,提出多种方案,其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q.已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示,则在以下四种房产供应方案中,在时间[0,T]内供应效率(单位时间的供应量)不逐步提高的是( )
15.曲线f(x)=在x=-2处的导数为 ,在点(-2,-1)处的切线方程为 .
16.如图,函数f(x)的图象在点P处的切线方程为y=-2x+5,则f(2)+f'(2)= .
17.若抛物线y=x2-x+c上一点P的横坐标是-2,在点P处的切线恰好过坐标原点,则实数c的值为 .
18.已知直线y=4x+a和曲线y=x3-2x2+3相切,求切点坐标及实数a的值.
学科素养创新练
19.已知曲线y=x2,
(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程;
(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程.
参考答案
5.1.2 导数的概念及其几何意义
1.A 由切线方程可以看出其斜率是5,又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数,所以A正确.
2.C 平均变化率为=π.故选C.
3.A 由导数的定义得
f'(x)=
=
==-x,
因此f'(a)=-a=,则a=-.
4.A ∵点P(1,f(1))在切线x-y+2=0上,
∴1-f(1)+2=0,解得f(1)=3.
又f'(1)=1,∴f(1)+f'(1)=4.故选A.
5.AB 由导数定义得y'=-=-,设P(x0,y0),则由导数的几何意义可得-=tan =-1,解得x0=±3,从而y0=±3,即点P的坐标为(3,3)或(-3,-3).
6.a f'(x0)=(a+bΔx)=a.
7.> f'(a)与f'(b)分别表示函数图象在点A,B处的切线斜率,由图象可得f'(a)>f'(b).
8.4x+y-2=0 因为y=x2-2x+3,切点为A(-1,6),
所以斜率k=y'x=-1
=
=(Δx-4)=-4,
所以切线方程为y-6=-4(x+1),即4x+y-2=0.
9.解∵Δy=-2,
,
∴f'(2)=.
10.解(1)由题意得,割线AB的斜率为=-3-Δx,
由-3-Δx≤-1,得Δx≥-2.又因为Δx>0,所以Δx的取值范围是(0,+∞).
(2)由(1)知函数y=f(x)=-x2+x的图象在点A(2,f(2))处切线的斜率为k=(-3-Δx)=-3.
11.C 根据导数的定义=f'(1).
所以f'(1),故选C.
12.A 因为函数y=f(x)=x2在区间[x0,x0+Δx]上的变化量为Δy1=f(x0+Δx)-f(x0)=(x0+Δx)2-=Δx(2x0+Δx),所以k1==2x0+Δx.
函数y=f(x)=x2在区间[x0-Δx,x0]上的变化量Δy2=f(x0)-f(x0-Δx)=-(x0-Δx)2=Δx(2x0-Δx),所以k2==2x0-Δx,所以k1-k2=2Δx,又Δx>0,所以k1>k2.故选A.
13.AD ∵f(x)在[a,b]上的平均变化率是,g(x)在[a,b]上的平均变化率是,又f(b)=g(b),f(a)=g(a),∴,故A正确,B错误;
易知函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数f(x)在x=x0处的导数,
即函数f(x)在该点处的切线的斜率,同理可得,函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数g(x)在该点处的导数,即函数g(x)在该点处的切线的斜率,
由题中图象可知,当x0∈(a,b)时,函数f(x)在x=x0处切线的斜率有可能大于g(x)在x=x0处切线的斜率,也有可能小于g(x)在x=x0处切线的斜率,故C错误,D正确.故选AD.
14.ACD 单位时间的供应量逐步提高时,供应量的增长速度越来越快,图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大,则曲线是上升的,且越来越陡,故选ACD.
15.- x+2y+4=0 f'(-2)==-,
∴切线方程为y+1=-(x+2),即x+2y+4=0.
16.-1 ∵函数y=f(x)的图象在点x=2处的切线方程是y=-2x+5,∴f'(2)=-2,又P(2,f(2))为切点,
∴f(2)=-4+5=1,∴f(2)+f'(2)=-2+1=-1.
17.4 y'==2x-1,抛物线在点P处切线的斜率为2×(-2)-1=-5.
因为点P的横坐标是-2,所以点P的纵坐标是6+c,故直线OP的斜率为-,根据题意有-=-5,解得c=4.
18.解设直线与曲线相切于点P(x0,y0),则f'(x)=
=3x2-4x.
由导数的几何意义,得f'(x0)=3-4x0=4,
解得x0=-或x0=2,
∴切点坐标为-或(2,3).
当切点为-时,有=4×-+a,
∴a=.
当切点为(2,3)时,有3=4×2+a,∴a=-5,因此切点坐标为-或(2,3),a的值为或-5.
19.解(1)设切点为(x0,y0),
∵y'
==2x0,∴y'x=1=2.
∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
(2)点P(3,5)不在曲线y=x2上,设切点为A(x0,y0),由(1)知,y'=2x0,∴切线方程为y-y0=2x0(x-x0),
由P(3,5)在所求直线上,得5-y0=2x0(3-x0), ①
再由A(x0,y0)在曲线y=x2上,得y0=, ②
联立①②得x0=1或x0=5.
从而切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2,
此时切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10,
此时切线方程为y-25=10(x-5),即10x-y-25=0.
综上所述,过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程为2x-y-1=0或10x-y-25=0.
