5.2 导数的运算
5.2.1 基本初等函数的导数 5.2.2 导数的四则运算法则
必备知识基础练
1.(多选题)下列结论中,正确的是( )
A.若y=,则y '=-
B.若y=,则y '=
C.若y=,则y '=-2x-3
D.若f(x)=3x,则f'(1)=3
2.若曲线运动的方程为s=+2t2,则当t=2时的速度为( )
A.12
B.10
C.8
D.4
3.若f(x)=x2-2x-4ln x,则f'(x)>0的解集为( )
A.(0,+∞)
B.(2,+∞)
C.(-1,0)
D.(-1,0)∪(2,+∞)
4.设正弦曲线y=sin x上的任意一点P,以点P为切点的曲线y=sin x的切线为直线l,则直线l的倾斜角α的取值范围是( )
A.0,∪,π
B.[0,π)
C.
D.0,∪
5.(多选题)(2021湖南三湘名校联盟高二联考)已知函数f(x)=x2+f(0)·x-f'(0)·cos x+2,其导函数为f'(x),则( )
A.f(0)=-1
B.f'(0)=1
C.f(0)=1
D.f'(0)=-1
6.已知函数f(x)=f'cos x+sin x,则f的值为 .
7.求下列函数的导数:
(1)y=;
(2)y=log2x2-log2x;
(3)y=;
(4)y=-2sin1-2cos2.
关键能力提升练
8.如图,有一个图象是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,且a≠0)的导函数的图象,则f(-1)等于( )
A. B.-
C. D.-
9.(2021湖南长沙长郡中学高二期中)若函数f(x),g(x)满足f(x)+xg(x)=x2-1,且f(1)=1,则f'(1)+g'(1)=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.(2021江西新八校高三联考)若曲线y=ex-m的一条切线为y=x+n(e为自然对数的底数),其中m,n为正实数,则m+n的值是 ( )
A.e B. C. D.
11.(多选题)(2021河北高二联考)已知函数f(x)=xcos x的导函数为f'(x),则( )
A.f'(x)为偶函数
B.f'(x)为奇函数
C.f'(0)=1
D.f+f'
12.(多选题)已知函数f(x)及其导数f'(x),若存在x0使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.给出下列四个函数,存在“巧值点”的是( )
A.f(x)=x2
B.f(x)=e-x
C.f(x)=ln x
D.f(x)=tan x
13.已知函数y=x2(x>0)的图象在点(ak,)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,其中k∈N*,若a1=16,则a1+a3+a5的值是 .
14.已知函数f(x)=x3-4x,则过点P(-1,4)可以作出 条f(x)图象的切线.
15.已知直线y=x+b是曲线y=ax2+1的切线,也是曲线y=ln x的切线,则a= ,b= .
学科素养创新练
16.(2021江苏如皋中学高二月考)法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理:如果函数y=f(x)满足如下两个条件:(1)其图象在闭区间[a,b]上是连续不断的;(2)在区间(a,b)上都有导数.则在区间(a,b)上至少存在一个数ξ,使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a),其中ξ称为拉格朗日中值.函数g(x)=ln x+x在区间[1,2]上的拉格朗日中值ξ= .
17.等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)·(x-a2)·…·(x-a8),则f'(0)= .
参考答案
5.2 导数的运算
5.2.1 基本初等函数的导数
5.2.2 导数的四则运算法则
1.ACD 由(xα)'=αxα-1知,
y==x-3,则y'=-3x-4=-,选项A正确.
y=,则y'=,选项B错误.
y==x-2,则y'=-2x-3,选项C正确.
由f(x)=3x知f'(x)=3,∴f'(1)=3,选项D正确.
故选ACD.
2.C 由题意知,s'='+(2t2)'=+4t,所以当t=2时的速度为s'|t=2=+8=8.
3.B ∵f(x)=x2-2x-4ln x,
∴f'(x)=2x-2-(x>0),
f'(x)=>0等价于x2-x-2>0,
即(x-2)(x+1)>0,解得x>2.
4.A 设点P(x,y)是曲线y=sin x上的任意一点,则过点P的曲线y=sin x的切线的斜率是k=(sin x)'=cos x,由于x∈R,所以-1≤k≤1,即-1≤tan α≤1,又α∈[0,π),所以α∈0,∪,π.
5.BC 因为f(x)=x2+f(0)·x-f'(0)·cos x+2,
所以f(0)=2-f'(0).
因为f'(x)=2x+f(0)+f'(0)·sin x,
所以f'(0)=f(0).
故f'(0)=f(0)=1.故选BC.
6.1 ∵f'(x)=-f'sin x+cos x,
∴f'=-f'×,得f'=-1.
∴f(x)=(-1)cos x+sin x,∴f=1.
7.解(1)y'='=.
(2)∵y=log2x2-log2x=log2x,
∴y'=(log2x)'=.
(3)(方法1)y'=·cos x'='cos x+(cos x)'='cos x-sin x=-cos x-sin x=-=-=-.
(方法2)y'='==-=-.
(4)∵y=-2sin1-2cos 2=2sin2cos 2-1=2sin cos =sin x,∴y'=(sin x)'=cos x.
8.B f'(x)=x2+2ax+a2-1,图①与图②中,抛物线的对称轴都是y轴,此时a=0,与题设不符合,故图③中的图象是函数f(x)的导函数的图象.
由图③知f'(0)=0,即f'(0)=a2-1=0,得a2=1,又由图③得对称轴为-=-a>0,则a<0,解得a=-1.
故f(x)=x3-x2+1,所以f(-1)=-.
9.C ∵f(1)=1,∴f(1)+g(1)=0,g(1)=-1.
∵f(x)+xg(x)=x2-1,
∴f'(x)+g(x)+xg'(x)=2x.
∴f'(1)+g(1)+g'(1)=2,
∴f'(1)+g'(1)=2-(-1)=3.故选C.
10.C y=ex-m的导数为y'=ex,设切点坐标为(x0,y0),则,x0=-1,因此-m=-+n,所以m+n=.故选C.
11.AC 因为函数f(x)=xcos x的导函数为f'(x)=cos x-xsin x,所以f'(x)是偶函数,故A正确,B错误;
f'(0)=cos 0-0sin 0=1,故C正确;
f+f'cos+cossin=0+0-=-,故D错误.故选AC.
12.AC 若f(x)=x2,则f'(x)=2x,由x2=2x,得x=0或x=2,这个方程显然有解,故A符合要求;
若f(x)=e-x,则f'(x)=-e-x,即e-x=-e-x,此方程无解,B不符合要求;
若f(x)=ln x,则f'(x)=,若ln x=,在同一直角坐标系内作出函数y=ln x与y=的图象可知两函数的图象有一个交点,可知方程有解,C符合要求;
若f(x)=tan x,则f'(x)='=,即sin xcos x=1,变形可得到sin 2x=2,此方程无解,D不符合要求.故选AC.
13.21 ∵y'=2x,∴y=x2(x>0)的图象在点(ak,)处的切线方程为y-=2ak(x-ak).
又该切线与x轴的交点为(ak+1,0),∴ak+1=ak,
即数列{ak}是首项a1=16,公比q=的等比数列,
∴a3=4,a5=1,∴a1+a3+a5=21.
14.2 设切点坐标为(x0,-4x0),
由f(x)=x3-4x,得f'(x)=3x2-4.
∴f'(x0)=3-4,因此切线方程为y-(-4x0)=(3-4)(x-x0),把P(-1,4)的坐标代入切线方程中,化简得2+3=0,解得x0=0或x0=-,所以过点P(-1,4)可以作出两条f(x)图象的切线.
15. -1 由y=ln x,得y'=.
因为直线y=x+b是曲线y=ln x的切线,
所以=1,解得x=1,所以y=ln 1=0,即切点为(1,0),所以0=1+b,解得b=-1,即y=x+b=x-1.
由y=ax2+1,得y'=2ax,
因为直线y=x-1是曲线y=ax2+1的切线,
所以2ax=1,解得x=,所以y=+1,即切点为+1,所以有+1=-1,即=2,解得a=.
16. 函数g(x)=ln x+x的导数为g'(x)=+1,则g'(ξ)=+1.
由拉格朗日中值的定义可知函数g(x)=ln x+x在区间[1,2]上的拉格朗日中值ξ满足g(2)-g(1)=g'(ξ)(2-1),
所以g'(ξ)=g(2)-g(1)=ln 2+2-1=ln 2+1.
所以g'(ξ)=+1=ln 2+1,即=ln 2,则ξ=.
17.4 096 因为f'(x)=x'·[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]+[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]'·x=(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)+[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]'·x,
所以f'(0)=(0-a1)(0-a2)·…·(0-a8)+0=a1a2·…·a8.
因为数列{an}为等比数列,
所以a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=8,
所以f'(0)=84=4 096.5.2.3 简单复合函数的导数
必备知识基础练
1.(多选题)下列函数是复合函数的是( )
A.y=-x3-+1 B.y=cos(x+)
C.y= D.y=(2x+3)4
2.函数f(x)=x(1-ax)2(a>0),且f'(2)=5,则a等于( )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
3.已知函数f(x)=,则f'(x)=( )
A. B.
C. D.
4.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为( )
A.1 B.2
C.-1 D.-2
5.已知函数f(x)=sin,则f'= ( )
A. B.1
C. D.
6.(2021江西宜春高二期末)若f(x)=exln 2x,则f'(x)=( )
A.exln 2x+ B.exln 2x-
C.exln 2x+ D.2ex·
7.(多选题)设f'(x)是函数y=f(x)的导函数,则以下求导运算正确的有( )
A.若f(x)=sin 2x,则f'(x)=cos 2x
B.若f(x)=xex-ln 2,则f'(x)=(x+1)ex
C.若f'(x)=2x-1,则f(x)=x2-x
D.若f(x)=,则f'(x)=-
8.设函数f(x)在(0,+∞)内可导,其导函数为f'(x),且f(ln x)在x=e处的导数为,则f'(1)= .
9.求下列函数的导数:
(1)y=ln(ex+x2);
(2)y=102x+3;
(3)y=;
(4)y=sin 2xcos 3x.
关键能力提升练
10.(2021天津河西高二期末)函数y=e-2x+1cos(-x2+x)的导数为( )
A.y'=e-2x+1[2sin(x2-x)+(2x-1)cos(x2-x)]
B.y'=-e-2x+1[2cos(x2-x)+(2x-1)sin(x2-x)]
C.y'=-e-2x+1[2sin(x2-x)+(2x-1)cos(x2-x)]
D.y'=e-2x+1[2cos(x2-x)+(2x-1)sin(x2-x)]
11.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为( )
A. B. C. D.1
12.曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是( )
A. B.2 C.3 D.0
13.(多选题)已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值可以是( )
A. B. C. D.
14.(2021江苏徐州高三期末)随着科学技术的发展,放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并取得了显著经济效益.假设在某放射性同位素的衰变过程中,其含量N(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系P(t)=P0,其中P0为t=0时该放射性同位素的含量.已知t=15时,该放射性同位素的瞬时变化率为-,则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为( )
A.20天 B.30天
C.45天 D.60天
15.(多选题)在下列函数中,直线y=x+b能作为函数图象的切线的是( )
A.f(x)= B.f(x)=x4
C.f(x)=sin D.f(x)=ex
16.设函数f(x)=cos(x+φ)(0<φ<π),若函数g(x)=f(x)+f'(x)是奇函数,则φ= .
17.已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 .
18.(1)已知f(x)=eπxsin πx,求f'(x)及f'.
(2)在曲线y=上求一点,使过该点的切线平行于x轴,并求切线方程.
学科素养创新练
19.(多选题)若直线l与曲线f(x)=e2xcos 3x在点(0,1)处的切线平行,且两直线间的距离为,则直线l的方程可能为( )
A.y=2x+6 B.y=2x-4
C.y=3x+1 D.y=3x-4
20.用导数的方法求和:1+2x+3x2+4x3+…+2 021x2 020(x≠0,且x≠1).
参考答案
5.2.3 简单复合函数的导数
1.BCD A不是复合函数,B,C,D均是复合函数,
其中B由y=cos u,u=x+复合而成;
C由y=,u=ln x复合而成;
D由y=u4,u=2x+3复合而成.
2.A f'(x)=(1-ax)2-2ax(1-ax),则f'(2)=12a2-8a+1=5,解得a=1或a=-,又a>0,∴a=1.
3.C 因为f(x)=,故f'(x)=,故选C.
4.B 设切点坐标是(x0,x0+1),依题意有由此得x0+1=0,x0=-1,a=2.
5.D f'(x)=2cos,
所以f'=2cos=2cos.
故选D.
6.C f'(x)=(ex)'·ln 2x+ex·(ln 2x)'=exln 2x+.
7.BD 因为f(x)=sin 2x,
所以f'(x)=(sin 2x)'(2x)'=2cos 2x,故A错误;
因为f(x)=xex-ln 2,
所以f'(x)=x'ex+x(ex)'-0=(x+1)ex,故B正确;
若f'(x)=2x-1,则f(x)=x2-x+c(c为任意常数),故C错误;因为f(x)=,所以f'(x)==-,故D正确.故选BD.
8. 设g(x)=f(ln x),由复合函数的求导法则可得g'(x)=f'(ln x).
由题意可得g'(e)=f'(1)=,解得f'(1)=.
9.解(1)令u=ex+x2,则y=ln u.
∴yx'=yu'·ux'=·(ex+x2)'=·(ex+2x)=.
(2)令u=2x+3,则y=10u,∴yx'=yu'·ux'=10u·ln 10·(2x+3)'=2ln 10·102x+3.
(3)设y=,u=1-x2,则yx'=yu'·ux'=()'(1-x2)'=-·(-2x)=x(1-x2.
(4)∵y=sin 2xcos 3x,∴y'=(sin 2x)'cos 3x+sin 2x(cos 3x)'=2cos 2xcos 3x-3sin 2xsin 3x.
10.B ∵y=e-2x+1cos(-x2+x),
∴y'=(e-2x+1)'cos(-x2+x)+e-2x+1[cos(-x2+x)]'
=-2e-2x+1cos(-x2+x)-e-2x+1sin(-x2+x)·(-2x+1)
=-e-2x+1[2cos(-x2+x)+(-2x+1)sin(-x2+x)]
=-e-2x+1[2cos(x2-x)+(2x-1)sin(x2-x)].
故选B.
11.
A 依题意得y'=e-2x·(-2)=-2e-2x,y'x=0=-2e-2×0=-2.
曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线方程是y-2=-2x,即y=-2x+2.在坐标系中作出直线y=-2x+2,y=0与y=x的图象,因为直线y=-2x+2与y=x的交点坐标是,直线y=-2x+2与x轴的交点坐标是(1,0),结合图象可得,这三条直线所围成的三角形的面积等于×1×.
12.A 设曲线y=ln(2x-1)在点(x0,y0)处的切线与直线2x-y+3=0平行.
∵y'=,∴切线的斜率k==2,解得x0=1,
∴y0=ln(2-1)=0,即切点坐标为(1,0).
∴切点(1,0)到直线2x-y+3=0的距离为d=,即曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是.
13.CD 因为y=,
所以y'=.
因为ex>0,所以ex+≥2(当且仅当x=0时取等号),所以y'∈[-1,0),所以tan α∈[-1,0).
又因为α∈[0,π),所以α∈,π.故选CD.
14.D 由P(t)=P0得P'(t)=-·P0·ln 2.
因为t=15时,该放射性同位素的瞬时变化率为-,
所以P'(15)=-P0=-,
解得P0=18,则P(t)=18·.
当该放射性同位素含量为4.5贝克时,即18·=4.5,解得t=60.故选D.
15.BCD 由f(x)=,得f'(x)=-,无解,故A排除;
由f(x)=x4,得f'(x)=4x3=,故x=,即曲线在点处的切线为y=x-,B正确;
由f(x)=sin ,得f'(x)=cos ,取x=0,故曲线在点(0,0)处的切线为y=x,C正确;由f(x)=ex,得f'(x)=ex=,故x=-ln 2,曲线在点-ln 2,的切线为y=x+ln 2+,D正确.故选BCD.
16. ∵f'(x)=-sin(x+φ),
∴g(x)=f(x)+f'(x)=cos(x+φ)-sin(x+φ),
∵g(x)为定义在R上的奇函数,
∴g(0)=0,即cos φ-sin φ=0,∴tan φ=.
又0<φ<π,∴φ=.
17.2x-y=0 设x>0,则-x<0,f(-x)=ex-1+x.
又f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=ex-1+x.
所以当x>0时,f(x)=ex-1+x.
因此,当x>0时,f'(x)=ex-1+1,f'(1)=e0+1=2.
则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线的斜率为f'(1)=2,
所以切线方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0.
18.解(1)∵f(x)=eπxsin πx,
∴f'(x)=πeπxsin πx+πeπxcos πx=πeπx(sin πx+cos πx).
∴f'=πsin +cos =π.
(2)设切点的坐标为P(x0,y0),由题意可知y'=0.
又y'=,∴y'=0.
解得x0=0,此时y0=1.即该点的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.
19.AB ∵f'(x)=e2x(2cos 3x-3sin 3x),
∴f'(0)=2,
则所求的切线方程为y=2x+1.
设直线l的方程为y=2x+b,则,
解得b=6或b=-4.
∴直线l的方程为y=2x+6或y=2x-4.
20.解设f(x)=1+2x+3x2+4x3+…+2 021x2 020,g(x)=x+x2+x3+x4+…+x2 021,则有f(x)=g'(x).
而由等比数列求和公式可得g(x)=,
于是f(x)=g'(x)='
=
=,
即1+2x+3x2+4x3+…+2 021x2 020
=.
