5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.1 函数的单调性
必备知识基础练
1.函数y=f(x)在定义域内可导,其图象如图所示,记y=f(x)的导函数为y=f'(x),则不等式f'(x)≤0的解集为( )
A.∪[2,3)
B.
C.∪[1,2]
D.
2.(多选题)函数f(x)=(x-3)ex在下列区间上为增函数的是( )
A.(-∞,2) B.(0,3)
C.(3,4) D.(2,+∞)
3.(2021江西南昌高二期末)已知定义在R上的函数y=f(x),其导函数y=f'(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是( )
A.f(b)>f(c)>f(d)
B.f(b)>f(a)>f(e)
C.f(c)>f(e)>f(d)
D.f(c)>f(b)>f(a)
4.(2021陕西西安中学高二期末)已知函数f(x)=+ln x,则下列选项正确的是( )
A.f(e)
B.f(π)C.f(e)D.f(2.7)5.若函数f(x)=ln x+x2-bx存在单调递减区间,则实数b的取值范围为( )
A.[2,+∞) B.(2,+∞)
C.(-∞,2) D.(-∞,2]
6.(多选题)函数f(x)=xln x( )
A.在0,上是减函数
B.在0,上是增函数
C.在,5上是增函数
D.在,5上是减函数
7.已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则该函数的图象可能是( )
8.函数f(x)=(x2+x+1)ex的递减区间为 .
9.已知函数f(x)=x+bln x在区间(0,2)上不单调,则实数b的取值范围是 .
10.求下列函数的单调区间:
(1)f(x)=3+x·ln x;
(2)f(x)=x+(b>0).
11.设f(x)=ex-ax-2,求f(x)的单调区间.
关键能力提升练
12.(2021江西上饶横峰中学高二月考)函数f(x)的定义域为R,f(1)=0,f'(x)为f(x)的导函数,且f'(x)>0,则不等式(x-2)f(x)>0的解集是( )
A.(-∞,1)∪(2,+∞)
B.(-∞,1)∪(1,+∞)
C.(0,1)∪(2,+∞)
D.(-∞,0)∪(1,+∞)
13.(2021黑龙江双鸭山期末)已知a∈R,则“a≤3”是“f(x)=2ln x+x2-ax在(0,+∞)内单调递增”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
14.定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对任意的实数x,都有f'(x)+1<0,且f(1)=-1,则( )
A.f(0)<0 B.f(e)<-e
C.f(e)>f(0) D.f(2)>f(1)
15.已知函数f(x)=x2+aln x,若对任意两个不等的正数x1,x2,都有>4恒成立,则a的取值范围为( )
A.[4,+∞) B.(4,+∞)
C.(-∞,4] D.(-∞,4)
16.(多选题)若函数f(x)=ex-e-x+sin 2x,则满足f(2x2-1)+f(x)>0的x的取值范围可能为( )
A. B.(-∞,-1)
C. D.,+∞
17.(多选题)(2021重庆八中高二期末)下列函数在定义域上为增函数的有( )
A.f(x)=2x4 B.f(x)=xex
C.f(x)=x-cos x D.f(x)=ex-e-x-2x
18.若函数f(x)=2x2-ln x在定义域的一个子区间(k-1,k+1)上不单调,则实数k的取值范围是 .
19.(2021江西南昌新建一中高二期末)已知f(x)满足f(4)=f(-3)=1,f'(x)为其导函数,且导函数y=f'(x)的图象如图所示,则f(x)<1的解集是 .
20.已知函数f(x)=(k为常数,e为自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.
(1)求实数k的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
学科素养创新练
21.(多选题)若函数g(x)=exf(x)(e=2.718 28…,是自然对数的底数)在f(x)的定义域上是增函数,则称函数f(x)具有M性质,则下列函数中具有M性质的是( )
A.f(x)=2-x B.f(x)=x2+2
C.f(x)=3-x D.f(x)=cos x
22.(2021河南新乡月考)已知函数f(x)=2x+-ln x-5.
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)若a≥4,证明:当x>0时,f(x)>0.
参考答案
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.1 函数的单调性
1.A 由题意f'(x)≤0的解集就是函数的单调递减区间,根据图象可知f'(x)≤0的解集为∪[2,3),故选A.
2.CD f'(x)=ex+(x-3)ex=(x-2)ex,
令f'(x)>0,即(x-2)ex>0,解得x>2.
∴f(x)的递增区间为(2,+∞),CD符合.
3.D 由函数的导数的图象可知函数f(x)在区间(-∞,c)上单调递增,在区间(c,e)上单调递减,在区间(e,+∞)上单调递增,而a4.D 因为函数f(x)=+ln x(x>0),
所以f'(x)=>0,
所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
又因为2.7所以f(2.7)5.B 由f(x)=ln x+x2-bx,
可得f'(x)=(x>0).
由题意可得存在x>0,使得f'(x)=<0,
即存在x>0,使得x2-bx+1<0,等价于b>x+成立,即b>.
又x+≥2,当且仅当x=1时,等号成立,所以b>2.故选B.
6.AC 由f(x)=xln x,可得f'(x)=ln x+x·=ln x+1(x>0).
由f'(x)>0,可得x>;由f'(x)<0,可得0所以函数f(x)在0,上是减函数,在,+∞上是增函数.故选AC.
7.B 由y=f'(x)的图象知,y=f(x)为增函数,且在区间(-1,0)上增长速度越来越快,而在区间(0,1)上增长速度越来越慢,故选B.
8.(-2,-1) f'(x)=(2x+1)ex+(x2+x+1)ex=ex(x2+3x+2)=ex(x+1)(x+2),
令f'(x)<0,解得-2所以函数f(x)的递减区间为(-2,-1).
9.(-2,0) f'(x)=1+,令g(x)=x+b(x>0),则g(x)是增函数,故需g(0)=b<0,g(2)=b+2>0,b>-2,所以b∈(-2,0).
10.解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=ln x+1,令f'(x)>0,即ln x+1>0,得x>.
令f'(x)<0,即ln x+1<0,得0故函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
f'(x)='=1-,令f'(x)>0,
即(x+)(x-)>0,得x>或x<-.
令f'(x)<0,即(x+)(x-)<0,所以-11.解f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=ex-a.
若a≤0,则f'(x)>0,
所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
若a>0,则当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0;
当x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.
综上所述,当a≤0时,函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;
当a>0时,f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.
12.A 由题意可知f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,
又f(1)=0,(x-2)f(x)>0,所以当x>2时,
由f(x)>0可知f(x)>f(1),即x>1,因此x>2;
当x<2时,由(x-2)f(x)>0可知f(x)<0,
即f(x)所以不等式(x-2)f(x)>0的解集为(-∞,1)∪(2,+∞),故选A.
13.A 当f(x)=2ln x+x2-ax在(0,+∞)内单调递增时,f'(x)=+2x-a≥0在(0,+∞)内恒成立,
而+2x≥2=4,
所以a≤4,记作B=(-∞,4],令A=(-∞,3],
因为A B,所以“a≤3”是“f(x)=2ln x+x2-ax在(0,+∞)内单调递增”的充分不必要条件,故选A.
14.B 构造g(x)=f(x)+x,则g'(x)=f'(x)+1.
又f'(x)+1<0,所以g'(x)<0,
所以函数g(x)在R上单调递减.
又g(1)=f(1)+1=-1+1=0,
所以g(e)故选B.
15.A 令g(x)=f(x)-4x,因为>4,
所以>0,
即g(x)在(0,+∞)上单调递增,
故g'(x)=x+-4≥0在(0,+∞)上恒成立,
即a≥4x-x2,令h(x)=4x-x2,x∈(0,+∞),
则h(x)=4x-x2≤h(2)=4,h(x)max=4,即a的取值范围为[4,+∞).故选A.
16.BD 函数f(x)=ex-e-x+sin 2x,定义域为R,
且满足f(-x)=e-x-ex+sin(-2x)=-(ex-e-x+sin 2x)=-f(x),
∴f(x)为R上的奇函数.
又f'(x)=ex+e-x+2cos 2x≥2+2cos 2x,当且仅当x=0时,等号成立.
当x=0时,2+2cos 2x≠0,∴f'(x)>0恒成立,∴f(x)为R上的增函数.
又f(2x2-1)+f(x)>0,
得f(2x2-1)>-f(x)=f(-x),
∴2x2-1>-x,即2x2+x-1>0,
解得x<-1或x>,
∴x的取值范围是(-∞,-1)∪.
故选BD.
17.CD 函数f(x)=2x4定义域为R,其导数为f'(x)=8x3,当x<0时,f'(x)<0,当x>0时,f'(x)>0,所以函数f(x)在定义域R上不是增函数;
函数f(x)=xex定义域为R,其导数为f'(x)=(x+1)ex,当x<-1时,f'(x)<0,当x>-1时,f'(x)>0,所以f(x)在定义域R上不是增函数;
函数f(x)=x-cos x定义域为R,其导数为f'(x)=1+sin x≥0,所以f(x)在定义域R上是增函数;
函数f(x)=ex-e-x-2x定义域为R,其导数为f'(x)=ex+e-x-2≥2-2=0,当且仅当ex=e-x,即x=0时,等号成立,所以f(x)在定义域R上是增函数.故选CD.
18.1, 显然函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=4x-.
由f'(x)>0,得函数f(x)的单调递增区间为,+∞;由f'(x)<0,得函数f(x)单调递减区间为0,.因为函数在区间(k-1,k+1)上不单调,所以k-1<综上可知,1≤k<.
19.(-3,4) 由函数y=f'(x)的图象可知,当x<0时,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减;当x>0时,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增.
因为f(4)=f(-3)=1,所以当x≤0时,由f(x)<1=f(-3),可得-30时,由f(x)<1=f(4),可得0综上所述,不等式f(x)<1的解集为(-3,4).
20.解(1)由f(x)=,可得f'(x)=.
∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,
∴f'(1)=0,即=0,解得k=1.
(2)由(1)知,f'(x)=(x>0),设h(x)=-ln x-1(x>0),则h'(x)=-<0.
可知h(x)在(0,+∞)上为减函数,
由h(1)=0知,当0h(1)=0,故f'(x)>0;
当x>1时,h(x)综上,f(x)的递增区间是(0,1),递减区间是(1,+∞).
21.AB 对于A,g(x)=ex·2-x=x在定义域R上是增函数,故A符合题意;
对于B,g(x)=(x2+2)ex,g'(x)=(x2+2x+2)ex=[(x+1)2+1]ex>0,所以g(x)在定义域R上是增函数,故B符合题意;
对于C,g(x)=ex·3-x=x在定义域R上是减函数,C不符合题意;
对于D,g(x)=ex·cos x,则g'(x)=excosx+,g'(x)>0在定义域R上不恒成立,D不符合题意.
22.(1)解当a=1时,f(x)=2x+-ln x-5,
∴f'(x)=2-,
由f'(x)>0,得x>1;由f'(x)<0,得0∴f(x)的单调递增区间是(1,+∞),单调递减区间是(0,1).
(2)证明设g(x)=ln x-x+1,则g'(x)=-1=.
由g'(x)>0,得01.
所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
故g(x)≤g(1)=0,即ln x≤x-1,
即-ln x≥-x+1①,当且仅当x=1时,等号成立.
要证f(x)≥0,即2x+-ln x-5≥0,
只需证x+-4≥0.
∵a≥4,x>0,∴x+≥2≥4,
∴x+-4≥0②,当且仅当x=2,a=4时,等号成立.
∵①②两个不等式取得等号的条件不同,
∴当a≥4,x>0时,f(x)>0.5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第1课时 函数的极值
必备知识基础练
1.(2021四川眉山高二期末)函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极大值-3,则a+b的值等于( )
A.9 B.6
C.3 D.2
2.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
3.函数f(x)=(x-1)ex的极小值点为( )
A.(0,-1) B.(0,0)
C.-1 D.0
4.若函数f(x)=x3-2ax+a在(0,1)内无极值,则实数a的取值范围是( )
A.
B.(-∞,0)
C.
D.(-∞,0]∪
5.(多选题)已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的值可以是 ( )
A.-4 B.-3
C.6 D.8
6.已知曲线f(x)=x3+ax2+bx+1在点(1,f(1))处的切线斜率为3,且x=是y=f(x)的极值点,则a+b= .
7.设a∈R,若函数y=ex+ax(x∈R)有大于零的极值点,则a的取值范围为 .
8.设函数f(x)=aln x+x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的极值.
关键能力提升练
9.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)·f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
10.(2021河南开封高三模拟)设函数f(x)=,若f(x)的极小值为,则a=( )
A.- B.
C. D.2
11.(2021安徽皖北名校高二联考)若函数f(x)=x2-(a+2)x+aln x既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,2)∪(2,+∞)
B.(0,2)∪(2,+∞)
C.(2,+∞)
D.{2}
12.(多选题)(2021江苏吴县中学高二月考)对于函数f(x)=,下列说法正确的是( )
A.函数在x=处取得极大值
B.函数的值域为
C.f(x)有两个不同的零点
D.f(2)13.若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数a的取值范围为 ,若恰有两个极值点,则实数a的取值范围是 .
14.(2021安徽示范高中高二联考)已知函数f(x)=x--(a+1)ln x(a∈R).
(1)当a=2时,求f(x)的极值;
(2)若0学科素养创新练
15.(2021安徽亳州高二期末)已知函数f(x)=xex-ex-a有且仅有两个不同的零点,则实数a的取值范围是( )
A. B.(-1,0]
C. D.(-1,0)
16.(多选题)(2021江苏盐城一中、大丰高级中学等四校高二期末联考)世界著名的国际科技期刊《Nature》上有一篇名为《The Universal Decay of Collective Memory and Attention》的论文,该文以12个不同领域的数据指出双指数型函数f(x)=C1+C2在描绘人类行为时的普适作用.关于该函数下列说法正确的有( )
A.当C1C2>0且λ1≠λ2时函数f(x)有零点
B.当C1C2<0且λ1≠λ2时函数f(x)有零点
C.当C1C2λ1λ2<0且λ1≠λ2时函数f(x)有极值
D.当C1C2λ1λ2>0且λ1≠λ2时函数f(x)有极值
参考答案
5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第1课时 函数的极值
1.B 由题意得f'(x)=12x2-2ax-2b,因为f(x)在x=1处有极大值-3,所以解得所以a+b=6.故选B.
2.D 由题图可知,当x<-2时,f'(x)>0;
当-2当1当x>2时,f'(x)>0.
由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,
在x=2处取得极小值.
3.D 由题意得f'(x)=ex+(x-1)ex=xex,故f(x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数,故当x=0时,f(x)的极小值为f(0)=-1,故极小值点为0.
4.D ∵f(x)=x3-2ax+a,∴f'(x)=3x2-2a.
∵函数f(x)=x3-2ax+a在(0,1)内无极值,
∴f'(x)=3x2-2a=0在(0,1)内无实数根.
∵0∴-2a≥0或3-2a≤0,∴a≤0或a≥,故选D.
5.AD 由题意知f'(x)=3x2+2ax+(a+6)=0有两个不相等的根,所以Δ=4a2-12(a+6)>0,
解得a>6或a<-3.
6.-2 ∵f'(x)=3x2+2ax+b,
∴即 解得
∴a+b=2-4=-2.
7.(-∞,-1) ∵y=ex+ax,∴y'=ex+a.
当a≥0时,y'>0,函数y=ex+ax在R上单调递增,没有极值点.当a<0时,令y'=ex+a=0,则ex=-a,
即x=ln(-a).当x∈(-∞,ln(-a))时,y'<0,当x∈(ln(-a),+∞)时,y'>0,故x=ln(-a)是函数的极值点.
又ln(-a)>0,∴-a>1,即a<-1.
8.解(1)f'(x)=(x>0).
由题意知,曲线在x=1处的切线斜率为0,即f'(1)=0,从而a-=0,解得a=-1.
(2)由(1)知f(x)=-ln x+x+1(x>0),
f'(x)=-.
令f'(x)=0,解得x1=1,x2=-(舍去).
当x∈(0,1)时,f'(x)<0,故f(x)在(0,1)上是减函数;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,
故f(x)在(1,+∞)上是增函数.
故f(x)在x=1处取得极小值,极小值为f(1)=3,无极大值.
9.D 由题图可知,当x<-2时,f'(x)>0;当-22时,f'(x)>0.由此可以得到函数在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.
10.B 由已知得f'(x)=(x≠-a),令f'(x)=0,有x=1-a,且当x<1-a时,f'(x)<0,当x>1-a时,f'(x)>0,则f(x)的极小值为f(1-a)=e1-a=,即1-a=,得a=.故选B.
11.B 因为f(x)=x2-(a+2)x+aln x既有极大值又有极小值,且f'(x)=2x-a-2+(x>0),所以f'(x)=0有两个不等实根,所以>0,且≠1,解得a>0,且a≠2.故选B.
12.ABD 函数的定义域为(0,+∞),导数为f'(x)=,
令f'(x)=0,解得x=.
当x变化时,函数f(x),f'(x)的变化情况如下表:
x (0,) (,+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) 单调递增 极大值 单调递减
所以当x=时,函数有极大值f()=,故A正确;
令f(x)=0得ln x=0,即x=1,当x→+∞时,ln x>0,x2>0,
则f(x)>0,作出函数y=f(x)的大致图象,如图所示.
由图可知函数的值域为,故B正确;
函数只有一个零点,故C错误;
又函数f(x)在(,+∞)上单调递减,且<2,则f(2)故选ABD.
13.[1,5) -,1 ∵f'(x)=3x2+2x-a,
函数f(x)在区间(-1,1)上恰有一个极值点,
∴f'(x)=0有两个不等实根且在(-1,1)内恰有一个根.
又函数f'(x)=3x2+2x-a的对称轴为x=-,
∴应满足
∴∴1≤a<5.
若在(-1,1)内恰有两个极值点,
则应满足
∴∴-14.解(1)因为当a=2时,f(x)=x--3ln x,
所以f'(x)=(x>0).
由f'(x)=0得x=1或x=2.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调 递增 极大值 -1 单调 递减 极小值 1-3ln 2 单调 递增
所以当x=1时,f(x)取极大值-1;当x=2时,f(x)取极小值1-3ln 2.
(2)f'(x)=,
①当a=1时,x∈(0,+∞),f'(x)≥0,f(x)单调递增,函数不存在极值.
②当00,因此函数在x=a处取得极大值f(a)=a-1-(a+1)ln a,函数在x=1处取得极小值f(1)=1-a.
综上,当a=1时,f(x)不存在极值;当015.D 令函数f(x)=xex-ex-a=0,则有xex-ex=a.
令g(x)=xex-ex,
g'(x)=ex+xex-ex=xex,∴当x<0时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当x>0时,g'(x)>0,g(x)单调递增.
∴当x=0时,g(x)取得极小值g(0)=-1,显然g(1)=0,当x<1时,g(x)<0恒成立.
由此可以画出函数g(x)的大致图象如图所示,
由图象可得,要使函数f(x)有且仅有两个不同的零点,只需g(0)16.BC ∵函数f(x)=C1+C2为双指数型函数,∴λ1≠λ2.
令f(x)=C1+C2=0,得C1=-C2,-.
∵>0,∴->0,即C1C2<0,故A错误,B正确.
f'(x)=C1λ1+C2λ2,∵函数f(x)有极值,
∴f'(x)=0有解,即C1λ1=-C2λ2,
∴-.
∵>0,∴->0,即C1C2λ1λ2<0,故D错误.
当C1C2λ1λ2<0时,设C1λ1>0,C2λ2<0,λ1>λ2,
则f'(x)=[C1λ1+C2λ2].
由f'(x)=0得x0=ln.
因此当x>x0时,f'(x)>0;当x必备知识基础练
1.函数f(x)=x3-3x+1在区间[-3,0]上的最大值和最小值分别是( )
A.1,-1 B.1,-17
C.3,-17 D.9,-19
2.某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家更多的关注,据有关统计数据显示,从上午6 h到9 h,车辆通过该市某一路段的用时y(单位:min)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数表示:y=-t3-t2+36t-.则在这段时间内,通过该路段用时最多的时刻是( )
A.6 h B.7 h C.8 h D.9 h
3.(多选题)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则( )
A.函数在区间[-2,0]上的最大值、最小值均在端点处取得
B.2为f(x)的极小值点
C.f(x)在上单调递减
D.f(-2)是f(x)的最小值
4.(2022江苏连云港高二期末)函数f(x)=(x+1)ex的最小值是 .
5.函数y=x+(x>0)的最小值为 .
6.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使水桶的体积是27π,且用料最省,则水桶的底面半径为 ,最小表面积为 .
7.求下列函数的最值:
(1)f(x)=sin x+cos x,x∈-;
(2)f(x)=ln(1+x)-x2,x∈[0,2].
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8.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价定为p元,销售量为Q件,则销售量Q与零售价p有如下关系:Q=8 300-170p-p2.则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)( )
A.30元 B.60元
C.28 000元 D.23 000元
9.函数f(x)=6-x3+6在[0,4]上的最大值与最小值之和为( )
A.-46 B.-35 C.6 D.5
10.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n均属于[-1,1],则f(m)+f'(n)的最小值是( )
A.-13 B.-15 C.10 D.15
11.若函数f(x)=-x3-3x2+1在[a,+∞)上的最大值为1,则实数a的取值范围是( )
A.[-3,+∞) B.(-3,+∞)
C.(-3,0) D.[-3,0]
12.已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值范围是 .
13.已知存在x∈(0,+∞)使不等式2xln x≤-x2+ax-3成立,则实数a的取值范围是 .
14.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式.
(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小 并求最小值.
15.已知函数f(x)=aln x-bx2,a,b∈R,且曲线y=f(x)在x=1处与直线y=-相切.
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)在,e上的最大值.
16.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3(1)求a的值;
(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
学科素养创新练
17.已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x.
(1)当a<0时,求函数f(x)的单调性;
(2)当a<0时,证明f(x)≤--2.
参考答案
第2课时 函数的最大(小)值
1.C f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),
令f'(x)=0,得x=±1.
又f(-3)=-27+9+1=-17,f(0)=1,
f(-1)=-1+3+1=3,1 [-3,0].
所以函数f(x)的最大值为3,最小值为-17.
2.C 由题意,得
y'=-t2-t+36=-(t+12)(t-8).
令y'=0得t=-12(舍去)或t=8.
当6≤t<8时,y'>0;当83.ABC 由导函数y=f'(x)的图象可知,函数f(x)在区间[-2,0]上单调递增,因此在区间[-2,0]上的最大值、最小值均在端点处取得,故A正确;f(x)在-2,和(2,+∞)上单调递增,在(-∞,-2)和,2上单调递减,且2为f(x)的极小值点,故B和C均正确;f(-2)是函数f(x)的极小值,但不一定是最小值,故D错误.故选ABC.
4.- 函数f(x)=(x+1)ex的导数为f'(x)=(x+2)ex,当x>-2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x<-2时,f'(x)<0,f(x)单调递减,因此当x=-2时,函数有最小值,最小值为f(-2)=(-2+1)e-2=-.
5. y'=1+×(-2)×=1-,所以当x>1时,y'>0,当06.3 27π 设圆柱形水桶的表面积为S,底面半径为r(r>0),则水桶的高为,所以S=πr2+2πr×=πr2+(r>0),S'=2πr-,令S'=0,解得r=3.
当03时,S'>0,所以当r=3时,圆柱形水桶的表面积最小,即用料最省.
∴Smin=π×32+=9π+18π=27π.
7.解(1)f'(x)=cos x-sin x.
令f'(x)=0,即tan x=1,
且x∈-,所以x=.
又因为f=,f-=-1,f=1,
所以当x∈-时,函数的最大值为f=,最小值为f-=-1.
(2)f'(x)=,
令=0,化简为x2+x-2=0,
解得x1=-2(舍去),x2=1.
f(1)=ln 2-,f(0)=0,f(2)=ln 3-1>0,
∵f(1)>f(2),
∴f(0)=0为函数f(x)在[0,2]上的最小值,
f(1)=ln 2-为函数f(x)在[0,2]上的最大值.
8.D 设毛利润为L(p),由题意知L(p)=Q(p-20)=(8 300-170p-p2)(p-20)=-p3-150p2+11 700p-166 000,所以L'(p)=-3p2-300p+11 700.
令L'(p)=0,解得p=30或p=-130(舍去).
此时,L(30)=23 000.
因为在p=30附近的左侧L'(p)>0,右侧L'(p)<0,所以L(30)是极大值,根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23 000元.
9.B 由f(x)=6-x3+6得f'(x)=-3x2=,由f'(x)=0可得x=1.
当x∈(0,1)时,f'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,所以f(x)的极大值为f(1)=11,
又f(0)=6,f(4)=-46,所以f(x)的最大值为11,最小值为-46,所以最大值与最小值之和为-35.故选B.
10.A 对函数f(x)求导得f'(x)=-3x2+2ax,
由函数f(x)在x=2处取得极值知f'(2)=0,
即-3×4+2a×2=0,∴a=3.
由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f'(x)=-3x2+6x,
易知f(x)在[-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增,
∴当m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.
又f'(x)=-3x2+6x的图象开口向下,
且对称轴为x=1,∴当n∈[-1,1]时,
f'(n)min=f'(-1)=-9,故f(m)+f'(n)的最小值为-13.
11.D ∵f(x)=-x3-3x2+1,
∴f'(x)=-3x2-6x,
令f'(x)=-3x2-6x=0,解得x=0或x=-2,
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-2) -2 (-2,0) 0 (0,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
由f(x)=1,得-x3-3x2+1=1,解得x=0或x=-3.
当x>0时,f(x)f(-3)=1.
又f(x)=-x3-3x2+1在[a,+∞)上的最大值为1,
∴a的取值范围为[-3,0].故选D.
12.(-∞,2ln 2-2] 函数f(x)=ex-2x+a有零点,即方程ex-2x+a=0有实根,即函数g(x)=2x-ex的图象与直线y=a有交点,而g'(x)=2-ex,易知函数g(x)=2x-ex在(-∞,ln 2)上单调递增,在(ln 2,+∞)上单调递减,因而g(x)=2x-ex的值域为(-∞,2ln 2-2],所以要使函数g(x)=2x-ex的图象与直线y=a有交点,只需a≤2ln 2-2即可.
13.[4,+∞) 2xln x≤-x2+ax-3,则a≥2ln x+x+.
设h(x)=2ln x++x(x>0),则h'(x)=.
当x∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增.
∴h(x)min=h(1)=4.∴a≥h(x)min=4.
14.解(1)由题设,每年能源消耗费用为C(x)=(0≤x≤10),再由C(0)=8,得k=40,因此C(x)=.
而建造费用为C1(x)=6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+C1(x)=20×+6x=+6x(0≤x≤10).
(2)f'(x)=6-,令f'(x)=0,即=6,
解得x=5或x=-(舍去).
当0当50.
故x=5是f(x)的最小值点,对应的最小值为f(5)=6×5+=70.
当隔热层为5 cm厚时,总费用达到最小值70万元.
15.解(1)f'(x)=-2bx(x>0).
由曲线y=f(x)在x=1处与直线y=-相切,
得解得
(2)由(1),得f(x)=ln x-x2,定义域为(0,+∞).
f'(x)=-x=.
令f'(x)>0,得01,
所以f(x)在,1上是增函数,在(1,e]上是减函数,
所以f(x)在,e上的最大值为f(1)=-.
16.解(1)因为x=5时,y=11,所以+10=11,a=2.
(2)由(1)知,该商品每日的销售量y=+10(x-6)2,
所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x-3)·+10(x-6)2=2+10(x-3)(x-6)2,3从而,f'(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6),
于是,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (3,4) 4 (4,6)
f'(x) + 0 -
f(x) 单调递增 极大值42 单调递减
由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点,
所以当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.
故当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.
17.(1)解f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2ax+2a+1=.令f'(x)=0,则x=-1或x=-.
若a<0,则->0,当x∈0,-时,f'(x)>0;当x∈-,+∞时,f'(x)<0.
故f(x)在0,-上单调递增,在-,+∞上单调递减.
(2)证明由(1)知,当a<0时,f(x)在x=-处取得最大值,最大值为f-=ln --1-.
所以f(x)≤--2等价于ln --1-≤--2,即ln-++1≤0.
设g(x)=ln x-x+1,则g'(x)=-1.
当x∈(0,1)时,g'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0.
所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
故当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)=0.
所以当x>0时,g(x)≤0.
从而当a<0时,ln -++1≤0,即f(x)≤--2.