新人教A版必修第二册2023版高中数学第六章平面向量及其应用 课时素养检测一（含解析）

一　平面向量的概念
INCLUDEPICTURE "基础练一.TIF" INCLUDEPICTURE "基础练一.TIF" \* MERGEFORMAT (30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)
1．(2021·菏泽高一检测)给出下列物理量：①密度；②路程；③速度；④质量；⑤功；⑥位移．下列说法正确的是(　　)
A．①②③是数量，④⑤⑥是向量
B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
C．①④是数量，②③⑤⑥是向量
D．①②④⑤是数量，③⑥是向量
【补偿训练】
下列说法正确的是(　　)
A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫做相等向量
C．零向量长度等于0
D．共线向量是在一条直线上的向量
2．(2021·菏泽高一检测)给出下列四个命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是(　　)
A．②③　　　B．①②　　　C．③④　　　D．②④
【补偿训练】
若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为(　　)
A．平行四边形　　 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
3．(多选题)设O是等边三角形ABC的外心，则，，是(　　)
A．有相同起点的向量 B．平行向量
C．相等向量 D．模相等的向量
4．在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，关于四边及对角线所在的向量，以下说法错误的是(　　)
A．与相等的向量只有一个(不含)
B．与的模相等的向量有9个(不含)
C．的模恰为模的倍
D．与不共线
【补偿训练】
数轴上点A，B分别对应－1，2，则向量的长度是(　　)
A．－1　　　　B．2　　　　C．1　　　　D．3
5．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝(　　)
A．1 B． C．2 D．2
6．(多选题)(2021·衡水高一检测)已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，下列关系中正确的是(　　)
A．C A B．A∩B＝{a}
C．C B D．(A∩B) {a}
二、填空题(每小题5分，共10分)
7．(2021·开封高一检测)如图，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和四边形AOBE均为平行四边形，则与向量相等的向量为________；与向量共线的向量为________；与向量的模相等的向量为________．(填图中所画出的向量)
【补偿训练】
如果在一个边长为5的正△ABC中，一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动)，则向量长度的最小值为________．
8.如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．
(1)与向量相等的向量有________；
(2)若||＝3，则||＝________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30°方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000km到达D地．画图表示向量，，，并指出向量的模和方向．
【补偿训练】
如图是4×3的矩形(每个小方格的边长都是1)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，与向量平行且模为的向量共有几个？与向量方向相同且模为3的向量共有几个？
10．如图所示，在四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝.
求证：＝.
一　平面向量的概念
INCLUDEPICTURE "基础练一.TIF" INCLUDEPICTURE "基础练一.TIF" \* MERGEFORMAT (30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)
1．(2021·菏泽高一检测)给出下列物理量：①密度；②路程；③速度；④质量；⑤功；⑥位移．下列说法正确的是(　　)
A．①②③是数量，④⑤⑥是向量
B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
C．①④是数量，②③⑤⑥是向量
D．①②④⑤是数量，③⑥是向量
【解析】选D.由物理知识可知，密度，路程，质量，功只有大小，没有方向，因此是数量，而速度，位移既有大小又有方向，因此是向量．
【补偿训练】
下列说法正确的是(　　)
A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫做相等向量
C．零向量长度等于0
D．共线向量是在一条直线上的向量
【解析】选C.向量∥包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种情况，故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；按定义，零向量长度等于0，故C正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错．
2．(2021·菏泽高一检测)给出下列四个命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是(　　)
A．②③　　　B．①②　　　C．③④　　　D．②④
【解析】选A.对于①，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故①错误；
对于②，因为A，B，C，D是不共线的四点，且＝ 等价于AB∥DC且AB＝DC，即等价于四边形ABCD为平行四边形，故②正确；
对于③，若a＝b，b＝c，则a＝c；显然正确，故③正确；
对于④，由a＝b可以推出|a|＝|b|且a∥b，但是由|a|＝|b|且a∥b可能推出a＝－b，故“|a|＝|b|且a∥b”是“a＝b”的必要不充分条件，故④不正确．
【补偿训练】
若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为(　　)
A．平行四边形　　 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
【解析】选C.由＝，可知四边形ABCD为平行四边形，
又因为||＝||，所以四边形ABCD为菱形．
3．(多选题)设O是等边三角形ABC的外心，则，，是(　　)
A．有相同起点的向量 B．平行向量
C．相等向量 D．模相等的向量
【解析】选AD.因为O是等边三角形ABC的外心，起点都是O，外心为各边垂直平分线的交点，所以||＝||＝||.
4．在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，关于四边及对角线所在的向量，以下说法错误的是(　　)
A．与相等的向量只有一个(不含)
B．与的模相等的向量有9个(不含)
C．的模恰为模的倍
D．与不共线
【解析】选D.两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D中，所在直线平行，向量方向相同，故共线．
【补偿训练】
数轴上点A，B分别对应－1，2，则向量的长度是(　　)
A．－1　　　　B．2　　　　C．1　　　　D．3
【解析】选D.||＝2－(－1)＝3.
5．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝(　　)
A．1 B． C．2 D．2
【解析】选D.易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD交于点O，则AO＝AB＝1.在Rt△ABO中，易得||＝，则||＝2||＝2.
6．(多选题)(2021·衡水高一检测)已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，下列关系中正确的是(　　)
A．C A B．A∩B＝{a}
C．C B D．(A∩B) {a}
【解析】选ACD.设b与a共线，因为a≠0，所以b＝λa，其中λ∈R，故A＝{b|b＝λa，λ∈R}，C＝{－a}，故C A，A选项正确；C B，C选项正确；因为与a共线，且长度相等的向量为a与－a，A∩B＝{a，－a}，故B选项错误，D选项正确．
二、填空题(每小题5分，共10分)
7．(2021·开封高一检测)如图，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和四边形AOBE均为平行四边形，则与向量相等的向量为________；与向量共线的向量为________；与向量的模相等的向量为________．(填图中所画出的向量)
【解析】因为O是正三角形ABC的中心，因为OA＝OB＝OC，因为四边形AOCD和四边形AOBE均为菱形，因为与相等的向量为；与共线的向量为，；与的模相等的向量为，，，，.
答案：　，　，，，，
【补偿训练】
如果在一个边长为5的正△ABC中，一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动)，则向量长度的最小值为________．
【解析】结合图形进行判断求解(图略)，根据题意，在正△ABC中，有向线段AD长度最小时，AD应与边BC垂直，有向线段AD长度的最小值为正△ABC的高，为.
答案：
8.如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．
(1)与向量相等的向量有________；
(2)若||＝3，则||＝________．
【解析】(1)根据向量相等的定义以及四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，可知与向量相等的向量有，.
(2)因为||＝3，||＝2||，所以||＝6.
答案：(1)，　(2)6
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30°方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000km到达D地．画图表示向量，，，并指出向量的模和方向．
【解析】以A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系．
由题意知B点在第一象限，C点在x轴正半轴上，D点在第四象限，向量，，如图所示，
由已知可得，
△ABC为正三角形，因为AC＝2 000 km.又∠ACD＝45°，CD＝1 000km，因为△ADC为等腰直角三角形，因为AD＝1 000km，∠CAD＝45°.故向量的模为1 000km，方向为东南方向．
【补偿训练】
如图是4×3的矩形(每个小方格的边长都是1)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，与向量平行且模为的向量共有几个？与向量方向相同且模为3的向量共有几个？
【解析】(1)依题意，每个小方格的两条对角线中，有一条对角线对应的向量及其相反向量都和平行且模为.
因为共有12个小方格，所以满足条件的向量共有24个．
(2)易知与向量方向相同且模为3的向量共有2个．
10．如图所示，在四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝.
求证：＝.
【证明】因为＝，
所以||＝||且AB∥CD，
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以||＝||且DA∥CB.
同理可得，四边形CNAM是平行四边形，
所以＝，所以||＝||，所以||＝||，
又与的方向相同，所以＝.
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