江西省丰城市重点中学2023-2024学年高二上学期第三次段考（12月）数学试题（PDF版含答案）

丰城中学 2023-2024 学年上学期高二第三次月考试卷
数 学
范围：选择性必修一第 1-5 章
一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1．直线 y cos 45 的倾斜角为（ ）
A．0 B．90 C．135 D．不存在

2．已知直线 l的倾斜角为30 ，方向向量 a 3, y ，则 y （ ）
3
A．3 3 B． 3 C． D 3 3．2 2
3．已知圆C的圆心在直线 y x上，且圆C与两坐标轴都相切，则圆C的方程可以为（ ）
A． (x 1)2 (y 1)2 2 B． x2 y2 2x 2y 1 0
C． (x 1)2 (y 1)2 1 D． x2 y2 2x 2y 1 0
4．古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴
的平面去截圆雉，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用面积为 144
的矩形 ABCD截某圆锥得到椭圆 ，且 与矩形 ABCD的四边相切.则下列椭圆的标准方程
中满足题意的是（ ）
A x
2 y2 x2 y2 2 2 2 2
． 1 B． 1 C x y x y． 1 D． 1
81 16 65 81 100 64 64 100
5．某电视台的一个综艺栏目对含甲 乙在内的六个不同节目排演出顺序，第一个节目只能
排甲或乙，最后一个节目不能排甲，则不同的排法共有（ ）
A．192种 B．216种 C．240种 D．288种
6．现有 4男 3女共 7个人排成一排照相，其中三个女生不全相邻的排法种数为（ ）
A 3 5 7．A5A5 B．A7 A
5 3 4 3 7 3
5A3 C．A4A5 D．A7 A5
7．与圆C1： x2 y2 1及圆C 2 22： x y 12y 20 0都外切的圆的圆心在（ ）
A．椭圆上 B．双曲线的一支上 C．抛物线上 D．圆上
2 2
8．不过原点的直线 l : y kx m(k 0,m 0) x y与双曲线 E : 1(a 0,b 0) 交于 A,B两
a2 b2
3
点，M 为 AB的中点，O为坐标原点，若直线OM 的斜率小于 ，则 E的离心率的取值范围
k
为（ ）A． 1,2 B． 2, C． 2,2 D． 2,
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二、多选题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
9．已知直线 l1 : px y 2 0，直线 l2 : x py 2 0，下列说法正确的是（ ）
A．直线 l1在 y轴上的截距等于直线 l2在 x轴上的截距
B．若点 P 2,2 在直线 l1上，则点 P 2,2 也在直线 l2上
C．若 l1//l2，则 p 1
D．若 l1 l2，则 p 0
10．已知圆M : x2 y 2 4x 0 和圆 N : x2 y 2 4y 12 0 相交于 A，B两点，则下列说法正
确的是（ ）
A． AB MN B．直线 AB的方程为 x y 3 0
C．线段 AB的长为 14 D．M 到直线 AB的距离与N到直线 AB的距离之比为1: 4
11．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，
在阳马P ABCD中， PD 底面 ABCD，且DA 1,DC DP 2，则（ ）
A 5 2．直线 AC与 BP所成角的余弦值是 B．点C到直线 PB的距离是
5 3
C 5 3 6．直线 PB与平面PAC所成角的正弦值为 D．点 B到平面PAC的距离为
9 3
12 2．已知拋物线 E : x 2py p 0 ，过其准线上的点 A 1, 1 作 E的两条切线，切
点分别为B,C，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线 E的方程为 x2 2y B． AB AC
C．直线 BC
1
的斜率为 D．直线BC的方程为 x 2y 2 0
2
三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13． x 1 x 2 7 的展开式中 x6的系数为 ．

14．设 x， y R，若空间向量 a x, y, 2 与b 6,4, 4 平行，则 a .
15 C : x
2 y2
．已知 F ( 6,0)为椭圆 2 2 1(a b 0)的右焦点，过点 F的直线 l与椭圆C交于 A,Ba b
两点，P为 AB的中点，O为坐标原点.若△OFP是以OF 为底边的等腰三角形，且△OFP外
接圆的面积为 2π，则椭圆C的长轴长为 .
16．已知直线 l与圆O： x2 y2 4交于 A x1, y1 ， B x2 , y2 两点，且 AB 2 3，则
3x1 4y1 10 3x2 4y2 10 的最大值为 .
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四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（10 分）已知 ABC的顶点C 1,0 ，BC 边上的高所在直线的方程为 x y 1 0．
(1)求直线 BC 的一般式方程；
(2)若 AC 边上的中线所在直线的方程为 y 3，求顶点 A 的坐标．
18．（12 分）如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是边长为 2的正方形，侧棱 PA的

长为 4，且 PA与 AB、AD的夹角都等于 60°，N是 PC的中点，设 AB=a，AD b，AP c .

(1)用基底{a,b,c}表示向量 AN；
(2)求 AN的长.
19．（12 分）已知 C1 : x
2 (y 2)2 9, C2 : x
2 y2 2ax 2 2 a y (a 2)2 0(a 0) .
(1)当 a 2时， C1与 C2相交于 A,B两点，求直线 AB的方程；
(2)若 C1与 C2相切，求 a的值.
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20.（12分）如图，直三棱柱 ABC - A1B1C1的底面为等边三角形，AB 2,M ,N分别为 BC, AC1
的中点.
(1)证明：MN //平面 A1BC1；
(2)若三棱锥 A1 ABC
2 3
1的体积为 ，求平面 ABC1与平面 A1BC1夹角的余弦值.
3
2 1
21.（12 分）已知抛物线 y 2 px p 0 的焦点为 F ，点 A ,m 在抛物线上，且△OAF的
8
2 p2
面积为 （O为坐标原点）．
16
(1)求抛物线的标准方程；
(2)抛物线的准线与 x轴交于点T，过点T的直线 l交抛物线C于M ,N两点，若以MN为直径
的圆过点F ，求直线 l的方程．
22．（12 分）已知 A 3,1 ，B，M 是椭圆C上的三点，其中A、B两点关于原点O对称，
1
直线MA和MB的斜率满足 kMA kMB .3
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点Q是椭圆C长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点Q作斜率不为 0的直线 l， l与
1 1
椭圆的两个交点分别为 P、 N，若 PQ QN 为定值，则称点Q为“稳定点”，问：是否存
在这样的稳定点？若有，试求出所有的“稳定点”，并说明理由；若没有，也请说明理由.
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丰城中学 2023-2024 学年上学期高二大部队第三次段考数学答案
1—8 ABCA BBBB 9. BD 10. ABC 11. AD 12. BCD
13. 98 14. 17 15.6 16. 30
17.(1) x y 1 0 ;(2) 5,6 .
1
解（1）依题意，边 BC 上的高所在直线的斜率为 1，则直线 BC 的斜率为 1，
1
所以直线 BC 的方程为 y x 1 ，即 x y 1 0．
（2）设 A x0, y0 ，因为 AC 边上的中线所在直线的方程为 y 3，且C 1,0 ，
y 0
所以 0 3，则 y0 6，因为 BC 边上高所在的直线经过点 A，2
所以 x0 y0 1 0，则 x0 y0 1 5，故 A 的坐标为 5,6 .
1 1 1
18．(1) AN a b c (2) 10 .
2 2 2

解（1）由题意得 AN AC CN
1
AC CP AC 1 AP AC2 2
1 1
AC AP 1 AB 1 AD 1 AP 1 a 1 1 b c ;
2 2 2 2 2 2 2 2

（2）由已知，得 a b 2 2 2
2
， c 4，a b 4， c 16 ,

a b 2 2 cos90 0， a c b c 2 4 cos 60 4 ,
1 1 1 2
所以 AN a b c


2 2 2
1 2 2 2
a b 1 c 2 a b a c b c 4 4 16 2 0 4 4 10 ,2 2
所以 AN的长为 10 .
19.(1) 4x 4y 5 0 (2)答案见解析
解（1）当 a 2 C : x2时， 2 y
2 4x 0，
则用 C1 : x
2 ( y 2)2 9与C2 : x
2 y2 4x 0 2 2作差得： x (y 2) 9 x2 y2 4x 0，
化简得： 4x 4y 5 0 ，即直线 AB的方程为 4x 4y 5 0
（2） C2 : (x a)
2 (y 2 a) 2 a 2 ，C2 a,a 2 ,C1 0, 2 , C1C2 2a，
C1半径 r1 3， C2半径 r2 a，当两圆外切时， C1C2 r1 r2 3 a 2a ，解得
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a 3 2 3，当两圆内切时， C1C2 r1 r2 3 a 2a ，解得 a 3 2 3 .
5
20．(1)证明见解析(2)
7
解（1）连接 AM .由直三棱柱 ABC - A1B1C1底面为等边三角形，
则 AM BC，且 BB1 平面 ABC .以M 为坐标原点，MA,MB所在直线分别为 x, y轴，
以过M 与 BB1平行的直线为 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设 AA1 a，则M 0,0,0 ,B 0,1,0 , A1 3,0,a ，
3 1 1 N , , a 3 1 1

，因为MN , , a , BA1 3, 1, a ，
2 2 2 2 2 2
1
所以MN BA1 ，所以MN A1B，因为MN 平面 A1BC1, A1B 平面 A1BC2 1
，所以MN 平
面 A1BC1 .
（2）因为 BB1 平面 A1B1C1 ,BB1 平面 ABB1A1， 所以平面 A1B1C1 平面 ABB1A1 .
在平面 A1B1C1内，取 A1B1的中点D，连接C1D，则C1D A1B1，又平面 A1B1C1 平面
ABB1A1 A1B1 ，C1D 平面 A1B1C
3
1，所以C1D 平面 ABB1A1，且C1D A1B1 3，2
V V 1 1 2 3由 三棱锥A1 ABC1 三棱锥C ABA ，得 AA1 AB 1 1 C3 2 1D
，
3
1 1 2 3
即 AA1 2 3 ，所以 AA1 2，则C1 0, 1,2 , A 3,0,0 , AC1 3, 1,2 ，3 2 3

BC1 0, 2,2 , A
r
1C1 3, 1,0 .设平面 ABC1的法向量为m x1, y1,z1 ，

AC1 m

0, 3x
由 得 1
y1 2z1 0,
BC1 m

0, 2y1 2z1 0,

令 y1 1，则m
3
,1,13
，

r
设平面 A1BC1的法向量为 n x2 , y2 ,z2 ，

A1C

1 n 0, 3x2 y 0,由 得 2
BC

1 n 0, 2y2 2z2 0,
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n
3
令 y2 1，则 ,1,13
，

1
1 1
所以 cos m, n

3 57
5
，故平面 ABC1与平面 A1BC1夹角的余弦值为 .7 7
3
21．(1) y2 4x (2) x 2y 1 0或 x 2y 1 0
解（1）由已知可知 F
p
,0

，
2
1 p m 2 p2 2 p
所以 S△OAF OF m ，所以 m ．2 4 16 4
A 1 ,m m2 2 p 1 1 p 1 p2又点 在抛物线上，所以 ，
8 8 4 8
又 p 0，所以 p 2，所以抛物线的标准方程为 y2 4x．
（2）由题意，T 1,0 ,F 1,0 ，当直线 l斜率为 0时，显然不成立，
所以直线 l斜率不为 0，设直线 l方程为 x my 1，
设M x1, y1 ,N x2 , y2
x my 1
由 消元得 y22 4my 4 0，
y 4x
所以 y1 y2 4m， y1y2 = 4，
因直线 l交抛物线C于M ,N两点，
所以Δ 16m2 16 0，
解得m2 1，即m 1或m 1,
因为以MN为直径的圆过点 F ,

所以 FM FN 0

又 FM x1 1, y1 , FN x2 1, y2

所以 FM FN x1 1 x 2 1 y1y 2 my1 2 my2 2 y1y2
m2 1 y1y2 2m y1 y2 4 m2 1 4 2m 4m 4 8 4m2 0
所以m2 2，
所以m 2 符合题意，
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所以直线 l的方程为 x 2y 1，即 x 2y 1 0或 x 2y 1 0 .
x2 222．(1) y 1 (2)存在，Q 2,0 ，理由见解析
6 2
解（1）设M x, y ，易知B 3, 1 1 y 1 y 1 1，由 kMA kMB ，得 ，3 x 3 x 3 3
x2 y2 x2 y2
化简得 1，故椭圆C的标准方程为 1 .
6 2 6 2
（2）∵点Q是椭圆C长轴上的不同于A、 B的任意一点，故可设直线 PN的方程为
x my x0， P x1, y1 ， N x2 , y2 ，
x my x
0 22 2 2 2mx x 6
由 x2 y2 ，得 m 3 y 2mx 0y x 0 6 0 ，∴ y1 y 0 02 2 ，y y ，Δ 0
1 m 3
1 2 m2 3
6 2
恒成立.又 PQ 1 m2 y1 ， QN 1 m
2 y2 ，
1 1 1 1 1 1 y y
∴ 1 2 ，
PQ QN 1 m2 y1 y2 1 m2 y1y2
2mx
2
0 x
2
2 4 0 6
1 y y 4y y 1 21 2 1 2 m 3 m2 3
1 m2 y y 1 m2
2
1 2 x 6 0
m2 3
2
2 2 6 m
2 6 x 0
2 6m 3x0 18 2


2 ，
6 x20 m
2 1 6 x2 m20 1
6 x2 2
要使其值为定值，则 0 1，故当 x
2 0
4，即 x0 2时，
1 1
6
PQ QN .综上，存在这样的稳定点Q 2,0 .
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