重庆市黔江中学校2023--2024学年高二（上）12月考试
（数学试卷）
考试时间：120分钟
考试范围：选择性必修一全部内容，选择性必修二数列部分等差数列及前面内容
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.（改编）在平面直角坐标系中，直线：的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.（改编）已知双曲线的一条渐近线方程为，则( )
A. B. C. D.
3.用火柴棒“”摆“金鱼”，如下图所示：
按照上面的规律，第个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( )
A. B. C. D.
4.“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图，某园林中的圆弧形门洞高为，底面宽为，则该门洞的半径为( )
A. B. C. D.
A.30 B. C. D.
6.已知是双曲线的两个焦点，为上一点，且，则的离心率为( )
A. B. C. D.
7.在我国古代数学名著九章算术中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵中，，，，若直线与直线所成角为，则( )
A.
B.
C.
D.
8.（改编）如图，已知抛物线：和圆：，过抛物线的焦点作直线与上述两曲线自左而右依次交于点，，，，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知直线，直线，则( )
A. 当时，与的交点为 B. 直线恒过点
C. 若，则 D. 存在，使
10.已知圆和圆的交点为，，则( )
A. 两圆的圆心距
B. 直线的方程为
C. 圆上存在两点和使得
D. 圆上的点到直线的最大距离为
11.“奔跑吧少年”青少年阳光体育系列赛事活动于近日开赛，本次比赛的总冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图，已知球的体积，托盘由边长为的正三角形钢片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，（即面ADE,面CDF,面BEF均垂直于底面DEF），如图，则下列结论正确的是( )
A. 直线与平面所成的角为
B. 直线平面
C. 异面直线与所成的角的余弦值为
D. 球上的点离球托底面的最大距离为
12.（改编）已知点为双曲线上任意一点，、为其左、右焦点，为坐标原点．过点向双曲线两渐近线作垂线，设垂足分别为、，则下列所述正确的是( )
A. 为定值
B. 、、、四点一定共圆
C. 的最小值为
D. 存在点满足、、三点共线时，、、三点也共线
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
14.（改编）已知数列，，，，，，，，，，，，则该数列的第项为 .
15.(改编)过点P作圆切线，记切点分别为A,B，则 ．
16.（教材选修2P10阅读与思考改编）斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即，，，，，，，，，，，，，在实际生活中，很多花朵如梅花、飞燕草、万寿菊等的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．斐波那契数列满足：，，经计算发现：（），则m= ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（原创）已知等差数列，，其中仍成等差数列．
求数列的通项公式；
求数列的前项和，且,求．
18.（原创）已知圆C的圆心为C，且过点，．
当AB为直径时，圆C的面积取得最小值，求此时圆C的标准方程及圆C的面积；
对于中的圆，设过点的直线与圆C所截得弦长为2，求直线的方程．
19.（改编）如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，
侧面底面，且分别为棱的中点．
求证：；
求点到平面的距离．
20.（改编）已知是抛物线（>0）的焦点，抛物线上点A满足AF垂直于x轴，且．
求抛物线C的标准方程；（3分）
、是该抛物线上的两点，，求线段的中点到轴的距离；（4分）
已知点H（1,1），直线过点与抛物线交于，两个不同的点均与点H不重合，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．（5分）
21.如图，在正三棱柱中，，，分别为，，的中点，，．
证明：平面E.
若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
22.已知椭圆的方程为，其离心率为，，为椭圆的左右焦点，过作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于，两点，的周长为．
求椭圆的方程
过作轴的垂线交椭圆于另一点．
试讨论直线是否恒过定点，若是，求出定点坐标若不是，请说明理由．
求面积的最大值．重庆市黔江中学校2023-2024学年高二12月月考数学答案
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
设直线：的倾斜角为，，可得，解得．
【解答】
解：设直线：的倾斜角为，
，解得．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的几何性质，属基础题．
根据双曲线的方程写出渐近线方程，对照条件可求答案．
【解答】
解：因为双曲线为，
所以它的一条渐近线方程为，
因为渐近线方程为，所以．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查归纳推理，考查等差数列的通项公式，属于基础题．
由图形间的关系可以看出，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为，公差是的等差数列，，写出通项公式，即可求出第项的火柴根数．
【解答】
解：归纳“金鱼”图形的构成规律知，
后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后根火柴组成的鱼头部分，
故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为，公差是的等差数列，
所以通项公式为，
故第个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为．
故选C．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查与圆有关的问题，考查勾股定理的应用，属于基础题．
设半径为，由题意列方程，解方程即可．
【解答】
解：设半径为，
则，
化简得，解得．
故选B．
5.【答案】B
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了双曲线定义、性质及几何意义，属于基础题．
由双曲线定义得，再由已知求得，在中，由余弦定理得，即可得到离心率．
【解答】解：由是双曲线的两个焦点，为上一点，
则根据双曲线定义得，
又因为，所以，
在中，，，
由余弦定理得，即，则，
故离心率．
故选A．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用空间向量求线线夹角，属于基础题．
以为原点建立空间直角坐标系，利用向量方法求出和夹角余弦值即可求出竖坐标，从而得到答案．
【解答】
解：已知在堑堵中，，，，
如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，设，
则，，
，
解得，故．
故选B．
8.【答案】
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两直线的交点坐标，直线过定点，直线与直线垂直和平行的应用，为中档题．
【解答】
解：对于，当时，直线，直线，由解得
所以两直线的交点为，故A正确
对于，直线，令解得即直线恒过点，故B正确
对于若，则，解得，故C正确
对于，假设存在，使，则，解得或，
当时，，，两直线重合，舍去，
当时，直线，直线，两直线重合，舍去，
所以不存在，使，故D错误．
故选ABC．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查圆的公共弦，直线与圆的位置关系中的最值问题等，属于中档题．
由圆的一般方程，采用配方法，整理标准方程，可得圆的圆心坐标和半径，根据两点距离公式，公共弦求解方法一般方程作差，圆的性质，直线与圆的位置关系，逐一验证，可得答案．
【解答】
解：由圆和圆，
可得圆和圆，
则圆的圆心坐标为和半径为，圆的圆心坐标和半径，
对于，两圆的圆心距，故A错误；
对于，将两圆方程作差可得，即得公共弦的方程为，故B正确；
对于，直线经过圆的圆心坐标，所以线段是圆的直径，故圆中不存在比长的弦，故C错误；
对于，圆的圆心坐标为，半径为，圆心到直线：的距离为，所以圆上的点到直线的最大距离为，故D正确．
故选：
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查线面平行的判定，直线与直线所成角的向量求法，直线与平面所成的角，点面距离几何法，属于较难题．
选项，由题意得到平面平面，得到为直线与平面所成的角，大小为；选项，作出辅助线，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，得到， B错误；选项，利用空间向量求解异面直线的夹角余弦值；选项，求出球的半径，得到四面体为正四面体，棱长为，求出到平面的距离，从而得到球上的点离球托底面的最大距离．
【解答】
解：选项，因为托盘由边长为的正三角形钢片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，
所以平面平面，
过点作于点，
因为平面平面，所以平面，
故即为直线与平面所成的角，大小为，故 A正确；
选项，过点作于点，同选项，可证明平面，
所以，
由已知可得为边长为的正三角形，
由三线合一可得分别为的中点，故，
连接，则四边形为平行四边形，故，
同理可得，
连接，则，
以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，
则
，
设平面的法向量设为，
，
则
令 ，得，，故，
又，
故直线与不垂直，故直线与平面不平行， B错误；
选项，，
故异面直线与所成的角的余弦值为， C错误；
选项，由选项可知，，设为球心，球半径为，
由，解得，则为正四面体，棱长为，
设为的中心，则平面，又平面，
所以，，则，
又平面到平面的距离为，所以球离球托底面的最大距离为， D正确．
故选：
12.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了双曲线中定点、定值、定直线问题以及与向量的综合应用，属于困难题．
对于，设，表示出，即可判断；对于，由题目可得，，两点在以为直径的圆上，故可判断；对于，由双曲线的对称性可知，由，可判断；对于，利用双曲线的对称性，不妨设直线垂直一条渐近线，垂足为；直线垂直另一条渐近线且交双曲线于点，易知直线与直线的交点始终落在轴上，可判断．
【解答】
解：对于，设，点到渐近线，即的距离为，
同理，则，
，即，
定值，故A正确；
对于，，和均为直角三角形，，两点在以为直径的圆上，故 B正确；
对于，由双曲线的对称性可知，，其中，
成立，故 C正确；
对于，如图，利用双曲线的对称性，不妨设直线垂直于一条渐近线，垂足为；直线垂直另一条渐近线且交双曲线于点，易知直线与直线的交点始终落在轴上，与题意不符，故 D不正确．
13.【答案】2
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查数列的概念与表示，属于基础题．
通过已知数列，利用等差数列求和，求解数列数字个数的和，判断所在的位置即可．
【解答】
解：按规律排列的数列，，，，，，，，，，，，
可知是个；是个，是个，是个，是个，是个，是个，
因为，，
所以该数列的第项为：．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系应用问题，考查三角函数求值问题，属于中档题．
圆的方程化为，求出圆心和半径，利用直角三角形求出，再计算
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查数列递推式，理解斐波那契数列，中递推关系的应用是关键，属于中档题．
利用递推关系，将所求关系式中的“”换为，再利用即可求得答案．
【解答】
解：依题意，得
，
故答案为：．
【答案】解：设等差数列的公差为，
由，是与的等差中项，
得，
解得，，
所以数列的通项公式为：
；
解：当为直径时，AB中点为圆心，半径．
则圆的方程为：．
圆C的面积
因为被截得弦长为，圆的半径为，所以圆心到直线的距离2.
当直线的斜率存在时，设其方程为，即，
则圆心到直线的距离，解得，
此时，直线的方程为，
又直线的斜率不存在时，其方程为也适合题意，
故直线的方程为或．
【解析】本题主要考查了圆的标准方程的求解，直线与圆的位置关系，属于基础题．
当为直径时，过，的圆的半径最小，从而周长最小，进而求得圆心的坐标和圆的半径，即可得到圆的方程
分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论求解．
19.【答案】
证明：
解：如图，以为坐标原点，过平行于的直线为轴，以，所在直线分别为轴和轴建立空间直角坐标系，
则，，，
，，，，
．
设平面的法向量为，
由，得，取，得，．
所以，
又，
所以点到平面的距离．
【解析】本题考查了面面垂直的性质，考查了利用空间向量判定线线垂直、求异面直线所成的角以及求点到平面的距离，属于中档题．
取的中点，连接，根据面面垂直的性质可证底面，以为坐标原点，过平行于的直线为轴，以，所在直线分别为轴和轴建立空间直角坐标系，标出所用点的坐标，求出和所对应向量的坐标，由两向量的数量积等于可证明；
求出与和所对应的向量的坐标，直接利用两向量的夹角公式求异面直线与所成角的余弦值；
求出平面的一个法向量，在平面内任取一点，和连接后得到一个向量，直接运用向量求点到平面的距离公式求距离．
【答案】解：由题知，又，所以+=，解得.
所以抛物线的方程为．
（2），
．
线段的中点到轴的距离为．
证明：设过点的直线的方程为，
即，
代入，得，
设，，
则，，
所以，
，
，
所以为定值．
【解析】本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．
由题意代入坐标可得的值，然后再依据定义求得线段的中点到轴的距离．
设过点的直线的方程为，代入利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求的值．
21.【答案】证明：因为，分别为，的中点，所以．
在正三棱柱中，，
所以．
又平面，平面，所以平面E.
解：取的中点，连接以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，．
设平面的法向量为，
则取，则．
易知是平面的一个法向量，
所以，．
故平面与平面夹角的余弦值为．
【解析】本题考查棱柱的结构特征，考查线面平行的证明，考查二面角的向量求法，属于中档题．
先证明，然后根据线面平行的判定定理证明即可；
由建立的空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，然后利用空间向量夹角公式求结果．
22.【答案】解：由题知 的周长 ，
，又 ， ， ，
故椭圆的方程为 ．
由题可设直线 的方程为 ，设 ， ，
联立方程可得： ，化简可得： ，
，
，
因为： 共线，则有： ，化简可得：
即： ，化简可得： 恒成立．
，即：直线 的方程为 恒过定点 ．
设直线 恒过定点记为 ，
由上题 ，可得： ，
， ，
令 ，则
当且仅当 ，即 时，取等号．
面积的最大值为 ．
【解析】本题主要考查椭圆中定点问题，椭圆中的三角形问题，考查基本不等式求取值范围等，属于综合题．
