福清西山学校高中部 2023-2024 学年第一学期 12 月月考
高一数学试卷
（考试时间：120 分钟 总分：150 分）
第Ⅰ部分（选择题，共 60 分）
一、单选题：每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合 A x 2 x 4 ， B 2,3,4,5 ，则 A B （ ）
A． 2 B． 2,3 C． 3, 4 D． 2,3,4
2．“ x > 2 ”的一个充分不必要条件是（ ）
A． 2 x 2 B． 4 x 2 C． x 2 D． x 2
2
3．已知函数 f x
x 1, x 0
，则 f f 1 （ ）
log2 x, x 0
A．0 B．1 C．4 D．5
4 f x 3x．函数 1的零点为（ ）
A． 0,0 B． 1,1 C．0 D．1
5．若函数 y ax (a 0，且 a 1)的图象过点 2, 4 ，则函数 y loga x 的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
0.9
6．已知 a 31.2 ,b log 30.7,c
1
，则 a,b,c的大小关系是（ ）
3
A． a c b B． c b a C．c
1
7．设实数 x满足 x 1，则函数 y 2x 3 的最小值是（ ）
x 1
A．1 2 2 B．5 2 2 C．1 2 2 D．5 2 2
8．若定义在 R 的奇函数 f x ，若 x 0时 f x x 2，则满足 xf x 0的 x的取值范围是（ ）
A． , 2 0,2 B． , 2 2, C． , 2 0,2 D． 2,2
试卷第 1页，共 4页
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二、多选题在：每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0
分，部分选对的得 3 分.
9．已知 a,b R，那么下列结论正确的是（ ）
1 1
A．若a b 0， c d 0，则 ac bd B．若 ，则 a b
a b
C．若 ac2 bc2 ，则 a b D．若 a b，则 a b 0
10．下列说法正确的是（ ）
A．如果 是第一象限的角，则 是第四象限的角
B． 43 角与 317 角终边重合
π 2π
C．若圆心角为 的扇形的弧长为 π，则该扇形面积为
3 3
D．若 是第二象限角，则点P(sin , cos )在第四象限
11．下列函数中，既是奇函数，又在 0, 上单调递增的函数是（ ）
1
A． f x x B． f x C． f x 3 x D． f x ln 2 x ln 2 x
x
x2 2x, x 0
12．已知函数 f (x) ，若方程 f x m有四个不等实根 x1, x2 , x , x
ln x 2, x 0
3 4
（ x1 x2 x3 x4 ），则下列说法正确的是（ ）
x 2
A． x1 x2 2 B． x3 x
x1x2 2 3
4 e C． x3 e D． x x 24 1x3 x2x
2 最小值为 2
3
第 II 部分（非选择题，共 90 分）
三、填空题 ：每小题 5 分，共 20 分
13．命题“ x 0，x 2 x 1 0 ”的否定为 .
14．已知一元二次不等式 x2 bx c 0的解集为(-1,2)，则bx2 x c 0的解集为 .
15．已知幂函数 f (x) m2 m 5 xm在 (0, )上单调递减，则m ．
16．已知 a,b R 2 2，若函数 f x 1 x x ax b 的图象关于直线 x 2对称，且对于任意
正数 x都有 x2 ax t bx成立，则实数 t的最小值是 .
试卷第 2页，共 4页
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四、解答题（本大题共 6 小题，17 题 10 分，其余每题 12 分.）
17．求值：
lg2 lg5 lg8
(1) lg50 lg40
1 2
(2) 4 (4 π)4 1 83 (278 2)
0 .
π
18．已知集合 A {x | a 1 x 2a 1},B {x | x2 3x 10 0} .
（1）当 a 3时，求 ( RA)I B；
（2）若 A B B，求实数 a的取值范围.
19．在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁
殖速度又会减慢.在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量 y（单位：百万个）与培养
时间 x（单位：小时）的关系为：
x 2 3 4 5 6 8
y 3.5 3.8 4 4.16 4.3 4.5
根据表格中的数据画出散点图如下：
为了描述从第 2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择：
① y alog2x b，② y x2 ax b ，③ y 2x a b .
(1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；
(2)利用 4,4 和 8,4.5 这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第 2小时开始，至
少再经过多少个小时，细菌数量达到 6百万个.
试卷第 3页，共 4页
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20．设 f x loga 1 x loga 3 x a 0,a 1 ，且 f (1) = -2 .
（1）求 a的值及 f x 的定义域；
f x 0, 3 （2）求 在区间 上的最小值. 2
21．已知关于 x的不等式 ax2 2ax 1≥ 0对于 x R恒成立．
(1)求 a的取值范围；
(2)在（1）的条件下，解关于 x的不等式 x2 x a2 a 0．
22 1 3
x
．已知定义在 R 上的函数 f x
1 3x
(1)判断函数 f x 的奇偶性；
(2) x x 1解不等式 f 4 8 f 3 2 0；
(3) x x 1设函数 g x 4 2 m，若 x1 R ， x2 0,1 ，使得 f x1 g x2 ，求实数 m的取值范
围．
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{#{QQABJYQAogAgABAAABgCQQXICkAQkAAAAIoGhEAAIAIBwBNABAA=}#}福清西山学校高中部 2023—2024 学年 12 月份月考
高一数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D B C A D B D ACD ABD AC AC
13． x 0，x2 x 1 0
14． ,
15． 3
529
16． /132.254 .
lg2 lg5 lg8 lg10 lg8 1 3lg 2
1
17.解：（1） lg50 lg40 lg 100 lg 10 4 2 lg 2 1 2 lg 2 .…………………5 分
2
1 12 4 (4 π)4
2
（ ） 8 3 (278 2)
0 4 π π 4 1 1 .……………………10 分
π
18.解：解：（1）当 a 3时，
A {x | 4 x 5},B {x | x2 3x 10 0} {x | 2 x 5}………………2分
RA {x | x 4或 x 5} ………………3 分
( RA) B {x | 2 x 4}………………5分
（2）Q AUB B， A B，………………7分
①当 A 时， a 1 2a 1,即a 2，此时满足 A B；………………9分
②当 A 时，要使 A B成立，
a 1 2a 1
则需满足 a 1 2 ， 2 a 3………………11 分
2a 1 5
综上，实数 a的取值范围是 ( ,3]………………12 分
19．解：（1）随着自变量的增加，函数值的增长速度变小，
而 y x2 ax b在对称轴右方，随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，
y 2x a b随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，
故选择函数 y alog2x b .………………5分（
a log2 4 b 2a b 4,
a
1
,
（2）由题意可得
a log 8 b 3a b 4.5
，解得 2 ，……………7 分
2 b 3
1
所以 y log2x 3 .……………8 分2
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y 1令 log2x 3 6 ，解得 x 64 .……………11 分2
故至少再经过62小时，细菌数列达到 6百万个.……………12 分
20．解（1）由 f (1) = -2得 f 1 loga 2 loga 2 2 1，解得 a ，…………2分2
1 x 0
由 得 1 x 3，因此，函数 y f x 的定义域为 1,3 ；…………5 分
3 x 0
（2）由（1）得 f x log1 1 x 3 x log
2
1 x 2x 3 ，…………7分
2 2
令 t x2 2x 3，由 x
3 0, 得 t x 1
2 4 3, 4 ，…………9分
2
则原函数为 y log1 t， t 3,4 ，由于该函数 y log1 t在 t 3,4 上单调递减，………10 分
2 2
所以 ymin log1 4 2，因此，函数 y f x 0, 3 在区间 上的最小值是 2 .…………12 分2 2
21．解（1）当 a 0时，不等式1 0恒成立，…………2 分
当 a 0时，若不等式 ax2 2ax 1≥ 0对于 x R恒成立，
a 0
则 Δ 4a2 4a 0，解得
0 a 1，…………4 分
综上， a的取值范围为 0,1 ．…………5分
（2） x2 x a2 a 0，且0 a 1，
x a x 1 a 0，又0 a 1，…………7分
1
①当1 a a，即0 a 时，则 a x 1 a；…………8 分
2
2
②当1 a a，即 a
1
1 时，
2
x 0，不等式无解；…………9分
2
1
③当1 a a，即 a 1时，则1 a x a，…………10 分
2
0 a 1综上所述，当 时，不等式的解集为 x | a x 1 a ；
2
a 1当 时，不等式的解集为 ；
2
1
当 a 1时，不等式解集为 x |1 a x a ．…………12 分
2
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22 1 f x R f x 3
x 1 1 3x
．解（ ）因为 定义域是 ，且 x f x ，3 1 1 3x
所以 f x 是奇函数.…………3 分
（2）设 a 3x 0，则 y 1
2
，
a 1
x y 1 2因为 a 3 在 R 上递增，且 在 0, 上递减，
a 1
所以 f x 2 1 x 是 R 上减函数，3 1
又因为 f x 在 R 上是奇函数，
则 f 4x 8 f 3 2x 1 0 x x 1可转化为 f 4 8 f 3 2 ，
且 f x 在 R 是减函数，则 4x x x 8 3 2x 1，整理得 2 2 2 4 0，
解得 2x 2或 2x 4，可得 x 1或 x 2，
所以不等式的解集为 x | x 1或 x 2 .…………7 分
（3）由题意可得： f x 3
x 1 3x 1 2 2
1
3x 1 3x 1 3x 1
因为3x 0，即3x 1 1，则0
2
x 2 ，可得 1 f x 1，3 1
所以 f x 的值域是 1,1 ，
若 x1 R ， x2 0,1 ，使 f x1 g x2 成立，只需1 g x max ，
设 t 2x ， t 1,2 ，
2
则 4x 2x 1 m t2 2t m t 1 m 1
可知 y t 1 2 m 1在 1,2 上单调递增，
可知： t 1，即 x 0时， y t 1 2 m 1取到最大值为8 m，
所以1 8 m，解得m 7，
所以实数 m的取值范围m 7 .…………12 分
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