高中数学苏教版（2019）3.3从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
一、单选题
1．若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则 的值为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】方程 的判别式为 ，所以方程有两个不相等的实数根，且 ，所以 。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合判别式法得出方程有两个不相等的实数根，再利用韦达定理求出 的值 。
2．已知关于 的方程 的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
A．-3 B．3 C．-2 D．2
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】方程 的判别式为 ，所以方程有两个不相等的实数根，且 ，所以 。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合判别式法得出方程有两个不相等的实数根，再利用韦达定理求出 的值 。
3．已知二次函数 的对称轴为 ，且 有两个实数根 、 ，则 等于（ ）
A．0 B．3 C．6 D．不能确定
【答案】C
【知识点】二次函数的性质；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由于二次函数 的对称轴方程为 ，可得 ，
又因为方程 的两根分别为 、 ，由韦达定理得 。
故答案为：C.
【分析】利用二次函数求对称轴的公式结合已知条件，得出，再利用韦达定理求出 的值。
4．已知α，β(α<β)是函数y＝(x－a)(x－b)＋2(a
A．a<α<βC．α【答案】A
【知识点】反射、平衡和旋转变换；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】设g(x)＝(x－a)(x－b)，
则g(x)向上平移2个单位长度得到y＝(x－a)(x－b)＋2的图象，
由图易知a<α<β故答案为：A
【分析】设g(x)＝(x－a)(x－b)，再利用图象的平移变换，则g(x)向上平移2个单位长度得到
y＝(x－a)(x－b)＋2的图象，再利用函数y＝(x－a)(x－b)＋2的图象，从而推出 α，β，a，b的大小关系 。
5．一元二次方程 的两根均大于2，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】关于x的一元二次方程 的两根均大于2，
则 ,
解得 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件关于x的一元二次方程 的两根均大于2结合判别式法和根与系数的关系，从而求出实数m的取值范围。
6．不等式2x2－x－1>0的解集是（ ）
A． B．{x|x＞1}
C．{x|x<1或x＞2} D． 或
【答案】D
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解析∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，
∴由2x2－x－1>0，得(2x＋1)(x－1)>0，
解得x>1或x<－ ，
∴不等式的解集为 或 。
故答案为：D
【分析】利用一元二次不等式求解集的方法，从而求出不等式2x2－x－1>0的解集。
7．（2020高二上·射阳期中）若关于 的不等式 的解集是 ，那么 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由题意知方程 的两根为 和 ，
由根与系数的关系可得 ，
解得： ，
故答案为：C
【分析】由题意知方程 的两根为-7和-1，利用韦达定理即可求 的值.
8．不等式 的解集为（ ）
A．[1，2] B．(－∞，1]∪[2，＋∞)
C．[1，2) D．(－∞，1]∪(2，＋∞)
【答案】D
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】由题意可知，不等式等价于 ，
∴x>2或x≤1，
所以不等式的解集为(－∞，1]∪(2，＋∞)。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合分式不等式求解集的方法，再利用一元二次不等式求解集的方法结合分母不为0的性质，从而求出不等式的解集。
二、填空题
9．若二次函数 的两个零点分别是2和3，则 的值为 .
【答案】-4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】因为二次函数 的两个零点分别是2和3，
所以一元二次方程 的两个根分别是2和3，
由一元二次方程根与系数关系得： ，解得 ，
因此， 。
故答案为：-4。
【分析】利用函数的零点与方程的根的等价关系，因为二次函数 的两个零点分别是2和3，所以一元二次方程 的两个根分别是2和3，再利用韦达定理求出a,b的值，从而求出2a+b的值。
10．若关于x的二次方程 的两个根分别为 ，且满足 ，则m的值为
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】关于x的二次方程 有两个根，
则 ，
，
又 ，即 ，
解得 或 （舍去），
的值为 。
故答案为：。
【分析】利用已知条件关于x的二次方程 有两个根结合判别式法和一元二次不等式求解集的方法，从而求出m的取值范围，再利用韦达定理结合已知条件 ， 从而解一元二次方程求出m的值。
11．不等式x2＋x＋k＞0恒成立时，则k的取值范围为 .
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；二次函数的图象
【解析】【解答】由题意知Δ＜0，即1－4k＜0，
得k＞ ，
即k∈ 。
故答案为： 。
【分析】利用不等式恒成立问题求解方法结合二次函数的图象的开口方向，再利用判别式法求出实数k的取值范围。
12．对任意x∈R，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值总为非负，则m的取值范围为 .
【答案】{0}
【知识点】函数恒成立问题；二次函数的图象
【解析】【解答】由题意知Δ＝(m－4)2－4(4－2m)= m2≤0，得m＝0。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合不等式恒成立问题求解方法，再结合二次函数的图象的开口方向和判别式法，从而求出实数k的取值范围。
三、解答题
13．某校园内有一块长为800m，宽为600m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围.
【答案】解：设花卉带的宽度为xm(0根据题意可得(800－2x)(600－2x)≥ ×800×600，
整理得x2－700x＋600×100≥0，即(x－600)(x－100)≥0，
所以0故所求花卉带宽度的范围为(0，100].
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】利用实际问题的已知条件结合长方形的面积公式，得出 (800－2x)(600－2x)≥ ×800×600， 再利用一元二次不等式求解集的方法和实际问题中x的取值范围，从而求出满足要求的x的取值范围，进而求出花卉带宽度的范围。
14．对任意 ，函数 的值恒大于零，求 的取值范围.
【答案】①当 时，函数 的值不恒大于零，不符合题意，舍去；
②当 时，要使得对任意 ，函数 的值恒大于零，
则满足 ，即 ，
此不等式组无解，故 .
综上知，不存在这样的实数 ，使函数 的值恒大于零.
【知识点】函数恒成立问题；二次函数的图象
【解析】【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，再利用不等式恒成立问题求解方法，再结合二次函数的图象的开口方向和判别式法，从而求出实数m的取值范围。
15．已知一元二次不等式 的解集为 ，求不等式 的解集.
【答案】由题意，不等式 的解集为 ，
所以 与 是方程 的两个实数根，
由根与系数的关系得 解得
所以不等式 ，即为 ，
整理得 ，解得
即不等式 的解集为 .
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】利用已知条件结合韦达定理求出p,q的值，再利用一元二次不等式的求解方法，从而求出不等式 的解集。
16．若二次函数 的图象与x轴的交点为 ，与y轴的交点为C.
（1）若 ，求p的值
（2）若△ 的面积为105，求p的值.
【答案】（1）由题意，令 ，得 ，即 ，
令 ，则 ， .恒成立，
由韦达定理得， ，
解得 或 .
（2）由 ， ，可得 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，解得 或 .
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）因为二次函数 的图象与x轴的交点为 ，与y轴的交点为C， 令 ，得 ，得出 ，令 ，再结合韦达定理和不等式恒成立问题求解方法，从而求出p,q的值。
（2） 由 ， 结合三角形面积公式，从而求出AB的长，再利用结合韦达定理，再结合一元二次方程求解方法，从而求出p的值。
17．（2020高一上·天津月考）已知集合 .
（1）若A是空集，求 的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求 的值，并求集合A；
（3）若A中至多有一个元素，求 的取值范围
【答案】（1）解：若A是空集，则方程ax2﹣3x+2＝0无解此时 ＝9-8a＜0即a
所以 的取值范围为
（2）解：若A中只有一个元素
则方程ax2﹣3x+2＝0有且只有一个实根
当a＝0时方程为一元一次方程，满足条件
当a≠0，此时 ＝9﹣8a＝0，解得：a
∴a＝0或a
当 时， ；当 时，
（3）解：若A中至多只有一个元素，则A为空集，或有且只有一个元素
由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【分析】 (1)利用A是空集，则△<0即可求出a的取值范围；
(2)由已知条件即可得出，对a分情况讨论，分别求出符合题意的a的值，及集合A即可；
(3)根据题意结合(1)，(2)的结果，即可求解.
1 / 1高中数学苏教版（2019）3.3从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
一、单选题
1．若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则 的值为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．
2．已知关于 的方程 的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
A．-3 B．3 C．-2 D．2
3．已知二次函数 的对称轴为 ，且 有两个实数根 、 ，则 等于（ ）
A．0 B．3 C．6 D．不能确定
4．已知α，β(α<β)是函数y＝(x－a)(x－b)＋2(aA．a<α<βC．α5．一元二次方程 的两根均大于2，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．不等式2x2－x－1>0的解集是（ ）
A． B．{x|x＞1}
C．{x|x<1或x＞2} D． 或
7．（2020高二上·射阳期中）若关于 的不等式 的解集是 ，那么 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．不等式 的解集为（ ）
A．[1，2] B．(－∞，1]∪[2，＋∞)
C．[1，2) D．(－∞，1]∪(2，＋∞)
二、填空题
9．若二次函数 的两个零点分别是2和3，则 的值为 .
10．若关于x的二次方程 的两个根分别为 ，且满足 ，则m的值为
11．不等式x2＋x＋k＞0恒成立时，则k的取值范围为 .
12．对任意x∈R，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值总为非负，则m的取值范围为 .
三、解答题
13．某校园内有一块长为800m，宽为600m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围.
14．对任意 ，函数 的值恒大于零，求 的取值范围.
15．已知一元二次不等式 的解集为 ，求不等式 的解集.
16．若二次函数 的图象与x轴的交点为 ，与y轴的交点为C.
（1）若 ，求p的值
（2）若△ 的面积为105，求p的值.
17．（2020高一上·天津月考）已知集合 .
（1）若A是空集，求 的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求 的值，并求集合A；
（3）若A中至多有一个元素，求 的取值范围
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】方程 的判别式为 ，所以方程有两个不相等的实数根，且 ，所以 。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合判别式法得出方程有两个不相等的实数根，再利用韦达定理求出 的值 。
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】方程 的判别式为 ，所以方程有两个不相等的实数根，且 ，所以 。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合判别式法得出方程有两个不相等的实数根，再利用韦达定理求出 的值 。
3．【答案】C
【知识点】二次函数的性质；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由于二次函数 的对称轴方程为 ，可得 ，
又因为方程 的两根分别为 、 ，由韦达定理得 。
故答案为：C.
【分析】利用二次函数求对称轴的公式结合已知条件，得出，再利用韦达定理求出 的值。
4．【答案】A
【知识点】反射、平衡和旋转变换；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】设g(x)＝(x－a)(x－b)，
则g(x)向上平移2个单位长度得到y＝(x－a)(x－b)＋2的图象，
由图易知a<α<β故答案为：A
【分析】设g(x)＝(x－a)(x－b)，再利用图象的平移变换，则g(x)向上平移2个单位长度得到
y＝(x－a)(x－b)＋2的图象，再利用函数y＝(x－a)(x－b)＋2的图象，从而推出 α，β，a，b的大小关系 。
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】关于x的一元二次方程 的两根均大于2，
则 ,
解得 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件关于x的一元二次方程 的两根均大于2结合判别式法和根与系数的关系，从而求出实数m的取值范围。
6．【答案】D
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解析∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，
∴由2x2－x－1>0，得(2x＋1)(x－1)>0，
解得x>1或x<－ ，
∴不等式的解集为 或 。
故答案为：D
【分析】利用一元二次不等式求解集的方法，从而求出不等式2x2－x－1>0的解集。
7．【答案】C
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由题意知方程 的两根为 和 ，
由根与系数的关系可得 ，
解得： ，
故答案为：C
【分析】由题意知方程 的两根为-7和-1，利用韦达定理即可求 的值.
8．【答案】D
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】由题意可知，不等式等价于 ，
∴x>2或x≤1，
所以不等式的解集为(－∞，1]∪(2，＋∞)。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合分式不等式求解集的方法，再利用一元二次不等式求解集的方法结合分母不为0的性质，从而求出不等式的解集。
9．【答案】-4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】因为二次函数 的两个零点分别是2和3，
所以一元二次方程 的两个根分别是2和3，
由一元二次方程根与系数关系得： ，解得 ，
因此， 。
故答案为：-4。
【分析】利用函数的零点与方程的根的等价关系，因为二次函数 的两个零点分别是2和3，所以一元二次方程 的两个根分别是2和3，再利用韦达定理求出a,b的值，从而求出2a+b的值。
10．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】关于x的二次方程 有两个根，
则 ，
，
又 ，即 ，
解得 或 （舍去），
的值为 。
故答案为：。
【分析】利用已知条件关于x的二次方程 有两个根结合判别式法和一元二次不等式求解集的方法，从而求出m的取值范围，再利用韦达定理结合已知条件 ， 从而解一元二次方程求出m的值。
11．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；二次函数的图象
【解析】【解答】由题意知Δ＜0，即1－4k＜0，
得k＞ ，
即k∈ 。
故答案为： 。
【分析】利用不等式恒成立问题求解方法结合二次函数的图象的开口方向，再利用判别式法求出实数k的取值范围。
12．【答案】{0}
【知识点】函数恒成立问题；二次函数的图象
【解析】【解答】由题意知Δ＝(m－4)2－4(4－2m)= m2≤0，得m＝0。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合不等式恒成立问题求解方法，再结合二次函数的图象的开口方向和判别式法，从而求出实数k的取值范围。
13．【答案】解：设花卉带的宽度为xm(0根据题意可得(800－2x)(600－2x)≥ ×800×600，
整理得x2－700x＋600×100≥0，即(x－600)(x－100)≥0，
所以0故所求花卉带宽度的范围为(0，100].
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】利用实际问题的已知条件结合长方形的面积公式，得出 (800－2x)(600－2x)≥ ×800×600， 再利用一元二次不等式求解集的方法和实际问题中x的取值范围，从而求出满足要求的x的取值范围，进而求出花卉带宽度的范围。
14．【答案】①当 时，函数 的值不恒大于零，不符合题意，舍去；
②当 时，要使得对任意 ，函数 的值恒大于零，
则满足 ，即 ，
此不等式组无解，故 .
综上知，不存在这样的实数 ，使函数 的值恒大于零.
【知识点】函数恒成立问题；二次函数的图象
【解析】【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，再利用不等式恒成立问题求解方法，再结合二次函数的图象的开口方向和判别式法，从而求出实数m的取值范围。
15．【答案】由题意，不等式 的解集为 ，
所以 与 是方程 的两个实数根，
由根与系数的关系得 解得
所以不等式 ，即为 ，
整理得 ，解得
即不等式 的解集为 .
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】利用已知条件结合韦达定理求出p,q的值，再利用一元二次不等式的求解方法，从而求出不等式 的解集。
16．【答案】（1）由题意，令 ，得 ，即 ，
令 ，则 ， .恒成立，
由韦达定理得， ，
解得 或 .
（2）由 ， ，可得 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，解得 或 .
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）因为二次函数 的图象与x轴的交点为 ，与y轴的交点为C， 令 ，得 ，得出 ，令 ，再结合韦达定理和不等式恒成立问题求解方法，从而求出p,q的值。
（2） 由 ， 结合三角形面积公式，从而求出AB的长，再利用结合韦达定理，再结合一元二次方程求解方法，从而求出p的值。
17．【答案】（1）解：若A是空集，则方程ax2﹣3x+2＝0无解此时 ＝9-8a＜0即a
所以 的取值范围为
（2）解：若A中只有一个元素
则方程ax2﹣3x+2＝0有且只有一个实根
当a＝0时方程为一元一次方程，满足条件
当a≠0，此时 ＝9﹣8a＝0，解得：a
∴a＝0或a
当 时， ；当 时，
（3）解：若A中至多只有一个元素，则A为空集，或有且只有一个元素
由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【分析】 (1)利用A是空集，则△<0即可求出a的取值范围；
(2)由已知条件即可得出，对a分情况讨论，分别求出符合题意的a的值，及集合A即可；
(3)根据题意结合(1)，(2)的结果，即可求解.
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