湖北省黄冈市武穴重点高中2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（含答案）

武穴重点高中2023-2024学年度上学期高一年级12月月考
数 学 试 题
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（每小题5分，共8小题40分）
1. 已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2. 已知为第二象限角，则 所在的象限是( )
A. 第一或第二象限 B. 第二或第三象限 C. 第二或第四象限 D. 第一或第三象限
3. 已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4. 已知的定义域为，则的定义域为( )
A. B. C. D.
5. 函数f (x)= 的图像大致为( )
A. B. C. D.
6. 设函数，则使得成立的的取值范围为( )
A. B. C. D.
7. 函数，若，且互不相等，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题（每小题5分，共4小题20分）
9. 某同学求函数的零点时,用计算器算得部分函数值如表所示:
则方程的近似解(精确度)可取为( )
A. B. C. D.
10. 以下说法正确的有( )
A. 实数是成立的充要条件
B. 对恒成立
C. 命题“，使得”的否定是“，使得”
D. 若，则的最小值是
11. 已知函数，，则下列说法正确的是( )
A. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是
B. 若函数的值域为，则实数
C. 若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是
D. 若,则不等式的解集为
12. 定义在上的函数满足，函数为偶函数，且当时。
，则( )
A. 的图象关于点成中心对称 B. 对任意整数，
C. 的值域为 D. 的实数根个数为
三、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13. 函数的单调减区间是__________.
14. 已知，则 的最小值是__________.
15. 生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象，若某入侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖,繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需的平均时间。在物种入侵初期，可用对数模型(为常数)来描述该物种累计繁殖数量与入侵时间(单位：天)之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出。据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的倍所需要的时间为__________天。(结果保留一位小数.参考数据：)
16. 已知定义在上的函数满足,均有,则不等式的解集为__________.
四、解答题（每小题12分，共6小题70分）
17. 解关于x的不等式：
（1）；
（2）已知，求的值
18. 设全集，集合，其中．
(1)若“”是“”成立的必要不充分条件，求的取值范围；
(2)若命题“，使得”是真命题，求的取值范围．
19. 已知是定义在上的偶函数，当时，.
(1)求；
(2)求的解析式；
(3)若，求实数的取值范围.
20. 北京冬奥会已于月日开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温，与冬奥会相关的周边产品也销量上涨。因可爱而闻名的冰墩墩更是成为世界顶流，在国内外深受大家追捧。对某商户所售的冰墩墩在过去的一个月内(以天计)的销售情况进行调查发现：冰墩墩的日销售单价(元/套)与时间(被调查的一个月内的第天)的函数关系近似满足(常数)，冰墩墩的日销量(套)与时间的部分数据如表所示：
已知第天该商品日销售收入为元,现有以下三种函数模型供选择:
①，②，③
(1)选出你认为最合适的一种函数模型,来描述销售量与时间的关系,并说明理由；
(2)根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入(，)在哪天达到最低。
21. 已知二次函数.
(1)当取何值时，不等式对一切实数都成立:
(2)若在区间内恰有一个零点,求实数的取值范围.
22．若函数的自变量的取值范围为时，函数值的取值范围恰为，就称区间为 的一个“和谐区间” .
(1)先判断“函数没有“和谐区间””是否正确，再写出函数的“和谐区间”；（直接写出结论即可）
(2)若是定义在上的奇函数，当时，.求的“和谐区间”.
参 考 答 案
一、选择题（每小题5分，共8小题40分）
1.D 2.D 3.A 4.B 5.A 6.D 7.C 8.D
二、多选题（每小题5分，共4小题20分）
9.A,B 10.B,C,D 11.A,B 12.B,C,D
三、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13. 14. 15. 16.
四、解答题（每小题12分，共6小题72分）
17.（1）等价于
当时，不等式的解集为，
当时，不等式等价于，不等式的解集为
当时，不等式等价于，
当时，不等式的解集为，，，
当时，不等式的解集为，，，
当时，不等式的解集为，，，6分
（2）【解析】因为，所以，由换底公式和对数的运算性质可得 10分
18、(1) (2)
【解析】(1)，得，解得：，即， 因为“”是“”成立的必要不充分条件，所以， 则，解得：； 6分
(2)由条件可知，，或， 所以或，解得：， 所以的取值范围是 12分
19.【解析】(1)因为是偶函数,所以;3分
(2)设,则,因为是定义在上的偶函数,所以当时,
,所以(也可表示为). 7分
(3)由及是偶函数得,
由得,在上单调递增,
所以由得,,解得,
即的取值范围是. 12分
20.(1)模型③最合适,理由如下:
对于模型①,为指数型函数模型,表格中对应的数据递增的速度较慢,故模型 ①不合适;
对于模型②,为二次函数模型,其图象关于直线对称,有,与表中数据不符,故模型②不合适;
对于模型③,幂函数型增长模型满足表格中对应数据较慢的递增速度,将表中数据,代入模型③,
有 解得，∴,
经验证,均满足表中数据,
因此,使用模型③来描述销售量与时间的关系最合适. 5分
(2)∵第天冰墩墩的日销售单价(元/套),∴第天的日销售收入为(元),
∴,∴,
由(1)所选模型③,当且时,
(元)
当且仅当,即时,等号成立,
∴在第天时,该商品的日销售收入达到最低元. 12分
21. 【解析】(1)为二次函数,则,
当时,二次函数开口向上,不等式不对一切实数都成立,不满足题意;
当时,则有,解得.
故当时,不等式对一切实数都成立;
(2)(i)当仅有一个零点时,由,此时零点为,符合题意; 5分
(ii)当有两个零点时,
①当,则由解得另一个零点为,符合题意;
②当,则由解得另一个零点为,符合题意;
③当,由零点存在定理,则有,解得.
综上,在区间内恰有一个零点时,实数的取值范围为.12分
22．解：（1）函数的定义域为，且函数为奇函数，
当时，函数为减函数，任意的，则，
所以当时，函数没有“和谐区间”，同理当时，函数没有“和谐区间”，
所以“函数没有“和谐区间””是正确的，函数在上递减，
则在定义域内任取区间，则，
由是函数的“和谐区间”，得，解得，
所以函数的“和谐区间”为； 5分
（2）解：因为当时，，所以当时，，所以，
因为是定义在上的奇函数，所以.，
所以当时，，设，因为在上单调递减，
所以，，所以，，
所以，是方程的两个不相等的正数根，
即，是方程的两个不相等的正数根， 所以，，
所以在区间上的“和谐区间”是，同理可得，在区间上的“和谐区间”是，所以的“和谐区间”是和. 12分