1.1 集合的概念
第1课时 集合的概念与几种常见的数集
A级 必备知识基础练
1.下列各组对象能构成集合的组数是( )
①接近于1的所有正整数;②小于0的实数;③(2 021,1)与(1,2 021).
A.1 B.2 C.3 D.0
2.(2021广东广州广雅中学高一月考)下列关系中正确的是( )
A. R B.0∈N*
C.∈Q D.∈Z
3.已知集合M是由满足y=其中x∈N*,∈Z的实数y组成的,则M中含有的元素个数为( )
A.4 B.6 C.8 D.12
4.(多选题)由a2,2-a,4组成一个集合A,且集合A中含有3个元素,则实数a的取值不可能是( )
A.1 B.-2 C.-1 D.2
5.(2021山东荣成高一期中)由实数x,-x,|x|,-所组成的集合,最多含元素个数为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
6.已知集合A中含有2个元素x+2和x2,若1∈A,则实数x的值为 .
7.已知集合M中有3个元素1,m+1,m2+4,如果5∈M,且-2 M,那么m= .
B级 关键能力提升练
8.设a,b∈R,集合A中含有3个元素1,a+b,a,集合B中含有3个元素0,,b.若集合A和集合B是相等的,则b-a=( )
A.2 B.-1 C.1 D.-2
9.(多选题)已知x,y为非零实数,代数式的值所组成的集合是M,则下列判断正确的是( )
A.-1∈M B.1∈M
C.2∈M D.3∈M
10.(多选题)已知集合A中有3个元素2,4,6,且当a∈A时,6-a∈A,则a为( )
A.2 B.4 C.0 D.6
11.(多选题)下列结论正确的是( )
A.若a∈N,则-a N
B.若a∈Z,则a2∈Z
C.若a∈Q,则|a|∈Q
D.若a∈R,则∈R
12.已知集合A中含有3个元素a,0,-1,集合B中含有3个元素c+b,,1,且集合A和集合B是相等的,则a= ,b= ,c= .
C级 学科素养创新练
13.集合A中共有3个元素-4,2a-1,a2,集合B中也共有3个元素9,a-5,1-a,已知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A,根据上述条件求出实数a的值.
第1课时 集合的概念与几种常见的数集
1.B ①中接近于1的所有正整数标准不明确,故不能构成集合;②中“小于0”是一个明确的标准,能构成集合;③中(2 021,1)与(1,2 021)是两个不同的数对,是确定的,能构成集合.
2.C 属于实数,因此A选项错误;N*是正整数集,因此0 N*,故B选项错误;是有理数,因此C选项正确;由于=π是无理数,Z是整数集,因此D选项错误.故选C.
3.B 由题意,可知y可取的值为1,2,3,4,6,12,共6个,故选B.
4.ABD 由题意知a2≠4,2-a≠4,a2≠2-a,解得a≠±2,且a≠1,结合选项知a不可能是ABD.
5.A 由题意可知-=-|x|,=x且|x|=±x,所以以实数x,-x,|x|,-为元素所组成的集合,最多含有x,-x两个元素.故选A.
6.1 由题意得x+2=1或x2=1,所以x=1或x=-1.
当x=-1时,x+2=x2,不符合题意,所以x=-1舍去;当x=1时,x+2=3,x2=1,满足题意.故x=1.
7.4或1或-1 由题意知,5∈M,且-2 M,所以若m+1=5,解得m=4;若m2+4=5,解得m=±1,经验证,均符合题意,所以m的值为4或1或-1.
8.A 由已知,a≠0,故a+b=0,则=-1,
所以a=-1,b=1,所以b-a=2.
9.AD ①当x,y均为正数时,代数式的值为3;②当x,y为一正一负时,代数式的值为-1;③当x,y均为负数时,代数式的值为-1,所以集合M的元素有-1,3.
10.AB 因为集合A中含有3个元素2,4,6,所以0 A.由题意当a∈A时,6-a∈A,所以当a=2∈A时,6-a=4∈A,则a=2满足条件;
当a=4∈A时,6-a=2∈A,则a=4满足条件;
当a=6∈A时,6-a=0 A,则a=6不满足条件.
综上所述,a=2或4.
11.BCD A错误.比如,0∈N,-0∈N.其余均正确.
12.1 -2 2 ∵集合A和集合B是相等的,
又≠0,∴a=1,c+b=0,=-1,
∴b=-2,c=2.
13.解∵9∈A,∴2a-1=9或a2=9.
若2a-1=9,则a=5,此时A中的元素为-4,9,25;B中的元素为9,0,-4,显然-4∈A且-4∈B,与已知矛盾,故舍去.
若a2=9,则a=±3,当a=3时,A中的元素为-4,5,9;B中的元素为9,-2,-2,B中有两个-2,与集合中元素的互异性矛盾,故舍去.第2课时 集合的表示方法
A级 必备知识基础练
1. 用描述法表示右图所示阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是( )
A.{-2≤x≤0,且-2≤y≤0}
B.{(x,y)|-2≤x≤0,且-2≤y≤0}
C.{(x,y)|-2≤x≤0,且-2≤y<0}
D.{(x,y)|-2≤x≤0,或-2≤y≤0}
2.在直角坐标系中,坐标轴上的点构成的集合可表示为( )
A.{(x,y)|y=0,x∈R}
B.{(x,y)|x2+y2=0}
C.{(x,y)|xy=0}
D.{(x,y)|x2+y2≠0}
3.(多选题)下列选项中是集合A={(x,y)|x=,y=,k∈Z}中的元素的是( )
A. B.
C.(3,4) D.(4,3)
4.已知集合A=my=∈N,m∈N,用列举法表示集合A= .
5.已知集合A={x|-2
6.用适当的方法表示下列集合:
(1)大于2且小于5的有理数组成的集合;
(2)24的所有正因数组成的集合;
(3)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合.
B级 关键能力提升练
7.(2021山东临沂高一期中)已知b是正数,且集合{x|x2-ax+16=0}={b},则a-b=( )
A.0 B.2 C.4 D.8
8.(2021江西临川一中高一月考)设集合A=2,3,a2-3a,a++7,B={|a-2|,0}.已知4∈A且4 B,则实数a的取值集合为( )
A.{-1,-2} B.{-1,2}
C.{-2,4} D.{4}
9.(多选题)下列关于集合的概念及表示正确的是 ( )
A.集合{y|y=2x2+1}与集合{(x,y)|y=2x2+1}是同一个集合
B.1,2,,0.5,这些数组成的集合有5个元素
C.集合M={(3,1)}与集合P={(1,3)}不是同一个集合
D.{x|x<-2且x>2}表示的是空集
10.(多选题)方程组的解集可表示为 ( )
A.
B.
C.(1,2)
D.{(2,1)}
11.定义运算A-B={x|x∈A,且x B},若A={-1,1,3,5,7,9},B={-1,5,7},则A-B= .
12.已知集合A={(x,y)|y=2x+1},B={(x,y)|y=x+3},若a∈A,a∈B,则a为 .
13.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中,则称该数集为“可倒数集”.
(1)判断集合A={-1,1,2}是否为可倒数集;
(2)试写出一个含3个元素的可倒数集.
C级 学科素养创新练
14.设S={x|x=m+n,m,n∈Z}.
(1)若a∈Z,则a是否是集合S中的元素
(2)对S中的任意两个x1,x2,则x1+x2,x1x2是否属于S
第2课时 集合的表示方法
1.B 由题图可知,阴影部分的点的横坐标满足-2≤x≤0,纵坐标满足-2≤y≤0,所以所表示的集合为{(x,y)|-2≤x≤0,且-2≤y≤0}.
2.C ∵在x轴上的点(x,y)满足y=0,在y轴上的点(x,y)满足x=0,∴坐标轴上的点(x,y)满足xy=0,
∴坐标轴上的点构成的集合可表示为{(x,y)|xy=0}.
故选C.
3.AD 对于A,当x=,y=时,,k=1,,k=1,满足题意.
对于B,当x=,y=时,,k=2,,k=3,不满足题意.
对于C,当x=3,y=4时,=3,k=9,=4,k=16,不满足题意.
对于D,当x=4,y=3时,=4,k=12,=3,k=12,满足题意.故选AD.
4.{1,2,4} ∵集合A=my=∈N,m∈N,
∴A={1,2,4}.
5.{1,2} 由题意知A={-1,0,1},而B={y|y=x2+1,x∈A},所以B={1,2}.
6.解(1)用描述法表示为{x|2(2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}.
(3)在平面直角坐标系内,点(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|,
所以该集合用描述法表示为{(x,y)||y|=|x|}.
7.C 由题意可知方程x2-ax+16=0有两个相等的正实根,故Δ=a2-64=0.又方程两根之和为正数,即a>0,所以a=8,因此方程变为x2-8x+16=0,且根为4,故b=4,所以a-b=8-4=4.故选C.
8.D 由题意可得①当a2-3a=4且|a-2|≠4时,解得a=-1或4;
a=-1时,集合A={2,3,4,4}不满足集合的互异性,故a≠-1;
a=4时,集合A=2,3,4,,集合B={2,0},符合题意.
②当a++7=4且|a-2|≠4时,解得a=-1,由①可得不符合题意.
综上,实数a的取值集合为{4}.故选D.
9.CD 对于选项A,集合{y|y=2x2+1}表示函数y=2x2+1的函数值组成的集合,集合{(x,y)|y=2x2+1}表示曲线y=2x2+1上的点组成的集合,不是同一集合,所以该命题错误;对于选项B,=0.5,所以1,2,,0.5,这些数组成的集合有3个元素,所以该命题错误;对于选项C,点(3,1)与点(1,3)不是同一个点,故集合M与集合P不是同一个集合,所以该命题正确;对于选项D,显然正确.
10.ABD 方程组只有一个解,解为
所以方程组的解集中只有一个元素,且此元素是有序数对,所以A,B,D都符合题意.
11.{1,3,9} ∵定义运算A-B={x|x∈A,且x B},A={-1,1,3,5,7,9},B={-1,5,7},∴A-B={1,3,9}.
12.(2,5) 由题意知a∈A,a∈B,所以a是方程组的解,解得即a为(2,5).
13.解(1)由于2的倒数为不在集合A中,故集合A不是可倒数集.
(2)若a∈A,则必有∈A,现已知集合A中含有3个元素,故必有一个元素有a=,即a=±1,故可以取集合A=1,2,或-1,2,或1,3,.
14.解(1)∵S={x|x=m+n,m,n∈Z},a∈Z,
∴a=a+0×∈S.
∴a是集合S的元素.
(2)不妨设x1=m+n,x2=p+q,m,n,p,q∈Z,
则x1+x2=(m+n)+(p+q)=(m+p)+(n+q).
∵m,n,p,q∈Z.∴m+p∈Z,n+q∈Z.∴x1+x2∈S.
x1·x2=(m+n)·(p+q)=(mp+2nq)+(mq+np),m,n,p,q∈Z.1.2 集合间的基本关系
A级 必备知识基础练
1.下列集合中表示空集的是( )
A.{x∈R|x+5=5}
B.{x∈R|x+5>5}
C.{x∈R|x2=0}
D.{x∈R|x2+x+1=0}
2.(多选题)下列说法中,错误的是( )
A.空集没有子集
B.任何集合至少有两个子集
C.空集是任何集合的真子集
D.若 A,则A≠
3.(2021四川仁寿高中高一期中)集合A={2 018,2 019,2 020}的非空真子集有( )
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
4.(多选题)(2021湖南五市十校高一联考)已知单元素集合M={1},则集合M的所有子集构成的集合N={ ,{1}},下列表示正确的是( )
A. ∈N B. N
C. =N D. N
5.(2021山东潍坊四县高一联考)已知集合A={x|-1≤x≤3},集合B={x|1-m≤x≤1+m}.若B A,则m的取值范围是( )
A.{m|m≤2} B.{m|-1≤m≤3}
C.{m|-3≤m≤1} D.{m|0≤m≤2}
6.已知集合A={-2,3,4m-4},集合B={3,m2}.若B A,则实数m= .
7.下列各组中的两个集合相等的所有序号是 .
①P={x|x=2n,n∈Z},Q={x|x=2(n-1),n∈Z};
②P={x|x=2n-1,n∈N*},Q={x|x=2n+1,n∈N*};
③P={x|x2-x=0},Q=xx=,n∈Z.
8.已知集合A={1,3,-x3},B={x+2,1},是否存在实数x,使得B是A的子集 若存在,求出集合A,B;若不存在,请说明理由.
B级 关键能力提升练
9.(多选题)已知集合M={x|-A.P={-3,0,1}
B.Q={-1,0,1,2}
C.T={y|-πD.S={x||x|≤,x∈Z}
10.已知非空集合M {1,2,3,4,5},且若a∈M,则6-a∈M,那么集合M的个数为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
11.(多选题)(2021江苏盐城中学高一期中)已知集合A={x|ax≤1},B={2,},若B A,则实数a的值可能是( )
A.-1 B.1 C.-2 D.2
12.已知集合P={x|x2=9},集合Q={x|ax=3},若Q P,那么-3 P(用适当的符号填空),a的值组成的集合为 .
13.设a,b∈R,集合{0,ab,a}={1,a-b,b},则a+b= .
14.集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},
(1)若B A,求实数m的取值范围;
(2)当x∈Z时,求A的非空真子集个数;
(3)当x∈R时,没有元素x使x∈A与x∈B同时成立,求实数m的取值范围.
C级 学科素养创新练
15.已知集合A={x||x-a|=4},集合B={1,2,b}.
(1)是否存在实数a,使得对于任意实数b都有A B 若存在,求出相应的a值;若不存在,试说明理由.
(2)若A B成立,求出相应的实数对(a,b).
1.2 集合间的基本关系
1.D A,B,C分别表示的集合为{0},{x|x>0},{0},
∵x2+x+1=0无实数解,
∴{x∈R|x2+x+1=0}表示空集.
2.ABC A错,空集含有本身一个子集;B错,如 只有一个子集;C错,空集不是空集的真子集;D正确,因为空集是任何非空集合的真子集.
3.B 集合A={2 018,2 019,2 020}的非空真子集有23-2=6(个).故选B.
4.AB 根据题意,集合N={ ,{1}}中的元素有2个,即 和{1}, 是集合N的元素,则 ∈N,A正确,D错误,对于B, 是任何集合的子集,则 N,B正确,C错误,故选AB.
5.A 当B≠ 时,要满足B A,只需
解得0≤m≤2;
当B= 时,只需1-m>1+m,解得m<0.综上,m的取值范围为{m|m≤2}.
故选A.
6.2 由B A,且m2≥0,得m2=4m-4,解得m=2.
经检验,符合题意.
7.①③ ①中对于Q,n∈Z,所以n-1∈Z,Q表示偶数集,所以P=Q;
②中P是由1,3,5,…所有正奇数组成的集合,Q是由3,5,…所有大于1的正奇数组成的集合,1 Q,所以集合P与集合Q不相等;
③中P={0,1},Q中当n为奇数时,x==0;当n为偶数时,x==1,Q={0,1},所以P=Q.
8.解存在.理由如下,
因为B是A的子集,所以B中元素必是A中的元素,若x+2=3,则x=1,符合题意.若x+2=-x3,则x3+x+2=0,所以(x+1)(x2-x+2)=0.
因为x2-x+2≠0,所以x+1=0,所以x=-1,
此时x+2=1,集合B中的元素不满足互异性.
综上所述,存在实数x=1,使得B是A的子集,
此时A={1,3,-1},B={1,3}.
9.ABC 集合M={-2,-1,0,1},集合T={-3,-2},集合S={-1,0,1},不难发现集合P中的元素-3 M,集合Q中的元素2 M,集合T中的元素-3 M,而集合S={-1,0,1}中的任意一个元素都在集合M中,所以S M.故选ABC.
10.C 由题知a∈M,6-a∈M,且M {1,2,3,4,5},
∵当a=1时,6-a=5∈M;当a=2时,6-a=4∈M;
当a=3时,6-a=3∈M;当a=4时,6-a=2∈M;
当a=5时,6-a=1∈M,
∴非空集合M可能是{3},{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共7个.
11.AC 当a=0时,A=R,符合题意;若a>0,由题意可得A=xx≤,
若集合B为集合A的子集,则≥2,解得0若a<0,由题意可得A=xx≥,因为<0,则集合B必为集合A的子集.故选AC.
12.∈ {1,-1,0} P={x|x2=9}={x|x=3或x=-3},所以-3∈P.Q={x|ax=3},若Q P,则当a=0时,Q= ,满足题意;当a≠0时,Q={x|ax=3}=,则=3或-3,解得a=1或-1.
13.-2 由题意,若a-b=0,则ab=1或a=1.
若ab=1,可得a2=1,解得a=±1,当a=1时,由a=b,得到b=1,不符合题意;当a=-1时,由a=b,得到b=-1,符合题意;若a=1,则a=b,得b=1,不符合题意;
若b=0,则ab=0,不符合题意.
综上,a=b=-1,则a+b=-2.
14.解(1)当m+1>2m-1即m<2时,B= ,满足B A.
当m+1≤2m-1即m≥2时,要使B A成立,
需可得2≤m≤3.综上,{m|m≤3}.
(2)当x∈Z时,A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},
∴A的非空真子集个数为28-2=254.
(3)∵x∈R,且A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},没有元素x使x∈A与x∈B同时成立.
则①若B= ,即m+1>2m-1,得m<2时满足条件.
②若B≠ ,则要满足条件:解得m>4.
综上,实数m的取值范围是{m|m<2,或m>4}.
15.解(1)不存在.理由如下:
若对任意的实数b都有A B,
则当且仅当1和2也是A中的元素时才有可能.
因为A={a-4,a+4},
所以这都不可能,所以这样的实数a不存在.
(2)由(1)易知,当且仅当时,A B.1.3 集合的基本运算
第1课时 并集和交集
A级 必备知识基础练
1.(2022北京东城高一期末)已知集合A={-1,0,1},集合B={x∈N|x2=1},那么A∩B= ( )
A.{1} B.{0,1}
C.{-1,1} D.{-1,0,1}
2.设集合A={0},B={2,m},且A∪B={-1,0,2},则实数m等于( )
A.-1 B.1 C.0 D.2
3.(多选题)已知集合A={2,3,4},集合A∪B={1,2,3,4,5},则集合B可能为( )
A.{1,2,5} B.{2,3,5}
C.{0,1,5} D.{1,2,3,4,5}
4.(多选题)若集合M N,则下列结论正确的是 ( )
A.M∩N=N B.M∪N=N
C.M∈(M∩N) D.(M∪N) N
5.(多选题)已知集合A={x|x2-x=0},集合B中有两个元素,且满足A∪B={0,1,2},则集合B可以是( )
A.{0,1} B.{0,2}
C.{0,3} D.{1,2}
6.(2022江西南昌高一期末)设A={-1,2,3},B={a+2,a2+2},若A∩B={3},则实数a= .
7.已知集合A={x|x<1,或x>5},B={x|a≤x≤b},且A∪B=R,A∩B={x|58.已知集合A={x|-2(1)若A∪B=B,求实数m的取值范围;
(2)若A∩B≠ ,求实数m的取值范围.
B级 关键能力提升练
9.设X={0,1,2,4,5,7},Y={1,4,6,8,9},Z={4,7,9},则(X∩Y)∪(X∩Z)等于( )
A.{1,4} B.{1,7}
C.{4,7} D.{1,4,7}
10.(2022江苏常州高一期末)已知集合M={x|(x-2)(x-a)=0},N={1,3},若M∩N= ,M∪N={1,2,3},则实数a的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.(2022江苏连云港高一期末)某班45名学生中,有围棋爱好者22人,足球爱好者28人,则同时爱好这两项的人最少有( )
A.4人 B.5人 C.6人 D.7人
12.(多选题)(2021山东邹城高一期中)满足集合M {a,b,c,d},且M∩{a,b,c}={a,b},则集合M=( )
A.{a,b} B.{a,b,c}
C.{a,b,d} D.{a,b,c,d}
13.设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|-114.已知集合A={x|a-115.(2021江西景德镇高一期末)已知A={x|a≤x≤a+3},B={x|x>1,或x<-6}.
(1)若A∩B= ,求实数a的取值范围;
(2)若A∪B=B,求实数a的取值范围.
C级 学科素养创新练
16.某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,则同时参加数学和化学小组的有 人.
第1课时 并集和交集
1.A 由题意,集合A={-1,0,1},B={x∈N|x2=1}={1},所以A∩B={1}.故选A.
2.A 由于 A∪B={-1,0,2},则-1∈A或-1∈B.
因为A={0},所以-1 A.所以必有-1∈B.
又B={2,m},则m=-1.
3.AD 由题意知集合B中必有元素1和5,且有元素2,3,4中的0个,1个,2个或3个,都可以,A,D符合.
4.BD ∵M N,∴M∩N=M,故A错误;
∵M N,∴M∪N=N,故B正确;
集合与集合之间不能用“∈”连接,故C错误;
∵M N,∴M∪N=N,则(M∪N) N,故D正确.故选BD.
5.BD ∵A={x|x2-x=0}={0,1},且A∪B={0,1,2},则2∈B,
由于集合B中有两个元素,则B={0,2}或B={1,2}.
6.-1 因为A∩B={3},所以3∈B.
当a+2=3时,解得a=1,则a2+2=3,不满足集合中元素的互异性,不符合题意;
当a2+2=3时,解得a=1或a=-1,
当a=1时不符合题意,当a=-1时,a+2=1,此时B={1,3},满足A∩B={3}.
综上所述,a=-1.
7.-4 如图所示,可知a=1,b=6,∴2a-b=-4.
8.解(1)A∪B=B,∴A B,∴
解得-6≤m≤-2,
∴实数m的取值范围是{m|-6≤m≤-2}.
(2)当A∩B= 时,3≤m或者m+9≤-2,解得m≥3或m≤-11,∴A∩B≠ 时,-11∴实数m的取值范围是{m|-119.D ∵X∩Y={1,4},X∩Z={4,7},
∴(X∩Y)∪(X∩Z)={1,4,7}.故选D.
10.B 因为N={1,3},M∪N={1,2,3},M∩N= ,
所以M={2},所以a=2.故选B.
11.B 由题意可得Venn图,如图所示,
由图可知,同时爱好这两项的人最少有22+28-45=5人,故选B.
12.AC ∵集合M {a,b,c,d},且M∩{a,b,c}={a,b},
∴集合M中一定有元素a,b,不能有元素c,且元素d可能属于集合M,也可能不属于集合M,∴M={a,b}或M={a,b,d},故选AC.
13.-1 2 ∵B∪C={x|-3∴A∩(B∪C)=A,由题意{x|a≤x≤b}={x|-1≤x≤2}.∴a=-1,b=2.
14.aa≤-,或a≥2 ∵A={x|a-1①a-1≥2a+1,即a≤-2时,A= ,满足题意;
②解得-2③解得a≥2.
综上可得,a的范围是aa≤-,或a≥2.
15.解(1)因为A={x|a≤x≤a+3},B={x|x>1,或x<-6},且A∩B= ,则解得-6≤a≤-2.
故实数a的取值范围是{a|-6≤a≤2}.
(2)因为A={x|a≤x≤a+3},B={x|x>1,或x<-6},且A∪B=B,所以A B,则a>1或a+3<-6,解得a>1或a<-9.所以实数a的取值范围是{a|a>1,或a<-9}.第2课时 补集及其应用
A级 必备知识基础练
1.设集合U={-1,0,1,2,4},集合 UM={-1,1},则集合M=( )
A.{0,2} B.{0,4}
C.{2,4} D.{0,2,4}
2.设集合U={x∈N|x≤4},A={1,2},B={2,3},则( UA)∩( UB)=( )
A.{0,4} B.{4} C.{1,2,3} D.
3.(2022安徽合肥高一期末)已知全集U=R,集合A={0,1,2,3,4,5},B={x∈R|x>3},则图中阴影部分所表示的集合是( )
A.{0,1,2} B.{1,2}
C.{0,1,2,3,4} D.{0,1,2,3}
4.(多选题)(2021辽宁辽南协作体高一期中)已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤3,或4A. UA={x|x<1,或36}
B. UB={x|x<2,或x≥5}
C.A∩( UB)={x|1≤x<2,或5≤x<6}
D.( UA)∪B={x|x<1,或26}
5.已知全集U={2,3,a2-a-1},A={2,3},B={1,3}, UA={1},则实数a的值是 , U(A∩B)= .
6.设全集U=R,集合A={x|x>1},B={x|x>a},且( UA)∪B=R,则实数a的取值范围是 .
7.已知全集U={x|-5≤x≤3},A={x|-5≤x<-1},B={x|-1≤x<1},求 UA, UB,( UA)∩( UB).
B级 关键能力提升练
8.设全集U={1,2,3,4,5},若A∩B={2},( UA)∩B={4},( UA)∩( UB)={1,5},则下列结论正确的是( )
A.3 A,且3 B B.3 B,但3∈A
C.3 A D.3∈A,且3∈B
9.设集合A={x|x2-x=0},B={x|x-2=0},则{x|(x2-x)(x-2)≠0}=( )
A. R(A∩B) B.( RA)∪B
C.A∪( RB) D. R(A∪B)
10.(多选题)(2021安徽安庆一中高一期中)已知全集U和集合A,B,C,若A B ( UC),则下列关系一定成立的有( )
A.A∩B=A B.B∪C=B
C.C ( UA) D.( UA)∪( UC)=U
11.已知集合A={x|x2+ax+12b=0}和B={x|x2-ax+b=0},满足( RA)∩B={2},A∩( RB)={4},则实数a+b的值为 .
12.已知集合A={1,3,-x},B={1,x+2},若存在实数x,使得B∪( AB)=A成立,则A= ,B= .
13.在①B={x|-2a}这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答该问题.
问题:已知非空集合A={x|aC级 学科素养创新练
14.设全集U=R,对集合A,B定义:A-B=A∩( RB),AΔB=(A-B)∪(B-A).若集合A={x|1第2课时 补集及其应用
1.D ∵ UM={-1,1},U={-1,0,1,2,4},
∴M={0,2,4}.
2.A ∵U={x∈N|x≤4}={0,1,2,3,4},
∴ UA={0,3,4}, UB={0,1,4}.
∴( UA)∩( UB)={0,4}.故选A.
3.D 由图可知,阴影部分所表示的集合是( UB)∩A,
∵B={x∈R|x>3},∴ UB={x∈R|x≤3},
∴( UB)∩A={0,1,2,3}.故选D.
4.BC 因为全集U=R,集合A={x|1≤x≤3,或4因为全集U=R,集合B={x|2≤x<5},所以 UB={x|x<2,或x≥5},故B正确;
因为集合A={x|1≤x≤3,或4因为 UA={x|x<1,或35.-1或2 {1,2} ∵U={2,3,a2-a-1},A={2,3}, UA={1},∴1∈U,∴a2-a-1=1,即a2-a-2=0,解得a=-1或a=2.此时U={2,3,1},∴ U(A∩B)={1,2}.
6.{a|a≤1} 因为A={x|x>1},B={x|x>a},
所以 UA={x|x≤1},由( UA)∪B=R,可知a≤1.
7.解 UA={x|-1≤x≤3}, UB={x|-5≤x<-1,或1≤x≤3},( UA)∩( UB)={x|1≤x≤3}.
8.B 根据题意有A∩B={2},故2∈B,且2∈A,( UA)∩B={4},所以4∈B但4 A,( UA)∩( UB)= U(A∪B)={1,5},故1 A,1 B且5 A,5 B,所以3 B,但3∈A.
9.D {x|(x2-x)(x-2)≠0}={x|x2-x≠0,且x-2≠0}=( RA)∩( RB)= R(A∪B),故选D.
10.ACD ∵A B ( UC),由图可知,A∩B=A,C ( UA),( UA)∪( UC)=U.故选ACD.
11.- 由条件( RA)∩B={2}和A∩( RB)={4},知2∈B,2 A;4∈A,4 B.
将x=2和x=4分别代入B,A两集合中的方程得
解得a=,b=-.故a+b=-.
12.{1,3,-1} {1,3} ∵存在x,使B∪( AB)=A,
∴B A.
若x+2=3,则x=1,符合题意.
若x+2=-x,则x=-1,不符合题意.
∴存在x=1,使B∪( AB)=A,
此时A={1,3,-1},B={1,3}.
13.解选①:因为A是非空集合,
所以8-a>a,解得a<4.
因为B={x|-2所以a≥3或8-a≤-2,解得a≥3或a≥10,
综上所述,a的取值集合是{a|3≤a<4}.
选②:因为A是非空集合,所以8-a>a,解得a<4,
因为 RB={x|-3所以B={x|x≤-3,或x≥5},
因为A∩B= ,所以解得3≤a<4,
故a的取值集合是{a|3≤a<4}.
选③:因为A是非空集合,所以8-a>a,解得a<4,
因为A∩B= ,B={x|x≥a2+6},A∪B={x|x>a},
所以a2+6=8-a,解得a=-2或1,
故a的取值集合是{-2,1}.
14.解 RB={x|x<3,或x>7},
∴A-B=A∩( RB)={x|1∵ RA={x|x≤1,或x>5},1.4 充分条件与必要条件
A级 必备知识基础练
1.“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.设a,b∈R,则“a>b”是“a2>b2”的( )
A.充要条件
B.既不充分也不必要条件
C.充分不必要条件
D.必要不充分条件
3.设集合A={1,a2,-2},B={2,4},则“a=2”是“A∩B={4}”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(多选题)对于任意实数a,b,c,下列命题中的假命题为( )
A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件
C.“ac>bc”是“a>b”的充分条件
D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件
5.已知p:-16.设x,y∈R,求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.
B级 关键能力提升练
7.已知实数a,b,c,则b2=ac是成立的( )
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
8.(2022安徽合肥一六八中学高一期末)若ab>0,则aA.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
9.已知命题p:x+y≠-2,q:x≠-1且y≠-1,则p是q的( )
A.充要条件
B.既不充分也不必要条件
C.充分不必要条件
D.必要不充分条件
10.(2022广东深圳宝安高一期末)设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C,使得A C,B ( UC)”是“A∩B= ”的( )
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
11.已知集合A={x|x≥0},B={x|x≥a},若x∈A是x∈B的充分条件,则实数a的取值范围是 ;若x∈A是x∈B的必要条件,则a的取值范围是 .
12.已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
C级 学科素养创新练
13.已知a≥,设二次函数f(x)=-a2x2+ax+c,其中a,c均为实数.证明:当0≤x≤1时,均有f(x)≤1成立的充要条件是c≤.
1.4 充分条件与必要条件
1.B 由“四边形是平行四边形”不一定得出“四边形是正方形”,但由“四边形是正方形”必推出“四边形是平行四边形”,故“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件.
2.B 若a=1,b=-4,满足a>b,此时a2>b2不成立;
若a2>b2,如a=-4,b=1,此时a>b不成立.
3.A 当“a=2”时,显然“A∩B={4}”;但当“A∩B={4}”时,a可以为-2,故不能推出“a=2”.
4.ACD 由充分条件、必要条件的定义知选A,C,D.
5.{m|m>2} 因为q是p的必要不充分条件,即p q,则m+1>3,解得m>2,即实数m的取值范围是{m|m>2}.
6.证明充分性:如果xy=0,那么,①x=0,y≠0;②x≠0,y=0;③x=0,y=0.于是|x+y|=|x|+|y|.
如果xy>0,即x>0,y>0或x<0,y<0,
当x>0,y>0时,|x+y|=x+y=|x|+|y|,
当x<0,y<0时,|x+y|=-x-y=(-x)+(-y)=|x|+|y|,总之,当xy≥0时,|x+y|=|x|+|y|.
必要性:由|x+y|=|x|+|y|及x,y∈R,得(x+y)2=(|x|+|y|)2,即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,得|xy|=xy,所以xy≥0,故必要性成立.
综上,原命题成立.
7.C 由可得b2=ac,反之不成立,如b=c=0时,满足b2=ac,但不成立,故b2=ac是成立的必要不充分条件,故选C.
8.C 当ab>0时,,当a0,则>0,即成立,反之当成立时,b-a>0,则a9.B
10.A ∵A C,B ( UC),即A C且B∩C= ,
∴A∩B= .
则“存在集合C,使得A C,B ( UC)”是“A∩B= ”的充分条件.
当A∩B= ,存在一个集合C=A使得A C,B ( UC),则“存在集合C,使得A C,B ( UC)”是“A∩B= ”的必要条件.故“存在集合C,使得A C,B ( UC)”是“A∩B= ”的充要条件.故选A.
11.{a|a≤0} {a|a≥0} 因为x∈A是x∈B的充分条件,所以a≤0;因为x∈A是x∈B的必要条件,所以a≥0.
12.证明因为a+b=1,所以a+b-1=0.
所以a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.
因为a3+b3+ab-a2-b2=0,即(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,又ab≠0,所以a≠0且b≠0.
因为a2-ab+b2=b2>0,所以a+b-1=0,即a+b=1.综上可得,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
13.证明因为a≥,所以函数f(x)=-a2x2+ax+c图象的对称轴为直线x=,且0<≤1,1.5 全称量词与存在量词
A级 必备知识基础练
1.命题“ x∈R,x2+2 021x+2 022<0”的否定为( )
A. x∈R,x2+2 021x+2 022<0
B. x∈R,x2+2 021x+2 022≤0
C. x∈R,x2+2 021x+2 022≥0
D. x∈R,x2+2 021x+2 022≥0
2.(2021浙江温州苍南高一月考)下列命题中:
(1)有些自然数是偶数;
(2)正方形是菱形;
(3)能被6整除的数也能被3整除;
(4)对于任意x∈R,总有≤1.
存在量词命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.已知命题p: x>3,x>m成立,则实数m的取值范围是( )
A.{m|m≤3} B.{m|m≥3}
C.{m|m<3} D.{m|m>3}
4.命题“每个函数都有最大值”的否定是 ,且其为 命题(填“真”或“假”).
5.(2021山东邹城高一期中)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,请写出它们的否定,并判断其真假:
(1)p:对任意的x∈R,x2+x+1≠0都成立;
(2)q: x∈R,使x2+2x+5≤0.
B级 关键能力提升练
6.(2022河南濮阳高二期末)下列命题为真命题的是( )
A. x∈R,使x2<0
B. x∈R,有x2≥0
C. x∈R,有x2>0
D. x∈R,有x2<0
7.已知命题p:“ x∈{x|1≤x≤2},x2-a≥0”,命题q:“ x∈R,x2+2ax+4=0”.若命题 p和命题q都是真命题,则实数a的取值范围是 ( )
A.{a|a≤-2,或a=1}
B.{a|a≤-2,或1≤a≤2}
C.{a|a≥1}
D.{a|a≥2}
8.(多选题)(2021江苏无锡青山中学高一月考)下列命题为存在量词命题的有( )
A.在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P
B.有的有理数能写成分数形式
C.线段的长度都能用正有理数表示
D.存在一个实数x,使等式x2-3x+2=0成立
9.(多选题)下列四个命题的否定为真命题的是 ( )
A.p:所有四边形的内角和都是360°
B.q: x∈R,x2+2x+2≤0
C.r: x∈{x|x是无理数},x2是无理数
D.s:对所有实数a,都有|a|>0
10.若命题p: x∈R,x2+4x+a=0为假命题,则实数a的取值范围是 ;p的否定是 .
11.某中学开展小组合作学习模式,高一某班某组王小明同学给组内王小亮同学出题如下:若命题“ x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,求m的范围.王小亮略加思索,反手给了王小明一道题:若命题“ x∈R,x2+2x+m>0”是真命题,求m的范围.你认为,两位同学出的题中m的范围是否一致 (填“是”或“否”).
12.命题p是“对任意实数x,有x-a>0,或x-b≤0”,其中a,b是常数.
(1)写出命题p的否定;
(2)当a,b满足什么条件时,命题p的否定为真
C级 学科素养创新练
13.(2021福建龙岩高级中学高一期中)设命题p: x∈{x|-2≤x≤-1},x2-a≥0;命题q: x∈R,使x2+2ax-(a-2)=0.
(1)若命题p为真命题,求实数a的取值范围;
(2)若命题p,q一真一假,求实数a的取值范围.
1.5 全称量词与存在量词
1.C 命题的否定为“ x∈R,x2+2 021x+2 022≥0”.
2.B 有些自然数是偶数,含有存在量词“有些”,是存在量词命题;
正方形是菱形,可以写成“所有的正方形都是菱形”,是全称量词命题;
能被6整除的数也能被3整除,可以写成“所有能被6整除的数也能被3整除”,是全称量词命题;对于任意x∈R,总有≤1,含有全称量词“任意的”,是全称量词命题.
所以存在量词命题有1个.故选B.
3.A 对任意x>3,x>m恒成立,即大于3的数恒大于m,所以m≤3.
4.有些函数没有最大值 真 命题的量词是“每个”,即为全称量词命题,因此其否定是存在量词命题,用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等,再否定结论.即有些函数没有最大值.
5.解(1)由于命题中含有全称量词“任意的”,该命题是全称量词命题,所以其否定为“ x∈R,使x2+x+1=0”.
因为Δ=-3<0,所以方程x2+x+1=0无实数解,
此命题为假命题.
(2)由于命题中含有存在量词“存在一个”,该命题是存在量词命题,所以其否定为“ x∈R,有x2+2x+5>0”.
因为x2+2x+5=(x+1)2+4≥4>0,所以 x∈R,x2+2x+5>0成立,此命题是真命题.
6.B 因为x∈R,所以x2≥0,所以 x∈R,有x2≥0,故选B.
7.D 若 x∈{x|1≤x≤2},x2-a≥0,
则a≤x2,∴a≤1.
若 x∈R,x2+2ax+4=0,则Δ=(2a)2-16≥0,
解得a≤-2或a≥2.∵命题 p和命题q都是真命题,
∴∴a≥2.
8.BD “在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P”是全称量词命题,所以选项A错误;
“有的有理数能写成分数形式”中“有的”为存在量词,所以是存在量词命题,所以选项B正确;
“线段的长度都能用正有理数表示”是全称量词命题,所以选项C错误;
“存在一个实数x,使等式x2-3x+2=0成立”中的“存在”为存在量词,所以是存在量词命题,所以选项D正确.故选BD.
9.BD A. p:有的四边形的内角和不是360°,是假命题.
B. q: x∈R,x2+2x+2>0,真命题,这是由于 x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0恒成立.
C. r: x∈{x|x是无理数},x2不是无理数,假命题.
D. s:存在实数a,使|a|≤0,真命题.
10.{a|a>4} x∈R,x2-4x+a≠0 若命题p为假命题,则p的否定为 x∈R,x2-4x+a≠0为真命题,则Δ=(-4)2-4a<0,解得a>4.
11.是 若命题“ x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,所以该命题的否定是真命题,即命题“ x∈R,x2+2x+m>0”是真命题,所以两位同学题中m的取值范围是一致的.
12.解(1)命题p的否定:存在实数x,有x-a≤0,且x-b>0.
(2)要使命题p的否定为真,则需要使不等式组的解集不为空集,
通过画数轴可看出,a,b应满足的条件是b13.解(1)令y=x2-a,x∈{x|-2≤x≤-1},
根据题意,“命题p为真命题”等价于“当x∈{x|-2≤x≤-1}时,ymin≥0”.
∵ymin=1-a,∴1-a≥0,解得a≤1.
∴实数a的取值范围为{a|a≤1}.
(2)由(1)可知,当命题p为真命题时,实数a满足a≤1.
当命题q为真命题,即方程有实数根时,则有Δ=4a2-4(2-a)≥0,解得a≤-2或a≥1.
命题p和q两个命题中有且仅有一个真命题,则命题p与q一真一假.
①当命题p为真,命题q为假时,
得解得-2②当命题p为假,命题q为真时,
得解得a>1.